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  • 2021-11-10 发布

九年级数学上册第四章图形的相似6利用相似三角形测高教学课件新版北师大版

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4.6 利用相似三角形测高 第四章 图形的相似 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1. 通过测量旗杆的高度的活动,并复习巩固相似三角形有 关知识 . (重点) 2. 灵活运用三角形相似的知识解决实际问题 . (难点) 学习目标 世界上最高的树 —— 红杉 导入新课 乐山大佛 台北 101 大楼 怎样测量这些非常高大物体的高度? 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被誉为 “ 世界古代八大奇迹之一 ” ,古希腊数学家,天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度,你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗? 运用相似三角形解决高度 ( 长度 ) 测量问题 一 讲授新课 例 1 : 如下图,如果木杆 EF 长 2 m ,它的影长 FD 为 3 m ,测得 OA 为 201 m ,求金字塔的高度 BO . 我们来试着用学过的知识解决前面提出的问题. 解: ∵ BF∥ED ,∴∠ BAO =∠ EDF , 又 ∵∠ AOB =∠ DFE =90° , ∴△ ABO ∽△ DEF , ∴ = ,∴ = , ∴ BO =134. 因此金字塔高 134 m. 物 1 高 :物 2 高 = 影 1 长 :影 2 长 测高方法一: 测量不能到达顶部的物体的高度,可以用“ 在同一时刻物高与影长成正比例 ”的原理解决 . 例 2 : 如图,小明为了测量一棵树 CD 的高度,他在距树 24m 处立了一根高为 2m 的标杆 EF ,然后小明前后调整自己的位置,当他与树相距 27m 的时候,他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上 . 已知小明的眼高 1.6m ,求树的高度 . 解析: 人、树、标杆是相互平行的,添加辅助线,过点 A 作 AN ∥ BD 交 I D 于 N ,交 EF 于 M ,则可得△ AEM ∽△ ACN. A E C D F B N A E C D F B N 解:过点 A 作 AN∥BD 交 CD 于 N ,交 EF 于 M ,因为人、标杆、树都垂直于地面, ∴∠ ABF=∠EFD=∠CDF =90°, ∴AB∥EF∥CD, ∴∠ EMA=∠CNA. ∵∠ EAM=∠CAN, ∴△ AEM∽△ACN , ∴ . ∵ AB =1.6m , EF =2m , BD =27m , FD =24m , ∴ , ∴ CN =3.6 ( m ), ∴ CD =3.6+1.6=5.2 ( m ) . 故树的高度为 5.2m. M 测高方法二: 测量不能到达顶部的物体的高度,也可以用“ 利用标杆测量高度 ”的原理解决 . 例 3 : 为了测量一棵大树的高度,某同学利用手边的工具(镜子、皮尺)设计了如下测量方案:如图, ①在距离树 AB 底部 15m 的 E 处放下镜子; ②该同学站在距离镜子 1.2m 的 C 处,目高 CD 为 1.5m ; ③观察镜面,恰好看到树的顶端 . 你能帮助他计算出大树的大约高度吗? 解:∵∠ 1=∠2,∠ DCE =∠ BAE =90°, ∴△ DCE ∽△ BAE . ∴ , 得 BA =18.75m. 因此,树高约为 18.75m. D B A C E 2 1 测高方法三: 测量不能到达顶部的物体的高度,也可以用“ 利用镜子的反射测量高度 ”的原理解决 . 例 3 : 如图, 为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点 P ,在近岸取点 Q 和 S ,使点 P 、 Q 、 S 共线且直线 PS 与河垂直,接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T ,确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R .如果测得 QS =45 m , ST =90 m , QR =60 m ,求河的宽度 PQ . 45m 90m 60m 解: ∵ QR ∥ ST ∴△ PQR ∽△ PST PQ =90m. ( 1 )根据题意画出 ___________; ( 2 )将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的 _____________________; ( 3 )利用相似三角形建立线段之间的关系,求出 __________; ( 4 )写出 ___________. 示意图 已知线段、已知角 未知量 答案 利用三角形相似解决实际问题的一般步骤: 归纳总结 利用三角形相似测高的模型: 1. 铁道口的栏杆短臂长 1m , 长臂长 16m , 当短臂端点下降 0.5m 时 , 长臂端点升高 ______ m . 8 O B D C A ┏ ┛ 1m 16m 0.5m ? 2. 某一时刻树的影长为 8 米 , 同一时刻身高为 1.5 米的人的影长为 3 米 , 则树高为 ______. 4 米 当堂练习 3. 如 图 ,利用标杆 BE 测量建筑物的高度。如果标杆 BE 高 1.2m ,测得 AB =1.6m , BC =12.4m ,楼高 CD 是多少? 解: ∴ EB ∥ CD ∴△ ABE ∽△ ACD CD =10.5m. ∵ EB ⊥ AC , CD ⊥ AC 1.2m 12.4m 1.6m 4. 如图,左、右并排的两棵大树的高分别是 AB =8 m 和 CD =12 m ,两树底部的距离 BD =5 m ,一个人估计自己的眼睛距地面 1.6 m .她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进,当她与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶点 C 了? 解:如图,假设观察者从左向右走到点 E 时,她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端 A , C 恰在一条直线上.   ∵  AB ⊥ l , CD ⊥ l ,   ∴  AB ∥ CD .   ∴ △ AEH ∽△ CEK .   ∴    =    ,   即      =      =    .    解得  EH =8 ( m ). 由此可知如果观察者继续前进,当她与左边的树距离小于 8 m 时,由于这棵树的遮挡,她看不到右边树的顶端 C . 5. 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河的对岸选定一个目标作为点 A ,再在河的这一边选定点 B 和点 C ,使 AB ⊥ BC ,然后,再选点 E ,使 EC ⊥ BC ,用视线确定 BC 和 AE 的交点 D ,此时如果测得 BD =118 米, DC =61 米, EC =50 米,求河的宽度 AB . (精确到 0.1 米) A D C E B 解: ∵∠ ADB =∠ EDC ∠ ABD =∠ ECD =90゜ 答:河的宽度 AB 约为 96.7 米. ∴⊿ ABD ∽⊿ ECD (两角分别相等的两个三角形相似), ∴ 解得 A D C E B 6. 某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为 1.5 米时,其影长为 1.2 米,当他测量教学楼旁的一棵大树影长时,因大树靠近教学楼,有一部分影子在墙上.经测量,地面部分影长为 6.4 米,墙上影长为 1.4 米,那么这棵大树高多少米? E D 6.4 1.2 ? 1.5 1.4 A B C 解:作 DE ⊥ AB 于 E 得 ∴ AE =8 米, ∴ AB =8+1.4=9.4 米 物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分 相似三角形的应用 测量高度问题 课堂小结 测量河宽问题