2020年浙江省湖州市中考数学试卷【含答案及详细解释】 17页

1 / 17 2020 年浙江省湖州市中考数学试卷 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次 中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分． 1. 4的算术平方根是( ) A.2 B.−2 C.±2 D.√2 2. 近几年来，我国经济规模不断扩大，综合国力显著增强．2019年我国国内生产总 值约991000亿元，则数991000用科学记数法可表示为（ ） A.991 × 103 B.99.1 × 104 C.9.91 × 105 D.9.91 × 106 3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知四边形퐴퐵퐶퐷内接于⊙ 푂，∠퐴퐵퐶＝70∘，则∠퐴퐷퐶的度数是（ ） A.70∘ B.110∘ C.130∘ D.140∘ 5. 数据−1，0，3，4，4的平均数是（ ） A.4 B.3 C.2.5 D.2 6. 已知关于푥的一元二次方程푥2 + 푏푥 − 1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的 是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.实数根的个数与实数푏的取值有关 7. 四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其 形状也会随之改变．如图，改变正方形퐴퐵퐶퐷的内角，正方形퐴퐵퐶퐷变为菱形 퐴퐵퐶′퐷′．若∠퐷′퐴퐵＝30∘，则菱形퐴퐵퐶′퐷′的面积与正方形퐴퐵퐶퐷的面积之比是（ ） A.1 B.1 2 C.√2 2 D.√3 2 8. 已知在平面直角坐标系푥푂푦中，直线푦＝2푥 + 2和直线푦 = 2 3 푥 + 2分别交푥轴于点퐴 和点퐵．则下列直线中，与푥轴的交点不在线段퐴퐵上的直线是（ ） A.푦＝푥 + 2 B.푦 = √2푥 + 2 C.푦＝4푥 + 2 D.푦 = 2√3 3 푥 + 2 9. 如图，已知푂푇是푅푡 △ 퐴퐵푂斜边퐴퐵上的高线，퐴푂＝퐵푂．以푂为圆心，푂푇为半径 的圆交푂퐴于点퐶，过点퐶作⊙ 푂的切线퐶퐷，交퐴퐵于点퐷．则下列结论中错误的是（ ） A.퐷퐶＝퐷푇 B.퐴퐷 = √2퐷푇 C.퐵퐷＝퐵푂 D.2푂퐶＝5퐴퐶 10. 七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以 制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2 中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分 2 / 17 别是（ ） A.1和1 B.1和2 C.2和1 D.2和2 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 计算：−2 − 1＝________． 12. 化简： 푥+1 푥2+2푥+1 =________． 13. 如图，已知퐴퐵是半圆푂的直径，弦퐶퐷 // 퐴퐵，퐶퐷＝8，퐴퐵＝10，则퐶퐷与퐴퐵之 间的距离是________． 14. 在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸 出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ， 两次摸球的所有可能的结果如表所示， 第二次 第一次 白 红Ⅰ 红Ⅱ 白 白，白 白，红Ⅰ 白，红Ⅱ 红Ⅰ 红Ⅰ，白 红Ⅰ，红Ⅰ 红Ⅰ，红Ⅱ 红Ⅱ 红Ⅱ，白 红Ⅱ，红Ⅰ 红Ⅱ，红Ⅱ 则两次摸出的球都是红球的概率是________． 15. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点 都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知푅푡 △ 퐴퐵퐶是6 × 6网格图形中的格点 三角形，则该图中所有与푅푡 △ 퐴퐵퐶相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长 是________． 16. 如图，已知在平面直角坐标系푥푂푦中，푅푡 △ 푂퐴퐵的直角顶点퐵在푥轴的正半轴上， 点퐴在第一象限，反比例函数푦 = 푘 푥 (푥 > 0)的图象经过푂퐴的中点퐶．交퐴퐵于点퐷，连结 퐶퐷．若△ 퐴퐶퐷的面积是2，则푘的值是________8 3 ． 三、解答题（本题有 8 小题，共 66 分） 17. 计算：√8 + |√2 − 1|． 3 / 17 18. 解不等式组{ 3푥 − 2 < 푥, 1 3 푥 < −2, ． 19. 有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整 熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．퐴퐵和퐶퐷是两根相同长度的活动 支撑杆，点푂是它们的连接点，푂퐴＝푂퐶，ℎ(푐푚)表示熨烫台的高度． （1）如图2 − 1．若퐴퐵＝퐶퐷＝110푐푚，∠퐴푂퐶＝120∘，求ℎ的值； （2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120푐푚时，两根支撑杆 的夹角∠퐴푂퐶是74∘（如图2 − 2）．求该熨烫台支撑杆퐴퐵的长度（结果精确到1푐푚）． （参考数据：sin37∘ ≈ 0.6，cos37∘ ≈ 0.8，sin53∘ ≈ 0.8，cos53∘ ≈ 0.6．） 20. 为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本 满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并 将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）． 请根据图中信息解答下列问题： 4 / 17 （1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的 图上） （2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数； （3）若该校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习 效果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人？ 21. 如图，已知△ 퐴퐵퐶是⊙ 푂的内接三角形，퐴퐷是⊙ 푂的直径，连结퐵퐷，퐵퐶平分 ∠퐴퐵퐷． （1）求证：∠퐶퐴퐷＝∠퐴퐵퐶； （2）若퐴퐷＝6，求퐶퐷̂ 的长． 22. 某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人， 合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间 每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件． （1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？ （2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案： 方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变． 方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变． 设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同． 5 / 17 ①求乙车间需临时招聘的工人数； ②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元； 乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪 种方案能更节省开支？请说明理由． 23. 已知在△ 퐴퐵퐶中，퐴퐶＝퐵퐶＝푚，퐷是퐴퐵边上的一点，将∠퐵沿着过点퐷的直线折 叠，使点퐵落在퐴퐶边的点푃处（不与点퐴，퐶重合），折痕交퐵퐶边于点퐸． （1）特例感知 如图1，若∠퐶＝60∘，퐷是퐴퐵的中点，求证：퐴푃 = 1 2 퐴퐶； （2）变式求异 如图2，若∠퐶＝90∘，푚＝6√2，퐴퐷＝7，过点퐷作퐷퐻 ⊥ 퐴퐶于点퐻，求 퐷퐻和퐴푃的长； （3）化归探究 如图3，若푚＝10，퐴퐵＝12，且当퐴퐷＝푎时，存在两次不同的折叠， 使点퐵落在퐴퐶边上两个不同的位置，请直接写出푎的取值范围． 6 / 17 24. 如图，已知在平面直角坐标系푥푂푦中，抛物线푦＝−푥2 + 푏푥 + 푐(푐 > 0)的顶点为퐷， 与푦轴的交点为퐶．过点퐶的直线퐶퐴与抛物线交于另一点퐴（点퐴在对称轴左侧），点퐵 在퐴퐶的延长线上，连结푂퐴，푂퐵，퐷퐴和퐷퐵． （1）如图1，当퐴퐶 // 푥轴时， ①已知点퐴的坐标是(−2,  1)，求抛物线的解析式； ②若四边形퐴푂퐵퐷是平行四边形，求证：푏2＝4푐． （2）如图2，若푏＝−2，퐵퐶 퐴퐶 = 3 5 ，是否存在这样的点퐴，使四边形퐴푂퐵퐷是平行四边形？ 若存在，求出点퐴的坐标；若不存在，请说明理由． 7 / 17 参考答案与试题解析 2020 年浙江省湖州市中考数学试卷 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次 中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分． 1.【答案】 A 【解答】 解：∵ ±2的平方为4，算数平方根是非负数， ∴ 4的算术平方根为2． 故选퐴. 2.【答案】 C 【解答】 将991000用科学记数法表示为：9.91 × 105． 3.【答案】 A 【解答】 ∵ 主视图和左视图是三角形， ∴ 几何体是锥体， ∵ 俯视图的大致轮廓是圆， ∴ 该几何体是圆锥． 4.【答案】 B 【解答】 ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷内接于⊙ 푂，∠퐴퐵퐶＝70∘， ∴ ∠퐴퐷퐶＝180∘ − ∠퐴퐵퐶＝180∘ − 70∘＝110∘， 5.【答案】 D 【解答】 푥¯ = −1+0+3+4+4 5 = 2， 6.【答案】 A 【解答】 ∵ △＝푏2 − 4 × (−1)＝푏2 + 4 > 0， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 7.【答案】 B 【解答】 根据题意可知菱形퐴퐵퐶′퐷′的高等于퐴퐵的一半， ∴ 菱形퐴퐵퐶′퐷′的面积为1 2 퐴퐵2，正方形퐴퐵퐶퐷的面积为퐴퐵2． ∴ 菱形퐴퐵퐶′퐷′的面积与正方形퐴퐵퐶퐷的面积之比是1 2 ． 