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- 2021-11-10 发布
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4.6
利用相似三角形测高
第四章 图形的相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.
通过测量旗杆的高度的活动,并复习巩固相似三角形有
关知识
.
(重点)
2.
灵活运用三角形相似的知识解决实际问题
.
(难点)
学习目标
世界上最高的树
——
红杉
导入新课
乐山大佛
台北
101
大楼
怎样测量这些非常高大物体的高度?
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被誉为
“
世界古代八大奇迹之一
”
,古希腊数学家,天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度,你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗?
运用相似三角形解决高度
(
长度
)
测量问题
一
讲授新课
例
1
:
如下图,如果木杆
EF
长
2 m
,它的影长
FD
为
3 m
,测得
OA
为
201 m
,求金字塔的高度
BO
.
我们来试着用学过的知识解决前面提出的问题.
解:
∵
BF∥ED
,∴∠
BAO
=∠
EDF
,
又
∵∠
AOB
=∠
DFE
=90°
,
∴△
ABO
∽△
DEF
,
∴
=
,∴
=
,
∴
BO
=134.
因此金字塔高
134 m.
物
1
高 :物
2
高
=
影
1
长 :影
2
长
测高方法一:
测量不能到达顶部的物体的高度,可以用“
在同一时刻物高与影长成正比例
”的原理解决
.
例
2
:
如图,小明为了测量一棵树
CD
的高度,他在距树
24m
处立了一根高为
2m
的标杆
EF
,然后小明前后调整自己的位置,当他与树相距
27m
的时候,他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上
.
已知小明的眼高
1.6m
,求树的高度
.
解析:
人、树、标杆是相互平行的,添加辅助线,过点
A
作
AN
∥
BD
交
I
D
于
N
,交
EF
于
M
,则可得△
AEM
∽△
ACN.
A
E
C
D
F
B
N
A
E
C
D
F
B
N
解:过点
A
作
AN∥BD
交
CD
于
N
,交
EF
于
M
,因为人、标杆、树都垂直于地面,
∴∠
ABF=∠EFD=∠CDF
=90°,
∴AB∥EF∥CD,
∴∠
EMA=∠CNA.
∵∠
EAM=∠CAN,
∴△
AEM∽△ACN ,
∴
.
∵
AB
=1.6m ,
EF
=2m ,
BD
=27m ,
FD
=24m ,
∴
,
∴
CN
=3.6
(
m
),
∴
CD
=3.6+1.6=5.2
(
m
)
.
故树的高度为
5.2m.
M
测高方法二:
测量不能到达顶部的物体的高度,也可以用“
利用标杆测量高度
”的原理解决
.
例
3
:
为了测量一棵大树的高度,某同学利用手边的工具(镜子、皮尺)设计了如下测量方案:如图,
①在距离树
AB
底部
15m
的
E
处放下镜子;
②该同学站在距离镜子
1.2m
的
C
处,目高
CD
为
1.5m
;
③观察镜面,恰好看到树的顶端
.
你能帮助他计算出大树的大约高度吗?
解:∵∠
1=∠2,∠
DCE
=∠
BAE
=90°,
∴△
DCE
∽△
BAE
.
∴ ,
得
BA
=18.75m.
因此,树高约为
18.75m.
D
B
A
C
E
2
1
测高方法三:
测量不能到达顶部的物体的高度,也可以用“
利用镜子的反射测量高度
”的原理解决
.
例
3
:
如图,
为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点
P
,在近岸取点
Q
和
S
,使点
P
、
Q
、
S
共线且直线
PS
与河垂直,接着在过点
S
且与
PS
垂直的直线
a
上选择适当的点
T
,确定
PT
与过点
Q
且垂直
PS
的直线
b
的交点
R
.如果测得
QS
=45 m
,
ST
=90 m
,
QR
=60 m
,求河的宽度
PQ
.
45m
90m
60m
解:
∵
QR
∥
ST
∴△
PQR
∽△
PST
PQ
=90m.
(
1
)根据题意画出
___________;
(
2
)将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的
_____________________;
(
3
)利用相似三角形建立线段之间的关系,求出
__________;
(
4
)写出
___________.
示意图
已知线段、已知角
未知量
答案
利用三角形相似解决实际问题的一般步骤:
归纳总结
利用三角形相似测高的模型:
1.
铁道口的栏杆短臂长
1m
,
长臂长
16m
,
当短臂端点下降
0.5m
时
,
长臂端点升高
______
m
.
8
O
B
D
C
A
┏
┛
1m
16m
0.5m
?
2.
某一时刻树的影长为
8
米
,
同一时刻身高为
1.5
米的人的影长为
3
米
,
则树高为
______.
4
米
当堂练习
3.
如
图
,利用标杆
BE
测量建筑物的高度。如果标杆
BE
高
1.2m
,测得
AB
=1.6m
,
BC
=12.4m
,楼高
CD
是多少?
解:
∴
EB
∥
CD
∴△
ABE
∽△
ACD
CD
=10.5m.
∵
EB
⊥
AC
,
CD
⊥
AC
1.2m
12.4m
1.6m
4.
如图,左、右并排的两棵大树的高分别是
AB
=8 m
和
CD
=12 m
,两树底部的距离
BD
=5 m
,一个人估计自己的眼睛距地面
1.6 m
.她沿着正对这两棵树的一条水平直路
l
从左向右前进,当她与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶点
C
了?
解:如图,假设观察者从左向右走到点
E
时,她的眼睛的位置点
E
与两棵树的顶端
A
,
C
恰在一条直线上.
∵
AB
⊥
l
,
CD
⊥
l
,
∴
AB
∥
CD
.
∴ △
AEH
∽△
CEK
.
∴
=
,
即
=
=
.
解得
EH
=8
(
m
).
由此可知如果观察者继续前进,当她与左边的树距离小于
8 m
时,由于这棵树的遮挡,她看不到右边树的顶端
C
.
5.
如图,为了估算河的宽度,我们可以在河的对岸选定一个目标作为点
A
,再在河的这一边选定点
B
和点
C
,使
AB
⊥
BC
,然后,再选点
E
,使
EC
⊥
BC
,用视线确定
BC
和
AE
的交点
D
,此时如果测得
BD
=118
米,
DC
=61
米,
EC
=50
米,求河的宽度
AB
.
(精确到
0.1
米)
A
D
C
E
B
解:
∵∠
ADB
=∠
EDC
∠
ABD
=∠
ECD
=90゜
答:河的宽度
AB
约为
96.7
米.
∴⊿
ABD
∽⊿
ECD
(两角分别相等的两个三角形相似),
∴
解得
A
D
C
E
B
6.
某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为
1.5
米时,其影长为
1.2
米,当他测量教学楼旁的一棵大树影长时,因大树靠近教学楼,有一部分影子在墙上.经测量,地面部分影长为
6.4
米,墙上影长为
1.4
米,那么这棵大树高多少米?
E
D
6.4
1.2
?
1.5
1.4
A
B
C
解:作
DE
⊥
AB
于
E
得
∴
AE
=8
米,
∴
AB
=8+1.4=9.4
米
物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
相似三角形的应用
测量高度问题
课堂小结
测量河宽问题
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