2020九年级数学下册 二次函数的图象与性质 5页

‎27.2 与圆有关的位置关系 ‎1．点与圆的位置关系 知|识|目|标 ‎1．通过作图，探究出平面内点与圆的三种位置关系，会判断点与圆的位置关系．‎ ‎2．通过过一个点、两个点、三个点作圆，思考归纳确定一个圆的条件，理解三角形的内接圆的有关概念和性质，并会确定内心和内接圆的半径．‎ 目标一　会判断点与圆的位置关系 例1 教材补充例题 如图27－2－1所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，M为AB的中点．‎ ‎(1)若以点C为圆心，2为半径作⊙C，则点A，B，M与⊙C的位置关系如何？‎ ‎(2)若以点C为圆心作⊙C，使A，B，M三点中至少有一点在⊙C内且至少有一点在⊙C外，则⊙C的半径r的取值范围是多少？‎ 图27－2－1‎ 5‎ ‎【归纳总结】判断点与圆的位置关系的“三个步骤”：‎ ‎(1)连结该点与圆心；‎ ‎(2)计算该点与圆心之间的距离d；‎ ‎(3)依据圆的半径r与d的大小关系，得出结论．‎ 目标二　掌握三角形外接圆的作法和性质 例2 高频考题 小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，如图27－2－2，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．‎ ‎(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；‎ ‎(2)若在△ABC中，AB＝‎8米，AC＝‎6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．‎ 图27－2－2‎ ‎【归纳总结】确定圆心的“两种方法”：‎ ‎(1)作两条弦的垂直平分线，它们的交点就是圆心．‎ ‎(2)根据90°的圆周角所对的弦是圆的直径，利用三角尺找出圆的两条直径，它们的交点就是圆心．‎ 例3 高频考题 下列结论正确的是(　　)‎ ‎①三角形有且只有一个外接圆；②圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心是各边垂直平分线的交点；④三角形的外心到三角形三边的距离相等．‎ A. ①②③④ B. ②③④‎ C. ①③ D. ①②④‎ 5‎ ‎【归纳总结】外心的性质：‎ ‎(1)一个三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，它是这个三角形三条边垂直平分线的交点，它到这个三角形三个顶点的距离相等．‎ ‎(2)一个三角形只有一个外接圆，也只有一个外心，而一个圆有无数个内接三角形．‎ 知识点一　点与圆的位置关系 点在圆外，则这个点到圆心的距离______半径；‎ 点在圆上，则这个点到圆心的距离______半径；‎ 点在圆内，则这个点到圆心的距离______半径．‎ ‎[明确] (1)列表表示点与圆的位置关系：‎ 点与圆的位置关系 图形 数量(点到圆心的距离d与圆的半径r)的大小关系 点在圆内 d＝OA＜r 点在圆上 d＝OB＝r 点在圆外 d＝OC＞r ‎(2)圆心是圆内的一个特殊点，它到圆上各点的距离都相等．‎ 知识点二　探索确定圆的条件 经过一点可以画________个圆．‎ 经过两点可以画________个圆，这些圆的圆心都在两点所确定的线段的垂直平分线上．‎ 不在同一条直线上的三个点确定________个圆，圆心为以这三个点为顶点的三角形的三边的垂直平分线的交点．‎ 知识点三　三角形的外接圆、外心等概念 经过三角形三个顶点的圆就是这个三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．‎ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，任何三角形有且只有一个外接圆，但一个圆可以有无数个内接三角形．‎ ‎[拓展] 三角形的外心在三角形的内部⇔三角形为锐角三角形；‎ 三角形的外心在三角形的一边上⇔三角形为直角三角形；‎ 三角形的外心在三角形的外部⇔三角形为钝角三角形．‎ 学习本节后在反思环节，有几名同学的发言如下，你觉得他们说的正确吗？‎ 甲：直角三角形的外心是斜边的中点；‎ 乙：锐角三角形的外心在三角形的内部；‎ 5‎ 丙：钝角三角形的外心在三角形的外部 ; ‎ 丁：过三点可以确定一个圆．‎ 5‎ 教师详解详析 ‎【目标突破】‎ 例1　[解析] (1)连结MC.要判断点A，B，M与⊙C的位置关系，只需比较AC，BC，MC的长度与⊙C的半径的大小关系即可．(2)由AC，BC，MC的长度即可确定半径r的取值范围．‎ 解：(1)∵AC＝2，⊙C的半径为2，‎ ‎∴点A在⊙C上．‎ ‎∵BC＝3＞2，∴点B在⊙C外．‎ 连结MC.在Rt△ABC中，AB＝＝＝.‎ 又∵M为AB的中点，‎ ‎∴MC＝AB＝＜2，‎ ‎∴点M在⊙C内．‎ ‎(2)∵AC＝2，BC＝3，MC＝，‎ ‎∴BC＞AC＞MC，∴要使A，B，M三点中至少有一点在⊙C内且至少有一点在⊙C外，则⊙C的半径r的取值范围是＜r＜3.‎ 例2　[解析] (1)用尺规作出两条直角边的垂直平分线，找到交点O即为圆心．以O为圆心，OA长为半径作出⊙O即为所求作的花坛的位置. ‎ ‎(2)根据90°的圆周角所对的弦是直径，计算出圆形花坛的面积．‎ 解： (1)如图，⊙O即为所求．‎ ‎(2)∵∠BAC＝90°，AB＝‎8米，AC＝‎6米，‎ ‎∴BC＝10米，且BC为⊙O的直径，‎ ‎∴△ABC外接圆的半径为5米，‎ ‎∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．‎ 例3　[解析] C　①正确；圆有无数个内接三角形，所以②错误；由三角形外接圆的作法可知外心是三角形三边垂直平分线的交点，③正确；等边三角形的外心到三角形三边的距离相等，其他三角形的外心到三角形三边的距离不相等，④错误．‎ ‎【总结反思】‎ ‎[小结] 知识点一　大于　等于　小于 知识点二　无数　无数　一 ‎[反思] 甲、乙、丙三名同学的说法都正确，丁的说法不正确，当三点在同一条直线上时，过这三点不能作圆．‎ 5‎