8.【答案】 C 【解答】 ∵ 直线푦＝2푥 + 2和直线푦 = 2 3 푥 + 2分别交푥轴于点퐴和点퐵． ∴ 퐴(−1,  0)，퐵(−3,  0) 퐴、푦＝푥 + 2与푥轴的交点为(−2,  0)；故直线푦＝푥 + 2与푥轴的交点在线段퐴퐵上； 퐵、푦 = √2푥 + 2与푥轴的交点为(−√2,  0)；故直线푦 = √2푥 + 2与푥轴的交点在线段퐴퐵 上； 퐶、푦＝4푥 + 2与푥轴的交点为(− 1 2 ,  0)；故直线푦＝4푥 + 2与푥轴的交点不在线段퐴퐵上； 8 / 17 퐷、푦 = 2√3 3 푥 + 2与푥轴的交点为(−√3,  0)；故直线푦 = 2√3 3 푥 + 2与푥轴的交点在线段퐴퐵 上； 9.【答案】 D 【解答】 如图，连接푂퐷． ∵ 푂푇是半径，푂푇 ⊥ 퐴퐵， ∴ 퐷푇是⊙ 푂的切线， ∵ 퐷퐶是⊙ 푂的切线， ∴ 퐷퐶＝퐷푇，故选项퐴正确， ∵ 푂퐴＝푂퐵，∠퐴푂퐵＝90∘， ∴ ∠퐴＝∠퐵＝45∘， ∵ 퐷퐶是切线， ∴ 퐶퐷 ⊥ 푂퐶， ∴ ∠퐴퐶퐷＝90∘， ∴ ∠퐴＝∠퐴퐷퐶＝45∘， ∴ 퐴퐶＝퐶퐷＝퐷푇， ∴ 퐴퐶 = √2퐶퐷 = √2퐷푇，故选项퐵正确， ∵ 푂퐷＝푂퐷，푂퐶＝푂푇，퐷퐶＝퐷푇， ∴ △ 퐷푂퐶 ≅△ 퐷푂푇(푆푆푆)， ∴ ∠퐷푂퐶＝∠퐷푂푇， ∵ 푂퐴＝푂퐵，푂푇 ⊥ 퐴퐵，∠퐴푂퐵＝90∘， ∴ ∠퐴푂푇＝∠퐵푂푇＝45∘， ∴ ∠퐷푂푇＝∠퐷푂퐶＝22.5∘， ∴ ∠퐵푂퐷＝∠푂퐷퐵＝67.5∘， ∴ 퐵푂＝퐵퐷，故选项퐶正确， 故选：퐷． 10.【答案】 【解答】 中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示： 故选：퐷． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11.【答案】 −3 【解答】 −2 − 1 ＝−3 12.【答案】 1 푥 + 1 【解答】 푥 + 1 푥2 + 2푥 + 1 9 / 17 = 푥 + 1 (푥 + 1)2 = 1 푥+1 ． 13.【答案】 3 【解答】 过点푂作푂퐻 ⊥ 퐶퐷于퐻，连接푂퐶，如图，则퐶퐻＝퐷퐻 = 1 2 퐶퐷＝4， 在푅푡 △ 푂퐶퐻中，푂퐻 = √52 − 42 = 3， 所以퐶퐷与퐴퐵之间的距离是3． 14.【答案】 4 9 【解答】 根据图表给可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有4种， 则两次摸出的球都是红球的概率为4 9 ； 15.【答案】 5√2 【解答】 ∵ 在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，퐴퐶＝1，퐵퐶＝2， ∴ 퐴퐵 = √5，퐴퐶: 퐵퐶＝1: 2， ∴ 与푅푡 △ 퐴퐵퐶相似的格点三角形的两直角边的比值为1: 2， 若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6 × 6网格图形中，最长线段为 6√2，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8 的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出퐷퐸 = √10，퐸퐹＝2√10，퐷퐹 ＝5√2的三角形， ∵ √10 1 = 2√10 2 = 5√2 √5 = √10， ∴ △ 퐴퐵퐶 ∽△ 퐷퐸퐹， ∴ ∠퐷퐸퐹＝∠퐶＝90∘， ∴ 此时△ 퐷퐸퐹的面积为：√10 × 2√10 ÷ 2＝10，△ 퐷퐸퐹为面积最大的三角形，其 斜边长为：5√2． 