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- 2021-11-10 发布
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例 如图,已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=6cm,EB=2cm,∠BED=30°,求CD的长.
分析 要充分利用条件∠BED=30°,构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形,通过解直角三角形求得未知量.
解 过O作OF⊥CD于F,连结CO,
∵AE=6cm,EB=2cm, ∴AB=8cm
∴OA=AB=4cm,OE=AE-AO=2cm,
在Rt△OEB中,∵∠CEA=∠BED=30°,
∴OF=OE=1cm.
在Rt△CFO中,OF =1cm,OC=OA=4cm,
∴CF= cm.
又∵OF⊥CD.∴ CD=2CF=2cm.
答:CD的长为2cm.
说明:此题是利用垂径定理的计算问题.在求有关弦心距、弦长和半径等问题时,常常利用弦心距和半径构成直角三角形求解;另外此题若直接利用以后的“相交弦定理”来解,较为困难.
例 已知:△ABC内接于⊙O,AB=AC,半径OB=5cm,圆心O到BC的距离为3cm,求AB的长.
图①
分析:①此题没有图形,在解题时应考虑到满足条件的图形,此题有两种情况;②利用条件构造垂径定理的基本图形解题.
解:分两种情况:
(1)如图①,过A作AD⊥BC于D,
又∵AB=AC,∴点O在AD上,∴OD=3cm.连结OB,
在Rt△ODB中,OB==5cm,OD=3cm,由勾股定理,得
,∴
图②
在Rt△ADB中, AD=AO+OD=5+3=8cm,由勾股定理,得
,∴(cm)
(2)如图②,同理可得:
AB=(cm).
说明:①此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形——分析图形——数形结合——解决问题;②作辅助线的能力.
例 在直径为50cm的⊙O中,弦AB=40cm,弦CD=48cm,且AB∥CD,求:AB与CD之间的距离.
分析:此题没有图形,在解题时应考虑到满足条件的两弦可能在圆心的同侧,也可能在在圆心的两侧,即有两解.
解:(略,8cm,22cm)
说明:此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形——分析图形——数形结合——解决问题.
例 已知:如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E ,BF⊥CD于F .求证: CE=DF ;OE=OF
分析:本题的关键是作OH⊥CD,构造垂径定理的基本图形解题,另外还用到平行线等分线段定理等.
证明:(一)过O作OH⊥CD于H,
∵AE⊥CD,BF⊥CD ∴AE∥OH∥BF
∵AO = BO ∴EH = HF
∵OH⊥CD且O为圆心 ∴CH = HD
∴CH-EH = HD-HF 即 CE = DF
∵EH = HF ,OH⊥EF ∴ OH是EF的中垂线
∴ OE = OF .
证明(二)延长EO交BF于G,用三角形全等和直角三角形斜边中线证明OE = OF.
说明:(1)此题展示构造垂径定理的基本图形解题的基本方法;(2)让几何动起来.引申:让弦CD动起来,与直径AB不相交,让学生在运动中观察、发现问题,培养学生的探究能力.
例 如图,F是以O为圆心,BC为直径的半圆上任意一点,A是的中点,AD⊥BC于D,求证:AD=BF.
分析:(方法一)由于A是的中点,连结OA可构造垂径定理的基本图形,BE=BF,△ADO≌△BEO,得AD=BE=BF.
(方法二)如图,补圆,延长AD交⊙O于E,造垂径定理的基本图形,问题即可解决.
证明:(略)
说明:此题是垂径定理的应用为过程,培养学生的发散思维.
典型例题六
例 如图,在两个同心圆中,大圆的弦AB,交小圆于C、D两点,设大圆和小圆的半径分别为.求证:.
证明:作,垂足为E,连,则.
在Rt中,.
在Rt中,.
即
.
由垂径定理,得
说明:本题主要运用勾股定理和垂径定理证题,垂径定理是圆中很重要的性质,垂径定理包含两个条件和三个结论,即
条件
结论
在(1)、(2)、(3)、(4)、(5)中,任意两个成立,都可以推出另外三个都成立,这就是垂径定理的推论.
典型例题七
例 已知:在⊙中,弦,点到的距离等于的一半,求:的度数和圆的半径.
分析:本例的关键在于正确理解什么是点到的距离.
解 作,垂足为,则的长为点到的距离,如图.
由垂径定理知:
、为等腰直角三角形.
由是等腰直角三角形.
即 ⊙的半径为.
说明:作出弦的弦心距,构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键.
典型例题八
例 如图,已知在⊙中,弦,且,垂足为,于,于.
(1)求证:四边形是正方形.
(2)若,,求圆心到弦和的距离.
