2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题33 弧长、扇形面积、圆锥 27页

弧长、扇形面积、圆锥 ‎ 一.选择题 ‎1. （2020·四川省攀枝花市·3分）如图，直径AB＝6的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点A'，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A． B． C．π D．3π ‎【分析】由半圆A′B面积+扇形ABA′的面积﹣空白处半圆AB的面积即可得出阴影部分的面积．‎ ‎【解答】解：∵半圆AB，绕B点顺时针旋转30°，‎ ‎∴S阴影＝S半圆A′B+S扇形ABA′﹣S半圆AB ‎＝S扇形ABA′‎ ‎＝‎ ‎＝3π，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，熟记扇形面积公式和旋转前后不变的边是解题的关键．‎ ‎2. （2020•四川省遂宁市•4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为（　　）‎ A．4﹣ B．2﹣ C．2﹣π D．1﹣‎ ‎【分析】连接OD，OH⊥AC于H，如图，根据切线的性质得到OD⊥BC，则四边形ODCH 为矩形，所以OH＝CD＝，则OA＝OH＝2，接着计算出∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，然后利用扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE进行计算．‎ ‎【解答】解：连接OD，过O作OH⊥AC于H，如图，‎ ‎∵∠C＝90°，AC＝BC，‎ ‎∴∠B＝∠CAB＝45°，‎ ‎∵⊙O与BC相切于点D，‎ ‎∴OD⊥BC，‎ ‎∴四边形ODCH为矩形，‎ ‎∴OH＝CD＝，‎ 在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，‎ ‎∴OA＝OH＝2，‎ 在Rt△OBD中，∵∠B＝45°，‎ ‎∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，‎ ‎∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE ‎＝×2×2﹣‎ ‎＝2﹣π．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形面积的计算．‎ ‎3.（2020•宁夏省•3分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A．1﹣ B． C．2﹣ D．1+‎ ‎【分析】连接CD，利用切线的性质和等腰直角三角形的性质求出CD的值，再分别计算出扇形ECF的面积和等腰三角形ACB的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积．‎ ‎【解答】解：连接CD，如图，‎ ‎∵AB是圆C的切线，‎ ‎∴CD⊥AB，‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴AB＝AC＝×＝2，‎ ‎∴CD＝AB＝1，‎ ‎∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ECF ‎＝××﹣‎ ‎＝1﹣．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形的面积和等腰直角三角形的性质．‎ ‎4.（2020•内蒙古包头市•3分）如图，是的直径，是弦，点在直径的两侧．若，，则的长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求出的度数，根据得到半径，运用弧长公式计算即可．‎ ‎【详解】∵，，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴=．‎ 故答案选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了弧长的计算，通过已知条件计算出圆心角和半径是解题的关键．‎ ‎5. （2020山东省德州市4分）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ A．24﹣4π B．12+4π C．24+8π D．24+4π ‎【分析】设正六边形的中心为O，连接OA，OB首先求出弓形AmB的面积，再根据S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）求解即可．‎ ‎【解答】解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．‎ 由题意，OA＝OB＝AB＝4，‎ ‎∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，‎ ‎∴S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）＝6•（•π•22﹣π+4）＝24﹣4π，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查正多边形和圆，扇形的面积，弓形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．‎ ‎6. （2020•山东淄博市•4分）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（　　）‎ A．2π+2 B．3π C． D．+2‎ ‎【分析】利用弧长公式计算即可．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长 ‎＝++‎ ‎＝，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎7. . 2020年青海省如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ）‎ A. 3.6 B. 1.8 C. 3 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算阴影部分的圆心角度数，再计算阴影部分的弧长，再利用弧长计算圆锥底面的半径．‎ ‎【详解】由图知：阴影部分的圆心角的度数为：360°252°=108°‎ 阴影部分的弧长为：‎ 设阴影部分构成的圆锥的底面半径为r：则，即 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了扇形的弧长与其构成的圆锥之间的对应关系，熟练的把握这一对应关系是解题的关键．‎ ‎8. （2020•山东东营市•3分）用一个半径为面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•r•3=3π，然后解方程即可．‎ ‎【详解】解：根据题意得•2π•r•3=3π，‎ 解得r=1．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．