沪科版九年级数学上册第21章 二次函数与反比例函数 教学课件 533页

沪科版九年级数学上册教学课件 21.1 二次函数 第21章 二次函数与反比例函数 沪科版九年级数学上册教学课件 学习目标 1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点） 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点） 沪科版九年级数学上册教学课件 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等 都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系 式表示？ 导入新课 情境引入 沪科版九年级数学上册教学课件导入新课 视频引入 思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗? 沪科版九年级数学上册教学课件 1.什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变 量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确 定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函 数. 3.一元二次方程的一般形式是什么？ 一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数 叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比 例函数. 2.什么是一次函数？正比例函数？ ax2+bx+c=0 (a≠0) 沪科版九年级数学上册教学课件 问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 . y=6x2 此式表示了正方 体表面积y与正方体棱 长x之间的关系，对于 x的每一个值，y都有 唯一的一个对应值， 即y是x的函数. 讲授新课 二次函数的定义一 探究归纳 沪科版九年级数学上册教学课件 问题2 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一 块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大， 则它的边长应是多少米？ 设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水 面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2， 则有  20S x x  2 20S x x   此式表示了边长x与围网的面积S之间的关 系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个 对应值，即S是x的函数. 沪科版九年级数学上册教学课件 问题3 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每 人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增 加1人，可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人 才能使每天装配玩具总数最多？最多为多少？ 设增加x 人，这时，则共有 个装配工,每 人每天可少装配_____个玩具，因此，每人每天只装配 个玩具.所以，增加人数后，每天装配玩 具总数y可表示为y=________________. (15+x) (190－10x) 整理为： y=－10x2+40x+2850 (190－10x)(15+x) 此式表示了每天装配玩具总 数y与增加x人之间的关系，对 于x的每一个值，y都有唯一的 一个对应值，即y是x的函数. 10x 沪科版九年级数学上册教学课件 y=6x2 2 20S x x   y=－10x2+40x+2850 问题1-3中函数关系式有什么共同点? 想一想 函数都是用 自变量的二次整 式表示的 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数的定义： 形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做 二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、 一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常 数项，但不能没有二次项. 归纳总结 沪科版九年级数学上册教学课件 例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自 变量） ① y=ax2+bx+c ② y=3-2x² ③y=x2 ④ ⑤y=x²+x³+25 ⑥ y=(x+3)²-x²2 1y x = 不一定是，缺少 a≠0的条件. 不是，右边 是分式. 不是，x的最 高次数是3. y=6x+9 典例精析 沪科版九年级数学上册教学课件 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数 和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函 数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊 形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等. 方法归纳 沪科版九年级数学上册教学课件 想一想:二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一 元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？ 联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0； (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c 中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y, 后者是0. 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数定义的应用二 例2 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数？ 解：（1）由题可知, 解得 = 2 2;m  （2）由题可知, 解得 m=3. 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而 得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视. 注意   2 73 .my m x   2 7 1, 3 0, m m       2 7 2, 3 0, m m       沪科版九年级数学上册教学课件 1.已知: ，k取什么值时，y是x的二次 函数？ kxky )2(  解：当 =2且k+2≠0，即k=-2时, y是x的二次函数.k 变式训练 2 22. ( 9) ( 2) 4y m x m x m     若函数 是二次函数，那么 取值范围是什么？ 解： 2 9 0m   ∴m≠±3 沪科版九年级数学上册教学课件 取值范围是什么？那么是二次函数 若函数 m， xmxmy mm 4)3()1(.3 122   2 2 1 2 1 0 m m m        3m m 的 取 值 范 围 是 【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概 念，这类题需紧扣概念的特征进行解题. 沪科版九年级数学上册教学课件 例3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档 次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高 一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件． (1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整 数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式； 解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元， 每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件， ∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元． ∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]， 即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)； 沪科版九年级数学上册教学课件 (2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求 该产品的质量档次． 解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120， 整理得 x2－18x＋72＝0， 解得 x1＝6，x2＝12(舍去)． 所以，该产品的质量档次为第6档． 【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意， 确定变量，建立函数模型． 沪科版九年级数学上册教学课件 思考： 1.已知二次函数y＝－10x2＋180x＋400 ,自变量x的取值 范围是什么？ 2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y＝－10x2＋ 180x＋400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？ 【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数， 但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题 有意义. 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数的值三 例4 一个二次函数 .2 3 4( 1) 2 1k ky k x x     （1）求k的值. （2）当x=0.5时，y的值是多少？ 解：（1）由题意，得 2 3 4 2, 1 0, k k k        解得 =2;k 将x=0.5代入函数关系式得 ， （2）当k=2时， 2 2 1y x x   20.5 2 0.5 1 0.25y      沪科版九年级数学上册教学课件 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次 项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件， 求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入 法将x的值代入其中，求出y的值. 归纳总结 沪科版九年级数学上册教学课件当堂练习 2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0 C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数 C 1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项 系数为______，常数项为 . 3．下列函数是二次函数的是 ( ) A．y＝2x＋1 B． C．y＝3x2＋1 D． 2y x  2 1 1y x   C -3x2 -16 12 沪科版九年级数学上册教学课件 4. 已知函数 y=3x2m-1－5 ① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数； ② 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 . 1 3 2 沪科版九年级数学上册教学课件 5.若函数 是二次函数，求：2 3 2( 4) a ay a x a    （1）a的值， (2) 函数关系式， （3）当x=-2时，y的值是多少？ 解：（1）由题意，得 2 3 2 2, 4 0, a a a        解得 = 1;a  （2）当a=-1时，函数关系式为 .2 2( 1 4) 1 5 1y x x       （3）将x=-2代入函数关系式中，有 25 ( 2) 1 21.y        沪科版九年级数学上册教学课件 6.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的 函数 （1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a（ cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函 数关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面 积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系． )0(4 2  xxy  )0(6 2  aaS )260(132 1)26(2 1 2  xxxxxS 沪科版九年级数学上册教学课件 7.某商店销售一种成本为每千克40元的商品，根据市场 分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销 售单价每涨1元，月销售量就减少10kg,针对这种商品的 销售情况，请解答下列问题： （1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销 售利润分别为多少？ （2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y 与x的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围） 元6750,kg450      40000140010 105050040 2   xx xxy 沪科版九年级数学上册教学课件 8.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y （cm2).求 （1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积. 解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)； (2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 . 沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结 二次函数 定 义 y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）一般形式 右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0. 特殊形式 y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）. 沪科版九年级数学上册教学课件 21.2 二次函数的图象和性质 1.二次函数y=ax²的图象和性质 沪科版九年级数学上册教学课件 学习目标 1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象 的特点.（难点） 3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用. （难点） 沪科版九年级数学上册教学课件导入新课 情境引入 沪科版九年级数学上册教学课件讲授新课 二次函数y=ax2的图象一 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 例1 画出二次函数y=x2的图象. 9 4 1 0 1 94 典例精析 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列 表表示几组对应值： 沪科版九年级数学上册教学课件 2 4-2-4 o 3 6 9 x y 2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面内描点（x,y） 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得 到y = x2 的图象． 沪科版九年级数学上册教学课件 -3 3o 3 6 9 当取更多个点时，函数y=x2的图象如下： x y 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的 路线,我们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点. 沪科版九年级数学上册教学课件 练一练：画出函数y=-x2的图象. y 2 4-2-4 0 -3 -6 -9 x x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 沪科版九年级数学上册教学课件 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次 函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. xo y=x2 议一议 1.y＝x2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． y 沪科版九年级数学上册教学课件 说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流. o x y y=-x2 1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点． 沪科版九年级数学上册教学课件 1. 顶点都在原点; 3.当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下． 二次函数y=ax2 的图象性质： 知识要点 2. 图像关于y轴对称; 沪科版九年级数学上册教学课件 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的 关系是什么？ 二次项系数互为相反数， 开口相反，大小相同， 它们关于x轴对称. x y O y=ax2 y=-ax2 交流讨论 沪科版九年级数学上册教学课件 二 二次函数y=ax2的性质 问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？ (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) 2y x 2y ax 沪科版九年级数学上册教学课件 对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小. 知识要点 沪科版九年级数学上册教学课件 (-2,-4) (-1,-1) (2,-4) (1,-1) 2y x  2y ax  问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？ 沪科版九年级数学上册教学课件 对于抛物线 y = ax2 （a＜0） 当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大. 知识要点 沪科版九年级数学上册教学课件 解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 21 2y x 22y x 8 4.5 2 0.5 0 84.520.5 8 4.5 2 0.5 0 84.520.5 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 22 2,2 1 xyxy  沪科版九年级数学上册教学课件 -2 2 2 4 6 4-4 8 21 2y x 22y x2y x 思考1：从二次函数 开口大小 与a的大小有什么关系？ 2 2 21 , , 22y x y x y x   当a>0时，a越大，开口越小. 沪科版九年级数学上册教学课件 练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 2 21 , 22y x y x  x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 -4.5 －2 －0.5 0 －8－4.5－2－0.522y x  21 2y x 沪科版九年级数学上册教学课件 －2 2 －2 －4 －6 4－4 －8 21 2y x  22y x 2y x  当a<0时，a越小（即 a的绝对值越大）， 开口越小. 思考2 从二次函数 开 口大小与a的大小有什么关系？ 2 2 21 , , 22y x y x y x      对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小． 沪科版九年级数学上册教学课件 y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 知识要点 y O x y O x 沪科版九年级数学上册教学课件 3.函数y= x2的图象的开口 ,对称轴是 , 顶点是 ;顶点是抛物线的最 点 2.函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点 是 顶点是抛物线的最 点 1.函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶 点是 ; 向上 向下 y轴 y轴 (0,0) (0,0) 4.函数y= －0.2x2的图象的开口 ,对称轴是___,顶 点是 ; 3 向上 y轴 (0,0) 向下 y轴 (0,0) 高 低 练一练 沪科版九年级数学上册教学课件 例1已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向 上,求m的值和函数解析式 m2+m 解: 依题意有: m+1>0 ① m2+m=2 ② 解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2. 典例精析 沪科版九年级数学上册教学课件 例2：已知二次函数y=x2． （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关 于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的 坐标； （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二 次函数y=－x2的图象上吗？ 典例精析 沪科版九年级数学上册教学课件 （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ 解：（1）当x=2时，y=x2=4， 所以A（2，4）在二次函数图象上； （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于 y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标； （2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4）， 点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关 于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）； 沪科版九年级数学上册教学课件 （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二 次函数y=－x2的图象上吗？ 