分析:由条件易知四边形是矩形,连结,,利用勾股定理计算或证三角形全等,可得.
证明(1)于,于,于
四边形为矩形.
连结、,则.
在⊙中,由垂径定理知,,
,又.
≌..
四边形为正方形.
(2)
又
(由垂径定理)
又
圆心到弦和弦的距离都等于3.
说明:本例(1)证明,还可以利用勾股定理计算,,,
典型例题九
已知:如图,以为圆心,,弓形高厘米,矩形的两顶点、在弦上,、在上,且,求的长.
解 连结、.
,
为等边三角形.
厘米,
厘米
设,则.厘米.在中,由得:.
解得:(舍去)
的长为厘米.
说明:借助几何图形的性质,找出等量关系,列出方程求解,这是解决几何计算题的常用方法.
典型例题十
例 (天津市,1993)已知:如图,是⊙的直径,是弦,,于.求证:.
证明:过作于.
∵ ∴ ∥∥.
又∵ ∴
∵ 是圆心,,∴ .
∴ 即 .
说明:本题考查垂径定理的应用,解题关键是正确作出辅助线,易错点是忽视证.
典型例题十一
例 如图,过⊙O的直径AB上两点M、N,分别作弦CD、EF,若.求证:(1);(2).
分析:因为,由圆的对称性可知,又因为,所以,所以可证得.
证明:(1)∵,∴.
又∵,∴.
∵AB为⊙O的直径,故.从而得.
(2)连结AD、BE.由(1)得.
故.又,得.
而,∴.
∴.
典型例题十二
例 已知:⊙O的半径,弦AB、AC的长分别是、.求的度数.
解:如图所示,作,则.
∵,在Rt中,
在Rt中,
当AC、AB位于OA两侧时,有;
当AC、AB位于OA同侧时,有.
说明:有关弦长,弦心距的问题,往往需要作垂直于弦的直径(半径或弦心距),利用垂径定理平分弦以及半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的.
典型例题十三
例 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大深度为16cm,那么油面宽度AB是________cm.
分析:因为已知圆柱的半径和油的最大深度,可以求出长,即可求得油面宽度.
解:连结OB,过O作于D,交⊙O于C.
依题意,得.在Rt中,,
∴.
由垂径定理得 .故应填48.
说明:本题主要考查垂径定理.易错点是忘记油面宽度是的2倍.
选择题
1、下列命题中,正确的是( )
(A) 平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对应的弧;
(B) 圆是轴对称图形,对称轴是圆的每一条直径;
(C) 平分一条弧的直径垂直平分这条弧所对应的弦;
(D) 在⊙O中,AB,CD是弦,=,则AB∥CD.
2.下列命题中错误的有()
(1)弦的垂直平分线经过圆心(2)平分弦的直径垂直于弦
(3)梯形的对角线互相平分(4)圆的对称轴是直径
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下面四个命题中正确的一个是()
A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心
D.在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
4.下列命题中,正确的是( ).
A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B.过弦的中点的直线必过圆心
C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心
D.弦的垂线平分弦所对的弧
5、如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则OM的长的取值范围是( )
(A) (B)
(C) (D)
6.如图,如果为⊙直径,弦,垂足为,那么下列结论中错误的是()
A. B. C. D.
7.过⊙内一点的最长弦为,最短的弦长为,则的长为()
A. B. C. D.
8.如图,是⊙直径,是⊙的弦,于,则图中不大于半圆的相等弧有()对。
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
9.如图,⊙O的直径AB,垂足为点E,若,则( )
A.2 B.4 C.8 D.16
10.过⊙O内一点M的最长的弦长为4cm,最短的弦长为2cm,则OM的长为( )
A.cm B.cm C.1 D.3cm
11.已知:如图,⊙O中直径AB垂直于弦CD,垂足为E,若,则BE的长是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.已知⊙O的弦AB长8cm,弦心距为3cm,则⊙O的直径是( )
A.5cm B.10cm C.cm D.cm
13.已知⊙O的半径为2cm,弦AB长cm,则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )
A.1cm B.2cm C.cm D.cm
14.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点,,则AC的长为( )
A.0.5cm B.1cm C.1.5cm D.2cm
15.如图,AB为⊙O的一固定直径,它把⊙O分成上、下两个半圆,自上半圆上一点C作弦,的平分线交⊙O于点P,当点C在上半圆(不包括A、B两点)上移动时,点P( )
A.到CD的距离保持不变 B.位置不变
C.等分 D.随C点的移动而移动
16.圆的弦与直径相交成30°角,并且分直径为6cm和4cm两部分,则弦心距为( )
A. B. C. D.
17.如图,已知⊙的半径为,两弦与垂直相交于,若,,则( ).