‎ ‎9.（2020•山东聊城市•3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是（　　）‎ A．π B．2π C．3π D．4π ‎【分析】连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：连接OD，BC，‎ ‎∵CD⊥AB，OC＝OD，‎ ‎∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，‎ ‎∵OC∥BD，‎ ‎∴∠COB＝∠OBD，‎ ‎∴∠BOD＝∠OBD，‎ ‎∴OD＝DB，‎ ‎∴△BOD是等边三角形，‎ ‎∴∠BOD＝60°，‎ ‎∴∠BOC＝60°，‎ ‎∵DM＝CM，‎ ‎∴S△OBC＝S△OBD，‎ ‎∵OC∥DB，‎ ‎∴S△OBD＝S△CBD，‎ ‎∴S△OBC＝S△DBC，‎ ‎∴图中阴影部分的面积＝＝2π，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．‎ ‎10.（2020•山东聊城市•3分）如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（　　）‎ A．m B．m C．m D．m ‎【分析】根据已知条件求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得其高即可．‎ ‎【解答】解：设底面半径为rm，则2πr＝，‎ 解得：r＝，‎ 所以其高为：＝m，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面的半径，难度不大．‎ ‎ 11. （2020•四川省南充市•4分）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B运动路径的长度为（ ）‎ A. π B. 2π C. 3π D. 4π ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的的周长，然后根据圆的周长公式即可得到B点的运动路径长度为π．‎ ‎【详解】解：∵B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的的周长，‎ ‎∴，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了弧长的计算，熟悉相关性质是解题的关键．‎ ‎12. （2020•四川省乐山市•3分）在中，已知，，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出AC.AB，在根据求解即可．‎ ‎【详解】解：在Rt△ABC中，∵，‎ ‎∴AC=2BC=2，‎ ‎∴，‎ ‎∵绕点按逆时针方向旋转后得到，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了不规则图形面积的求法，熟记扇形面积公式，根据求解是解题关键．‎ 二、填空题 ‎1. （2020•新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团•5分）如图，圆的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°，若将扇形BAC剪下，围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意根据圆的半径为2，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC 的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π进行计算即可求解．‎ ‎【详解】解：作OD⊥AC于点D，连接OA，‎ ‎∴∠OAD=30°，AC=2AD，‎ ‎∴AC=2OA×cos30°=2，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆锥的底面圆的半径．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查圆锥的计算；注意掌握圆锥的侧面展开图弧长等于圆锥的底面周长；解题的关键是得到扇形的半径．‎ 二.填空题 ‎1. （2020•四川省自贡市•4分）如图，在矩形中，是上的一点，连接，将△进行翻折，恰好使点落在的中点处，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作半圆与相切于点;若，则图中阴影部分的面积为____ . ‎ ‎【解析】连接OG、OM，设圆的半径为r，∵CD是圆的切线，∴OG⊥CD，∴△DOG∽△DFC，∴，由翻折可得DF=DA=4，∵CF=BF=2，∴，∴，∴，∴‎ ‎，∴∠ODG=30°，∴∠DFC=∠FOM=60°，△OFM是等边三角形，∴∠DOM=120°，∴‎ ‎2. （2020•四川省凉山州•4分）如图，点C.D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则半圆的半径OA的长为　3　．‎ ‎【分析】连接OC.OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，列式计算就可．‎ ‎【解答】解：连接OC.OD.CD．‎ ‎∵△COD和△CBD等底等高，‎ ‎∴S△COD＝S△BCD．‎ ‎∵点C，D为半圆的三等分点，‎ ‎∴∠COD＝180°÷3＝60°，‎ ‎∴阴影部分的面积＝S扇形COD，‎ ‎∵阴影部分的面积是π，‎ ‎∴＝π，‎ ‎∴r＝3，‎ 故答案为3．‎ ‎【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是理解阴影部分的面积等于扇形OCD的面积．‎ ‎3.（2020•辽宁省营口市•3分）一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为　15π　．‎ ‎【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．‎ ‎【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，‎ ‎∴母线长为5，‎ ‎∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π，‎ 故答案为：15π ‎4.（2020山东省德州市4分）若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是　120　度．‎ ‎【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．‎ ‎【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π（cm），‎ 设圆心角的度数是n度．则＝4π，‎ 解得：n＝120．‎ 故答案为：120．‎ ‎【点评】此题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．‎ ‎5.