2020年全国中考数学试卷分类汇编专题27 锐角三角函数与特殊角(含解析) 11页

锐角三角函数与特殊角 ‎ 一.选择题 ‎1.（2020•贵州省遵义市•4分）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以tan15°=.类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）‎ ‎【分析】在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，设AC=BC=1，则AB=BD=，根据tan22.5°=计算即可．‎ ‎【解答】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，‎ 设AC=BC=1，则AB=BD=，‎ ‎∴，‎ 故选：B．‎ ‎2（2020•广东省•3分）如题9图，在正方形ABCD中，AB=3，点E.F分别在边AB.CD上，∠EFD=60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为 A．1  B． C．   D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】解法一：排除法 过点F作FG∥BC交BE与点G，可得∠EFG=30°，∵FG=3，由三角函数可得EG=，∴BE＞．‎ 解法二：角平分线的性质 延长EF、BC.B’C’交于点O，可知∠EOB=∠EOB’=30°，可得∠BEO=∠B’EO=60°， ∴∠AEB’=60°．设BE=B’E=2x，由三角函数可得AE=x，由AE+BE=3，可得x=1，∴BE=2．‎ ‎【考点】特殊平行四边形的折叠问题、辅助线的作法、三角函数．‎ ‎3（2020•广西省玉林市•3分）sin45°的值是（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【分析】根据特殊角的三角函数值求解．‎ ‎【解答】解：sin45°＝．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．‎ ‎4 (2020•江苏省无锡市•3分)下列选项错误的是(　　)‎ A．cos60°＝ B．a2•a3＝a5 ‎ C． D．2(x－2y)＝2x－2y ‎【分析】‎ 分别根据特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法法则，二次根式的除法法则以及去括号法则逐一判断即可．‎ ‎【解答】解：A．cos60°＝，故本选项不合题意；B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；‎ C.，故本选项不合题意；D.2(x－2y)＝2x－4y，故本选项符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法，二次根式的除法以及去括号与添括号，熟记相关运算法则是解答本题的关键．‎ ‎5 (2020•江苏省无锡市•3分)如图，在四边形ABCD中(AB＞CD)，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED＝，则线段DE的长度(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】方法一，延长ED交AC于点M，过点M作MN⊥AE于点N，设MN＝m，根据已知条件和翻折的性质可求m的值，再证明CD是∠ECM的角平分线，可得＝＝，进而可得ED的长．方法二，过点D作DM⊥CE，首先得到∠ACB＝60度，∠ECD＝30度，再根据折叠可得到∠AED＝∠EDM，设EM＝m，由折叠性质可知，EC＝CB，在直角三角形EDM中，根据勾股定理即可得DE的长．‎ ‎【解答】解：方法一：如图，延长ED交AC于点M，过点M作MN⊥AE于点N，‎ 设MN＝m，∵tan∠AED＝，∴＝，∴NE＝2m，‎ ‎∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝，∴∠CAB＝30°，‎ 由翻折可知：∠EAC＝30°，∴AM＝2MN＝2m，∴AN＝MN＝3m，‎ ‎∵AE＝AB＝3，∴5m＝3，∴m＝，∴AN＝，MN＝，AM＝，‎ ‎∵AC＝2，∴CM＝AC－AM＝，∵MN＝，NE＝2m＝，‎ ‎∴EM＝＝，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴CD∥AB，∴∠DCA＝30°，‎ 由翻折可知：∠ECA＝∠BCA＝60°，∴∠ECD＝30°，∴CD是∠ECM的角平分线，‎ ‎∴＝＝，∴＝，解得ED＝．‎ 方法二：如图，过点D作DM⊥CE，由折叠可知：∠AEC＝∠B＝90°，∴AE∥DM，‎ ‎∵∠ACB＝60°，∠ECD＝30°，∴∠AED＝∠EDM＝30°，‎ 设EM＝m，由折叠性质可知，EC＝CB＝，∴CM＝3－m，‎ ‎∴tan∠MCD＝＝＝，解得m＝，∴DM＝，EM＝，‎ 在直角三角形EDM中，DE2＝DM2+EM2，解得DE＝．故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．‎ ‎6 (2020•江苏省扬州市•3分)如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ADC＝∠ABC，然后在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．‎ ‎【解答】解：连接BC．∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，∴根据圆周角定理知，∠ADC ‎＝∠ABC．在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，∵AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝，∴sin∠ABC＝＝，∴sin∠ADC＝．故选A．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．‎ ‎7 （2020•湖南省湘潭市·3分）计算：sin45°＝　　．‎ ‎【分析】根据特殊角的三角函数值解答．‎ ‎【解答】解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°＝．‎ ‎【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．‎ ‎【相关链接】特殊角三角函数值：‎ sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝；‎ sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1；‎ sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝．