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  • 2021-11-10 发布

河北省石家庄市启明学校2020-2021学年第一学期九年级数学期末模拟测试题(五)

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河北省石家庄市启明学校 2020-2021 学年第一学期九年级数学期末模拟测试题(五) 一、选择题(本大题共 14 个小题,共 34 分.1~8 小题各 3 分,9~14 小题各 2 分.在每小题 给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1.(3 分)一元二次方程 2x2+3x﹣4=0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A.2,﹣3,﹣4 B.2,3,4 C.2,﹣3,4 D.2,3,﹣4 2.(3 分)计算:( )﹣1﹣tan60°•cos30°=( ) A.﹣ B.1 C. D. 3.(3 分)如图, ⊙ O 是△ABC 的外接圆,∠OCB=40°,则∠A 的大小为( ) A.40° B.50° C.80° D.100° 4.(3 分)如图,△ABC 中,DE∥BC,AD:DB=1:2,下列选项正确的是( ) A.DE:BC=1:2 B.AE:AC=1:3 C.BD:AB=1:3 D.S△ADE:S△ABC=1:4 5.(3 分)为了估计某地区供暖期间空气质量情况,某同学在 20 天里做了如下记录: 其中 ω <50 时空气质量为优,50≤ ω ≤100 时空气质量为良,100< ω ≤150 时空气质量为 轻度污染.若按供暖期 125 天计算,请你估计该地区在供暖期间空气质量达到良以上(含 良)的天数为( ) 污染指数 ( ω ) 40 60 80 100 120 140 天数(天) 3 2 3 4 5 3 A.75 B.65 C.85 D.100 6.(3 分)反比例函数 y= 的图象如图所示,以下结论: ① 常数 m<﹣2; ② 若 A(﹣1,h),B(2,k)在图象上,则 h<k; ③ y 随 x 的增大而减小; ④ 若 P(x,y)在图象上,则 P'(﹣x,﹣y)也在图象上. 其中正确的是( ) A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④ 7.(3 分)如图,是小孔成像原理的示意图,根据图所标注的尺寸,这支蜡烛在暗盒中所成 的像 CD 的长是( ) A. B. C. D.1 cm 8.(3 分)图中两个四边形是位似图形,它们的位似中心是( ) A.点 M B.点 N C.点 O D.点 P 9.(2 分)某校科技实践社团制作实践设备,小明的操作过程如下 ① 小明取出老师提供的圆形细铁环,先找到圆心 O,再任意找出圆 O 的一条直径标记为 AB(如图 1),测量出 AB=8 分米; ② 将圆环进行翻折使点 B 落在圆心 O 的位置,翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点 分别标记为 C、D(如图 2). ③ 用一细橡胶棒连接 C、D 两点(如图 3); ④ 计算出橡胶棒 CD 的长度. 小明计算橡胶棒 CD 的长度为( ) A.4 分米 B.2 分米 C.2 分米 D.3 分米 10.(2 分)如图,在平面直角坐标系中,点 P(1,2.5)、Q(m,n)在函数 y= (x>0) 的图象上,当 m>1 时,过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线,垂足为点 A,B;过点 Q 分别 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足为点 C、D.QD 交 PA 于点 E,随着 m 的增大,四边形 ACQE 的面积( ) A.增大 B.先增大后减小 C.先减小后增大 D.减小 11.(2 分)在湖边高出水面 40m 的山顶 A 处看见一架无人机停留在湖面上空某处,观察到 无人机底部标志 P 处的仰角为 45°,又观其在湖中之像的俯角为 60°,则无人机底部 P 距离湖面的高度是( ) A.(40 +40)m B.(40 +80)m C.(50 +100)m D.(50 +50)m 12.(2 分)如图,△ABC 中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开, 剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( ) A. B. C. D. 13.