湖北省十堰市郧西县2020-2021学年九年级（上）期末数学试卷 解析版 27页

2020-2021 学年湖北省十堰市郧西县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中，只 有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内。 1．下列事件是必然事件的是（ ） A．任意一个五边形的外角和等于 540° B．投掷一个均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数是 50 次 C．367 个同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日 D．正月十五雪打灯 2．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A．圆 B．菱形 C．矩形 D．等边三角形 3．要得到抛物线 y＝2（x﹣4）2﹣1，可以将抛物线 y＝2x2（ ） A．向左平移 4 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B．向左平移 4 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 C．向右平移 4 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 D．向右平移 4 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 4．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2 为半径的圆必定（ ） A．与 x 轴相离，与 y 轴相切 B．与 x 轴，y 轴都相离 C．与 x 轴相切，与 y 轴相离 D．与 x 轴，y 轴都相切 5．在如图的四个转盘中，C，D 转盘被分成 8 等份，若让转盘自由转动一次，停止后，指 针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ） A． B． C． D． 6．若双曲线 位于第二、四象限，则 k 的取值范围是（ ） A．k＜1 B．k≥1 C．k＞1 D．k≠1 7．如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（ ） A． ＝ B． ＝ C．AC2＝AD•AB D． ＝ 8．如图，在半径为 2，圆心角为 90°的扇形内，以 BC 为直径作半圆，交弦 AB 于点 D，连 接 CD，则阴影部分的面积为（ ） A． π ﹣1 B．2 π ﹣1 C． π ﹣1 D． π ﹣2 9．如图，点 A 在 ⊙ O 上，BC 为 ⊙ O 的直径，AB＝8，AC＝6，D 是 的中点，CD 与 AB 相交于点 P，则 CP 的长为（ ） A． B．3 C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝ x﹣1 分别交 x 轴，y 轴于点 A 和点 B，分别交 反比例函数 y1＝ （k＞0，x＞0），y2＝ （x＜0）的图象于点 C 和点 D，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，连结 OC，OD．若△COE 的面积是△DOB 的面积的 2 倍，则 k 的值是 （ ） A．6 B．12 C．2 D．4 二.填空题（每题 3 分，共 18 分.请直接将答案填写在答题卡中，不写过程） 11．某工程队为教学楼贴瓷砖，已知楼体外表面积为 5×103m2．所需的瓷砖块数 n 与每块 瓷砖的面积 S（单位：m2）的函数关系式为 ． 12．已知圆锥的底面半径为 3，母线长为 6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是 ． 13．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约 1400 年，历经无数次洪水冲击和 8 次地 震却安然无恙．如图，若桥跨度 AB 约为 40 米，主拱高 CD 约 10 米，则桥弧 AB 所在圆 的直径＝ 米． 14．已知实数满足 a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且 a≠b，则 + 的值是 ． 15．如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD＝2cm，DB＝1cm，BC＝12cm，则 DE＝ cm． 16．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A′B′C， M 是 BC 的中点，P 是 A′B′的中点，连接 PM，若 BC＝2，∠BAC＝30°，则线段 PM 的最大值是 ． 三.解答题（本题有 9 个小题，共 72 分） 17．解方程：x2﹣4x+1＝0． 18．如图所示，在边长为 1 的正方形网格中，△ABC 为格点三角形（即三角形的顶点都在 格点上），把△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°，在网格中画出旋转后的△AB1C1， 并求出点 C 经过的路径长． 19．