16.【答案】 8 3 【解答】 连接푂퐷，过퐶作퐶퐸 // 퐴퐵，交푥轴于퐸， ∵ ∠퐴퐵푂＝90∘，反比例函数푦 = 푘 푥 (푥 > 0)的图象经过푂퐴的中点퐶， ∴ 푆△퐶푂퐸＝푆△퐵푂퐷 = 1 2 푘，푆△퐴퐶퐷＝푆△푂퐶퐷＝2， ∵ 퐶퐸 // 퐴퐵， ∴ △ 푂퐶퐸 ∽△ 푂퐴퐵， ∴ 푆△푂퐶퐸 푆△푂퐴퐵 = 1 4 ， ∴ 4푆△푂퐶퐸＝푆△푂퐴퐵， 10 / 17 ∴ 4 × 1 2 푘＝2 + 2 + 1 2 푘， ∴ 푘 = 8 3 ， 三、解答题（本题有 8 小题，共 66 分） 17.【答案】 原式＝2√2 + √2 − 1＝3√2 − 1． 【解答】 原式＝2√2 + √2 − 1＝3√2 − 1． 18.【答案】 { 3푥 − 2 < 푥 1 3 푥 < −2 ， 解①得푥 < 1； 解②得푥 < −6． 故不等式组的解集为푥 < −6． 【解答】 { 3푥 − 2 < 푥 1 3 푥 < −2 ， 解①得푥 < 1； 解②得푥 < −6． 故不等式组的解集为푥 < −6． 19.【答案】 过点퐵作퐵퐸 ⊥ 퐴퐶于퐸， ∵ 푂퐴＝푂퐶，∠퐴푂퐶＝120∘， ∴ ∠푂퐴퐶＝∠푂퐶퐴 = 180−120 2 = 30∘， ∴ ℎ＝퐵퐸＝퐴퐵 ⋅ sin30∘＝110 × 1 2 = 55； 过点퐵作퐵퐸 ⊥ 퐴퐶于퐸， ∵ 푂퐴＝푂퐶，∠퐴푂퐶＝74∘， ∴ ∠푂퐴퐶＝∠푂퐶퐴 = 180−74 2 = 53∘， ∴ 퐴퐵＝퐵퐸 ÷ sin53∘＝120 ÷ 0.8＝150(푐푚)， 即该熨烫台支撑杆퐴퐵的长度约为150푐푚． 【解答】 过点퐵作퐵퐸 ⊥ 퐴퐶于퐸， ∵ 푂퐴＝푂퐶，∠퐴푂퐶＝120∘， ∴ ∠푂퐴퐶＝∠푂퐶퐴 = 180−120 2 = 30∘， ∴ ℎ＝퐵퐸＝퐴퐵 ⋅ sin30∘＝110 × 1 2 = 55； 过点퐵作퐵퐸 ⊥ 퐴퐶于퐸， ∵ 푂퐴＝푂퐶，∠퐴푂퐶＝74∘， ∴ ∠푂퐴퐶＝∠푂퐶퐴 = 180−74 2 = 53∘， ∴ 퐴퐵＝퐵퐸 ÷ sin53∘＝120 ÷ 0.8＝150(푐푚)， 即该熨烫台支撑杆퐴퐵的长度约为150푐푚． 11 / 17 20.【答案】 抽查的学生数：20 ÷ 40%＝50（人）， 抽查人数中“基本满意”人数：50 − 20 − 15 − 1＝14（人），补全的条形统计图如图 所示： 360∘ × 15 50 = 108∘， 答：扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数为108∘； 1000 × (20 50 + 15 50)＝700（人）， 答：该校共有1000名学生中“非常满意”或“满意”的约有700人． 【解答】 抽查的学生数：20 ÷ 40%＝50（人）， 抽查人数中“基本满意”人数：50 − 20 − 15 − 1＝14（人），补全的条形统计图如图 所示： 360∘ × 15 50 = 108∘， 答：扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数为108∘； 1000 × (20 50 + 15 50)＝700（人）， 答：该校共有1000名学生中“非常满意”或“满意”的约有700人． 21.【答案】 ∵ 퐵퐶平分∠퐴퐵퐷， ∴ ∠퐷퐵퐶＝∠퐴퐵퐶， ∵ ∠퐶퐴퐷＝∠퐷퐵퐶， ∴ ∠퐶퐴퐷＝∠퐴퐵퐶； ∵ ∠퐶퐴퐷＝∠퐴퐵퐶， ∴ 퐶퐷̂ = 퐴퐶̂ ， ∵ 퐴퐷是⊙ 푂的直径，퐴퐷＝6， ∴ 퐶퐷̂ 的长= 1 2 × 1 2 × 휋 × 6 = 3 2 휋． 