(2 分)如图,一圆弧过方格的格点 A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系,使点 A 的坐标为(﹣3,2),则该圆弧所在圆心坐标是( ) A.(0,0) B.(﹣2,1) C.(﹣2,﹣1) D.(0,﹣1) 14.(2 分)如图,在边长为 1 的正方形 ABCD 中,动点 F,E 分别以相同的速度从 D,C 两 点同时出发向 C 和 B 运动(任何一个点到达即停止),连接 AE、BF 交于点 P,过点 P 作 PM∥CD 交 BC 于 M 点,PN∥BC 交 CD 于 N 点,连接 MN,在运动过程中则下列结 论: ① △ABE≌△BCF; ② AE=BF; ③ AE⊥BF; ④ CF2=PE•BF; ⑤ 线段 MN 的最小 值为 .其中正确的结论有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 15.(3 分)若 = ,则 = . 16.(3 分)如图,已知圆锥的高为 8,底面圆的直径为 12,则此圆锥的侧面积是 . 17.(3 分)某商品售价 y(元/件)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价 与月需求量 x(件)成反比例根据表格写出 y 与 x 的函数关系式 . 售价 y(元/件) 11 10 需求量 x(件/月) 100 120 18.(3 分)如图所示,n+1 个直角边长为 3 的等腰直角三角形△AB1C1,△C1B2C2……,斜 边在同一直线上,设△B2D1C1 的面积为 S1,△B3D2C2 的面积为 S2,…,△Bn+1Dn ∁ n 的面 积为 Sn,则 S1= ;S2= ;Sn= . 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 54 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(8 分)已知关于 x 的一元二次方程 kx2﹣4x+2=0 有两个不相等的实数根. (1)求实数 k 的取值范围; (2)写出满足条件的 k 的最大整数值,并求此时方程的根. 20.(8 分)我区某中学开展“社会主义核心价值观”演讲比赛活动,九(1)、九(2)班根 据初赛成绩各选出 5 名选手参加复赛,两个班各选出的 5 名选手的复赛成绩(满分为 100 分)如图所示.根据图中数据解决下列问题: (1)九(1)班复赛成绩的中位数是 分,九(2)班复赛成绩的众数是 分; (2)小明同学已经算出了九(1)班复赛的平均成绩 =85 分; 方差 S2= [(85﹣85)2+(75﹣85)2+(80﹣85)2+(85﹣85)2+(100﹣85)2]=70(分 2), 请你求出九(2)班复赛的平均成绩 和方差 S22; (3)根据(2)中计算结果,分析哪个班级的复赛成绩较好? 21.(8 分)如图,一次函数 y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数 y= (k≠0)的图象相 交于 A、B 两点且点 A 的坐标为(3,1),点 B 的坐标(﹣1,n). (1)分别求两个函数的解析式; (2)求△AOB 的面积. 22.(10 分)如图,点 G 是边长为 4 的正方形 ABCD 的边 BC 上的一点,矩形 DEFG 的边 EF 过点 A,GD=5. (1)寻找并证明图中的两组相似三角形; (2)求 HG、FG 的长. 23.(10 分)随着正定旅游业的快速发展,外来游客对住宿的需求明显增大,某宾馆拥有的 床位数不断增加. (1)该宾馆床位数从 2016 年底的 200 个增长到 2018 年底的 288 个,求该宾馆这两年(从 2016 年底到 2018 年底)拥有的床位数的年平均增长率; (2)根据市场表现发现每床每日收费 40 元,288 张床可全部租出,若每床每日收费提 高 10 元,则租出床位减少 20 张.若想平均每天获利 14880 元,同时又减轻游客的经济 负担每张床位应定价多少元? 24.(10 分)如图,点 A 在数轴上对应的数为 20,以原点 O 为圆心,OA 为半径作优弧 , 使点 B 在 O 右下方,且 tan∠AOB= ,在优弧 上任取一点 P,且能过 P 作直线 l∥ OB 交数轴于点 Q,设 Q 在数轴上对应的数为 x,连接 OP. (1)若优弧上一段 的长为 10 π ,求∠AOP 的度数及 x 的值. (2)若线段 PQ 的长为 10,求这时 x 的值. 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 14 个小题,共 34 分.1~8 小题各 3 分,9~14 小题各 2 分.