‎ ‎8.（2020•湖北襄阳•3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝　40　°．‎ ‎【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．‎ ‎【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝20°，‎ ‎∴∠B＝＝＝80°，‎ ‎∵∠ADC是△ABD的外角，‎ ‎∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°+20°＝100°，‎ ‎∵AD＝DC，‎ ‎∴∠C＝＝＝40°．‎ ‎【点评】本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．‎ ‎9. (2020•江苏省泰州市•3分)如图，点P在反比例函数y＝的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数y＝(k＜0)的图象相交于点A.B，则直线AB与x轴所夹锐角的正切值为　3　．‎ ‎【分析】点P在反比例函数y＝的图象上，且横坐标为1，则点P(1，3)，则点A.B的坐标分别为(1，k)，(，3)，即可求解．‎ ‎【解答】解：点P在反比例函数y＝的图象上，且横坐标为1，则点P(1，3)，则点A.B的坐标分别为(1，k)，(，3)，设直线AB的表达式为：y＝mx+t，将点A.B的坐标代入上式得，解得m＝－3，故直线AB与x轴所夹锐角的正切值为3，故答案为3．‎ ‎【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，确定点A.B的坐标是解题的关键．‎ ‎10.‎ 二.填空题 ‎1. （2020年内蒙古通辽市3分）11.计算：‎ ‎（1） ______；（2）______；（3） ______．‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). (3). -1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算法则分别计算即可.‎ ‎【详解】解：1，‎ ‎2×=，‎ ‎-1，‎ 故答案为：1，，-1.‎ ‎【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算，掌握运算法则是关键.‎ ‎2.‎ 三.解答题 ‎1.（2020•贵州省遵义市•8分）计算：（1）‎ ‎【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；‎ ‎【解答】解：（1）原式=-1+4=3.‎ ‎2. (2020•湖南省怀化市)计算：+2﹣2﹣2cos45°+|2﹣|．‎ ‎【分析】按照公式、特殊角的三角函数值、化简二次根式、去绝对值符号进行运算，最后计算加减即可．‎ ‎【解答】解：原式＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝．‎ ‎【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握负指数幂公式、熟记特殊锐角三角函数值及二次根式与绝对值的性质等．‎ ‎3. （2020•湖南省张家界·）计算：．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．‎ 详解】‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键．‎ ‎4.（2020•广东省•8分）如题22图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．‎ ‎（1）求证：直线CD与⊙O相切；‎ ‎（2）如题22﹣2图，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD=1，BC=2，求tan∠APE的值．‎ E ‎【答案】‎ （1） 证明：过点O作OE⊥CD交于点E ‎∵AD∥BC，∠DAB=90°‎ ‎∴∠OBC=90°即OB⊥BC ‎∵OE⊥CD，OB⊥BC，CO平分∠BCD ‎∴OB=OE ‎∵AB是⊙O的直径 ‎∴OE是⊙O的半径 ‎∴直线CD与⊙O相切 ‎（2）连接OD.OE ‎∵由（1）得，直线CD.AD.BC与⊙O相切 ‎∴由切线长定理可得AD=DE=1，BC=CE=3，‎ ‎∠ADO=∠EDO，∠BCO=∠ECO ‎∴∠AOD=∠EOD，CD=3‎ ‎∵= ‎∴∠APE=∠AOE=∠AOD ‎∵AD∥BC ‎∴∠ADE+∠BCE=180°‎ ‎∴∠EDO+∠ECO=90°即∠DOC=90°‎ ‎∵OE⊥DC，∠ODE=∠CDO ‎∴△ODE∽△CDO ‎∴即 ‎∴OD=‎ ‎∵在Rt△AOD中，AO=‎ ‎∴tan∠AOD==‎ ‎∴tan∠APE=‎ ‎【解析】无切点作垂直证半径，切线长定理，直角三角形的判定，相似三角形的运用、辅助线的作法 ‎【考点】切线的判定、切线长定理、圆周角定理、相似三角形、三角函数 http://www.czsx.com.cn ‎5. （2020•湖南省长沙市·6分）计算：|﹣3|﹣（﹣1）0+cos45°+（）﹣1．‎ ‎【分析】首先化简绝对值，求零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，再按顺序进行加减运算．‎ ‎【解答】解：原式＝3﹣1+4‎ ‎＝2+1+4‎ ‎＝7．‎ ‎【点评】本题主要考查了化简绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，熟练掌握实数的运算法则是解答此题的关键．‎ ‎6. (2020•江苏省泰州市•6分)计算：(－π)0+－sin60°.‎ ‎【分析】(1)先计算零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得；‎ ‎【解答】解：原式＝1+2－×＝1+2－＝.‎ ‎【点评】本题考查零指数幂、负整数指数幂、特殊三角函数值及二次根式的有关计算，熟练掌握以上性质是解题的关键.‎ ‎7. (2020•江苏省扬州市•4分)计算：2sin60°+()－1－．‎ ‎【分析】‎ 直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案；‎ ‎【解答】解：(1)原式＝2×+2－2＝+2－2＝2－；‎ ‎【点评】此题主要考查了实数的有关运算，正确掌握特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的化简是解题关键．‎ ‎8.‎ ‎9.‎ ‎10.‎