当x=－2时，y=x2=4， 所以C点在二次函数y=x2的图象上； 当x=2时，y=－x2=－4， 所以B点在二次函数y=－x2的图象上； 当x=－2时，y=－x2=－4， 所以D点在二次函数y=－x2的图象上． 沪科版九年级数学上册教学课件 已知 是二次函数，且当x＞0时， y随x增大而增大，则k= . 2 4( 2) k ky k x    分析： 是二次函数，即二次项的系数 不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大, 即说明二次项的系数大于0.因此， 2 4( 2) k ky k x    2 4 2 2 0 k k k       ＞ 解得 k=2 2 练一练 沪科版九年级数学上册教学课件 例3. 已知二次函数y＝2x2. (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2；(填“>”“＝”或“<”)； (2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形 ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的 图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积 之和． < 沪科版九年级数学上册教学课件 (2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它 们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右 边空白部分面积， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16. 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左 右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中， 我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化 区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数 值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用 等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以 方便求解． 方法总结 沪科版九年级数学上册教学课件当堂练习 1.函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 2.函数y=-3x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧, y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 向上 向下 y轴 y轴 (0,0) (0,0) 减小 减小 增大 增大 x x y y O O 沪科版九年级数学上册教学课件 3.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的 图象,则k的取值范围是 . x y k>1 4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： 23xy  23xy  2 3 1 xy  2 3 1 xy  开口方向 对称轴 顶点 向上 向下 向下 向上 y轴 y轴 y轴 y轴 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0） O 沪科版九年级数学上册教学课件 5.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）. （1）则a的值是 ； （2）对称轴是 ，开口 . （3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 . 抛物线在x轴的 方（除顶点外）. (4) 若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1 沪科版九年级数学上册教学课件 6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实 数m的取值范围． 解：∵二次函数y=x2， ∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0， ∵当x≥m时，y最小值=0， ∴m≤0． 沪科版九年级数学上册教学课件 7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B 两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所 围成的三角形的面积． 解：由题意得 解得 所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)． ∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4. ∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2， ∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10. 2 3 4, , y x y x     4, 1, 16, 1, x x y y         或 1 2 1 2 沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结 二次函数y=ax2 的图象及性质 画 法 描 点 法 以对称轴为中 心 对 称 取 点 图 象 抛 物 线 轴 对 称 图 形 性 质 重点关注 4 个 方 面 开口方向及大小 对 称 轴 顶 点 坐 标 增 减 性 沪科版九年级数学上册教学课件 21.2 二次函数的图象和性质 2.二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 第1课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质 沪科版九年级数学上册教学课件 学习目标 1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点） 2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（难点） 3.理解y=ax²与 y=ax²+k之间的联系.（重点） 沪科版九年级数学上册教学课件 这个函数的图象 是如何画出来的？ 情境引入 x y 21 840y x   导入新课 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)一 做一做：画出二次函数 y=2x² , y=2x2+1 ，y=2x2-1的图 象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶 点高低、函数最值、函数增减性. x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2+1 … … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2-1 … …3.5 1 -0.5 1-0.5-1 3.5 5.5 1.53 1.51 3 5.5 讲授新课 沪科版九年级数学上册教学课件 －2 2 2 4 6 4－4 8 y=2x2+1 y=2x2 y=2x2-1 观察上述图象，说说它有哪些特征. 沪科版九年级数学上册教学课件 探究归纳 解：先列表： x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 21 2y x 21 12y x  21 2y x 21 12y x  9 2 11 2 2 1 2 0 1 2 2 9 2 3 3 2 1 3 2 3 11 2 沪科版九年级数学上册教学课件 x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 21 2y x 21 12y x  描点、连线，画出这两个函数的图象 沪科版九年级数学上册教学课件 观察与思考 抛物线 ， 的开口方向、对称轴和 顶点各是什么？ 21 2y x 21 12y x  21 2y x 21 12y x  二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 （0,0） （0,1） y轴 y轴 想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a＞0) 的性质是什么？ 沪科版九年级数学上册教学课件 y -2 -2 4 2 2 -42 3 1xy  23 1 2 1  xy 23 1 2 2  xy x0 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)二 做一做 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象： 沪科版九年级数学上册教学课件 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 . (2)三条抛物线的开口方向_______; (3)对称轴都是__________ (4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________ 抛物线 向下 直线x=0 ( 0,0)( 0,2) ( 0,-2) 沪科版九年级数学上册教学课件 (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下 最大值分别为_______、_______﹑________ (6) 函数的增减性都相同： __________________________ _____________________________ 高 大 y=0 y= -2y=2 对称轴左侧y随x增大而增大 对称轴右侧y随x增大而减小 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质 y=ax2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0,k） （0,k） 最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x的 增大而减小；x＞0 时，y随x的增大而 增大. 当x＞0时，y随x的增 大而减小；x＜0时， y随x的增大而增大. 知识要点 沪科版九年级数学上册教学课件 例2：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时， 函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. 解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1， x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表 达式求出纵坐标为c. c 【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴 对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相 等的两点的对应横坐标互为相反数． 沪科版九年级数学上册教学课件 解析式 y=2x2 y=2x2+1y=2x2-1 +1-1 点的坐标 函数对应值表 x … … y=2x2-1 … … y=2x2 … … y=2x2+1 … … 4.5 -1.5 3.5 5.5 -1 2 1 3 x 2x2 2x2-1 (x, ) (x, ) (x, )2x2-1 2x2 2x2+1 从数的角度探究 二次函数y=ax2+k的图象及平移三 2x2+1 沪科版九年级数学上册教学课件 4－2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长 度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平 移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1. 下y=2x2+1 上 从形的角度探究 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平 移得到： 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到. 二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图象的关系 u上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 知识要点 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　) A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到 D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到 解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线 y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D. 练一练 D 沪科版九年级数学上册教学课件 想一想 1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图 象，再向上（或向下）平移︱k ︱单位. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线. a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标. 沪科版九年级数学上册教学课件 例3：如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点 P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标． 解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2， 即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)， ∴AB＝4. ∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b， ∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2. 当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ， 此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)； 当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝± ， 此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)． 1 2 6 6 6 2 2 2 沪科版九年级数学上册教学课件当堂练习 1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物 线 ．　　 2.填表： y = 2x2－４ 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y = ３x2 y = 3x2＋1 y = -4x2－5 向上 向上 向下 （0,0） (0,1) (0,-5) y轴 y轴 y轴 有最低点 有最低点 有最高点 沪科版九年级数学上册教学课件 3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图 象上. 4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点 位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则 k . 在 =2 >2 <2 沪科版九年级数学上册教学课件 5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线 y=-x2. （2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大 而减小；当x 时，函数y有最大值，最大 值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 . （3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐 标. 向下平移1个单位. >0 =0 1 (0,1) (-1,0),(1,0) 开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）. 沪科版九年级数学上册教学课件 6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次 函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　) 方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下 所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开 口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键． D 沪科版九年级数学上册教学课件 能力提升 7.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而 增大，则m=____. 8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2） 则a=____. 9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴 交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______. 2 -2 8 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质 图 象 性 质 与y=ax2的关系 1.开口方向由a的符 号决定； 2.k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴. 增减性结合 开口方向和 对称轴才能 确定. 平移规律： k正向上； k负向下. 课堂小结 沪科版九年级数学上册教学课件 21.2 二次函数的图象和性质 2.二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 第2课时 二次函数y=a(x+h)²的图象和性质 沪科版九年级数学上册教学课件 情境引入 学习目标 1.会画二次函数y=a(x+h)2的图象.（重点） 2.掌握二次函数y=a(x+h)2的性质.(难点） 3.比较函数y=ax2 与 y=a(x+h)2的联系. 沪科版九年级数学上册教学课件导入新课 复习引入 沪科版九年级数学上册教学课件 a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0 a<0,c<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0,c） （0,c） 当x<0时，y随x增大 而减小；当x>0时，y 随x增大而增大. 当x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小. x=0时，y最小值=c x=0时，y最大值=c 问题1 说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征. 沪科版九年级数学上册教学课件 问题2 二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a ≠0) 的图象有何关系？ 答：二次函数y=ax2+k(a ≠ 0)的图象可以由y=ax2(a ≠ 0) 的图象平移得到： 当k > 0 时，向上平移c个单位长度得到. 当k < 0 时，向下平移-c个单位长度得到. 问题3 函数 的图象，能否也可以由函数 平移得到？ 2 2 1 xy  2)2(2 1  xy 沪科版九年级数学上册教学课件讲授新课 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质一 互动探究 引例：在如图所示的坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 21 2y x 21 ( 2)2y x  解：先列表： x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 21 2y x 21( 2)2y x  9 2 25 2 2 1 2 0 1 2 2 9 2 8 9 2 2 1 2 0 1 2 沪科版九年级数学上册教学课件 x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 21 2y x 描点、连线，画出这两个函数的图象 21( 2)2y x  2x  沪科版九年级数学上册教学课件 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 21 2y x 21 ( 2)2y x  向上 向上 y轴 x=2 (0,0) (2,0) 根据所画图象，填写下表： 想一想：通过上述例子，函数y=a(x-h)2的性质是什么？ 沪科版九年级数学上册教学课件 试一试：画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．    2 21 11 , 12 2y x y x      x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· －2 －4.5 －2 0 0 －2 －2 －2 2 －2 －4 －6 4－4  21 12y x    21 12y x   1 2  1 2  1 2  1 2  －4.5 0 x y －8 沪科版九年级数学上册教学课件 －2 2 －2 －4 －6 4－4 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线x=-1 ( -1 , 0 ) 直线x=0 直线x=1向下 向下 ( 0 , 0 ) ( 1, 0)  21 12y x    21 12y x   21 2y x  沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数 y=a(x+h)2(a ≠ 0)的性质 y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 （h,0） （h,0） 最值 当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0 增减性 当x＜h时，y随x的 增大而减小；x＞h 时，y随x的增大而 增大. 当x＞h时，y随x的 增大而减小；x＜h 时，y随x的增大而 增大. 知识要点 沪科版九年级数学上册教学课件 若抛物线y＝3(x＋ )2的图象上的三个点，A(－3 ， y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为 ________________． 2 2 解析：∵抛物线y＝3(x＋ )2的对称轴为x＝－ ，a＝ 3＞0，∴x＜－ 时，y随x的增大而减小；x＞－ 时， y随x的增大而增大．∵点A的坐标为(－3 ，y1)，∴点 A在抛物线上的对称点A′的坐标为( ，y1)．∵－1＜0 ＜ ，∴y2＜y3＜y1.故答案为y2＜y3＜y1. 