【解答】 ∵ 퐵퐶平分∠퐴퐵퐷， ∴ ∠퐷퐵퐶＝∠퐴퐵퐶， 12 / 17 ∵ ∠퐶퐴퐷＝∠퐷퐵퐶， ∴ ∠퐶퐴퐷＝∠퐴퐵퐶； ∵ ∠퐶퐴퐷＝∠퐴퐵퐶， ∴ 퐶퐷̂ = 퐴퐶̂ ， ∵ 퐴퐷是⊙ 푂的直径，퐴퐷＝6， ∴ 퐶퐷̂ 的长= 1 2 × 1 2 × 휋 × 6 = 3 2 휋． 22.【答案】 设甲车间有푥名工人参与生产，乙车间各有푦名工人参与生产，由题意得： { 푥 + 푦 = 50 20(25푥 + 30푦) = 27000 ， 解得{푥 = 30 푦 = 20 ． ∴ 甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产． ①设方案二中乙车间需临时招聘푚名工人，由题意得： 27000 30×25×(1+20%)+20×30 = 27000 30×25+(20+푚)×30 ， 解得푚＝5． 经检验，푚＝5是原方程的解，且符合题意． ∴ 乙车间需临时招聘5名工人． ②企业完成生产任务所需的时间为： 27000 30×25×(1+20%)+20×30 = 18（天）． ∴ 选择方案一需增加的费用为900 × 18 + 1500＝17700（元）． 选择方案二需增加的费用为5 × 18 × 200＝18000（元）． ∵ 17700 < 18000， ∴ 选择方案一能更节省开支． 【解答】 设甲车间有푥名工人参与生产，乙车间各有푦名工人参与生产，由题意得： { 푥 + 푦 = 50 20(25푥 + 30푦) = 27000 ， 解得{푥 = 30 푦 = 20 ． ∴ 甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产． ①设方案二中乙车间需临时招聘푚名工人，由题意得： 27000 30×25×(1+20%)+20×30 = 27000 30×25+(20+푚)×30 ， 解得푚＝5． 经检验，푚＝5是原方程的解，且符合题意． ∴ 乙车间需临时招聘5名工人． ②企业完成生产任务所需的时间为： 27000 30×25×(1+20%)+20×30 = 18（天）． ∴ 选择方案一需增加的费用为900 × 18 + 1500＝17700（元）． 选择方案二需增加的费用为5 × 18 × 200＝18000（元）． ∵ 17700 < 18000， ∴ 选择方案一能更节省开支． 23.【答案】 证明：∵ 퐴퐶＝퐵퐶，∠퐶＝60∘， ∴ △ 퐴퐵퐶是等边三角形， ∴ 퐴퐶＝퐴퐵，∠퐴＝60∘， 由题意，得퐷퐵＝퐷푃，퐷퐴＝퐷퐵， ∴ 퐷퐴＝퐷푃， ∴ △ 퐴퐷푃使得等边三角形， ∴ 퐴푃＝퐴퐷 = 1 2 퐴퐵 = 1 2 퐴퐶． ∵ 퐴퐶＝퐵퐶＝6√2，∠퐶＝90∘， ∴ 퐴퐵 = √퐴퐶2 + 퐵퐶2 = √(6√2)2 + (6√2)2 = 12， 13 / 17 ∵ 퐷퐻 ⊥ 퐴퐶， ∴ 퐷퐻 // 퐵퐶， ∴ △ 퐴퐷퐻 ∽△ 퐴퐵퐶， ∴ 퐷퐻 퐵퐶 = 퐴퐷 퐴퐵 ， ∵ 퐴퐷＝7， ∴ 퐷퐻 6√2 = 7 12 ， ∴ 퐷퐻 = 7√2 2 ， 将∠퐵沿过点퐷的直线折叠， 情形一：当点퐵落在线段퐶퐻上的点푃1处时，如图2 − 1中， ∵ 퐴퐵＝12， ∴ 퐷푃1＝퐷퐵＝퐴퐵 − 퐴퐷＝5， ∴ 퐻푃1 = √퐷푃1 2 − 퐷퐻2 = √52 − (7√2 2 )2 = √2 2 ， ∴ 퐴1＝퐴퐻 + 퐻푃1＝4√2， 情形二：当点퐵落在线段퐴퐻上的点푃2处时，如图2 − 2中， 同法可证퐻푃2 = √2 2 ， ∴ 퐴푃2＝퐴퐻 − 퐻푃2＝3√2， 综上所述，满足条件的퐴푃的值为4√2或3√2． 