某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有 2 个红球和 2 个黑球，这些球除 颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得 1 份奖品，若摸到黑球，则 没有奖品． （1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为 ； （2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得 2 份奖品的概率．（请用 “画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 20．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y＝ 经过▱ ABCD 的顶点 B，D．点 D 的坐 标为（2，1），点 A 在 y 轴上，且 AD∥x 轴，S▱ ABCD＝5． （1）填空：点 A 的坐标为 ； （2）求双曲线和 AB 所在直线的解析式． 21．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0． （1）求证：无论 a 取何值时，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程两根的平方和为 21，求 a 的值． 22．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以 BC 为直径的 ⊙ O 交 AB 于点 D，DE 交 AC 于点 E，且∠A＝∠ADE． （1）求证：DE 是 ⊙ O 的切线； （2）若 AD＝16，DE＝10，求 BC 的长． 23．某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间定价 120 元时，房间会全部住满，当每个 房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每 个房间每天支出 20 元的各种费用，设每个房间定价增加 10x 元（x 为整数）． （1）直接写出每天游客居住的房间数量 y 与 x 的函数关系式． （2）设宾馆每天的利润为 W 元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大， 最大利润是多少？ （3）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息： ① 当日所获利润不低于 5000 元， ② 宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过 600 元， ③ 每个房间刚好住满 2 人．问： 这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？ 24．在等腰△ABC 中，∠BAC＝90°，作∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，∠MDN＝135°， 将∠MDN 绕点 D 旋转，使∠MDN 的两边交直线 BA 于点 E，交直线 BC 于点 F． （1）当∠MDN 绕点 D 旋转到如图 ① 的位置时，请直接写出三条线段 AE，CF，AD 的数 量关系； （2）当∠MDN 绕点 D 旋转到如图 ② 的位置时，（1）中结论是否成立，若成立，请证 明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由； （3）若 BC＝2+ ，当∠CDF＝15°时，请直接写出线段 CF 的长度． 25．如图，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于 A（3，0），B（﹣1，0）两点， 与 y 轴相交于点 C（0，﹣3） （1）求该二次函数的解析式； （2）设 E 是 y 轴右侧抛物线上异于点 A 的一个动点，过点 E 作 x 轴的平行线交抛物线于 另一点 F，过点 F 作 FG 垂直于 x 轴于点 G，再过点 E 作 EH 垂直于 x 轴于点 H，得到矩 形 EFGH，则在点 E 的运动过程中，当矩形 EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长； （3）设 P 点是 x 轴下方的抛物线上的一个动点，连接 PA、PC，求△PAC 面积的取值范 围，若△PAC 面积为整数时，这样的△PAC 有几个？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．下列事件是必然事件的是（ ） A．任意一个五边形的外角和等于 540° B．投掷一个均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数是 50 次 C．367 个同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日 D．正月十五雪打灯 【分析】直接利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义分析得出答案． 