22 2 2 2 2 2 练一练 y2＜y3＜y1 沪科版九年级数学上册教学课件 向右平移 1个单位 二次函数y=ax2与y=a(x+h)2的关系二 想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？  21 12y x    21 12y x   21 2y x  －2 2 －2 －4 －6 4－4 21 2y x  向左平移 1个单位  21 12y x    21 12y x   沪科版九年级数学上册教学课件 知识要点 二次函数y=a（x+h)2的图象与y=ax2 的图象的关系 可以看作互相平移得到. u左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变. y=a(x-h)2 当向左平移 ︱h︱ 时 y=a(x+h)2 当向右平移 ︱h︱ 时 y=ax2 沪科版九年级数学上册教学课件 例1. 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式． 解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二 次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2， 把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ， ∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2.1 4 1= 4a 方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3 个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移 3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”． 沪科版九年级数学上册教学课件 将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函 数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　) A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位 解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物 线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函 数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函 数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C. 练一练 C 沪科版九年级数学上册教学课件 1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么 平移后抛物线的解析式是 . 2.二次函数y=2(x- )2图象的对称轴是直线_______， 顶点是________. 3 .若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数 y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为 _______________. 当堂练习 4 13 4 5 4 1 2 3 y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 3 2x  3( ,0)2 y1 ＞y2 ＞ y3 沪科版九年级数学上册教学课件 4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线x=3 ( 3, 0 ) 直线x=2 直线x=1向下 向上 (2, 0 ) ( 1, 0) 23 14y x    22 3y x   22 2y x  沪科版九年级数学上册教学课件 5.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的 图象，分别指出两个图象之间的相互关系． 解：图象如图. 函数y=2(x-2)2的图象由 函数y=2x2的图象向右平 移2个单位得到. y O x y = 2x2 2 沪科版九年级数学上册教学课件 复习 y=ax2+k 探索 y=a(x+h)2的 图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 直线x=-h （-h,0） a>0,开口向上 a<0,开口向下 y=ax2 课堂小结 平移规律： 括号内：左加右减；括号 外不变. 沪科版九年级数学上册教学课件 21.2 二次函数的图象和性质 2.二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 第3课时 二次函数y=a(x+h)²+k的图象和性质 沪科版九年级数学上册教学课件 学习目标 1.会用描点法画出y=a(x+h)2+k (a ≠0)的图象. 2.掌握二次函数y=a(x+h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会 应用.(重点） 3.理解二次函数y=a(x+h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间 的联系.（难点） 沪科版九年级数学上册教学课件导入新课 复习引入 1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值 和增减变化情况: (1)y=ax2 (2)y=ax2+k (3)y=a(x+h)2 y y y y x x x xOO OO y y y y x x x xO O O O y y x x O O 沪科版九年级数学上册教学课件 2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值？ 3.把y=-2x2的图像 向上平移3个单位 y=-2x2+3 向左平移2个单位 y=-2(x+2)2 4.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可 以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？ 沪科版九年级数学上册教学课件 O X y 3 -2 22y x  22 3y x   O y 3 -2 X  22 2 3y x    22 3y x   沪科版九年级数学上册教学课件讲授新课 二次函数y=a（x+h）2+k的图象和性质一 引例 画出函数 的图像.指出它的开 口方向、顶点与对称轴. 1)1(2 1 2  xy 探究归纳 沪科版九年级数学上册教学课件 … … … …210-1-2-3-4x 解: 先列表 1)1(2 1 2  xy 再描点、连线 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 1 2 3 4 5 x-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O-1-2-3-4-5 -10 直线x=－1 21 ( 1) 12y x    21 ( 1) 12y x    开口方向向下； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-1) 沪科版九年级数学上册教学课件 试一试 画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口 方向、对称轴、顶点. 开口方向向上； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-2) -2 2 x y O -2 4 6 8 -4 2 4 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数 y=a(x+h)2+k（a ≠ 0）的性质 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 （h,k） （h,k） 最值 当x=h时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 增减性 当x＜h时，y随x的 增大而减小；x＞h 时，y随x的增大而 增大. 当x＞h时，y随x的 增大而减小；x＜h 时，y随x的增大而 增大. 知识要点 沪科版九年级数学上册教学课件       2 2 2 2 0, 0 + 0 + 0 , 0 0 0 , y a x h h k y ax h k y k h y a x h ax k k a                    顶点式 沪科版九年级数学上册教学课件 例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示， 则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　) 解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是 二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数 y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A. 典例精析 A 沪科版九年级数学上册教学课件 例2. 已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)． (1)求a的值； (2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两 点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系． 解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4， 得0＝4a－4，解得a＝1； (2)方法一： 根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4， ∵y1＝y2， ∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2； 沪科版九年级数学上册教学课件 方法二： ∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点 (1，－4)，且平行于y轴的直线， ∴m＋n－1＝1－m，化简，得 2m＋n＝2. 方法总结：已知函数图象上的点，则这点的 坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数 解析式． 沪科版九年级数学上册教学课件 例3 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根 水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线 形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度 为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长? 沪科版九年级数学上册教学课件 1 2 3 1 2 3 解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 ∵这段抛物线经过点(3,0)， ∴ 0=a(3－1)2＋3. 解得: 因此抛物线的解析式为: y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3). 当x=0时,y=2.25. 答:水管长应为2.25m. 3 4a=－ y= (x－1)2＋3 (0≤x≤3)3 4 － 沪科版九年级数学上册教学课件 向左平移 1个单位 二次函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的关系二 1 2 3 4 5 x-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O-1-2-3-4-5 -10 21 ( 1) 12y x    探究归纳 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？1)1(2 1 2  xy 21 2y x  平移方法1 21 2y x  21 12y x   向 下 平 移 1 个 单 位 1)1(2 1 2  xy 沪科版九年级数学上册教学课件 1 2 3 4 5 x-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O-1-2-3-4-5 -10 21 ( 1) 12y x    怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？1)1(2 1 2  xy21 2y x  平移方法2 21 2y x 向左平移 1个单位 21 ( 1)2y x   向 下 平 移 1 个 单 位 1)1(2 1 2  xy 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数y=ax2 与y=a（x+h)2+k的关系 可以看作互相平移得到的. y = ax2 y = ax2 + k y = a(x+h )2 y = a( x+h )2 + k 上下平移 左右平移 上 下 平 移 左 右 平 移 u平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数a不变. 要点归纳 沪科版九年级数学上册教学课件 1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平 移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的. 2.如果一条抛物线的形状与 形状相 同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式. 23 1 2  xy 21 ( 4 ) 23y x    练一练 沪科版九年级数学上册教学课件当堂练习 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2(x+3)2+5 向上 ( 1, －2 ) 向下 向下 ( 3 , 7) ( 2 , －6 ) 向上 直线x=－3 直线x=1 直线x=3 直线x=2 (－3, 5 ) y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6 1.完成下列表格: 沪科版九年级数学上册教学课件 2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1 个单位，那么所得抛物线是___________________. 23( 1) 2y x    4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到 y=-3x2 . 3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平 移1个单位，得到抛物线的解析式为______________ 23 2 3y x    先向右平移1个单位，再向上平移2个单位或 先向上平移2个单位，再向右平移1个单位. 沪科版九年级数学上册教学课件 5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由 二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的 解析式. y=5(x+1)2+3 沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结 一般地，抛物线 y = a(x+h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同. 二次函数y=a(x+h)2+k 的 图 象 和 性 质 图象特点 当a>0,开口向上； 当 a < 0 , 开 口 向 下 . 对 称 轴 是 x = - h , 顶点坐标是（-h,k). 平移规律 左右平移：括号内 左 加 右 减 ； 上下平移：括号外 上 加 下 减 . 沪科版九年级数学上册教学课件 21.2 二次函数的图象和性质 2.二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 第4课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 沪科版九年级数学上册教学课件 情境引入 学习目标 1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成 顶点式y=a(x-h)2+k.(难点） 2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点 坐标、对称轴.（重点） 沪科版九年级数学上册教学课件导入新课 复习引入 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值 向上 向下 (h ,k) (h ,k) x=h x=h 当xh时， y随着x的增大而增大. 当xh时， y随着x的增大而减小. x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的. 沪科版九年级数学上册教学课件 顶点坐标 对称轴 最值 y=-2x2 y=-2x2-5 y=-2(x+2)2 y=-2(x+2)2-4 y=(x-4)2+3 y=-x2+2x y=3x2+x-6 (0,0) y轴 0 (0,-5) y轴 -5 (-2,0) 直线x=-2 0 (-2,-4) 直线x=-2 -4 (4,3) 直线x=4 3 ? ? ? ? ? ? 沪科版九年级数学上册教学课件讲授新课 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一 探究归纳 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些 知识来讨论 的图象和性质？21 6 212y x x   问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？ 21 6 212y x x   沪科版九年级数学上册教学课件 21 6 212y x x  配方可得 2 2 21 ( 12 6 6 42)2 x x     21 ( 12 42)2 x x   2 2 21 [( 12 6 ) 6 42]2 x x     21 [( 6) 6]2 x   21 ( 6) 3.2 x   想一想：配方的方法及 步骤是什么？ 沪科版九年级数学上册教学课件 配 方 2162 1 2  xxy 你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 提示:配方后的 表达式通常称为 配方式或顶点式. 3)6(2 1 2  xy 沪科版九年级数学上册教学课件 问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？21 ( 6) 32y x   答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）. 问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 21 ( 6) 32y x   21 2y x 答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 沪科版九年级数学上册教学课件 问题4 如何画二次函数 的图象？21 6 212y x x   … … … …9876543x 先利用图形的对称性列表 21( 6) 32y x   7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 5 10 x y 5 10 然后描点画图， 得到图象如右图. O 沪科版九年级数学上册教学课件 问题5 结合二次函数 的图象，说出 其性质. 21 6 212y x x   5 10 x y 5 10 x=6 当x<6时，y随x的增大而减小； 当x>6时，y随x的增大而增大. O 沪科版九年级数学上册教学课件 例1 画出函数 的图象，并说明这个 函数具有哪些性质. 21 5 2 2y x x    x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· ···-6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 解: 函数 通过配方可得 ， 先列表： 21 5 2 2y x x    21 ( 1) 22y x    典例精析 沪科版九年级数学上册教学课件 2 x y -2 0 4-2-4 -4 -6 -8 然后描点、连线，得到图象如下图. 由图象可知，这个函数 具有如下性质： 当x＜1时，函数值y随x 的增大而增大； 当x＞1时，函数值y随x 的增大而减小； 当x=1时，函数取得最大 值，最大值y=-2. 沪科版九年级数学上册教学课件 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 22 8 7y x x   22( 4 4) 8 7x x     22( 4 ) 7x x   22( 2) 1.x   因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直 线x=2，顶点坐标为(2,-1). 解： 练一练 沪科版九年级数学上册教学课件 将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k二 我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0) 化成顶点式y=a(x-h)2+k？ 沪科版九年级数学上册教学课件 y=ax²+bx+c 2 2 2 2 2 b b ba x x ca a a                   2 2 2 2 2 b b ba x x ca a a                   2 2 2 4 b ba x ca a        沪科版九年级数学上册教学课件 归纳总结 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成 y=a(x-h)2+k的形式，即 2 2 2 4( ) .2 4 b ac by ax bx c a x a a       因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 24( , ).2 4 b ac b a a  .2 bx a   沪科版九年级数学上册教学课件 (1) (2) x y O x y O 如果a>0,当x< 时，y 随x的增大而减小；当 x> 时，y随x的增大 而增大. 如果a<0,当x< 时，y 随x的增大而增大；当 x> 时，y随x的增大 而减小. 2 bx a   2 bx a   2 b a  2 b a  2 b a  2 b a  沪科版九年级数学上册教学课件 例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值 随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴 右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的 值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直 线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ， 即b≤1，故选择D . 