数学华东师大版九年级上册教案21-2 二次根式的乘除 第3课时 3页

1 21.2 二次根式的乘除 第 3 课时 教学目标 1．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算； 2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算． 教学重难点 【教学重点】 二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质. 【教学难点】 运用已学性质进行二次根式的化简与运算. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入 计算下列各题，观察有什么规律？ (1) 36 49 ＝________； 36 49 ＝________． (2) 9 16 ＝________； 9 16 ＝________． 36 49 ________ 36 49 ； 9 16 ________ 9 16 . 二、合作探究 探究点一：二次根式的除法 【类型一】 二次根式的除法运算 例 1：计算： (1) 0.76 0.19 ；(2)－ 12 3 ÷ 5 54 ； (3) 6a2b 2ab ；(4) 5÷ －5 14 5 . 解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除 时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分． 解：(1) 0.76 0.19 ＝ 0.76 0.19 ＝ 4＝2； (2)－ 12 3 ÷ 5 54 ＝－ 12 3 ÷ 5 54 ＝－ 5 3 ×54 5 ＝－ 18＝－3 2； (3) 6a2b 2ab ＝ 6a2b 2ab ＝ 3a； 2 (4) 5÷ －5 14 5 ＝－ 5÷5 9 5 ＝－ 5×1 5 × 5 9 ＝－1 5 ×5 3 ＝－1 3 . 方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个 数的倒数”进行约分化简． 【类型二】 二次根式的乘除混合运算 例 2：计算： (1)9 45÷3 21 2 ×3 2 22 3 ； (2)a2· ab·b b a ÷ 9b2 a . 解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算． 解：(1)原式＝9×1 3 ×3 2 × 45×2 5 ×8 3 ＝18 3； (2)原式＝a2·b· ab·b a · a 9b2＝a2b 3 a. 方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意 运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数． 探究点二：商的算术平方根的性质 【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围 例 3：若 a 2－a ＝ a 2－a ，则 a 的取值范围是( ) A．a＜2 B．a≤2 C．0≤a＜2 D．a≥0 解析：根据题意得 a≥0， 2－a＞0， 解得 0≤a＜2.故选 C. 方法总结：运用商的算术平方根的性质： b a ＝ b a (a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非 负数且分母不等于零这一条件． 【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式 例 4：化简： (1) 17 9 ； (2) 3c3 4a4b2(a＞0，b＞0，c＞0)． 解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1) 17 9 ＝ 16 9 ＝ 16 9 ＝4 3 ； (2) 3c3 4a4b2＝ 3c3 4a4b2 ＝ c 2a2b 3c. 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含 分母，从而化为最简二次根式． 探究点三：最简二次根式 例 5：在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由． (1) 45；(2) 1 3 ；(3) 5 2 ；(4) 0.5；(5) 14 5 . 3 解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可． 解：(1) 45＝3 5，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式； (2) 1 3 ＝ 3 3 ，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； (3) 5 2 ，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次 根式； (4) 0.5＝ 1 2 ＝ 2 2 ，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式； (5) 14 5 ＝ 9 5 ＝3 5 5 ，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 探究点四：二次根式除法的综合运用 例 6：座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为 T＝2π l g ， 其中 T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g＝9.8 米/秒 2，假若一台座钟摆长为 0.5 米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在 1 分钟内，该座钟大约发出了多少次滴 答声(π≈3.14)? 解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得 到次数． 解：∵T＝2π 0.5 9.8 ≈1.42，60 T ＝ 60 1.42 ≈42(次)，∴在 1 分钟内，该座钟大约发出了 42 次 滴答声． 方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要 注意代入数据的单位是否统一． 三、板书设计 1．二次根式的除法运算 2．商的算术平方根 3．最简二次根式 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 四、教学反思 在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质，对 比、归纳得到商的算术平方根的性质．在此过程中应给予适当的指导，可提出问题让学生有 一定的探索方向．在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问题，让学生 自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得 到升华，学生的创新精神得到发展．