在每小题 给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1.(3 分)一元二次方程 2x2+3x﹣4=0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A.2,﹣3,﹣4 B.2,3,4 C.2,﹣3,4 D.2,3,﹣4 【分析】根据一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a,b,c 是常数且 a≠0)中,ax2 叫二次项,bx 叫一次项,c 是常数项.其中 a,b,c 分别叫二次项系数,一次项系数, 常数项,直接进行判断即可. 【解答】解:一元二次方程 2x2+3x﹣4=0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 2, 3,﹣4. 故选:D. 2.(3 分)计算:( )﹣1﹣tan60°•cos30°=( ) A.﹣ B.1 C. D. 【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值代入求出答案. 【解答】解:原式=2﹣ × =2﹣ = . 故选:C. 3.(3 分)如图, ⊙ O 是△ABC 的外接圆,∠OCB=40°,则∠A 的大小为( ) A.40° B.50° C.80° D.100° 【分析】根据圆周角定理即可求出答案 【解答】解:∵OB=OC ∴∠BOC=180°﹣2∠OCB=100°, ∴由圆周角定理可知:∠A= ∠BOC=50° 故选:B. 4.(3 分)如图,△ABC 中,DE∥BC,AD:DB=1:2,下列选项正确的是( ) A.DE:BC=1:2 B.AE:AC=1:3 C.BD:AB=1:3 D.S△ADE:S△ABC=1:4 【分析】由 DE∥BC,易得△ADE∽△ABC,再由 AD:DB=1:2,推出 AD:AB=1:3, 据此求出 DE:BC,AE:AC,BD:AB,S△ADE:S△ABC,从而得出正确选项. 【解答】解:已知 AD:DB=1:2, ∴AD:AB=1:3,BD:AB=2:3, ∵△ABC 中,DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴AE:AC=AD:AB=DE:BC=1:3, S△ADE:S△ABC=(1:3)2=1:9, 所以只有 B 正确. 故选:B. 5.(3 分)为了估计某地区供暖期间空气质量情况,某同学在 20 天里做了如下记录: 其中 ω <50 时空气质量为优,50≤ ω ≤100 时空气质量为良,100< ω ≤150 时空气质量为 轻度污染.若按供暖期 125 天计算,请你估计该地区在供暖期间空气质量达到良以上(含 良)的天数为( ) 污染指数 ( ω ) 40 60 80 100 120 140 天数(天) 3 2 3 4 5 3 A.75 B.65 C.85 D.100 【分析】20 天中空气质量达到良以上的有 12 天,即所占比例为 = ,然后乘以 125 即可求出供暖期间空气质量达到良以上(含良)的天数. 【解答】解:∵在被抽查的样本中空气质量达到良以上(含良)的天数所占百分比为 ×100%=60%, ∴估计该地区在供暖期间空气质量达到良以上(含良)的天数为 125×60%=75(天), 故选:A. 6.(3 分)反比例函数 y= 的图象如图所示,以下结论: ① 常数 m<﹣2; ② 若 A(﹣1,h),B(2,k)在图象上,则 h<k; ③ y 随 x 的增大而减小; ④ 若 P(x,y)在图象上,则 P'(﹣x,﹣y)也在图象上. 其中正确的是( ) A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④ 【分析】根据反比例函数的性质得到 m>0,则可对 ①③ 进行判断;根据反比例函数图 象上点的坐标特征对 ③④ 进行判断. 【解答】解:∵反比例函数图象经过第一、三象限, ∴m>0,所以 ① 错误; 在每一象限,y 随 x 的增大而减小,所以 ③ 错误; ∵A(﹣1,h),B(2,k)在图象上, ∴h=﹣m,k= , 而 m>0, ∴h<k,所以 ② 正确; ∵m=xy=(﹣x)•(﹣y), ∴若 P(x,y)在图象上,则 P'(﹣x,﹣y)也在图象上,所以 ④ 正确. 故选:D. 7.(3 分)如图,是小孔成像原理的示意图,根据图所标注的尺寸,这支蜡烛在暗盒中所成 的 像 CD 的长是( ) A. B. C. D.1 cm 【分析】据小孔成像原理可知△AOB∽△COD,利用它们的对应边成比例就可以求出 CD 之长. 