2 ( 1) bx b   D 沪科版九年级数学上册教学课件 填一填 顶点坐标 对称轴 最值 y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5 (1,3) x=1 最大值1 (0,-1) y轴 最大值-1 最小值-6( ,-6)1 3  直线x= 1 3  沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数字母系数与图象的关系三 合作探究 问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据 一次函数图象的性质填空： x y O y=k1x+b1 x y O y=k2x+b2y=k3x+b3 k1 ___ 0 b1 ___ 0 k2 0 b2 ___ 0 ＞ ＞ ＜ k3 ___ 0 b3 ___ 0 ＜ ＞ ＜ 沪科版九年级数学上册教学课件 x y O 2 22 bx a  1 12 bx a   问题2 二次函数 的图象如下图所示， 请根据二次函数的性质填空： 2y ax bx c   a1 ___ 0 b1___ 0 c1___ 0 a2___ 0 b2___ 0 c2___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 开口向上，a＞0 对称轴在y轴 左侧，x＜0 对称轴在y轴 右侧，x＞0 1 1 02 bx a   ＜ 2 2 02 bx a   ＞ x=0时，y=c. 沪科版九年级数学上册教学课件 x y O 4 42 bx a  3 32 bx a   a3___ 0 b3___ 0 c3___ 0 a4___ 0 b4___ 0 c4___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 开口向下，a＜0 对称轴是y轴， x=0 对称轴在y轴 右侧，x＞0 1 1 =02 bx a   2 2 02 bx a   ＞ x=0时， y=c. 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_____________________ a＜0 开口_____________________ b=0 对称轴为_____轴 a、b同号 对称轴在y轴的____侧 a、b异号 对称轴在y轴的____侧 c=0 经过原点 c＞0 与y轴交于_____半轴 c＜0 与y轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 沪科版九年级数学上册教学课件 例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下 列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0； ④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 D 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限 可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－ 1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0， 即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在 y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 沪科版九年级数学上册教学课件 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 A.y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x= 则该二次函数图象的对称轴为( )D 当堂练习 5 2 3 2 沪科版九年级数学上册教学课件 O y x –1 –2 3 2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，则下列结论： （1）a、b同号； （2）当x=–1和x=3时，函数值相等； （3） 4a+b=0； （4）当y=–2时，x的值只能取0； 其中正确的是 . 直线x=1 （2） 沪科版九年级数学上册教学课件 3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1 是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0； ③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上 两点，则y1>y2.其中正确的是（ ）2 3 A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④ x y O 2 x=-1 B 沪科版九年级数学上册教学课件 4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：      2 2 (1) 2 12 13; (2) 5 80 319; 1(3) 2 2 ;2 (4) 1 2 . y x x y x x y x x y x x                 直线x=3  3, 5 直线x=8  8, 1 直线x=1.25 5 9, 4 8     直线x= 0.5 1 9, 2 4      沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结 24( , )2 4 b ac b a a  2 bx a   y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) (顶点式) 2 2 4( )2 4 b ac by a x a a    沪科版九年级数学上册教学课件 21.2 二次函数的图象和性质 *3.二次函数表达式的确定 沪科版九年级数学上册教学课件 学习目标 1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点） 2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题. （重点） 沪科版九年级数学上册教学课件导入新课 复习引入 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要 已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤 是什么？ 2个 2个 待定系数法 (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写表达式） 沪科版九年级数学上册教学课件 一般式法二次函数的表达式一 探究归纳 问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定 系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 3个 3个 （2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所 列表格的一部分： x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 讲授新课 沪科版九年级数学上册教学课件 解： 设这个二次函数的表达式是 y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0）， （0，-3）代入y=ax2+bx+c得 ①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3）， 试求出这个二次函数的表达式. 9a-3b+c=0， a-b+c=0， c=-3， 解得 a=-1， b=-4， c=-3. ∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3. 待定系数法 步骤： 1.设： （表达式） 2.代： （坐标代入） 3.解： 方程（组） 4.还原： （写解析式） 沪科版九年级数学上册教学课件 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 归纳总结 一般式法求二次函数表达式的方法 沪科版九年级数学上册教学课件 例1 一个二次函数的图象经过 (-1, 10)、(1,4)、(2,7) 三点，求这个二次函数的表达式. 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,已 知函数图象经过点(-1, 10)、(1,4)、(2,7)三点， 可得 4a+2b+c=7， a-b+c=10， 解这个方程组，得 ∴所求的二次函数的表达式是 y=2x2-3x+5 a+b+c=4， c=5， a=2， b=-3， 沪科版九年级数学上册教学课件 例2 有一个二次函数,当x=0时, y=－1;当x=－2时, y=0;当x= 时, y=0,求这个二次函数的解析式. 由题意得：解：设所求的二次函数为 ,2 cbxaxy  2 1 1, 4 2 0, 1 1 0.4 2 c a b c a b c              解得 1, 3 ,2 1. a b c       所求的二次函数为 2 3 1.2y x x   沪科版九年级数学上册教学课件 顶点法求二次函数的表达式二 选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二 次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点 （-2，1）代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8， 解得 a=-1. ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3. 沪科版九年级数学上册教学课件 归纳总结 顶点法求二次函数的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做 顶点法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 沪科版九年级数学上册教学课件 例2 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标 为(8,9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)， 因此，可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9. 又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 0=a(0-8)2+9. 解得 9 .64a   ∴所求的二次函数的解析式是 29 ( 8) 9.64y x    沪科版九年级数学上册教学课件 解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x- x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 ∴a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数的 表达式. 交点法求二次函数的表达式三 x y O 1 2-1-2-3-4 -1-2 -3 -4 -5 1 2 沪科版九年级数学上册教学课件 归纳总结 交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方 法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到 关于a的一元一次方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 沪科版九年级数学上册教学课件 想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件？ 任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可 平行于x轴，但不可以平行于y轴. 沪科版九年级数学上册教学课件 特殊条件的二次函数的表达式四 例3.已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3) 和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)， 3=4a+c， －3=a+c， ∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5. ∴{ a=2， c=－5. 解得{ 关于y轴 对称 沪科版九年级数学上册教学课件 　　已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5）， 做一做 图象经过 原点 8=4a-2b， 5=a-b，∴{ 解得a=-1,b=-6. ∴ y=-x2-6x. 沪科版九年级数学上册教学课件 B C 二次函数与一次函数的综合五 解：如图所示； 例5 ：抛物线 与直线 交于 B,C两点. （1）在同一平面直角坐标系中 画出直线与抛物线； 842 1 2  xxy 12 1  xy 沪科版九年级数学上册教学课件 解：由 （2）记抛物线的顶点A，求△ABC的面积； x y O A2-1-2-3 -1 2 1 6 4 8 6 B C   221 14 8 4 ,2 2y x x x     得点A的坐标为（4,0） 解方程组 2 1 1,2 1 4 8,2 y x y x x        得B（2,2）,C（7,4.5） 沪科版九年级数学上册教学课件 x y O AB1-1-2-3 -1 2 1 6 4 8 6 B C 过B,C两点作x轴垂线，垂直为B1,C2 C1 1 11 1ABC ABB ACCBB C CS S S S  △ △ △梯形  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 BB CC B C AB BB AC CC        1 12 4.5 5 2 22 2 1 3 4.52          7.5 沪科版九年级数学上册教学课件 练一练 如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a ≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） xO y A O x y B xO y C xO y D A 沪科版九年级数学上册教学课件当堂练习 1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应 是 . 23 4y x= 注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、 y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过 前三者是顶点式的特殊形式. 注意 x y O 1 2-1-2-3-4 3 2 1 -1 3 4 5 沪科版九年级数学上册教学课件 2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式 是 . 顶点坐标是（1，6） y=-2(x-1)2+6 沪科版九年级数学上册教学课件 3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4) 和(1，1)．求这个二次函数的表达式． 解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c． 依题意得 ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4. a＋b＋c＝1， c＝－4， a-b＋c＝-5， 解得 b＝3， c＝－4， a＝2， 沪科版九年级数学上册教学课件 4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且 过点M(0，1)，求此函数的表达式． 解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点， 所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)． 又因为抛物线过点M(0，1)， 所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1， 所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)， 即y＝－x2＋1. 沪科版九年级数学上册教学课件 5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴 交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题： (1)求抛物线的表达式； 解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c 得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19. ∵对称轴是x＝－3，∴ ＝－3， ∴b＝6，∴c＝5， ∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5； 2 b 沪科版九年级数学上册教学课件 (2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C 在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积． (2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称． ∵点C在对称轴左侧，且CD＝8， ∴点C的横坐标为－7， ∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12. ∵点B的坐标为(0，5)， ∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7， ∴△BCD的面积＝ ×8×7＝28.1 2 沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或 对称轴或最值 ③已知抛物线与x轴 的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y=ax2+bx+c 用顶点法：y=a(x-h)2+k 用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标） 待定系数法 求二次函数解析式 沪科版九年级数学上册教学课件 21.3 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程 沪科版九年级数学上册教学课件 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间 的联系；（重点） 2.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解； （重点） 3.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会 数形结合思想的应用.（难点） 学习目标 沪科版九年级数学上册教学课件导入新课 情境引入 问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30° 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线， 如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位： m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系： h=20t-5t2， 考虑以下问题： 沪科版九年级数学上册教学课件讲授新课 二次函数与一元二次方程的关系一 （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多 少飞行时间？ O h t 15 1 3 ∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m. 解：解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1,t2=3. 你能结合上图，指出 为什么在两个时间求 的高度为15m吗？ h=20t-5t2 沪科版九年级数学上册教学课件 （2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需 要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为 什么只在一个时间球 的高度为20m？ O h t 20 4 解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2. 当球飞行2秒时， 它的高度为20米. h=20t-5t2 沪科版九年级数学上册教学课件 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需 要多少飞行时间？ O h t 你能结合图形指出 为什么球不能达到 20.5m的高度? 20.5 解方程： 20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0, 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5米. h=20t-5t2 沪科版九年级数学上册教学课件 （4）球从飞出到落地要用多少时间？ O h t 0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4. 当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米. 即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面. h=20t-5t2 沪科版九年级数学上册教学课件 从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一 元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为 一元二次方程. 如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是 一个一元二次方程. 为一个常数 （定值） 沪科版九年级数学上册教学课件 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自 变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即 x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次 函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 沪科版九年级数学上册教学课件 利用二次函数深入讨论一元二次方程二 思考 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如 果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐 标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二 次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1. 