2020年中考数学专题复习：知识点总结(中考) 12页

12-1 初中数学知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数 A、数与式： 1、有理数 有理数：①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示 0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定 直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来 表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称 这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原 点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于 0，负数小于 0， 正数大于负数。 绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是 他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0 的绝对值是 0。两个负数比较大小，绝对值大的 反而小。 有理数的运算： 加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为 0；绝对值 不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与 0 相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与 0 相乘得 0。③乘积为 1 的 两个有理数互为倒数。 除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0 不能作除数。 乘方：求 N 个相同因数 A 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A 叫底数，N 叫次数。 混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数 平方根：①如果一个正数 X 的平方等于 A，那么这个正数 X 就叫做 A 的算术平方根。②如果一 个数 X 的平方等于 A，那么这个数 X 就叫做 A 的平方根。③一个正数有 2 个平方根/0 的平 方根为 0/负数没有平方根。④求一个数 A 的平方根运算，叫做开平方，其中 A 叫做被开方 数。 立方根：①如果一个数 X 的立方等于 A，那么这个数 X 就叫做 A 的立方根。②正数的立方根是 正数、0 的立方根是 0、负数的立方根是负数。③求一个数 A 的立方根的运算叫开立方，其 中 A 叫做被开方数。 实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范 围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来 表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合 并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母 的指数不变。 4、整式与分式 整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称 整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次 数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。 整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。 幂的运算：AM+AN=A（M+N） （AM）N=AMN （A/B）N=AN/BN 除法一样。 12-2 整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同 他的指数不变，作为积的因式。②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多 项式的每一项，再把所得的积相加。③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘 另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式两条：平方差公式/完全平方公式 整式的除法：①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式 里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。②多项式除以单项式，先把这个 多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。 分式：①整式 A 除以整式 B，如果除式 B 中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式， 分母不为 0。②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 分式的运算： 乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。 加减法：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。②异分母的分式先通分，化为同 分母的分式，再加减。 分式方程：①分母中含有未知数的方程叫分式方程。②使方程的分母为 0 的解称为原方程的增 根。 B、方程与不等式 1、方程与方程组 一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1，这样的方程叫一 元一次方程。②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为 0）一个代数式，所得结果仍 是等式。 解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为 1。 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程。 二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。 解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。 一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为 2 的方程 1）一元二次方程的二次函数的关系 大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示 等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特 殊情况，就是当 Y 的 0 的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来， 一元二次方程就是二次函数中，图象与 X 轴的交点。也就是该方程的解了 2）一元二次方程的解法 大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经 说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出 所有的一元一次方程的解 (1）配方法 利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解 (2)分解因式法 提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点， 把方程化为几个乘积的形式去解 (3)公式法 这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根 X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a， X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a 3）解一元二次方程的步骤： （1）配方法的步骤： 先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为 1，再同时加上 1 次项的系数的一半的 平方，最后配成完全平方公式 12-3 (2)分解因式法的步骤： 把方程右边化为 0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式 法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 (3)公式法 就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为 a，一次项的系数为 b，常数项 的系数为 c 4）韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a 也可以表示为 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在 题目中很常用 5）一元一次方程根的情况 利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“diao ta”，而 △=b2-4ac， 这里可以分为 3 种情况： I 当△>0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根； II 当△=0 时，一元二次方程有 2 个相同的实数根； III 当△<0 时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有 2 个虚数根） 2、不等式与不等式组 不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式， 不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等 式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。 不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等 式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。 一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1 的不等式 叫一元一次不等式。 一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次 不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等 式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 一元一次不等式的符号方向： 在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。 在不等式中，如果加上同一个数（或加上一个正数），不等式符号不改向；例如： A>B,A+C>B+C 在不等式中，如果减去同一个数（或加上一个负数），不等式符号不改向；例如：A>B，A-C>B-C 在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向；例如：A>B，A*C>B*C（C>0） 在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向；例如：A>B，A*C-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 某些数列前 n 项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角 B 是边 a 和边 c 的夹角 四、基本方法 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项 式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完 全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、 化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它 作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因 式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法 等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称 为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或 改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c 属于 R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根 的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、 三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数 12-11 等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些 有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数， 而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数 间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方 法之一。 6、构造法 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可 以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结 论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题， 可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 7、反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出 发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反 证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法 证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必 要的，例如：是、不是；存在、不存在；平行于、不平行于；垂直于、不垂直于；等于、不等 于；大(小)于、不大(小)于；都是、不都是；至少有一个、一个也没有；至少有 n 个、至多有(n 一 1)个；至多有一个、至少有两个；唯一、至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将 成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与 已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 8、面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于 计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计 算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知 各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之 间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也 很容易考虑到。 9、几何变换法 在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。 所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换 主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简， 化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的 研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。 几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。 10、客观性题的解题方法 选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型 构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容 量和知识覆盖面。 填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广， 评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答 案，可以防止学生猜估答案的情况。 要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选 择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。 （1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得 出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。 （2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案 代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题时，常用 12-12 此法。 （3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。 这种方法叫特殊元素法。 （4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不 正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。 （5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图 解法。图解法是解选择题常用方法之一。 （6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的 结果，称为分析法。 初中几何常见辅助线作法歌诀汇编[转] 人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。