【解答】解:如图过 O 作直线 OE⊥AB,交 CD 于 F, 依题意 AB∥CD ∴OF⊥CD ∴OE=12,OF=2 而 AB∥CD 可以得△AOB∽△COD ∵OE,OF 分别是它们的高 ∴ , ∵AB=6, ∴CD=1, 故选:D. 8.(3 分)图中两个四边形是位似图形,它们的位似中心是( ) A.点 M B.点 N C.点 O D.点 P 【分析】根据位似变换的定义:对应点的连线交于一点,交点就是位似中心.即位似中 心一定在对应点的连线上. 【解答】解:点 P 在对应点 M 和点 N 所在直线上,再利用连接另两个对应点,得出相交 于 P 点,即可得出 P 为两图形位似中心, 故选:D. 9.(2 分)某校科技实践社团制作实践设备,小明的操作过程如下 ① 小明取出老师提供的圆形细铁环,先找到圆心 O,再任意找出圆 O 的一条直径标记为 AB(如图 1),测量出 AB=8 分米; ② 将圆环进行翻折使点 B 落在圆心 O 的位置,翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点 分别标记为 C、D(如图 2). ③ 用一细橡胶棒连接 C、D 两点(如图 3); ④ 计算出橡胶棒 CD 的长度. 小明计算橡胶棒 CD 的长度为( ) A.4 分米 B.2 分米 C.2 分米 D.3 分米 【分析】作 OE⊥CD 于 E 交 ⊙ O 于 F.证明△OCF 是等边三角形即可解决问题. 【解答】解:作 OE⊥CD 于 E 交 ⊙ O 于 F. ∵CD 垂直平分 OF, ∴CO=CF, ∴CO=CF=OF, ∴△OCF 是等边三角形, ∵OC=4, ∴CE=OC•cos30°=2 , ∵OE⊥CD, ∴CE=ED, ∴CD=2CE=4 , 故选:A. 10.(2 分)如图,在平面直角坐标系中,点 P(1,2.5)、Q(m,n)在函数 y= (x>0) 的图象上,当 m>1 时,过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线,垂足为点 A,B;过点 Q 分别 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足为点 C、D.QD 交 PA 于点 E,随着 m 的增大,四边形 ACQE 的面积( ) A.增大 B.先增大后减小 C.先减小后增大 D.减小 【分析】首先利用 m 和 n 表示出 AC 和 CQ 的长,则四边形 ACQE 的面积即可利用 m、n 表示,然后根据函数的性质判断. 【解答】解:由题意可得:AC=m﹣1,CQ=n 则 S 四边形 ACQE=AC•CQ=(m﹣1)n=mn﹣n ∵P(1,2.5)、Q(m,n)在函数 的图象上, ∴mn=k=2.5(常数) ∴S 四边形 ACQE=2.5﹣n ∴当 m>1 时,n 随 m 的增大而减小, ∴S 四边形 ACQE=2.5﹣n 随 m 的增大而增大 故选:A. 11.(2 分)在湖边高出水面 40m 的山顶 A 处看见一架无人机停留在湖面上空某处,观察到 无人机底部标志 P 处的仰角为 45°,又观其在湖中之像的俯角为 60°,则无人机底部 P 距离湖面的高度是( ) A.(40 +40)m B.(40 +80)m C.(50 +100)m D.(50 +50)m 【分析】设 AE=x,则 PE=AE=x,根据山顶 A 处高出水面 40m,得出 OE=40,OP′ =x+40,根据∠P′AE=60°,得出 P′E= x,从而列出方程,求出 x 的值即可. 【解答】解:设 AE=xm, 在 Rt△AEP 中∠PAE=45°,则∠P=45°, ∴PE=A E=x, ∵山顶 A 处高出水面 40m, ∴OE=40m, ∴OP′=OP=PE+OE=x+40, ∵∠P′AE=60°, ∴P′E=tan60°•AE= x, ∴OP′=P′E﹣OE= x﹣40, ∴x+40= x﹣40, 解得:x=40( +1), ∴PO=PE+OE=40( +1)+40=40 +80(m), 即无人机距湖面的高度是(40 +80)m. 故选:B. 12.(2 分)如图,△ABC 中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开, 剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可. 