沪科版九年级数学上册教学课件 1 y = x2－6x＋9y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线与x轴 公共点个数 公共点 横坐标 相 应 的 一 元 二 次 方 程 的 根 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2 0个 1个 2个 x2-x+1=0无解 0 x2-6x+9=0，x1=x2=3 -2, 1 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1 沪科版九年级数学上册教学课件 知识要点 二次函数 y=ax2+bx+c的 图象与x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等 的实数根 b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实 数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元 二次方程ax2+bx+c=0根的关系 沪科版九年级数学上册教学课件 例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都 是整数，求正整数m的值． (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有两个交点； 沪科版九年级数学上册教学课件 (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总 有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1或2. 例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都 是整数，求正整数m的值． 2 m 沪科版九年级数学上册教学课件 变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2 与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)， B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值． (1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都 有两个不同的交点； (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3， ∴a＝1. 沪科版九年级数学上册教学课件 例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平 距离，y是铅球离地面的高度. （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的 水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置 的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达 到3m？为什么？ 2 6 8-10 10 5 xy x   沪科版九年级数学上册教学课件 解 （1）由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始 位置的水平距离是1m或5m. 2 6 82.1 -10 10 5 x x   2 6 5 0x x   1 2=1 =5.x x， （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位 置的水平距离是多少？ 沪科版九年级数学上册教学课件 （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始 位置的水平距离是多少？ （2）由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位 置的水平距离是3m. 2 6 82.5 -10 10 5 x x   2 6 9 0x x   1 2= =3.x x 沪科版九年级数学上册教学课件 （3）由抛物线的表达式得 即 因为 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到3m. 2 6 83 -10 10 5 x x   2 6 14 0x x   2= -6 -4 1 14 0   （ ） ， （3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？ 沪科版九年级数学上册教学课件 一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了. 2 ( 0)y ax bx c a    y M 2 =ax bx c M  沪科版九年级数学上册教学课件 例3：求一元二次方程 的根的近似值（精 确到0.1）. 2 2 1 0x x   分析：一元二次方程 x²+2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²+2x-1 与x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从 图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法 叫作图象法. 利用二次函数求一元二次方程的近似解三 沪科版九年级数学上册教学课件 解：画出函数 y=x²+2x-1 的图象（如下图），由图象 可知，方程有两个实数根，一个在-3与-2之间,另一个 在0与1之间. x y 0 沪科版九年级数学上册教学课件 先求位于-3到-2之间的根，由图象可估计这个 根是-2.5或-2.4，利用计算器进行探索，见下表： x … -2.5 -2.4 … y … 0.25 -0.04 … 观察上表可以发现，当x分别取-2.5和-2.4时，对应的 y由负变正，可见在-2.5和-2.4之间肯定有一个x使y=0， 即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这 时取x=-2.5和x=-2.4都符合要求.但当x=-2.4时更为接 近0.故x1≈-2.4. 同理可得另一近似值为x2≈0.4. 沪科版九年级数学上册教学课件 一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根. (1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象； (2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的 横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3, 另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等 分,借助计算器确定其近似值); (3)确定方程2x2+x-15=0的解; 由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5. 方法归纳 沪科版九年级数学上册教学课件 例4:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， 则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A．x1≈－2.1， x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9， x2≈0.9 D．x1≈－3， x2≈1 解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称 轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的 距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则 ＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5， x2≈0.5.故选B. 1 2 2 x x B 沪科版九年级数学上册教学课件 解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再 根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度， 直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确． 方法总结 沪科版九年级数学上册教学课件 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个 解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 0的解集 是___________; 不等式ax2+bx+c<0的解集 是_________. 3-1 O x y x1=-1， x2=3 x<-1或x>3 -12的解集是___________; 不等式ax2+bx+c<2的解集是_________. 3-1 O x 2 (4,2)(-2,2) x1=-2， x2=4 x<-2或x>4 -20（a≠0）的解集是x≠2 的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有 ____ 个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是 ______. 1 (2,0) x=2 2O x y 沪科版九年级数学上册教学课件 问题3：如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根， 那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个交点； 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？ 0 解：(1)当a>0时, ax2+bx+c<0无解； (2)当a＜0时, ax2+bx+c<0的 解集是一切实数. 3-1 O x 沪科版九年级数学上册教学课件 ●思考： ●m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的 两个交点关于原点对称？ ●m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的 正半轴有两个交点？ ●m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的 负半轴有两个交点？ ●m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的 正负半轴都有交点？ ●m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8经过原点？ 沪科版九年级数学上册教学课件 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: (1) ①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0. (2) ①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0. (3) ①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0; ③-x2+x-2<0. x y 0 20 x y -1 2 x y 0 x1=-1 , x2=2 -1 ＜ x＜2 x＜-1或 x＞2 x2-4x+4=0 x=2 x≠2的一切实数 x无解 -x2+x-2=0 x无解 x无解 x为全体实数 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数 y=ax2+bx+c的 图象与x轴交点 a＞0 a＜0 有两个交点x1,x2 （x1＜x2） 有一个交点x0 没有交点 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不 等式的关系 y＜0，x1＜x＜x2. y＞0，x2＜x或x＜x2 y＞0，x1＜x＜x2. y＜0，x2＜x或x＜x2. y＞0.x0之外的所有 实数；y＜0，无解 y＜0.x0之外的所有 实数；y＞0，无解. y＞0，所有实数； y＜0，无解 y＜0，所有实数； y＞0，无解 沪科版九年级数学上册教学课件 利用两个函数图象求不等式的解集二 例2 已知抛物线 (a＞0）与直线 相交于点O（0,0）和点A（3,2），求不等式 的解集. 2y ax bx  y kx 2ax bx kx ＞ 分析：根据题目提供的条件，无法求出抛物线的解析式.因 此，我们可以换一个思路，利用函数的图象来判求不等式的 解集. 沪科版九年级数学上册教学课件 解：根据题目提供的条件，画出草图： x y O 3 2 2ax bx kx ＞ 2ax bx kx ＞ 2ax bx kx ＜ x＞3 x0＜ ＜3 0x＜ 由图可知，不等式 的解集为 或 . 2ax bx kx ＞ x＞3 0x＜ 沪科版九年级数学上册教学课件 方法归纳 不等式 的解集是二次函数 的图象在直线 上方的点的 横坐标所组成的范围. 2ax bx c mx n  ＞ 2y ax bx c   y mx n  不等式 的解集是二次函数 的图象在直线 下方的点的横坐标所组成的 范围. 2ax bx c mx n  ＜ 2y ax bx c   y mx n  沪科版九年级数学上册教学课件 已知函数y1＝x2与函数 的图象大致如图， 若y1＜y2，则自变量x的取值范围是( ) 2 1 32y x  做一做 A. 3 22 x ＜ ＜ C. 32 2x ＜ ＜ B. 或2x＜- 3 2x＞ D. 或3 2x＜- 2x＞ C 解析：先根据方程 算出图象交点的 横坐标，然后再结合图象，得出答案. 2 1 32x x  3 22 沪科版九年级数学上册教学课件 1.（1）x取何值时， 关于x的二次三项式 x2-3x+2的 值为负数； （2）a是什么实数时，不等式ax2+ax-1>0 无解？ 当堂练习 解：(1) 1＜x＜2； （2）△=a2+4a＜0， 解得-4≤a＜0. 沪科版九年级数学上册教学课件 2.当1＜x＜3时，二次函数y=x²-(k+1)x+k的图象在 x轴下侧，求k的取值范围. 解：y=x²-(k+1)x+k=（x-k)(x-1)，与x轴交点坐标 为（1,0）、（k，0）. 因为当1＜x＜3时有y＜0，所以k≥3. 沪科版九年级数学上册教学课件 3.已知二次函数 的图象，利用图象回 答问题： （1）方程 的解是什么？ （2）x取什么值时，y>0 ？ （3）x取什么值时，y<0 ？ 862  xxy 0862  xx x y O 2 4 8 解：（1）x1=2,x2=4; （2）x<2或x>4; （3）20） 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0） 的根 不等式ax2+bx+c>0 （a>0）的解集 不等式ax2+bx+c<0 （a>0）的解集 x2x1 x y o O x1= x2 x y xO x y x △>0 △＝0 △＜0 x1 ; x2 x1 =x2 ＝－b/2a 没有实数根 xx2 x ≠ x1的一切 实数 所有实数 x10)．1000v t  沪科版九年级数学上册教学课件 (2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行 车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均 速度比星期二快多少？ 125－40＝85 ( m/min )． 答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min. 解：当 t＝25 时， ；1000 4025v   当 t＝8 时， .1000 1258v   沪科版九年级数学上册教学课件 能力提升： 6. 已知 y = y1+y2，y1与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成反比例，当 x = 0 时，y =－3；当 x =1 时，y = －1， 求： (1) y 关于 x 的关系式； 沪科版九年级数学上册教学课件 解：设 y1 = k1(x－1) (k1≠0)， (k2≠0)，2 2 1 ky x   则 .  2 1 1 1 ky k x x     ∵ x = 0 时，y =－3；x =1 时，y = －1， －3=－k1+k2 ， 2 11 2 k  ， ∴k1=1，k2=－2.∴ 21 .1y x x    ∴ 沪科版九年级数学上册教学课件 (2) 当 x = 时，y 的值.1 2  解：把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y = 1 2  11.2  沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结 建立反比例函数模型 用待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数：定义/三种表达方式 反 比 例 函 数 沪科版九年级数学上册教学课件 21.5 反比例函数 第2课时 反比例函数的图象和性质 沪科版九年级数学上册教学课件 学习目标 1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的 图象特征和性质的过程 (重点、难点) 2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图 象和性质. (重点) 3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、 难点) 沪科版九年级数学上册教学课件导入新课 我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函 数图象时的方法吗？ 写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？ 复习引入 沪科版九年级数学上册教学课件 反比例函数的图象和性质一 讲授新课 例1 画反比例函数 与 的图象. 合作探究 6y x  12y x  提示：画函数的图象步骤一般分为：列表 →描点→连线. 需要注意的是在反比例函 数中自变量 x 不能为 0. 沪科版九年级数学上册教学课件 解：列表如下： x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 … … … … … 6y x  12y x  －1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 －2 －2.4 －3 －4 －6 6 4 3 2.4 2 沪科版九年级数学上册教学课件 O－2 描点：以表中各组对 应值作为点的坐标， 在直角坐标系内描绘 出相应的点． 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6－3－4 －1－5－6 －1 －2 －3 －4 －5 －6 6y x  连线：用光滑的曲线 顺次连接各点，即可 得 　的图象．6y x  12y x  沪科版九年级数学上册教学课件 观察这两个函数图象，回答问题：思考： (1) 每个函数图象分别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？ 你能由它们的解析式说明理由吗？ (3) 对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2)， 你能得出同样的结论吗？ ky x  沪科版九年级数学上册教学课件 ●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交； ●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：ky x  沪科版九年级数学上册教学课件 1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) C y A. x y o B. x o D. x y oC. x y o 练一练 3y x  沪科版九年级数学上册教学课件 2. 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，函 数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2 的大小关系为 ( ) A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定 C ky x  2 7 提示：由题可知反比例函数的解析式为 ，因 为6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限 部分，根据 >5，可知y1，y2的大小关系. 6y x  2 7 沪科版九年级数学上册教学课件 观察与思考 当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的 图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图 象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的 性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0)的图象和性质吗？ ky x  ky x  ky x  沪科版九年级数学上册教学课件 y xO y xO y xO 2y x  4y x  6y x  沪科版九年级数学上册教学课件 反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：ky x  ●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与x轴、y轴都不相交； ●在每个象限内，y随x的增大而增大. 沪科版九年级数学上册教学课件 归纳： (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. 一般地，反比例函数 的图象是双曲线， 它具有以下性质： ky x  k 的正负决定反比例函 数所在的象限和增减性 沪科版九年级数学上册教学课件 点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则y1 y2 (填“>”“<”或“=”). < 练一练 2y x   沪科版九年级数学上册教学课件 例2 已知反比例函数 ，y 随 x 的增 大而增大，求a的值.   2 71 a ay a x    解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0． 解得 a=－3. 反比例函数的图象和性质的初步运用二 沪科版九年级数学上册教学课件 练一练 已知反比例函数 在每个象限 内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．   2 103 8 my m x   解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0． 解得 m=3. 沪科版九年级数学上册教学课件 例3 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 沪科版九年级数学上册教学课件 (2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？ 12 2  44 5  解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. ky x  6 2 k 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图 象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为 .12y x  沪科版九年级数学上册教学课件 (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？ O x y 例4 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据 图象，回答下列问题： 5my x  解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限. 由因为这个函数图象位于第一、 三象限，所以m－5＞0， 解得m＞5. 沪科版九年级数学上册教学课件 (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1＞x2时， y1＜y2. 