【解答】解：A、任意一个五边形的外角和等于 540°，是不可能事件，故此选项不合题 意； B、投掷一个均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数是 50 次，是随机事件，故此选项不合 题意； C、367 个同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日，是必然事件， 故此选项符合题意； D、正月十五雪打灯，是随机事件，故此选项不合题意． 故选：C． 2．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A．圆 B．菱形 C．矩形 D．等边三角形 【分析】根据中心对称图形的概念和各图的性质求解． 【解答】解：A、B、C 中，既是轴对称图形，又是中心对称图形； D、只是轴对称图形． 故选：D． 3．要得到抛物线 y＝2（x﹣4）2﹣1，可以将抛物线 y＝2x2（ ） A．向左平移 4 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B．向左平移 4 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 C．向右平移 4 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 D．向右平移 4 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 【解答】解：∵y＝2（x﹣4）2﹣1 的顶点坐标为（4，﹣1），y＝2x2 的顶点坐标为（0， 0）， ∴将抛物线 y＝2x2 向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位，可得到抛物线 y＝2（x﹣4） 2﹣1． 故选：D． 4．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2 为半径的圆必定（ ） A．与 x 轴相离，与 y 轴相切 B．与 x 轴，y 轴都相离 C．与 x 轴相切，与 y 轴相离 D．与 x 轴，y 轴都相切 【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径的相离，等于半径的相切． 【解答】解：∵是以点（2，3）为圆心，2 为半径的圆， 如图所示： ∴这个圆与 y 轴相切，与 x 轴相离． 故选：A． 5．在如图的四个转盘中，C，D 转盘被分成 8 等份，若让转盘自由转动一次，停止后，指 针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ） A． B． C． D． 【分析】分别求出阴影部分面积占整个圆面积的百分比，比较即可． 【解答】解：让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率分别是 ， ， ， ， 则指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是 A． 故选：A． 6．若双曲线 位于第二、四象限，则 k 的取值范围是（ ） A．k＜1 B．k≥1 C．k＞1 D．k≠1 【分析】由反比例函数图象的位置在第二、四象限，可以得出 k﹣1＜0，然后解这个不等 式就可以求出 k 的取值范围． 【解答】解：∵双曲线 位于第二、四象限， ∴k﹣1＜0， ∴k＜1． 故选：A． 7．如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（ ） A． ＝ B． ＝ C．AC2＝AD•AB D． ＝ 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解． 【解答】解：∵△ABC∽△ACD， ∴ ＝ ， ＝ ， ， ∴AC2＝AD•AB， ∴A、B、C 成立，不符合题意； D 错误，符合题意， 故选：D． 8．如图，在半径为 2，圆心角为 90°的扇形内，以 BC 为直径作半圆，交弦 AB 于点 D，连 接 CD，则阴影部分的面积为（ ） A． π ﹣1 B．2 π ﹣1 C． π ﹣1 D． π ﹣2 【分析】已知 BC 为直径，则∠CDB＝90°，在等腰直角三角形 ABC 中，CD 垂直平分 AB，CD＝DB，D 为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形 ACB 的面积与△ADC 的面积之差． 【解答】解：在 Rt△ACB 中，AB＝ ＝2 ， ∵BC 是半圆的直径， ∴∠CDB＝90°， 在等腰 Rt△ACB 中，CD 垂直平分 AB，CD＝BD＝ ， ∴D 为半圆的中点， S 阴影部分＝S 扇形 ACB﹣S△ADC＝ π ×22﹣ ×（ ）2＝ π ﹣1． 故选：A． 9．如图，点 A 在 ⊙ O 上，BC 为 ⊙ O 的直径，AB＝8，AC＝6，D 是 的中点，CD 与 AB 相交于点 P，则 CP 的长为（ ） A． B．3 C． D． 【分析】如图，过点 P 作 PH⊥BC 于 H．