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  • 2021-11-06 发布

人教版九年级数学上册专题训练(九)旋转变换在几何解题中的应用

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第二十三章 旋转 人教版 专题训练(九) 旋转变换在几何解题中的应用 1 .点 P 是等边三角形 ABC 内的一点,若 PA = 12 , PB = 5 , PC = 13 , 求∠ BPA 的度数. 解:如图,将△ APB 绕点 B 顺时针方向旋转 60° 得△ CP′B , 则△ APB≌△CP′B ,∴∠ BPA =∠ BP′C , P′B = PB = 5 , P′C = PA = 12.∵△ABC 是等边三角形,∴∠ PBP′ = 60° , 又∵ P′B = PB = 5 ,∴△ PBP′ 也是等边三角形,即∠ PP′B = 60° , PP′ = 5. 在△ PP′C 中, PC = 13 , PP′ = 5 , P′C = 12 , ∴ PC 2 = PP′ 2 + P′C 2 . 即∠ PP′C = 90°. ∴∠BPA =∠ BP′C = 60° + 90° = 150° 3 .如图,在 Rt △ABC 中,∠ BAC = 90° , AB = AC , 点 D 、 E 是 BC 边上的任意两点,且∠ DAE = 45°. 探究线段 BD , EC 和 DE 之间有怎样的数量关系?写出猜想,并说明理由 . 解:如图,将△ ABD 绕点 A 逆时针方向旋转 90° 得△ ACF ,连接 EF , 则△ ABD≌△ACF ,∴ AF = AD , CF = BD ,∠ DAF = 90° , ∵∠ DAE = 45° ,∴∠ DAE =∠ FAE = 45° ,又∵ AE = AE ,∴△ DAE≌△FAE ,∴ EF = DE ,∵ AB = AC ,∠ BAC = 90° ,∴∠ B =∠ ACB = 45° ,∴∠ ACF = 45° ,∴∠ ECF =∠ ACB +∠ ACF = 90° ,∴ EF 2 = EC 2 + FC 2 ,∴ DE 2 = EC 2 + BD 2 135 ° 5 .正方形 ABCD 中, E 是 CD 边上一点. (1) 将△ ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转,使 AD 、 AB 重合,得到△ ABF , 如图①所示.观察可知: 与 DE 相等的线段是 ____ ,∠ AFB =∠ _______ ; (2) 如图②,正方形 ABCD 中, P 、 Q 分别是 BC 、 CD 边上的点, 且∠ PAQ = 45° ,试通过旋转的方式说明 DQ + BP = PQ ; (3) 在 (2) 题中,连接 BD 分别交 AP 、 AQ 于点 M 、 N , 你还能用旋转的思想说明 BM 2 + DN 2 = MN 2 吗? BF AED 解: (2) 将△ ADQ 绕点 A 按顺时针方向旋转 90° ,则 AD 与 AB 重合, 得到△ ABE ,如答图②,则∠ D =∠ ABE = 90° ,即点 E 、 B 、 P 共线, ∠ EAQ =∠ BAD = 90° , AE = AQ , BE = DQ ,∵∠ PAQ = 45° , ∴∠ PAE = 45° =∠ PAQ ,又∵ AP = AP ,∴△ APE≌△APQ( SAS ) , ∴ PE = PQ ,而 PE = PB + BE = PB + DQ ,∴ DQ + BP = PQ (3) 如答图③,∵四边形 ABCD 为正方形,∴∠ ABD =∠ ADB = 45° , 如图,将△ ADN 绕点 A 按顺时针方向旋转 90° ,则 AD 与 AB 重合, 得到△ ABK ,则∠ ABK =∠ ADN = 45° , BK = DN , AK = AN , 与 (2) 一样可证明△ AMN≌△AMK ,得到 MN = MK , ∵∠ MBA +∠ KBA = 45° + 45° = 90° ,∴△ BMK 为直角三角形, ∴ BK 2 + BM 2 = MK 2 ,∴ BM 2 + DN 2 = MN 2