沪科版九年级数学上册教学课件 (1) 如果这个函数图象经过点（-3,5），求k的值； (2)如果这个函数图象在它所处的象限内，函数y随x 的增大而减小，求k的范围. 例5 已知反比例函数 2k-1.y x  解：(1) 因为函数图象经过点（-3，5），代入 函数的表达式，得 解方程，得k=-7. 2k 15= 3   (2)根据题意，有2k-1>0. 解不等式，得 1 2k  沪科版九年级数学上册教学课件 反比例函数解析式中 k 的几何意义三 1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形， 填写下页表格： 4y x  合作探究 沪科版九年级数学上册教学课件 5 1 2 3 4 －1 5 x y O  P P (2，2) Q (4，1) S1的值 S2的值 S1与S2 的关系 猜想 S1， S2 与 k 的关系 4y x  4 4 S1=S2 S1=S2=k －5－4－3－2 1 432 －3 －2 －4 －5 －1  Q 沪科版九年级数学上册教学课件 S1的值 S2的值 S1与S2 的关系 猜想与 k 的关系 P (－1，4) Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格： 4y x 4y x  4 4 S1=S2 S1=S2=－k y xO P Q 沪科版九年级数学上册教学课件 由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直 于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k 的关系是S矩形 AOBP=|k|. x ky  沪科版九年级数学上册教学课件 y xO P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b) A B ∵点 P (a，b) 在函数 的图 象上， ky x  ∴ ，即 ab=k.kb a  ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k； 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP=PB·PA =a· (－b)=－ab=－k. B P A 综上，S矩形 AOBP=|k|. 沪科版九年级数学上册教学课件 点 Q 是其图象上的任意 一 点，作 QA 垂直于 y 轴， 作 QB 垂直于x 轴，矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ= . 推理：△QAO与△QBO 的 面积和 k 的关系是 S△QAO=S△QBO= .  Q 对于反比例函数 ， x ky  A B 2 k |k| y xO 归纳： 反比例函数的 面积不变性 沪科版九年级数学上册教学课件 A. SA >SB>SC B. SA0) 图像上的任意两点， 过点 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的 垂线 CD，垂足为 D，连接 OC 交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积 为 S1，则 S1= ；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小 关系是 S1 S2；△POE 的面 积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3. 典例精析 4y x  2 S1 S2 ＞ ＝ S3 沪科版九年级数学上册教学课件 如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是 AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 .S1 = S2 < S3 练一练 解析：由反比例函数面积的不变 性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一 支交于点 F，连接 OF，易知， S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE， 所以 S1，S2，S3的大小关系为 S1 = S2 < S3 FS1 S2 S3 沪科版九年级数学上册教学课件当堂练习 1. 反比例函数 的图象在 ( )8y x  A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D.第二、四象限 B 沪科版九年级数学上册教学课件 2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 的 图象大致是 ( ) 1y x   O x y O x y O x y O x y A. B. C. D. B 沪科版九年级数学上册教学课件 3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象 限内，则m的取值范围是________. 4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于二、四象限. 其中正确的是 (填序号).(1)(3) 2my x  m ＞ 2 12y x   沪科版九年级数学上册教学课件 5. 在反比例函数　　　(k>0) 的图象上有两点 A (x1，y1)， B (x2，y2)， 且 x1>x2>0，则 y1－y2 0. ky x  ＜ 沪科版九年级数学上册教学课件 y D B A C x 6. 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图象上 任意一点，AB//x 轴交反比例函数 (x＜0) 的 图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中 点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =___. 2y x  3y x   3 2 5 沪科版九年级数学上册教学课件 7. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分别在 第一、第三象限，求 m 的值. 解：因为反比例函数 y = mxm²－5 的两个分支分别在第 一、第三象限， 所以有 m2－5=－1， m＞0， 解得 m=2. 沪科版九年级数学上册教学课件 8. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4). (1) 求 k 的值； ky x  解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，－4)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 　　 ky x  4 2 k  解得 k = －8. 沪科版九年级数学上册教学课件 (2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大 如何变化? 解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内，y 随 x 的增大而增大. 沪科版九年级数学上册教学课件 (3) 画出该函数的图象； O x y 解：如图所示： 沪科版九年级数学上册教学课件 (4) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？ 因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标 不满足该解析式， 所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数 的图象上. 解：该反比例函数的解析式为 .8y x   沪科版九年级数学上册教学课件 能力提升： 8. 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 (k＞0) 的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围. ky x  解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而 减小. ① 当这两点在图象的同一支上时， ∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时， ∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2. ∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1. 故 a 的取值范围为：－1＜a＜1． 沪科版九年级数学上册教学课件 反比例函数 (k≠0) k k > 0 k < 0 图象 性质 图象位于第一、 三象限 图象位于第二、 四象限 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 课堂小结 ky x  沪科版九年级数学上册教学课件 21.5 反比例函数 第3课时 反比例函数的应用 沪科版九年级数学上册教学课件 学习目标 1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识， 提高运用代数方法解决问题的能力. 2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反 比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图 象、性质的综合能力. (重点、难点) 3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围． 沪科版九年级数学上册教学课件导入新课 对于一个矩形，当它面积一定时，长a是宽b的反比 例函数，其函数解析式可以写为 (S ＞ 0). 请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有 反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数解析式． 实例： 函数解析式： ． 三角形的面积 S 一定时，三角形底边长 y 是高 x 复习引入 Sa b  2Sy x  (S＞0) 的反比例函数 ； 沪科版九年级数学上册教学课件讲授新课 反比例函数在实际生活中的应用一 引例：某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板 的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的 道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木 板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p (Pa)将 如何变化？ 如果人和木板对湿地地面的压力合 计600N，那么 (1)用含S的代数式表示p，p是S的反比 例函数吗？为什么？ 沪科版九年级数学上册教学课件 由p＝ 得p＝ p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，对应 的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义， 则p是S的反比例函数． (2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？ 当S＝0.2m2时， p＝ ＝3000(Pa) ． 答：当木板面积为0.2m2时压强是3000Pa． 沪科版九年级数学上册教学课件 (3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？ (4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象． 图象如下 当 p≤6000 Pa时，S ≥0.1m2． 0.1 0.5O 0.60.30.2 0.4 1000 3000 4000 2000 5000 6000 2m p/Pa S/ 沪科版九年级数学上册教学课件 例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱 形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m) 有怎样的函数关系? 解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd =104， ∴ S 关于d 的函数解析式为 410 .S d  典例精析 沪科版九年级数学上册教学课件 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队 施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20. 如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应 向地下掘进 20 m 深. 解：把 S = 500 代入 ，得 410S d  410500 d ， 沪科版九年级数学上册教学课件 (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公 司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相 应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小 数点后两位)? 解得 S≈666.67. 当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m². 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 410S d  410 15S ， 沪科版九年级数学上册教学课件 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方 程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反． 想一想： 沪科版九年级数学上册教学课件 1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用 图象可表示为 ( ) B 练一练 A. B. C. D. x y x y x y x y 沪科版九年级数学上册教学课件 2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升 (1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗． (1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位： dm) 有怎样的函数关系? d解： 3 .S d  (2) 如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口 的面积为多少 dm2？ 解：10cm=1dm，把 d =1 代入解析式，得 S =3. 所以漏斗口的面积为 3 dm2. 沪科版九年级数学上册教学课件 (3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多少? 解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S =0.6 代入解析式，得 d =5. 所以漏斗的深为 5 dm. 沪科版九年级数学上册教学课件 例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载 完毕恰好用了8天时间. (1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位： 吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系? 提示：根据平均装货速度×装货天数=货物的总量， 可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货 速度=货物的总量÷卸货天数，得到 v 关于 t 的函 数解析式. 解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k =30×8=240， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 240.v t  沪科版九年级数学上册教学课件 (2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5天卸 载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨? 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载 完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例 函数的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物 不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 解：把 t =5 代入 ，得240v t  240 48.v t   沪科版九年级数学上册教学课件 练一练 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心， 这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走． (1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式； 解： 1200.y x  沪科版九年级数学上册教学课件 (2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的 拖拉机要用多少天才能运完？ 解：x =12×5=60，代入函数解析式得 1200 20.60y   答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这 样的拖拉机要用 20 天才能运完. 沪科版九年级数学上册教学课件 (3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不 超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少 辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 解：运了8天后剩余的垃圾有 1200－8×60=720 (立方米)， 剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天 至少运 720÷6=120 (立方米)， 所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10 (辆)， 即至少需要增加拖拉机10－5=5 (辆). 沪科版九年级数学上册教学课件 例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地. (1) 甲、乙两地相距多少千米？ 解：80×6=480 (千米) 答：甲、乙两地相距 480 千米. (2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 解：由题意得 vt=480， 整理得 (t ＞0).480v t  沪科版九年级数学上册教学课件 例4 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力 臂分别为 1200 N 和 0.5 m. (1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力? 反比例函数在其他学科中的应用一 解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5， ∴ F 关于l 的函数解析式为 600.F l  当 l=1.5m 时， 600 400.1.5F  对于函数 ，当 l =1.5 m时，F =400 N，此 时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400N的力. 600F l  沪科版九年级数学上册教学课件 (2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则 动力臂l至少要加长多少? 提示：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F =200 N 时对应的 l 的值，就能 确定动力臂 l 至少应加长的量. 600F l  解：当F=400× =200 时，由200 = 得1 2 600 l 600 3200l ，  300－1.5 =1.5 (m). 对于函数 ，当 l ＞0 时，l 越大，F越 小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则 动力臂至少要加长 1.5 m. 600F l  沪科版九年级数学上册教学课件 在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一 定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比 例函数的知识对其进行解释吗？ 想一想： 沪科版九年级数学上册教学课件 假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力)， 阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请 你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把 地球撬动？ 由已知得F×l＝6×1025×2×106 =1.2×1032 米， 当 F =500时，l =2.4×1029 米， 解： 2000 千米 = 2×106 米， 练一练 变形得： 321.2 10 .F l  故用2.4×1029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动. 沪科版九年级数学上册教学课件 例5 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～ 220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如 图所示. (1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? U~解：根据电学知识， 当 U = 220 时，得 2220 .p R  沪科版九年级数学上册教学课件 (2) 这个用电器功率的范围是多少? 解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率 越小. 把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式， 得到功率的最大值 把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式， 得到功率的最小值 2220 440110p   ； 2220 220.220p   因此用电器功率的范围为220~440 W. 沪科版九年级数学上册教学课件 1. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I 与电 阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为 ( )D 练一练 A. B. C. D. I R I R I R I R UI R  沪科版九年级数学上册教学课件 2. 在某一电路中，保持电压不变，电流 I (安培) 和电阻 R (欧姆) 成反比例，当电阻 R＝5 欧姆时，电流 I＝2 安培． (1) 求 I 与 R 之间的函数关系式； (2) 当电流 I＝0.5 时，求电阻 R 的值． 