首先证明 AP＝PH，设 PA＝PH＝x，根据勾股 定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：如图，过点 P 作 PH⊥BC 于 H． ∵ ＝ ， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵BC 是直径， ∴∠BAC＝90°， ∴PA⊥AC， ∵PH⊥BC， ∴PA＝PH， 在 Rt△PCA 和 Rt△PCH 中， ， ∴Rt△PCA≌Rt△PCH（HL）， ∴AC＝CH＝6， ∵BC＝ ＝ ＝10， ∴BH＝4， 设 PA＝PH＝x，则 PB＝8﹣x， 在 Rt△PBH 中，∵PB2＝PH2+BH2， ∴（8﹣x）2＝x2+42， 解得 x＝3， ∴PA＝3， ∴CP＝ ＝ ＝3 ， 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝ x﹣1 分别交 x 轴，y 轴于点 A 和点 B，分别交 反比例函数 y1＝ （k＞0，x＞0），y2＝ （x＜0）的图象于点 C 和点 D，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，连结 OC，OD．若△COE 的面积是△DOB 的面积的 2 倍，则 k 的值是 （ ） A．6 B．12 C．2 D．4 【分析】求出直线 y＝ x﹣1 与 y 轴的交点 B 的坐标和直线 y＝ x﹣1 与 y2＝ （x＜0） 的交点 D 的坐标，再由△COE 的面积与△DOB 的面积相等，列出 k 的方程，便可求得 k 的值． 【解答】解：令 x＝0，得 y＝ x﹣1＝﹣1， ∴B（0，﹣1）， ∴OB＝1， 把 y＝ x﹣1 代入 y2＝ （x＜0）得， x﹣1＝ （x＜0）， 解得，x＝1﹣ ， ∴xD＝1﹣ ， ∴S△OBD＝ OB•|xD|＝ ﹣ ， ∵CE⊥x 轴， ∴S△OCE＝ ， ∵△COE 的面积与△DOB 的面积相等， ∴ ﹣ ＝ k， ∴k＝2，或 k＝0（舍去）． 经检验，k＝2 是原方程的解． 故选：C． 二．填空题（共 6 小题） 11．某工程队为教学楼贴瓷砖，已知楼体外表面积为 5×103m2．所需的瓷砖块数 n 与每块 瓷砖的面积 S（单位：m2）的函数关系式为 n＝ ． 【分析】根据“总面积除以每块瓷砖的面积等于瓷砖的块数”可得出关系式． 【解答】解：由总面积除以每块瓷砖的面积等于瓷砖的块数可得， n＝ ＝ ， 故答案为：n＝ ． 12．已知圆锥的底面半径为 3，母线长为 6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是 180° ． 【分析】易得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥 侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：∵圆锥底面半径是 3， ∴圆锥的底面周长为 6 π ， 设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为 n°， ＝6 π ， 解得 n＝180． 故答案为 180°． 13．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约 1400 年，历经无数次洪水冲击和 8 次地 震却安然无恙．如图，若桥跨度 AB 约为 40 米，主拱高 CD 约 10 米，则桥弧 AB 所在圆 的直径＝ 50 米． 【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【解答】解：根据垂径定理，得 AD＝ AB＝20 米． 设圆的半径是 R，根据勾股定理， 得 R2＝202+（R﹣10）2， 解得 R＝25（米）， ∴ ⊙ O 的直径为 50 米． 故答案为 50． 14．已知实数满足 a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且 a≠b，则 + 的值是 7 ． 【分析】根据题意可知 a、b 是一元二次方程 x2﹣6x+4＝0 的两个不相等的实数根，由根 与系数的关系可得 a+b＝6，ab＝4，再将 + 变形为 ，代入计算即可． 【解答】解：∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且 a≠b， ∴a、b 是一元二次方程 x2﹣6x+4＝0 的两个不相等的实数根， ∴a+b＝6，ab＝4， ∴ + ＝ ＝ ＝7． 故答案为 7． 15．如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD＝2cm，DB＝1cm，BC＝12cm，则 DE＝ 8 cm． 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ， ∵AD＝2cm，DB＝1cm，BC＝12cm， ∴ ， ∴DE＝8（cm）， 故答案为：8． 16．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A′B′C， M 是 BC 的中点，P 是 A′B′的中点，连接 PM，若 BC＝2，∠BAC＝30°，则线段 PM 的最大值是 3 ． 【分析】连接 PC．首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出 PC＝2，然后再依据三角 形的三边关系可得到 PM≤PC+CM，故此可得到 PM 的最大值为 PC+CM ． 【解答】解：如图连接 PC． 在 Rt△ABC 中，∵∠A＝30°，BC＝2， ∴AB＝4， 根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4， ∴A′P＝PB′， ∴PC＝ A′B′＝2， ∵CM＝BM＝1， 又∵PM≤PC+CM，即 PM≤3， ∴PM 的最大值为 3（此时 P、C、M 共线）． 故答案为：3． 三．解答题 17．