人教版九年级数学上册教案：22_3 实际问题与二次函数（2） 3页

1 22.3 实际问题与二次函数（2） 教学目标： 1．复习用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系 式。 2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系 式。 重点难点： 根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点，也 是难点。 教学过程： 一、复习巩固 1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2．已知二次函数的图象经过 A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。 (1)求二次函数的关系式， (2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。 答案：(1)y＝x2＋x＋1，(2)图略 (3)对称轴 x＝－1 2，顶点坐标为(－1 2，3 4)。 3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴，顶点坐标各是什么? [对称轴是直线 x＝－ b 2a，顶点坐标是(－ b 2a，4ac－b2 4a )] 二、范例 例 1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)， 求这个二次函数的关系式。 分析：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 通过配方可得 y＝a(x＋h)2＋k 的形式 称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶 点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： y＝a(x－8)2＋9 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可 求出 a 的值。 练习：练习 1．(2)。 例 2．已知抛物线对称轴是直线 x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点， 求二次函数的关系式。 解法 1：设所求二次函数的解析式是 y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图 象过点(0，－5)，可求得 c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且 对称轴是直线 x＝2，可以得  － b 2a＝2 9a＋3b＝6 2 解这个方程组，得：  a＝－2 b＝8 所以所求的二次函数的关系式为 y＝－ 2x2＋8x－5。 解法二；设所求二次函数的关系式为 y＝a(x－2)2＋k，由于二次函数的 图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到  a(3－2)2＋k＝1 a(0－2)2＋k＝－5 解这 个方程组，得：  a＝－2 k＝3 所以，所求二次函数的关系式为 y＝－2(x－2)2＋3， 即 y＝－2x2＋8x－5。 例 3。已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4，求函数的关系式。 解法 1：设所求的函数关系式为 y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得 y＝a(x －2)2－4 因为抛物线与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4，所以抛物线过点(0，4)， 于是 a(0－2)2－4＝4，解得 a＝2。所以，所求二次函数的关系式为 y＝2(x －2)2－4，即 y＝2x2－8x＋4。 解法 2：设所求二次函数的关系式为 y＝ax2＋bx＋c?依题意，得   － b 2a＝2 4ac－b2 4a ＝－4 c＝4 解这个方程组， 得：  a＝2 b＝－8 c＝4 所以，所求二次函数关系式为 y＝2x2－8x＋4。 三、课堂练习 1. 已知二次函数当 x＝－3 时，有最大值－1，且当 x＝0 时，y＝－3， 求二次函数的关系式。 解法 1：设所求二次函数关系式为 y＝ax2＋bx＋c，因为图象过点(0，3)， 所以 c＝3，又由于二次函数当 x＝－3 时，有最大值－1，可以得到：   － b 2a＝－3 12a－b2 4a ＝－1 解这个方程组，得：   a＝4 9 b＝8 3 所以，所求二次函数的关系式为 y＝4 9x2＋8 3x＋3。 解法 2：所求二次函数关系式为 y＝a(x＋h)2＋k，依题意， 得 y＝a(x＋3)2－1 3 因为二次函数图象过点(0，3)，所以有 3＝a(0＋3)2－1 解得 a＝4 9 所以，所求二次函数的关系为 y＝44/9(x＋3)2－1，即 y＝4 9x2＋8 3x＋3． 小结：讨论、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知 该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。 2．已知二次函数 y＝x2＋px＋q 的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二 次函数关系式。 简解：依题意，得   －p 2＝5 4q－p2 4 ＝－2 解得：p＝－10,q＝23 所以，所求二次函数的关系式是 y＝x2－10x＋23。 四、小结 1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型? [两种类型：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c (2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，其顶点是(－h，k)] 2．如何确定二次函数的关系式? 五、作业： 1. 已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与 y 轴交点为(0，－5)，求 二次函数的关系式。 2．函数 y＝x2＋px＋q 的最小值是 4，且当 x＝2 时，y＝5，求 p 和 q。 3．若抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的最高点为(－1，－3)，求 b 和 c。 4．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象经过 A(0，1)，B(－1，0)，C(1， 0)，那么此函数的关系式是______。如果 y 随 x 的增大而减少，那么自变 量 x 的变化范围是______。 5．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过 A(0，－5)，B(5，0)两点， 它的对称轴为直线 x＝2，求这个二次函数的关系式。 6．如图是抛物线拱桥，已知水位在 AB 位置时，水面宽 4 6米，水位 上升 3 米就达到警戒线 CD，这时水面宽 4 3米，若洪水到来时，水位以每 小时 0.25 米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶? 教后反思：