解：(1) 设 ∵ 当电阻 R = 5 欧姆时，电流 I = 2 安培， ∴ U =10． ∴ I 与 R 之间的函数关系式为 UI R  ， 10.I R  100.5 R (2) 当I = 0.5 安培时， ，解得 R = 20 (欧姆)． 沪科版九年级数学上册教学课件当堂练习 1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为x，另一直角边 长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( ) A. x y 1O 2 x y 4O 4 B. x y 1O 4 C. x y 1O 4 1 4 D. C 沪科版九年级数学上册教学课件 2. (1) 体积为 20 cm3 的面团做成拉面，面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位：cm2) 的函数关系为 . (2) 某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗 1 mm2， 则面条的总长度是 cm.  20y SS ＞0 2000 沪科版九年级数学上册教学课件 3. A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城. (1) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时) 之间的函数关系是________． (2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求 在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低 于____________．240千米/时 720v t  沪科版九年级数学上册教学课件 4. 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤， 现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期 (按150 天计算) 刚好用完. 若每天的耗煤量为 x 吨，那么 这批煤能维持 y 天. (1) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？ 解：煤的总量为：0.6×150=90 (吨)， 根据题意有 90y x  (x＞0). 沪科版九年级数学上册教学课件 (2) 画出函数的图象； 解：如图所示. 30 90 1 x y O 沪科版九年级数学上册教学课件 (3) 若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？ 解：∵ 每天节约 0.1 吨煤， ∴ 每天的用煤量为 0.6－0.1=0.5 (吨)， ∴ 这批煤能维持 180 天． 90 90 180.0.5y x    沪科版九年级数学上册教学课件 5. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行 车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ 解： 3600.v t  (2) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速 度是多少？ 解：把 t =15代入函数的解析式，得： 答：他骑车的平均速度是 240 米/分. 3600 240.15y   沪科版九年级数学上册教学课件 (3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少 需要几分钟到达单位? 解：把 v =300 代入函数解析式得： 解得：t =12． 答：他至少需要 12 分钟到达单位． 3600 300t ， 沪科版九年级数学上册教学课件 6. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流 I (A) 是电 阻 R (Ω) 的反比例函数，其图象如图所示． (1) 求这个反比例函数的表达式； 解：设 ，把 M (4，9) 代入得 k =4×9=36. ∴ 这个反比例函数的 表达式为 . kI R  36I R  O 9 I(A) 4 R(Ω) M (4，9) 沪科版九年级数学上册教学课件 (2) 当 R =10Ω 时，电流能是 4 A 吗？为什么？ 解：当 R=10Ω 时，I = 3.6 ≠ 4， ∴电流不可能是4A． 沪科版九年级数学上册教学课件 7. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力F (N)之间的函数关系如 下图所示： (1) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表 达式； O 20 v(m/s) 3000 F(N) 解： 60000.v F  沪科版九年级数学上册教学课件 (3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什 么范围内？ (2) 当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多 少 km/h？ 解：把 F = 1200 N 代入求得的解析式得 v = 50， ∴汽车的速度是3600×50÷1000 = 180 km/m. 答案：F ≥ 2000 N. 沪科版九年级数学上册教学课件 8. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项 开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工 程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示. (1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式； 50 24 x(m/天) y(天) O 解： 1200.y x  沪科版九年级数学上册教学课件 (2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够 开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完 成此项任务？ 解：由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 (m)； 2 台挖掘机需要 1200÷(2×15)=40 (天). 沪科版九年级数学上册教学课件 (3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多 少 m？ 解：1200÷30=40 (m)， 故每天至少要完成40 m． 沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结 实 际 问 题 中 的 反 比 例 函 数 过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单 位长度不一定相同 沪科版九年级数学上册教学课件 21.6 综合与实践 获取最大利润 沪科版九年级数学上册教学课件 学习目标 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大 利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取 值范围.（难点） 沪科版九年级数学上册教学课件导入新课 情境引入 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关 的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大 化是永恒的追求. 如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 沪科版九年级数学上册教学课件 一个制造商制造一种产品，它的成本可以分为固定 成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品 建造厂房 购置设备 培训工人等费用，如果没有更换产 品，我们将它看为常数；可变成本与该产品生产的件数 有关，而每件产品的成本包括劳动力 材料 包装 运输等 费用。例如，生产一种收音机的成本（单位：元）可以 近似的表述为 其中C表示生产 t台收音机的总成本，当t=0时 C=120t+1000 ① C成本=120×0+1000=1000 1000元是固定成本，由此可知①式中120t表示可变成本 如何定价利润最大 讲授新课 沪科版九年级数学上册教学课件 制造商出售产品得到的年总收入等于出售产品的年 销售量 t 和产品的销售单价 x 的乘积，设R表示年总收入， 则 R年总收入=t ·x ② 制造商的年利润是出售产品的年收入和生产这些产品 的总成本之间的差额，通常设为 p 表示年利润 P利润=R年总收入-C成本 ∴ P利润=R-C=t·x-c ③ 沪科版九年级数学上册教学课件 问题① 当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向 市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通 常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降。假 设某市场分析专家提供了下列数据 销售单价x/元 50 100 150 300 年销售量t/件 5000 4000 3000 0 设生产t件该产品的成本为 C=50t+1000 沪科版九年级数学上册教学课件 (1)在下图中，描出上述表格中各组数据对应的点 4000 1000 2000 3000 5000 50 100 150 200 250 300 x/元 t/件 O · · · · 销售单价x/元 50 100 150 300 年销售量t/件 5000 4000 3000 0 C=50t+1000 沪科版九年级数学上册教学课件 4000 1000 2000 3000 5000 50 100 150 200 250 300 x/元 t/件 O · · · · （2）描出的这些点在一条直线吗？求t和x之间的函 数关系式 解：由右图可知：这些点在一条直线上，设函数的解 析式为：t=kx+b 任意选取两点代入 求得：k=-20,b=6000 ∴t=-20x+6000 沪科版九年级数学上册教学课件 （3）销售单价x和年销售量t各为多少时，年利润P最大？ =-20x²+6000x-50t-1000 解：∵R年总收入=t ·x ∴R年总收入=(-20x+6000) ·x ∴P利润=R年总收入-C成本=t·x-c ∴P利润=(-20x+6000) ·x -(50t+1000) =-20x²+6000x-50(-20x+6000)-1000 =-20x²+7000x-301000 由公式可得：当 x= 时 即x=175, P最大 = -2 b a 24 4 a c b a  P=311500元∴t=-20x+6000=2500 沪科版九年级数学上册教学课件 例：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件， 经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调 整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总 利润为Q元. （1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则 此时每月的总利润最多是多少元？ 解：由题意得：当40≤x≤50时， Q = 60(x－30)= 60x－1800 ∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大 ∴当x最大= 50时，Q最大= 1200 答：此时每月的总利润最多是1200元. 沪科版九年级数学上册教学课件 （2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如 图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月 获利最大，最大利润是多少元？ 解：当50≤x≤70时， 设y与x函数关系式为y=kx+b, ∵线段过(50，60)和(70，20). 50k+b=60 70k+b=20 ∴ ∴y =－2x +160（50≤x≤70） 解得： k =－2 b = 160 沪科版九年级数学上册教学课件 ∴y =－2x +160（50≤x≤70） ∴Q=(x－30)y =(x－30)(－2x + 160) =－2x2 + 220x－ 4800 =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70) ∵a = －2＜0，图象开口向下， ∴当x = 55时，Q最大= 1250 ∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大， 最大利润是1250元. 沪科版九年级数学上册教学课件 解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218 ∴售价x应在50~70元之间. ∴令：－2(x－55)2 +1250=1218 解得：x1=51，x2=59 当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件) 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件) ∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品 售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件. （3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商 品售价与当月的销售量各是多少？ 沪科版九年级数学上册教学课件 变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例 题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数 关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店 每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：Q与x的函数关系式为： 60x－1800 （40≤x≤50） －2(x－55)2 + 1250 （50≤x≤70）Q = 由例3可知： 若40≤x≤50， 则当x=50时，Q最大= 1200 若50≤x≤70， 则当x=55时，Q最大= 1250 ∵1200＜1250 ∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元. 沪科版九年级数学上册教学课件 （2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试 确定该商品的售价x的取值范围； 解：①当40≤x≤50时， ∵Q最大= 1200＜1218， ∴此情况不存在. 60x－1800 （40≤x≤50 ） －2(x－55)2 + 1250 （50≤x≤70）Q = 沪科版九年级数学上册教学课件 ②当50≤x≤70时， Q最大= 1250>1218， 令Q = 1218，得 －2(x－55)2 +1250=1218 解得：x1=51，x2=59 由Q = －2(x－55)2 +1250的 图象和性质可知: 当51≤x≤59时，Q≥1218 ∴若该商品所获利润不低于1218元， 则售价x的取值范围为51≤x≤59. x Q 0 55 1218 5951 1250 沪科版九年级数学上册教学课件 （3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品 的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最 大，最大利润是多少元？ 解：由题意得： 51≤x≤59 30 (－2 x +160)≥1620 解得：51≤x≤53 沪科版九年级数学上册教学课件 ∵Q=－2(x－55)2 +1250的顶点 不在51≤x≤53范围内， 又∵a =－2＜0， ∴当51≤x≤53时 ， Q随x的增大而增大 ∴当x最大 = 53时，Q最大= 1242 ∴此时售价x应定为53元， 利润最大，最大利润是1242元. x Q 0 55 1242 5351 沪科版九年级数学上册教学课件 制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取 得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组 数据 问题② 年销售量t/件 750 3000 5096 8500 9417 销售单价x/元 3850 3400 3000 2300 2100 设生产t件某种电子产品的成本（单位：元）可以近似的 表示为： C=1000t+2 000 000 沪科版九年级数学上册教学课件 （1）在图中，描出上述表格中各组数据对应的点 3500 2000 2500 3000 4000 1000 2000 3000 4000 7000 8000 t/件 x/元 0 5000 6000 9000 10000 · · · · · 年销售量t/件 750 3000 5096 8500 9417 销售单价x/元 3850 3400 3000 2300 2100 沪科版九年级数学上册教学课件 （2）假如该企业高薪聘你，请你分析，当年销售量t和 销售单价 x 分别是多少时，年利润 P 最大？并说说你有 几种求解方法？与同学进行交流. 沪科版九年级数学上册教学课件 解：通过图像可以观察：这些点几乎在一条直线上，不 妨设解析式为： x=kt+b 将点（3000，3400）和点（8500，2300）代入x=kt+b 中可得 1 ; 4 0 0 05k b   1 4 0 0 05x t   ∵R年总收入=t ·x 1 4 0 0 0 )5 t t  （ ∴P利润=R年总收入-C成本=t·x-c 1 4 0 0 0 ) (1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 )5p t t t    （ 21- 3 0 0 0 -2 0 0 0 0 0 05 t t （ 沪科版九年级数学上册教学课件 ∴ x=2500 21- 3 0 0 0 -2 0 0 0 0 0 05 t t （ 由公式 t=- 时，t=7500 2a b 1 4 0 0 05x t    = 9250000 24 - 4 a c bP a   沪科版九年级数学上册教学课件 1.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件， 价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣 的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式 为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之 间的函数关系式为 .(以上关系 式只列式不化简）. y=2000-5(x-100) w=[2000-5(x-100)](x-80) 当堂练习 沪科版九年级数学上册教学课件 x(元) 15 20 30 … y(件) 25 20 10 … 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数. （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数 关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应 定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 2.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下: 沪科版九年级数学上册教学课件 （2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销 售利润为 w 元.则 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大 销售利润为225元. 15 25 20 20 k b k b      则 解得 k =－1，b＝40, 解：（1）设此一次函数解析式为 .bkxy       22525 400504010 2 2   x xxxxw 所以一次函数解析为 .40 xy 沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结 最 大 利 润 问 题 建立函数 关 系 式 总利润=单件利润×销 售量或总利润=总售价- 总成本. 确定自变量 取 值 范 围 涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润≥0. 确定最大 利 润 利用配方法或公式求最 大值或利用函数简图和 性质求出. 沪科版九年级数学上册教学课件 小结与复习 第21章 二次函数与 反比例函数 沪科版九年级数学上册教学课件要点梳理 一般地，形如　 　(a，b，c是常 数，　 　__)的函数，叫做二次函数． y＝ax2＋bx＋c a ≠０ [注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的 最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊 的二次函数． 1.二次函数的概念 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数 y=a(x-h)2+k y＝ax2＋bx＋c 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最 值 a＞0 a＜0 增 减 性 a＞0 a＜0 2.二次函数的图象与性质： a＞0 开口向上 a ＜ 0 开口向下 x=h (h , k) y最小=k y最大=k 在对称轴左边,x↗ y↘ ;在对称轴右边, x↗ y↗ 在对称轴左边,x↗ y↗ ;在对称轴右边, x↗ y↘ 2 bx a  24( , )2 4 b ac b a a  y最小= 24 4 ac b a  y最大= 24 4 ac b a  沪科版九年级数学上册教学课件 3.二次函数图像的平移 y＝ax2 2( )y a x h  左、右平移 左加右减 2( )y a x h k   上、下平移 上加下减 y＝-ax2 写成一般形式 2y ax bx c   沿x轴翻折 沪科版九年级数学上册教学课件 4.二次函数表达式的求法 1．一般式法：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0) 2．顶点法：y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 3．交点法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 沪科版九年级数学上册教学课件 5.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种 情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当二 次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交点的 横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程 ax2＋bx＋c=0的根. 沪科版九年级数学上册教学课件 二次函数y＝ax2 ＋bx＋c的图像和 x轴交点 一元二次方程 ax2＋bx＋c=0的 根 一元二次方程 ax2＋bx＋c=0根的 判别式（b2-4ac） 有两个交点 有两个相异的 实数根 b2-4ac > 0 有两个重合 的交点 有两个相等的 实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 沪科版九年级数学上册教学课件 6.