【解答】解:A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选 项错误; B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误; C、两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项正确; D、两三角形对应边成比例(4﹣1):6=(6﹣4):4 且夹角相等,故两三角形相似,故 本选项错误. 故选:C . 13.(2 分)如图,一圆弧过方格的格点 A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系,使点 A 的坐标为(﹣3,2),则该圆弧所在圆心坐标是( ) A.(0,0) B.(﹣2,1) C.(﹣2,﹣1) D.(0,﹣1) 【分析】根据垂径定理可得:分别作 AC 与 AB 的垂直平分线,相交于点 O,则点 O 即是 该圆弧所在圆的圆心.然后由点 A 的坐标为(﹣3,2),即可得到点 O 的坐标. 【解答】解:如图:分别作 AC 与 AB 的垂直平分线,相交于点 O, 则点 O 即是该圆弧所在圆的圆心. ∵点 A 的坐标为(﹣3,2), ∴点 O 的坐标为(﹣2,﹣1). 故选:C. 14.(2 分)如图,在边长为 1 的正方形 ABCD 中,动点 F,E 分别以相同的速度从 D,C 两 点同时出发向 C 和 B 运动(任何一个点到达即停止),连接 AE、BF 交于点 P,过点 P 作 PM∥CD 交 BC 于 M 点,PN∥BC 交 CD 于 N 点,连接 MN,在运动过程中则下列结 论: ① △ABE≌△BCF; ② AE=BF; ③ AE⊥BF; ④ CF2=PE•BF; ⑤ 线段 MN 的最小 值为 .其中正确的结论有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【分析】由正方形的性质及条件可判断出 ① △ABE≌△BCF,即可判断出 ② AE=BF,∠ BAE=∠CBF,再根据∠BAE+∠BEA=90°,可得 ∠CBF+∠BEA=90°,可得出∠APB =90°,即可判断 ③ ,由△BPE∽△BCF,利用相似三角形的性质,结合 CF=BE 可判 断 ④ ;然后根据点 P 在运动中保持∠APB=90°,可得点 P 的路径是一段以 AB 为直径 的弧,设 AB 的中点为 G,连接 CG 交弧于点 P,此时 CP 的长度最小,最后在 Rt△BCG 中,根据勾股定理,求出 CG 的长度,再求出 PG 的长度,即可求出线段 CP 的最小值, 可判断 ⑤ . 【解答】解:∵动点 F,E 的速度相同, ∴DF=CE, 又∵CD=BC, ∴CF=BE, 在△ABE 和△BCF 中, ∴△ABE≌△BCF(SAS),故 ① 正确; ∴∠BAE=∠CBF,AE=BF,故 ② 正确; ∵∠BAE+∠BEA=90°, ∴∠CBF+∠BEA=90°, ∴∠APB=90°,故 ③ 正确; 在△BPE 和△BCF 中, ∵∠BPE=∠BCF,∠PBE=∠CBF, ∴△BPE∽△BCF, ∴ , ∴CF•BE=PE•BF, ∵CF=BE, ∴CF2=PE•BF,故 ④ 正确; ∵点 P 在运动中保持∠APB=90°, ∴点 P 的路径是一段以 AB 为直径的弧, 如图,设 AB 的中点为 G,连接 CG 交弧于点 P,此时 CP 的长度最小, 在 Rt△BCG 中,CG= , ∵PG= AB= , ∴MN=CP=CG﹣PG= , 即线段 MN 的最小值为 ,故 ⑤ 错误; 综上可知正确的有 4 个, 故选:C. 二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 15.(3 分)若 = ,则 = . 【分析】直接利用已知表示出 a,b 的值,进而代入求出答案案. 【解答】解:∵ = , ∴设 a=3x,则 b=7x, 则 = = . 故答案为: . 16.(3 分)如图,已知圆锥的高为 8,底面圆的直径为 12,则此圆锥的侧面积是 60 π . 【分析】圆锥的侧面积是一个扇形,根据扇形公式计算即可. 【解答】解:底面圆的直径为 12, 则半径为 6, ∵圆锥的高为 8, 根据勾股定理可知:圆锥的母线长为 10. 根据周长公式可知:圆锥的底面周长=12 π , ∴扇形面积=10×12 π ÷2=60 π . 故答案为 60 π . 17.(3 分)某商品售价 y(元/件)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价 与月需求量 x(件)成反比例根据表格写出 y 与 x 的函数关系式 y= . 售价 y(元/件) 11 10 需求量 x(件/月) 100 120 【分析】直接根据题意假设出函数关系式进而把已知数据代入求出答案. 【解答】解:由题意设 y 与 x 的函数关系式为:y= +b, 则 , 解得: , 故 y 与 x 的函数关系式为:y= +5, 故答案为:y= +5. 