解方程：x2﹣4x+1＝0． 【分析】根据配方法可以解答此方程． 【解答】解：x2﹣4x+1＝0 x2﹣4x+4＝3 （x﹣2）2＝3 x﹣2＝ ∴x1＝2+ ，x2＝2﹣ ； 18．如图所示，在边长为 1 的正方形网格中，△ABC 为格点三角形（即三角形的顶点都在 格点上），把△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°，在网格中画出旋转后的△AB1C1， 并求出点 C 经过的路径长． 【分析】利用网格特点和旋转的性质画出 B、C 的对应点 B1、C1，从而得到△AB1C1，接 着利用勾股定理计算出 AC，然后根据弧长公式计算点 C 经过的路径长． 【解答】解：如图，△AB1C1 即为所作， AC＝ ＝5， 点 C 经过的路径长＝ ＝ π ． 19．某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有 2 个红球和 2 个黑球，这些球除 颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得 1 份奖品，若摸到黑球，则 没有奖品． （1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为 ； （2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得 2 份奖品的概率．（请用 “画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【分析】（1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出两次摸出的球是红球的结果数，然 后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）从布袋中任意摸出 1 个球，摸出是红球的概率＝ ＝ ； 故答案为： ； （2）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为 2， 所以两次摸到红球的概率＝ ＝ ． 20．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y＝ 经过▱ ABCD 的顶点 B，D．点 D 的坐 标为（2，1），点 A 在 y 轴上，且 AD∥x 轴，S▱ ABCD＝5． （1）填空：点 A 的坐标为 （0，1） ； （2）求双曲线和 AB 所在直线的解析式． 【分析】（1）由 D 的坐标以及点 A 在 y 轴上，且 AD∥x 轴即可求得； （2）由平行四边形的面积求得 AE 的长，即可求得 OE 的长，得到 B 的纵坐标，代入反 比例函数得解析式求得 B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得 AB 所在直线的解析式． 【解答】解：（1）∵点 D 的坐标为（2，1），点 A 在 y 轴上，且 AD∥x 轴， ∴A（0，1）； 故答案为（0，1）； （2）∵双曲线 y＝ 经过点 D（2，1）， ∴k＝2×1＝2， ∴双曲线为 y＝ ， ∵D（2，1），AD∥x 轴， ∴AD＝2， ∵S▱ ABCD＝5， ∴AE＝ ， ∴OE＝ ， ∴B 点纵坐标为﹣ ， 把 y＝﹣ 代入 y＝ 得，﹣ ＝ ，解得 x＝﹣ ， ∴B（﹣ ，﹣ ）， 设直线 AB 的解析式为 y＝ax+b， 代入 A（0，1），B（﹣ ，﹣ ）得： ， 解得 ， ∴AB 所在直线的解析式为 y＝ x+1． 21．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0． （1）求证：无论 a 取何值时，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程两根的平方和为 21，求 a 的值． 【分析】（1）计算方程的判别式，判断其符号即可； （2）利用根与系数的关系，用 a 分别表示出两根和与两根积，结合条件可得到关于 a 的 方程，则可求得 a 的值． 【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣a）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0， ∴无论 a 取何值时，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根分别为 m、n， ∴m+n＝a﹣3，mn＝﹣a， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（a﹣3）2+2a， 由题意可得（a﹣3）2+2a＝6， 解得 a＝1 或 a＝3． 22．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以 BC 为直径的 ⊙ O 交 AB 于点 D，DE 交 AC 于点 E，且∠A＝∠ADE． （1）求证：DE 是 ⊙ O 的切线； （2）若 AD＝16，DE＝10，求 BC 的长． 【分析】（1）先连接 OD，根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，根据直角三角形斜边上 中线性质求出 DE＝BE，推出∠EDB＝∠EBD，∠ODB＝∠OBD，即可求出∠ODE＝90°， 根据切线的判定推出即可． （2）首先证明 AC＝2DE＝20，在 Rt△ADC 中，DC＝12，设 BD＝x，在 Rt△BDC 中， BC2＝x2+122，在 Rt△ABC 中，BC2＝（x+16）2﹣202，可得 x2+122＝（x+16）2﹣202， 解方程即可解决问题；． 