如图3中，过点퐶作퐶퐻 ⊥ 퐴퐵于퐻，过点퐷作퐷푃 ⊥ 퐴퐶于푃． ∵ 퐶퐴＝퐶퐵，퐶퐻 ⊥ 퐴퐵， ∴ 퐴퐻＝퐻퐵＝6， ∴ 퐶퐻 = √퐴퐶2 − 퐴퐻2 = √102 − 62 = 8， 当퐷퐵＝퐷푃时，设퐵퐷＝푃퐷＝푥，则퐴퐷＝12 − 푥， ∵ tan퐴 = 퐶퐻 퐴퐶 = 푃퐷 퐴퐷 ， ∴ 8 10 = 푥 12−푥 ， ∴ 푥 = 16 3 ， ∴ 퐴퐷＝퐴퐵 − 퐵퐷 = 20 3 ， 观察图形可知当6 < 푎 < 20 3 时，存在两次不同的折叠，使点퐵落在퐴퐶边上两个不同的 位置． 【解答】 证明：∵ 퐴퐶＝퐵퐶，∠퐶＝60∘， ∴ △ 퐴퐵퐶是等边三角形， ∴ 퐴퐶＝퐴퐵，∠퐴＝60∘， 由题意，得퐷퐵＝퐷푃，퐷퐴＝퐷퐵， ∴ 퐷퐴＝퐷푃， ∴ △ 퐴퐷푃使得等边三角形， 14 / 17 ∴ 퐴푃＝퐴퐷 = 1 2 퐴퐵 = 1 2 퐴퐶． ∵ 퐴퐶＝퐵퐶＝6√2，∠퐶＝90∘， ∴ 퐴퐵 = √퐴퐶2 + 퐵퐶2 = √(6√2)2 + (6√2)2 = 12， ∵ 퐷퐻 ⊥ 퐴퐶， ∴ 퐷퐻 // 퐵퐶， ∴ △ 퐴퐷퐻 ∽△ 퐴퐵퐶， ∴ 퐷퐻 퐵퐶 = 퐴퐷 퐴퐵 ， ∵ 퐴퐷＝7， ∴ 퐷퐻 6√2 = 7 12 ， ∴ 퐷퐻 = 7√2 2 ， 将∠퐵沿过点퐷的直线折叠， 情形一：当点퐵落在线段퐶퐻上的点푃1处时，如图2 − 1中， ∵ 퐴퐵＝12， ∴ 퐷푃1＝퐷퐵＝퐴퐵 − 퐴퐷＝5， ∴ 퐻푃1 = √퐷푃1 2 − 퐷퐻2 = √52 − (7√2 2 )2 = √2 2 ， ∴ 퐴1＝퐴퐻 + 퐻푃1＝4√2， 情形二：当点퐵落在线段퐴퐻上的点푃2处时，如图2 − 2中， 同法可证퐻푃2 = √2 2 ， ∴ 퐴푃2＝퐴퐻 − 퐻푃2＝3√2， 综上所述，满足条件的퐴푃的值为4√2或3√2． 如图3中，过点퐶作퐶퐻 ⊥ 퐴퐵于퐻，过点퐷作퐷푃 ⊥ 퐴퐶于푃． ∵ 퐶퐴＝퐶퐵，퐶퐻 ⊥ 퐴퐵， ∴ 퐴퐻＝퐻퐵＝6， ∴ 퐶퐻 = √퐴퐶2 − 퐴퐻2 = √102 − 62 = 8， 当퐷퐵＝퐷푃时，设퐵퐷＝푃퐷＝푥，则퐴퐷＝12 − 푥， ∵ tan퐴 = 퐶퐻 퐴퐶 = 푃퐷 퐴퐷 ， ∴ 8 10 = 푥 12−푥 ， ∴ 푥 = 16 3 ， ∴ 퐴퐷＝퐴퐵 − 퐵퐷 = 20 3 ， 观察图形可知当6 < 푎 < 20 3 时，存在两次不同的折叠，使点퐵落在퐴퐶边上两个不同的 位置． 24.【答案】 15 / 17 ①∵ 퐴퐶 // 푥轴，点퐴(−2,  1)， ∴ 퐶(0,  1)， 将点퐴(−2,  1)，퐶(0,  1)代入抛物线解析式中，得{−4 − 2푏 + 푐 = 1 푐 = 1 ， ∴ {푏 = −2 푐 = 1 ， ∴ 抛物线的解析式为푦＝−푥2 − 2푥 + 1； ②如图1，过点퐷作퐷퐸 ⊥ 푥轴于퐸，交퐴퐵于点퐹， ∵ 퐴퐶 // 푥轴， ∴ 퐸퐹＝푂퐶＝푐， ∵ 点퐷是抛物线的顶点坐标， ∴ 퐷(푏 2 ,  푐 + 푏2 4 )， ∴ 퐷퐹＝퐷퐸 − 퐸퐹＝푐 + 푏2 4 − 푐 = 푏2 4 ， ∵ 四边形퐴푂퐵퐷是平行四边形， ∴ 퐴퐷＝퐷푂，퐴퐷 // 푂퐵， ∴ ∠퐷퐴퐹＝∠푂퐵퐶， ∵ ∠퐴퐹퐷＝∠퐵퐶푂＝90∘， ∴ △ 퐴퐹퐷 ≅△ 퐵퐶푂(퐴퐴푆)， ∴ 퐷퐹＝푂퐶， ∴ 푏2 4 = 푐， 即푏2＝4푐； 如图2，∵ 푏＝−2． ∴ 抛物线的解析式为푦＝−푥2 − 2푥 + 푐， ∴ 顶点坐标퐷(−1,  푐 + 1)， 假设存在这样的点퐴使四边形퐴푂퐵퐷是平行四边形， 设点퐴(푚, −푚2 − 2푚 + 푐)(푚 < 0)， 过点퐷作퐷퐸 ⊥ 푥轴于点퐸，交퐴퐵于퐹， ∴ ∠퐴퐹퐷＝∠퐸퐹퐶＝∠퐵퐶푂， ∵ 四边形퐴푂퐵퐷是平行四边形， ∴ 퐴퐷＝퐵푂，퐴퐷 // 푂퐵， ∴ ∠퐷퐴퐹＝∠푂퐵퐶， ∴ △ 퐴퐹퐷 ≅△ 퐵퐶푂(퐴퐴푆)， ∴ 퐴퐹＝퐵퐶，퐷퐹＝푂퐶， 过点퐴作퐴푀 ⊥ 