二次函数的应用 1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最 大化问题(即最值问题)； (2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解． 2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之 间 的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取 值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4)检验结果的合理性，是否符合实际意义． 沪科版九年级数学上册教学课件 7. 反比例函数的概念 定义：形如________ (k为常数，k≠0) 的函数称为反 比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例 系数． 三种表达式方法： 或 xy＝kx 或y＝kx－1 (k≠0)． 防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0. ky x  ky x  沪科版九年级数学上册教学课件 8. 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的 图象是 ，它既是轴对称图形又是中心 对称图形. 反比例函数的两条对称轴为直线 和 ； 对称中心是： . 双曲线 原点 ky x  y = x y=－x 沪科版九年级数学上册教学课件 (2) 反比例函数的性质 图象 所在象限 性质 (k≠0) k＞0 一、三象 限(x，y 同号) 在每个象 限内，y 随 x 的增 大而减小 k＜0 二、四象 限(x，y 异号) 在每个象 限内，y 随 x 的增 大而增大 ky x  x y o x y o 沪科版九年级数学上册教学课件 (3) 反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有 两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐 标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|. 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线， 一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积 为常数 ． 2 k 沪科版九年级数学上册教学课件 9. 反比例函数的应用 ◑ 利用待定系数法确定反比例函数： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对 对应值，求出 k 的值； ③ 写出解析式. ky x  沪科版九年级数学上册教学课件 ◑ 反比例函数与一次函数的图象的交点的求法 求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0) 的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方 程组. 2ky x  ◑ 利用反比例函数相关知识解决实际问题 过程：分析实际情境→建立函数模型→明确 数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能取 非负值. 沪科版九年级数学上册教学课件 考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值 考点讲练 例1 抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为________． 【解析】 方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则 顶点坐标为(1,2)． 方法二代入公式 ， ， 则顶点坐标为(1,2)． 2 12 2 1 bx a    2 24 4 1 3 2 24 4 1 ac by a       (1,2) 沪科版九年级数学上册教学课件 解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配 方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称轴是直 线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也可以直 接利用公式求解. 方法归纳 沪科版九年级数学上册教学课件 1．对于y＝2(x－3)2＋2的图像下列叙述正确的是(　　) A．顶点坐标为(－3,2) B．对称轴为y＝3 C．当x≥3时，y随x的增大而增大 D．当x≥3时，y随x的增大而减小 C 针对训练 沪科版九年级数学上册教学课件 考点二 二次函数的图像与性质及函数值的大小比较 例2 二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像 如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2) 在此函数图像上，且x1y2 【解析】由图像看出，抛物线开口向下，对称轴是x ＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大． ∵x1－1可得2a－b＜0，故②正确； 由图像上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b ＋c＜0，故③正确； 由图像上横坐标为x＝1的点在第四象限得出a＋b＋c＜0， 由图像上横坐标为x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0， 即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2， 故④正确．故选D. 沪科版九年级数学上册教学课件 方法总结 1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0⇔对称轴 是y轴；a、b同号⇔对称轴在y轴左侧；a、b异号⇔对 称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”. 2.当x＝1时，函数y＝a＋b＋c.当图像上横坐标 x＝1的点在x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图像上横坐 标x＝1的点在x轴上时，a＋b＋c＝0；当图像上横坐 标x＝1的点在x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图 像上横坐标x＝－1的点判断a－b＋c的符号. 沪科版九年级数学上册教学课件 3.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随 x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 针对训练 沪科版九年级数学上册教学课件 解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下， 在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知， 当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2 ＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2 ＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D .2 ( 1) bx b   沪科版九年级数学上册教学课件 考点四 抛物线的几何变换 例4 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长 度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线 解析式是(　　) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3 【解析】因为y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长 度后，得到的解析式为y＝(x－3－1)2－4＋2， 即y＝ (x－4)2－2.故选B. B 沪科版九年级数学上册教学课件 4.若抛物线 y=－7(x+4)2－1平移得到 y=－7x2，则可 能（ ） A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位 B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位 B 针对训练 沪科版九年级数学上册教学课件 考点五 二次函数表达式的确定 例5 已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当 x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函 数的解析式. 待定系数法 解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c, 由题意得： 10 4 4 2 7 a b c a b c a b c            解得, a=2,b=－3,c=5. ∴ 所求的二次函数为y＝2x2－3x＋5. 沪科版九年级数学上册教学课件 5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7 的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离 为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式. 解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状 相同 a=1或－1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,  顶点为(1,5)或(1,－5) 所以其表达式为: (1) y=(x－1)2+5 (2) y=(x－1)2－5 (3) y=－(x－1)2+5 (4) y=－(x－1)2－5 针对训练 沪科版九年级数学上册教学课件 例6 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于 x的方程x2+mx=7的解为（　　） A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7 解析：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3， ∴ =3，解得m=－6， ∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2－6x－7=0， 即(x+1)(x－7)=0，解得x1=－1，x2=7． 故选D． 2 m 考点六 二次函数与一元二次方程 D 沪科版九年级数学上册教学课件 例7　某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试 销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%， 经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数 y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45. (1)求一次函数的表达式； (2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价 x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得 最大利润，最大利润是多少元？ 考点七 二次函数的应用 沪科版九年级数学上册教学课件 解：(1)根据题意，得 65 55 75 45 k b k c      解得k=-1,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120. (2)W=(x-60)•(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900, ∵抛物线的开口向下， ∴当x＜90时，W随x的增大而 增大， 而60≤x≤60×（1+45%），即60≤x≤87, ∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891. 沪科版九年级数学上册教学课件 例8　如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝ 90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30. 作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F 处，DF交BC于点G. (1)用含有x的代数式表示BF的长； (2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式； (3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值． 沪科版九年级数学上册教学课件 解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30. ∴BF=2x-30. （2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF-=∠ABC=90°， ∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30. 所以S△DEF-S△GBF= DE2- BF2= x2- (2x-30)2= x2+60x-450. 1 2 1 2 1 2 1 23 2  （3）S= x2+60x-450= (x-20)2+150. ∵a= ＜0,15＜20＜30， ∴当x=20时，S有最大值， 最大值为150. 3 2  3 2  3 2  沪科版九年级数学上册教学课件 考点八 反比例函数的概念 针对训练 1. 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数? ① y = 3x－1 ② y = 2x2 ⑤ y = 3x ③ 1y x  ④ 2 3 xy  1y x  ⑥ ⑦ 1 3y x  ⑧ 3 2y x  沪科版九年级数学上册教学课件 ky x  1 3 1 3  2. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数 的图象上， 则 k 的值是 ( ) A. 3　　　　　　　　B. －3 C. D. B 3. 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( ) A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数   2 21 ay a x   A 沪科版九年级数学上册教学课件 例9 已知点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3) 都在反比 例函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ( ) A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出y1，y2， y3的值，再比较出其大小即可． 方法②：根据反比例函数的图象和性质比较． 考点九 反比例函数的图象和性质 D　 6y x  沪科版九年级数学上册教学课件 方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限 内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能 按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定． 沪科版九年级数学上册教学课件 已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2)都在反比 例函数 (k<0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 .y1 ＞0＞y2 针对训练 ky x  沪科版九年级数学上册教学课件 例10 如图，两个反比例函数 和 在第一象 限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，PA ⊥ x 轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为 .1 考点十 与反比例函数 k 有关的问题 4y x  2y x  沪科版九年级数学上册教学课件 针对训练 如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半 轴上一点，过点 M 的直线 l∥ y 轴，且直线 l 分别与 反比例函数 (x＞0)和 (x＞0) 的图象交于 P，Q两点，若 S△POQ=14， 则 k 的值为 . 8y x  ky x  20 沪科版九年级数学上册教学课件 考点十一 反比例函数的应用 例11 如图，已知 A (－4， )，B (－1，2) 是一次函数 y =kx+b 与反比例函数 (m＜0)图象的两个交点， AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D． (1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值 时，一次函数的值大于反比例函数的值； 1 2 my x  O B A x y C D 解：当－4＜ x ＜－1时，一 次函数的值大于反比例 函数的值. 沪科版九年级数学上册教学课件 (2) 求一次函数解析式及 m 的值； 解：把A(－4， )，B(－1，2)代入 y = kx + b中，得 1 2 －4k + b = ， 1 2 －k + b =2， 解得 k = ， 1 2 b = ， 5 2 所以一次函数的解析式为 y = x + . 1 2 5 2 把 B (－1，2)代入 中，得 m =－1×2=－2. my x  沪科版九年级数学上册教学课件 (3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和 △PDB 面积相等，求点 P 坐标. O B A x y C DP ∵ △PCA面积和△PDB面积相等， ∴ AC·[t－(－4)]= BD·[2－[ 2－( t+ )]，1 2 1 2 5 2 1 2 解得：t = . ∴ 点 P 的坐标为 ( ， )． 5 2  5 2  5 4 解：设点 P 的坐标为 ( t， t + )，P点到直线 AC 的 距离为 t－(－4)，P 点到直线 BD 的距离为2－ ( t+ )． 1 2 5 2 1 2 5 2 沪科版九年级数学上册教学课件 方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方 程组，三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清 解题思路. 在直角坐标系中，求三角形或四边形面积 时，是要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线 段长度. 沪科版九年级数学上册教学课件 针对训练 如图，设反比例函数的解析式为 (k＞0)． (1) 若该反比例函数与正比例函数 y =2x 的图象有一个 交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值； 3ky x  O y x 解：由题意知点 P 在正比例函数 y =2x 上， 把 P 的纵坐标 2 带入该解析 式，得P (1，2)， 把 P (1，2) 代入 ， 得到 3ky x  2.3k  P2 沪科版九年级数学上册教学课件 (2) 若该反比例函数与过点 M (－2，0) 的直线 l：y=kx +b 的图象交于 A，B 两点，如图所示，当 △ABO 的面积为 时，求直线 l 的解析式；16 3 解：把 M (－2，0) 代入 y = kx + b， 得 b= 2k，∴y = kx+2k， O A y B x M l N 解得 x =－3 或 1. y＝kx+2k， ∴ 3ky x  ， ∴ B (－3，－k)，A (1，3k). 沪科版九年级数学上册教学课件 ∵ △ABO的面积为16 3 ， ∴ 2·3k· + 2·k· = 1 2 1 2 16 3 ， 解得 4.3k  ∴ 直线 l 的解析式为 y = x + ．4 3 8 3 O y x M l N A (1，3k) B (－3，－k) 沪科版九年级数学上册教学课件 (3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的 值小于反比例函数的值？ O y x M l N A (1，3k) B (－3，－k) 解：当 x ＜－3或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反 比例函数的值. 沪科版九年级数学上册教学课件 例4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小 时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知 服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克) 与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反 比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题： (1) 求当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 的函数解析式； 解：当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 成正比 例函数关系． 设 y ＝kx，由于点 (2，4) 在 线段上， 所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x. O y/毫克 x/小时2 4 沪科版九年级数学上册教学课件 (2) 求当 x > 2 时，y 与 x 的函数解析式； 解：当 x > 2时，y 与 x 成反比例函数关系， 设 .ky x  解得 k ＝8. 由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上， 所以 4 2 k ， 即 8.y x  O y/毫克 x/小时2 4 沪科版九年级数学上册教学课件 (3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？ 解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2， 解得x≥1，∴1≤x≤2； 当 x>2 时，含药量不低于 2 毫克， 即 ≥ 2，解得 x ≤ 4. ∴2< x ≤4.8 x 所以服药一次，治疗疾病的有 效时间是 1＋2＝3 (小时)． O y/毫克 x/小时2 4 沪科版九年级数学上册教学课件 二 次 函 数 二次函数的概念 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数的图象与性质 课堂小结 不共线三点确定二次函数的表达式 二次函数的应用 沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结 反 比 例 函 数 定义 图象 性质 x，y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用