【解答】（1）证明：连结 OD，∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， 又∵OD＝OB， ∴∠B＝∠BDO， ∵∠ADE＝∠A， ∴∠ADE+∠BDO＝90°， ∴∠ODE＝90°． ∴DE 是 ⊙ O 的切线； （2）连结 CD，∵∠ADE＝∠A， ∴AE＝DE． ∵BC 是 ⊙ O 的直径，∠ACB＝90°． ∴EC 是 ⊙ O 的切线． ∴DE＝EC． ∴AE＝EC， 又∵DE＝10， ∴AC＝2DE＝20， 在 Rt△ADC 中，DC＝ 设 BD＝x，在 Rt△BDC 中，BC2＝x2+122， 在 Rt△ABC 中，BC2＝（x+16）2﹣202， ∴x2+122＝（x+16）2﹣202，解得 x＝9， ∴BC＝ ． 23．某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间定价 120 元时，房间会全部住满，当每个 房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每 个房间每天支出 20 元的各种费用，设每个房间定价增加 10x 元（x 为整数）． （1）直接写出每天游客居住的房间数量 y 与 x 的函数关系式． （2）设宾馆每天的利润为 W 元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大， 最大利润是多少？ （3）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息： ① 当日所获利润不低于 5000 元， ② 宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过 600 元， ③ 每个房间刚好住满 2 人．问： 这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？ 【分析】（1）根据每天游客居住的房间数量等于 50﹣减少的房间数即可解决问题． （2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题． （3）根据条件列出不等式组即可解决问题． 【解答】解：（1）根据题意，得：y＝50﹣x，（0≤x≤50，且 x 为整数）； （2）W＝（120+10x﹣20）（50﹣x） ＝﹣10x2+400x+5000 ＝﹣10（x﹣20）2+9000， ∵a＝﹣10＜0 ∴当 x＝20 时，W 取得最大值，W 最大值＝9000 元， 答：当每间房价定价为 320 元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是 9000 元； （3）由 解得 20≤x≤40 ∵房间数 y＝50﹣x， 又∵﹣1＜0， ∴当 x＝40 时，y 的值最小，这天宾馆入住的游客人数最少， 最少人数为 2y＝2（﹣x+50）＝20（人）． 24．在等腰△ABC 中，∠BAC＝90°，作∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，∠MDN＝135°， 将∠MDN 绕点 D 旋转，使∠MDN 的两边交直线 BA 于点 E，交直线 BC 于点 F． （1）当∠MDN 绕点 D 旋转到如图 ① 的位置时，请直接写出三条线段 AE，CF，AD 的数 量关系； （2）当∠MDN 绕点 D 旋转到如图 ② 的位置时，（1）中结论是否成立，若成立，请证 明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由； （3）若 BC＝2+ ，当∠CDF＝15°时，请直接写出线段 CF 的长度． 【分析】（1）结论：AE+CF＝AD．如图 1 中，作 DH⊥BC 于 H．证明△DAE≌△DHF （ASA），即可解决问题． （2）结论不成立．应为 CF﹣AE＝AD．如图 ② 中，作 DG⊥BC 于点 G，证明△DAE≌ E△DGF（ASA），即可解决问题． （3）分两种情形分别求解： ① 如图 ③ ﹣1 中，作 DH⊥BC 于 H．求出 AD＝DH＝CH＝ 1，利用（1）中结论即可解决问题． ② 如图 ③ ﹣2 中，当∠CDF＝15°时，作 DH⊥BC 于 H，求出 FH＝即可解决问题． 【解答】解：（1）结论：AE+CF＝AD． 理由：如图 1 中，作 DH⊥BC 于 H． ∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠ABC＝∠C＝45°， ∵∠A＝∠DHB＝90°， ∴∠ADH＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°， ∵∠EDF＝135°， ∴∠ADH＝∠EDF， ∴∠ADE＝∠HDF， ∵BD 平分∠ABC，DA⊥AB，DH⊥BC， ∴DA＝DH， ∴△DAE≌△DHF（ASA）， ∴AE＝HF， ∵∠C＝∠HDC＝45°， ∴DH＝CH＝AD， ∴AE+CF＝HF+CF＝CH＝AD． （2）不成立应为 CF﹣AE＝AD． 