（2020•四川省成都市•4分）如图，六边形是正六边形，曲线…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按，，，，，循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当时，曲线的长度是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用弧长公式，分别计算出，，，，，的长，然后将所有弧长相加即可.‎ ‎【详解】解：根据题意，得=；‎ ‎=；‎ ‎=；‎ ‎=；‎ ‎=；‎ ‎=.‎ 曲线的长度是=.‎ 故答案是：.‎ ‎【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟练运用弧长公式进行计算是解题得关键.‎ ‎6. （2020•山东菏泽市•3分）如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为　2﹣π　．‎ ‎【分析】连接OD，根据菱形的性质得到OA＝AB，得到△OAB为等边三角形，根据切线的性质得到OD⊥AB，根据余弦的定义求出OD，根据菱形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．‎ ‎【解答】解：连接OD，‎ ‎∵四边形OABC为菱形，‎ ‎∴OA＝AB，‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴OA＝OB＝AB，‎ ‎∴△OAB为等边三角形，‎ ‎∴∠A＝∠AOB＝60°，‎ ‎∵AB是⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥AB，‎ ‎∴OD＝OA•sinA＝，‎ 同理可知，△OBC为等边三角形，‎ ‎∴∠BOC＝60°，‎ ‎∴图中阴影部分的面积＝2×﹣＝2﹣π，‎ 故答案为：2﹣π．‎ ‎【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握切线的性质定理、扇形面积公式是解题的关键．‎ ‎7. (2020•山东省青岛市•3分)如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N．已知∠BAC＝120°，AB+AC＝16，的长为π，则图中阴影部分的面积为　 　．‎ ‎【分析】连接OM、ON，根据半圆分别与AB，AC相切于点M，N．可得OM⊥AB，ON⊥AC，由∠BAC＝120°，可得∠MON＝60°，得∠MOB+∠NOC＝120°，再根据的长为π，可得OM＝ON＝r＝3，连接OA，根据Rt△AON中，∠AON＝30°，ON＝3，可得AM＝AN＝，进而可求图中阴影部分的面积．‎ ‎【解答】解：如图，连接OM、ON，‎ ‎∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．∴OM⊥AB，ON⊥AC，‎ ‎∵∠BAC＝120°，∴∠MON＝60°，∴∠MOB+∠NOC＝120°，‎ ‎∵的长为π，∴＝π，∴r＝3，∴OM＝ON＝r＝3，‎ 连接OA，在Rt△AON中，∠AON＝30°，ON＝3，∴AN＝，∴AM＝AN＝，‎ ‎∴BM+CN＝AB+AC－(AM+AN)＝16－2，‎ ‎∴S阴影＝S△OBM+S△OCN－(S扇形MOE+S扇形NOF)＝3×(BM+CN)－()‎ ‎＝(16－2)－3π＝24－3－3π．故答案为：24－3－3π．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．‎ ‎8. (2020•山东省泰安市•4分)如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是　 ．‎ ‎【分析】连接OA，易求得圆O的半径为8，扇形的圆心角的度数，然后根据S阴影＝S△AOB+S扇形OAD+S扇形ODE－S△BCD即可得到结论．‎ ‎【解答】解：连接OA，∵∠ABO＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，‎ ‎∵AB＝8，∴⊙O的半径为8，∵AD∥OB，∴∠DAO＝∠AOB＝60°，‎ ‎∵OA＝OD，∴∠AOD＝60°，∵∠AOB＝∠AOD＝60°，∴∠DOE＝60°，‎ ‎∵DC⊥BE于点C，∴CD＝OD＝4，OC＝＝4，∴BC＝8+4＝12，‎ S阴影＝S△AOB+S扇形OAD+S扇形ODE－S△BCD＝×+2×－‎ ‎＝－8故答案为－8．‎ ‎【点评】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．‎ ‎9. (2020•山东省潍坊市•3分)如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是　 　．‎ ‎【分析】曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，到ADn－1＝AAn＝4(n－1)+1，BAn＝BBn＝4(n－1)+2，再计算弧长．‎ ‎【解答】解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，…，ADn－1＝AAn＝4(n－1)+1，BAn＝BBn＝4(n－1)+2，‎ 故的半径为BA2020＝BB2020＝4(2020－1)+2＝8078，的弧长＝．故答案为4039π．‎ ‎【点评】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．‎ ‎10. （2020•甘肃省天水市•4分）如图所示，若用半径为8，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的底面半径是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据半径为8，圆心角为120°的扇形弧长，等于围成的圆锥的底面周长，列方程求解即可．‎ ‎【详解】解：设圆锥的底面半径为，‎ 由题意得，，‎ 解得，，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了弧长的计算公式，扇形与围成的圆锥底面圆的周长之间的关系，明确扇形的弧长与围成的圆锥的底面圆的周长的关系是正确解答本题的关键，本题就是把的扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长作为相等关系，列方程求解．‎ ‎11.（2020•贵州省黔西南州•3分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为　﹣　．‎ ‎【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH＝S四边形DMCN，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．‎ ‎【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．‎ ‎∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，‎ ‎∴DC＝AB＝1，四边形DMCN是正方形，DM＝．