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- 2021-11-06 发布
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第二十三章 旋转
人教版
专题训练(九) 旋转变换在几何解题中的应用
1
.点
P
是等边三角形
ABC
内的一点,若
PA
=
12
,
PB
=
5
,
PC
=
13
,
求∠
BPA
的度数.
解:如图,将△
APB
绕点
B
顺时针方向旋转
60°
得△
CP′B
,
则△
APB≌△CP′B
,∴∠
BPA
=∠
BP′C
,
P′B
=
PB
=
5
,
P′C
=
PA
=
12.∵△ABC
是等边三角形,∴∠
PBP′
=
60°
,
又∵
P′B
=
PB
=
5
,∴△
PBP′
也是等边三角形,即∠
PP′B
=
60°
,
PP′
=
5.
在△
PP′C
中,
PC
=
13
,
PP′
=
5
,
P′C
=
12
,
∴
PC
2
=
PP′
2
+
P′C
2
.
即∠
PP′C
=
90°.
∴∠BPA
=∠
BP′C
=
60°
+
90°
=
150°
3
.如图,在
Rt
△ABC
中,∠
BAC
=
90°
,
AB
=
AC
,
点
D
、
E
是
BC
边上的任意两点,且∠
DAE
=
45°.
探究线段
BD
,
EC
和
DE
之间有怎样的数量关系?写出猜想,并说明理由
.
解:如图,将△
ABD
绕点
A
逆时针方向旋转
90°
得△
ACF
,连接
EF
,
则△
ABD≌△ACF
,∴
AF
=
AD
,
CF
=
BD
,∠
DAF
=
90°
,
∵∠
DAE
=
45°
,∴∠
DAE
=∠
FAE
=
45°
,又∵
AE
=
AE
,∴△
DAE≌△FAE
,∴
EF
=
DE
,∵
AB
=
AC
,∠
BAC
=
90°
,∴∠
B
=∠
ACB
=
45°
,∴∠
ACF
=
45°
,∴∠
ECF
=∠
ACB
+∠
ACF
=
90°
,∴
EF
2
=
EC
2
+
FC
2
,∴
DE
2
=
EC
2
+
BD
2
135
°
5
.正方形
ABCD
中,
E
是
CD
边上一点.
(1)
将△
ADE
绕点
A
按顺时针方向旋转,使
AD
、
AB
重合,得到△
ABF
,
如图①所示.观察可知:
与
DE
相等的线段是
____
,∠
AFB
=∠
_______
;
(2)
如图②,正方形
ABCD
中,
P
、
Q
分别是
BC
、
CD
边上的点,
且∠
PAQ
=
45°
,试通过旋转的方式说明
DQ
+
BP
=
PQ
;
(3)
在
(2)
题中,连接
BD
分别交
AP
、
AQ
于点
M
、
N
,
你还能用旋转的思想说明
BM
2
+
DN
2
=
MN
2
吗?
BF
AED
解:
(2)
将△
ADQ
绕点
A
按顺时针方向旋转
90°
,则
AD
与
AB
重合,
得到△
ABE
,如答图②,则∠
D
=∠
ABE
=
90°
,即点
E
、
B
、
P
共线,
∠
EAQ
=∠
BAD
=
90°
,
AE
=
AQ
,
BE
=
DQ
,∵∠
PAQ
=
45°
,
∴∠
PAE
=
45°
=∠
PAQ
,又∵
AP
=
AP
,∴△
APE≌△APQ(
SAS
)
,
∴
PE
=
PQ
,而
PE
=
PB
+
BE
=
PB
+
DQ
,∴
DQ
+
BP
=
PQ
(3)
如答图③,∵四边形
ABCD
为正方形,∴∠
ABD
=∠
ADB
=
45°
,
如图,将△
ADN
绕点
A
按顺时针方向旋转
90°
,则
AD
与
AB
重合,
得到△
ABK
,则∠
ABK
=∠
ADN
=
45°
,
BK
=
DN
,
AK
=
AN
,
与
(2)
一样可证明△
AMN≌△AMK
,得到
MN
=
MK
,
∵∠
MBA
+∠
KBA
=
45°
+
45°
=
90°
,∴△
BMK
为直角三角形,
∴
BK
2
+
BM
2
=
MK
2
,∴
BM
2
+
DN
2
=
MN
2
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