理由如下：如图 ② 中，作 DG⊥BC 于点 G， ∵∠BAC＝90°， ∴DA⊥BA， ∵AC 平分∠ABC， ∴DA＝DG， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ADG＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°， ∵∠MDN＝135°， ∴∠ADE＝∠GDF＝135°﹣∠ADF， 又∵∠DAE＝∠DGF＝90°， ∴△DAE≌E△DGF（ASA）， ∴AE＝FG， ∵∠DCG＝45°∠DGC＝90°， ∴∠DCG＝∠GDC＝45°， ∴GC＝DG＝AD， ∵FC﹣FG＝GC， ③ ∴FC﹣AE＝AD． （3） ① 如图 ③ ﹣1 中，作 DH⊥BC 于 H． 由（1）可知：DA＝DH＝CH，设 DA＝DH＝HC＝a，则 CD＝ a，AB＝AC＝BH＝a+ a， ∴2a+ a＝2+ ， ∴a＝1， ∴AD＝1， ∵∠CDF＝15°， ∴∠ADE＝180°﹣135°﹣15°＝30°， ∴AE＝ ， ∵AE+CF＝AD， ∴CF＝1﹣ ② 如图 ③ ﹣2 中，当∠CDF＝15°时，作 DH⊥BC 于 H， ∵AD＝DH═CH＝1，∠CFD＝30°， ∴FH＝ DH＝ ， ∴CF＝FH﹣CH＝ ﹣1 综上所述，满足条件的 CF 的值为 或 ． 25．如图，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于 A（3，0），B（﹣1，0）两点， 与 y 轴相交于点 C（0，﹣3） （1）求该二次函数的解析式； （2）设 E 是 y 轴右侧抛物线上异于点 A 的一个动点，过点 E 作 x 轴的平行线交抛物线于 另一点 F，过点 F 作 FG 垂直于 x 轴于点 G，再过点 E 作 EH 垂直于 x 轴于点 H，得到矩 形 EFGH，则在点 E 的运动过程中，当矩形 EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长； （3）设 P 点是 x 轴下方的抛物线上的一个动点，连接 PA、PC，求△PAC 面积的取值范 围，若△PAC 面积为整数时，这样的△PAC 有几个？ 【分析】（1）设交点式为 y＝a（x+1）（x﹣3），然后把 C 点坐标代入求出 a 即可； （2）设 E（t，t2﹣2t﹣3），讨论：当 0＜t＜1 时，如图 1，EF＝2（1﹣t），EH＝﹣（t2 ﹣2t﹣3），利用正方形的性质得 2（1﹣t）＝﹣（t2﹣2t﹣3）；当 1＜t＜3 时，如图 2， 利用正方形的性质得 2（t﹣1）＝﹣（t2﹣2t﹣3），当 t＞3 时，2（t﹣1）＝t2﹣2t﹣3， 然后分别解方程得到满足条件的 t 的值，再计算出对应的正方形的边长； （3）设 P（x，x2﹣2x﹣3），讨论：当﹣1＜x＜0 时，由于 S△ABC＝6，则 0＜S△APC＜6， △PAC 面积为整数时，它的值为 1、2、3、4、5，此时△PAC 有 5 个；当 0＜x＜3 时， 作 PM∥y 轴交 AC 于点 M，如图 3，求出直线 AC 的解析式为 y＝x﹣3，则 M（x，x﹣3）， 利用三角形面积公式得 S△APC＝ •3•（﹣x2+3x），利用二次函数的性质得 0＜S△APC＜ ， 于是得到△PAC 面积为整数时，它的值为 1、2、3，利用对称得到此时△PAC 有 6 个． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y＝a（x+1）（x﹣3）， 把 C（0，﹣3）代入得﹣3a＝﹣3，解得 a＝1， 所以抛物线解析式为 y＝（x+1）（x﹣3）， 即 y＝x2﹣2x﹣3； （2）抛物线的对称轴为直线 x＝1， 设 E（t，t2﹣2t﹣3）， 当 0＜t＜1 时，如图 1，EF＝2（1﹣t），EH＝﹣（t2﹣2t﹣3）， ∵矩形 EFGH 为正方形， ∴EF＝EH，即 2（1﹣t）＝﹣（t2﹣2t﹣3）， 整理得 t2﹣4t﹣1＝0，解得 t1＝2+ （舍去），t2＝2﹣ （舍去）； 当 1＜t＜3 时，如图 2，EF＝2（t﹣1），EH＝﹣（t2﹣2t﹣3）， ∵矩形 EFGH 为正方形， ∴EF＝EH，即 2（t﹣1）＝﹣（t2﹣2t﹣3）， 整理得 t2﹣5＝0，解得 t1＝ ，t2＝﹣ （舍去）， 此时正方形 EFGH 的边长为 2 ﹣2； 当 t＞3 时，EF＝2（t﹣1），EH＝t2﹣2t﹣3， ∵矩形 EFGH 为正方形， ∴EF＝EH，即 2（t﹣1）＝t2﹣2t﹣3， 整理得 t2﹣4t﹣1＝0，解得 t1＝2+ ，t2＝2﹣ （舍去）， 此时正方形 EFGH 的边长为 2 +2， 综上所述，正方形 EFGH 的边长为 2 ﹣2 或 2 +2； （3）设 P（x，x2﹣2x﹣3）， 当﹣1＜x＜0 时， ∵S△ABC＝ ×4×3＝6， ∴0＜S△APC＜6， ∴△PAC 面积为整数时，它的值为 1、2、3、4、5，此时△PAC 有 5 个； 当 0＜x＜3 时，作 PM∥y 轴交 AC 于点 M，如图 3， 易得直线 AC 的解析式为 y＝x﹣3，则 M（x，x﹣3）， ∴PM＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x， ∴S△APC＝ •3•（﹣x2+3x） ＝﹣ x2+ x ＝﹣ （x﹣ ）2+ ， 当 x＝ 时，S△APC 的面积的最大值为 ，即 0＜S△APC＜ ， ∴△PAC 面积为整数时，它的值为 1、2、3，此时△PAC 有 6 个 综上所述，△PAC 有 11 个．