18.(3 分)如图所示,n+1 个直角边长为 3 的等腰直角三角形△AB1C1,△C1B2C2……,斜 边在同一直线上,设△B2D1C1 的面积为 S1,△B3D 2C2 的面积为 S2,…,△Bn+1Dn ∁ n 的 面积为 Sn,则 S1= ;S2= 3 ;Sn= . 【分析】连接 B1、B2、B3、B4、B5,则 B1B5∥AC5,通过三角形相似依次表示出 S1、S2、 S3、S4…Sn. 【解答】解:连接 B1、B2、B3、B4、B5,如图所示: ∵n+1 个直角边长为 的等腰直角三角形斜边在同一直线上, B1、B2、B3、B4、B5 的连线与直线 AC5 平行, ∵等腰直角三角形的直角边长为 3, ∴ = 由题意可知,△B1C1B2 为直角边为 3 的等腰直角三角形, ∴△AC1D1∽△B2B1D1 ∴ , S1= = × = 同理可得△B2D2B3∽△C2 D2A, ∴ ∴S2= = × =3, 同理可得:△B3D3B4∽△C3D3A, ∴ , = ∴S4= = , … Sn= = 故答案为: . 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 54 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(8 分)已知关于 x 的一元二次方程 kx2﹣4x+2=0 有两个不相等的实数根. (1)求实数 k 的取值范围; (2)写出满足条件的 k 的最大整数值,并求此时方程的根. 【分析】(1)利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k≠0 且△=42﹣4k•2>0, 然后求出两不等式的公共部分即可; (2)先确定 k 的最大整数值得到方程 x2﹣4x+2=0,然后利用因式分解法解方程即可. 【解答】解:(1)由题意得, b2﹣4ac>0 即 42﹣4k•2>0 解得:k<2, 又∵一元二次方程 k≠0 ∴k<2 且 k≠0; (2)∵k<2 且 k 取最大整数 ∴k=1, 当 k=1 时,x2﹣4x+2=0 解得,x1=2+ ,x2=2﹣ . 20.(8 分)我区某中学开展“社会主义核心价值观”演讲比赛活动,九(1)、九(2)班根 据初赛成绩各选出 5 名选手参加复赛,两个班各选出的 5 名选手的复赛成绩(满分为 100 分)如图所示.根据图中数据解决下列问题: (1)九(1)班复赛成绩的中位数是 85 分,九(2)班复赛成绩的众数是 100 分; (2)小明同学已经算出了九(1)班复赛的平均成绩 =85 分; 方差 S2= [(85﹣85)2+(75﹣85)2+(80﹣85)2+(85﹣85)2+(100﹣85)2]=70(分 2), 请你求出九(2)班复赛的平均成绩 和方差 S22; (3)根据(2)中计算结果,分析哪个班级的复赛成绩较好? 【分析】(1)利用众数、中位数的定义分别计算即可; (2)利用平 均数和方差的公式计算即可; (3)利用方差的意义进行判断. 【解答】解:(1)九(1)班成绩排序为:75,80,85,85,100,所以复赛成绩的中位 数是 85 分,九(2)班复赛成绩为 70,100,100,75,80,100 分出现了 2 次,所以众 数是 100 分; 故答案为:85,100; (2)九(2)班的选手的得分分别为 70,100,100,75,80, 所以九(2)班成绩的平均数 = (70+100+100+75+80)=85, 九(2)班的方差 S22= [(70﹣85)2+(100﹣85)2+(100﹣85)2+(75﹣85)2+(80 ﹣85)2]=160; (3)平均数一样的情况下,九(1)班方差小, 所以九(1)班的成绩比较稳定. 21.(8 分)如图,一次函数 y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数 y= (k≠0)的图象相 交于 A、B 两点且点 A 的坐标为(3,1),点 B 的坐标(﹣1,n). (1)分别求两个函数的解析式; (2)求△AOB 的面积. 【分析】(1)利用待定系数法求两个函数的解析式; (2)根据三角形面积公式可得结论. 【解答】解:(1)把点 A(3,1)代入 y= , 1= , 解得 k=3, ∴y= , 当 x=﹣1 时,y=﹣3, ∴点 B(﹣1,﹣3), 把点 A(3,1),点 B(﹣1,﹣3)代入 y=ax+b,得 , 解得 , 则一次函数的解析式为:y=x﹣2, ∴一次函数的解析式是 y=x﹣2,反比例函数的解析式是 y= , (2)由(1)知:y=x﹣2, 当 x=0 时,y=﹣2, S△AOB=S△AOC+S△BOC= ×|﹣2|×3+ ×|﹣2|×|﹣1|=4. 