‎ 则扇形FDE的面积是：＝．‎ ‎∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，‎ ‎∴CD平分∠BCA，‎ 又∵DM⊥BC，DN⊥AC，‎ ‎∴DM＝DN，‎ ‎∵∠GDH＝∠MDN＝90°，‎ ‎∴∠GDM＝∠HDN，‎ 在△DMG和△DNH中，‎ ‎，‎ ‎∴△DMG≌△DNH（AAS），‎ ‎∴S四边形DGCH＝S四边形DMCN＝．‎ 则阴影部分的面积是：﹣．‎ 故答案为﹣．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH＝S四边形DMCN是关键．‎ ‎12.（2020•福建省•4分）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为　4π　．（结果保留π）‎ ‎【分析】利用扇形的面积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：S扇形＝＝4π，‎ 故答案为4π．‎ ‎【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积＝＝lr（r是扇形的半径，l是扇形的弧长）．‎ 三.解答题 ‎1. （2020•山东临沂市•9分）已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O2的切线；‎ ‎（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分的面积．‎ ‎【分析】（1）由题意得出O1P＝AP＝O2P＝，则可得出∠O1AO2＝90°，由平行线的性质可得出∠O1BC＝90°，过点O2作O2D⊥BC交BC的延长线于点D，证得O2D＝r2，则可得出结论；‎ ‎（2）由直角三角形的性质求出∠BO1C＝60°，由勾股定理求出BC长，则可根据S阴影＝求出答案．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AP，‎ ‎∵以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，‎ ‎∴O1P＝AP＝O2P＝，‎ ‎∴∠O1AO2＝90°，‎ ‎∵BC∥O2A，‎ ‎∴∠O1BC＝∠O1AO2＝90°，‎ 过点O2作O2D⊥BC交BC的延长线于点D，‎ ‎∴四边形ABDO2是矩形，‎ ‎∴AB＝O2D，‎ ‎∵O1A＝r1+r2，‎ ‎∴O2D＝r2，‎ ‎∴BC是⊙O2的切线；‎ ‎（2）解：∵r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，‎ ‎∴O1A＝，‎ ‎∴∠BO1C＝60°，‎ ‎∴O1C＝2O1B＝4，‎ ‎∴BC＝＝＝2，‎ ‎∴S阴影＝＝＝﹣＝2﹣π．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定，平行线的性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键．‎ ‎2.（2020•江西省•9分）已知的两边分别与圆相切于点，，圆的半径为.‎ ‎（1）如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数；‎ ‎（2）如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由；‎ ‎（3）若交圆于点，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含的式子表示）.‎ ‎【解析】（1）如图1，连接OA，OB.‎ ‎∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°.∴∠AOB+∠APB=180°.∵∠APB=80°‎ ‎∴∠AOB=100°，∴∠ACB=50°‎ ‎（2）如图2，当∠APB=60°时，四边形APBC为菱形.连接OA，OB.‎ 由（1）可知∠AOB+∠APB=180°.∵∠APB=60°，∴∠AOB=120°.‎ ‎∴∠ACB=60°=∠APB.‎ ‎∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心.‎ ‎∵PA，PB为⊙O的切线，∴四边形APBC为轴对称图形.‎ ‎∴PA=PB，CA=CB，PC平分∠APB和∠ACB.‎ ‎∵∠APB=∠ACB=60°，∴∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30°‎ ‎∴PA=PB=CA=CB.∴四边形APBC为菱形 ‎（3）∵⊙O的半径为r，∴OA=r，OP=2r ‎∴，，∴∠AOP=60°，∴‎ ‎∴‎ ‎2.24．（2020•辽宁省本溪市•12分）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．‎ ‎（1）求证：DE与⊙A相切；‎ ‎（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．‎ ‎【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得∠DAE＝∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA＝∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论；‎ ‎（2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE＝BE，∠EAB＝60°，得到∠CAE＝∠ACB，得到CE＝BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AE，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD＝BC，AD∥BC，‎ ‎∴∠DAE＝∠AEB，‎ ‎∵AE＝AB，‎ ‎∴∠AEB＝∠ABC，‎ ‎∴∠DAE＝∠ABC，‎ ‎∴△AED≌△BAC（AAS），‎ ‎∴∠DEA＝∠CAB，‎ ‎∵∠CAB＝90°，‎ ‎∴∠DEA＝90°，‎ ‎∴DE⊥AE，‎ ‎∵AE是⊙A的半径，‎ ‎∴DE与⊙A相切；‎ ‎（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，‎ ‎∴△ABE是等边三角形，‎ ‎∴AE＝BE，∠EAB＝60°，‎ ‎∵∠CAB＝90°，‎ ‎∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，‎ ‎∴∠CAE＝∠ACB，‎ ‎∴AE＝CE，‎ ‎∴CE＝BE，‎ ‎∴S△ABC＝AB•AC＝＝8，‎ ‎∴S△ACE＝S△ABC＝＝4，‎ ‎∵∠CAE＝30°，AE＝4，‎ ‎∴S扇形AEF＝＝＝，‎ ‎∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4﹣．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．‎