푦轴于푀，交퐷퐸于푁， ∴ 퐷퐸 // 퐶푂， ∴ △ 퐴푁퐹 ∽△ 퐴푀퐶， ∴ 퐴푁 퐴푀 = 퐹푁 퐶푀 = 퐴퐹 퐴퐶 = 퐵퐶 퐴퐶 = 3 5 ， ∵ 퐴푀＝−푚，퐴푁＝퐴푀 − 푁푀＝−푚 − 1， ∴ −푚−1 −푚 = 3 5 ， ∴ 푚 = − 5 2 ， ∴ 点퐴的纵坐标为−(− 5 2)2 − 2 × (− 5 2) + 푐＝푐 − 5 4 < 푐， ∵ 퐴푀 // 푥轴， ∴ 点푀的坐标为(0,  푐 − 5 4)，푁(−1,  푐 − 5 4)， ∴ 퐶푀＝푐 − (푐 − 5 4) = 5 4 ， ∵ 点퐷的坐标为(−1,  푐 + 1)， ∴ 퐷푁＝(푐 + 1) − (푐 − 5 4) = 9 4 ， ∵ 퐷퐹＝푂퐶＝푐， ∴ 퐹푁＝퐷푁 − 퐷퐹 = 9 4 − 푐， ∵ 퐹푁 퐶푀 = 3 5 ， ∴ 9 4−푐 5 4 = 3 5 ， 16 / 17 ∴ 푐 = 3 2 ， ∴ 푐 − 5 4 = 1 4 ， ∴ 点퐴纵坐标为1 4 ， ∴ 퐴(− 5 2 , 1 4)， ∴ 存在这样的点퐴，使四边形퐴푂퐵퐷是平行四边形． 【解答】 ①∵ 퐴퐶 // 푥轴，点퐴(−2,  1)， ∴ 퐶(0,  1)， 将点퐴(−2,  1)，퐶(0,  1)代入抛物线解析式中，得{−4 − 2푏 + 푐 = 1 푐 = 1 ， ∴ {푏 = −2 푐 = 1 ， ∴ 抛物线的解析式为푦＝−푥2 − 2푥 + 1； ②如图1，过点퐷作퐷퐸 ⊥ 푥轴于퐸，交퐴퐵于点퐹， ∵ 퐴퐶 // 푥轴， ∴ 퐸퐹＝푂퐶＝푐， ∵ 点퐷是抛物线的顶点坐标， ∴ 퐷(푏 2 ,  푐 + 푏2 4 )， ∴ 퐷퐹＝퐷퐸 − 퐸퐹＝푐 + 푏2 4 − 푐 = 푏2 4 ， ∵ 四边形퐴푂퐵퐷是平行四边形， ∴ 퐴퐷＝퐷푂，퐴퐷 // 푂퐵， ∴ ∠퐷퐴퐹＝∠푂퐵퐶， ∵ ∠퐴퐹퐷＝∠퐵퐶푂＝90∘， ∴ △ 퐴퐹퐷 ≅△ 퐵퐶푂(퐴퐴푆)， ∴ 퐷퐹＝푂퐶， ∴ 푏2 4 = 푐， 即푏2＝4푐； 如图2，∵ 푏＝−2． ∴ 抛物线的解析式为푦＝−푥2 − 2푥 + 푐， ∴ 顶点坐标퐷(−1,  푐 + 1)， 假设存在这样的点퐴使四边形퐴푂퐵퐷是平行四边形， 设点퐴(푚, −푚2 − 2푚 + 푐)(푚 < 0)， 过点퐷作퐷퐸 ⊥ 푥轴于点퐸，交퐴퐵于퐹， ∴ ∠퐴퐹퐷＝∠퐸퐹퐶＝∠퐵퐶푂， ∵ 四边形퐴푂퐵퐷是平行四边形， ∴ 퐴퐷＝퐵푂，퐴퐷 // 푂퐵， ∴ ∠퐷퐴퐹＝∠푂퐵퐶， ∴ △ 퐴퐹퐷 ≅△ 퐵퐶푂(퐴퐴푆)， ∴ 퐴퐹＝퐵퐶，퐷퐹＝푂퐶， 17 / 17 过点퐴作퐴푀 ⊥ 푦轴于푀，交퐷퐸于푁， ∴ 퐷퐸 // 퐶푂， ∴ △ 퐴푁퐹 ∽△ 퐴푀퐶， ∴ 퐴푁 퐴푀 = 퐹푁 퐶푀 = 퐴퐹 퐴퐶 = 퐵퐶 퐴퐶 = 3 5 ， ∵ 퐴푀＝−푚，퐴푁＝퐴푀 − 푁푀＝−푚 − 1， ∴ −푚−1 −푚 = 3 5 ， ∴ 푚 = − 5 2 ， ∴ 点퐴的纵坐标为−(− 5 2)2 − 2 × (− 5 2) + 푐＝푐 − 5 4 < 푐， ∵ 퐴푀 // 푥轴， ∴ 点푀的坐标为(0,  푐 − 5 4)，푁(−1,  푐 − 5 4)， ∴ 퐶푀＝푐 − (푐 − 5 4) = 5 4 ， ∵ 点퐷的坐标为(−1,  푐 + 1)， ∴ 퐷푁＝(푐 + 1) − (푐 − 5 4) = 9 4 ， ∵ 퐷퐹＝푂퐶＝푐， ∴ 퐹푁＝퐷푁 − 퐷퐹 = 9 4 − 푐， ∵ 퐹푁 퐶푀 = 3 5 ， ∴ 9 4−푐 5 4 = 3 5 ， ∴ 푐 = 3 2 ， ∴ 푐 − 5 4 = 1 4 ， ∴ 点퐴纵坐标为1 4 ， ∴ 퐴(− 5 2 , 1 4)， ∴ 存在这样的点퐴，使四边形퐴푂퐵퐷是平行四边形．