22.(10 分)如图,点 G 是边长为 4 的正方形 ABCD 的边 BC 上的一点,矩形 DEFG 的边 EF 过点 A,GD=5. (1)寻找并证明图中的两组相似三角形; (2)求 HG、FG 的长. 【分析】(1)根据正方形的性质和矩形的性质以及相似三角形的判定解答即可; (2)根据相似三角形的性 质解答即可. 【解答】证明:(1)∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠B=∠C=90° 又∵四边形 DEFG 是矩形 ∴∠FGD=90° ∴∠HGB+∠DGC=90° 又因为∠DGC +∠GDC=90° ∴∠GDC=∠HGB ∴△HGB∽△GDC, 相似三角形还有:△HGB∽△HAF,△DAE∽△DGC (2)在 Rt△DGC 中,∵GD=5,DC=4 ∴CG=3, ∴BG=1, ∵△HGB∽△GDC ∴ ∴HG= , ∵△DGC∽△DAE, ∴ ∴DE= ∵四边形 DEFG 是矩形, ∴FG=DE= . 23.(10 分)随着正定旅游业的快速发展,外来游客对住宿的需求明显增大,某宾馆拥有的 床位数不断增加. (1)该宾馆床位数从 2016 年底的 200 个增长到 2018 年底的 288 个,求该宾馆这两年(从 2016 年底到 2018 年底)拥有的床位数的年平均增长率; (2)根据市场表现发现每床每日收费 40 元,288 张床可全部租出,若每床每日收费提 高 10 元,则租出床位减少 20 张.若想平均每天获利 14880 元,同时又减轻游客的经济 负担每张床位应定价多少元? 【分析】(1)设该宾馆这两年床位的年平均增长率为 x,根据该宾馆 2016 年底及 2018 年底的床位数,即可得出关于 x 的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论; (2)设每张床位定价 m 元,根据总价=单价×数量,即可得出关于 m 的一元二次方程, 解之取其较小值即可得出结论. 【解答】解:(1)设该宾馆这两年床位的年平均增长率为 x, 依题意,得:200(1+x)2=288, 解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(舍去). 答:该宾馆这两年床位的年平均增长率为 20%. (2)设每张床位定价 m 元, 依题意,得:m(288﹣20• )=14880, 整理,得:m2﹣184m+7440=0, 解得 m1=60,m2=124. ∵为了减轻游客的经济负担, ∴x=60. 答:每张床位应定价 60 元. 24.(10 分)如图,点 A 在数轴上对应的数为 20,以原点 O 为圆心,OA 为半径作优弧 , 使点 B 在 O 右下方,且 tan∠AOB= ,在优弧 上任取一点 P,且能过 P 作直线 l∥ OB 交数轴于点 Q,设 Q 在数轴上对应的数为 x,连接 OP. (1)若优弧上一段 的长为 10 π ,求∠AOP 的度数及 x 的值. (2)若线段 PQ 的长为 10,求这时 x 的值. 【分析】(1)由 =10 π ,解得 n=90°,即∠POQ=90°,在 Rt△POQ 中,OP =20,tan∠PQO=tan∠QOB= ,即可得出 x 的值; (2)分 PQ 在点 O 的右侧和左侧三种情况讨论求解即可. 【解答】解:(1)如图 1, 由 =10 π , 解得 n=90°, ∴∠POQ=90°, ∵PQ∥OB, ∴∠PQO=∠BOQ, ∴tan∠PQO=tan∠QOB= = ∴OQ= ∴x= ; (2)分三种情况: ① 如图 2,作 OH⊥PQ 于 H,设 OH= k,QH=k.OQ=2k, 在 Rt△OPH 中,∵OP2=OH2+PH2, ∴202=( k)2+(10﹣k)2, 整理得:k2﹣5k﹣75=0, 解得 k= 或 k= (舍弃), ∴OQ=2k= 此时 x 的值为 ② 如图 3,作 OH⊥PQ 交 PQ 的延长线于 H.设 OH= k,QH=k. 在 Rt△在 Rt△OPH 中,∵OP2=OH2+PH2, ∴202=( k)2+(10+k)2, 整理得:k2+5k﹣75=0, 解得 k= 或 k= (舍弃), ∴OQ=2k= , 此时 x 的值为﹣ +5 ③ 如图 4,作 OH⊥PQ 于 H,设 OH= k,QH=k. 在 Rt△OPH 中,∵OP2=OH2+PH2, ∴202=( k)2+(10﹣k)2, 整理得:k2﹣5k﹣75=0 , 解得 k= 或 (舍弃), ∴OQ=2k= 此时 x 的值为 . 综上所述,满足条件的 x 的值为 或﹣ +5 或 .