A. B. C. D.
18.如图,是⊙的直径,弦于,,,则弦的长为( ).
A. B. C. D.
19.在⊙中,是弦,是的中点,延长交⊙于.若,则的度数是( ).
A. B. C. D.
答案:
1、C; 2. C; 3. D 4. C 5、A; 6. D 7. A 8. C.9.C 10.A 11.A 12.B 13.A 14.D 15.B 16.C. 17.C 18.C;19.C.
填空题
1、如图,⊙O的半径为7cm,弦AB的长为cm,则由和弦AB组成的弓形的高CD等于 cm.
2、过⊙O内一点P的最长弦为10cm,最短的弦为6cm,则OP的长为 .
3.在⊙中,弦长为,圆心到弦的距离为,则⊙半径长为()
4.半径是的圆中,圆心到长的弦的距离是()
5. 圆的两弦、的长分别和,且,又两弦之间距离为,则圆的半径长是()
6. 在半径为的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长,另一条弦长,则这两条弦之间的距离为________
7.如图,有一圆弧形桥拱,拱形的半径,桥拱的距度m,则拱高m.
8.如图,⊙O的直径CD与弦AB交于点M,添加条件:
_____________(写出一个即可),就可得到M是AB的中点.
9.直径是1000mm的圆柱形水管面积如图所示,若水面宽mm,则水的最大深度CD为_______mm.
10.一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示,如果水管横截面的半径是13cm,水面宽,则水管中水深是_______cm.
11.半径为的圆中,有一弦长,圆心到此弦的距离为____________.
12.在半径为的⊙中.圆心到弦的距离为,则弦长为__________.
13.过⊙内一点的最长的弦长为,最短的弦长为,那么⊙的半径等于________,的长为________.
14.已知弓形的弦长,弓形的高为,则弓形所在圆的半径为_________.
15.半径为的⊙内有一点,且,则过点的最长弦长为________,最短弦为________.
16.如图,矩形边经过⊙的圆心,,分别为,与⊙的交点,若,,,则⊙的径等于__________.
17.如图,是一个水平放置的圆柱形水管的截面,已知水面高,水面宽.那么水管截面圆的半径是_________.
答案:
1、2; 2、4. 3. 5 4. 5. 6. 或. 7.4 8.或或 9.200 10.8. 2.11;12.;13.;14.;15.10,816.;17.2.
解答题
1.如图,弦,直径于,且,求⊙的半径。
2.如图,在圆中,直径垂直于弦,并且交于,直径交于,且,求.
3.如图,已知、,是⊙的直径,,求证:
4.如图,为⊙的直径,是弦于,于,求证:.
5.如图,⊙中,弦、垂直相交于,,,,求圆的半径。
6. 已知:△ABC内接于⊙O,OE⊥AB于E,OF⊥AC于F.求证:EF∥BC,EF=.
7. 如图,已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=8cm,EB=2cm,∠CEA=30°,求CD的长.
8.某地有一座圆弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,弓顶高出水面2.4米,现有一艘宽3米,船舱顶部为正方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?
9.如图,已知:为⊙的直径,,为,的中点,弦过点,于.求证:.
10.如图,是⊙的直径,是弦,垂足为,写出图中所有相等的线段,相等的角,相等的弧.
11.如图,,是⊙的直径,.求证:.
12.如图,已知:在⊙中,是直径,是弦,交于,交于.求证:.
13.已知:如图,⊙的弦,相交于点,是的平分线,点,分别是,的中点,分别交,于点,.求证:.
14.如图,⊙的直径和弦相交于点,,,垂足分别是,.
(1)求证:.
(2)若,,求的值.
15.如图,某地有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度为米,拱顶高出水面米,现有一艘宽米,船仓顶部为方形并高出水面米的货船要经过这里.问货船能否顺利通过这座拱桥?
答案:
1.2. 3.略 4. 略 5.
6、(略);7、CD=;
6. 略解:如图,表示桥拱,EF=3米,可求得:
FN=OH-OD=2.1米,这里2米<2.1米,仅有0.1米的余量,因此货船可以通过这座拱桥,但要非常小心.
9.作于,则.因为,,所以.所以.
10.由圆的轴对称性可知,,,.,
,,,
.
11.为中点.同理.和中,∵,∴
12.作于;13.连结,.证;
14.(1)作于.
(2)连并延长交于.连结.可证≌.得,.
∵,∴.
∴.在中,,.∴,从而.
15.选求出圆弧的半径米.设船位于正中位置.可求得公有的余量,货船可以通过这座桥,但要非常小心.
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