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- 2021-11-10 发布
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第
21
章:一元二次方程
21.2
解一元二次方程
21.2.5
一元二次方程的根与系数的关系
1.
一元二次方程的解法
2.
求根公式
一、知识回顾
学习目标:
1.
理解并掌握根与系数关系:
x
1
+
x
2
= - ,
x
1
·
x
2
=
2.
会用根的判别式及根与系数关系解题
.
二、
目标展示
方程
x
1
x
2
x
1
+
x
2
x
1
·
x
2
x
2
-3
x
+2=0
x
2
-2
x
-3=0
x
2
-5
x
+4=0
问题:你发现这些一元二次方程的两根
x
1
+
x
2
,与
x
1
•
x
2
系数有什么规律?
猜想:当二次项系数为
1
时,方程
x
2
+
px
+
q
=0
的两根为
x
1,
, x
2
2
1
3
2
-1
3
2
-3
1
4
5
4
三、
导入新课
方 程
-2
x
1
+
x
2
,
x
1
∙
x
2
与系数有什么规律
?
如果一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
=0
(
a
、
b
、
c
是常数且
a
≠
0
)
的两根为
x
1
、
x
2
,
则:
x
1
+
x
2
和
x
1
.x
2
与
系数
a
,
b
,
c
的关系
.
探究新知:
任何一个一元二次方程的根与系数的关系:
如果方程
ax
2
+bx+c=0(a≠0)
的两个根是
X
1
, X
2
,
那么
x
1
+
x
2
= ,
x
1
·
x
2
=
-
(韦达定理)
注:能用根与系数的关系的前提条件为
b
2
-4ac≥0
例1、不解方程,求下列方程两根的和与积.
例题讲解:
在使用根与系数的关系时,应注意:
⑴不是一般式的要先化成一般式;
⑵在使用
x
1
+
x
2
=
-
时,
注意“
-
”不要漏写.
例2、设 是方程 的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值.
关于两根几种常见的求值
例3、求一个一元二次方程,使它的两个根是2和3,且二
次项系数为
1.
变式:且二次项系数为5
例
4
、已知关于x的方程x
2
-5x-2=0(1),且关于y的方程的两根分别是关于方程(1)的两根
的平方.
求关于y的方程.
的倒数.
的相反数.
比
都大2.
例
5
、小明和小敏解同一个一元二次方程时,小明看错了一次项系数所求出的根为-9和-1;小敏看错了常数项所求出的根是8和2。你知道原来的方程是什么吗?
1.
甲、乙二人解同一个一元二次方程时,甲看错了常数项所求出的根为
1
,
4
;乙看错了一次项系数所求出的根是
-2
,
-3
。则这个一元二次方程为
_____________________
x
2
-5
x
+6=0
课堂练习:
2
、如果-1是方程的一个根,
2
x
2
-
x
+
m
=0
则另一个根是____ m=____。
(
还有其他解法吗?
)
-3
3
、
已知3是方程
x
2
-
mx
-3=0
的一根,求m及另一根
.
3
2
例
7
、方程
x
2
+
px
+
q
=0
的两根同为正数,求p、q的取值范围.
四、求方程中的待定系数
4
、
方程
有一个正根,一个负根,求m的取值范围.
解
:
由已知
,
△=
即
m>0
m-1<0
∴00
∴
方程总有两个不相等的实数根
(2)
由题意得
:
解得
:
当 时方程的一根大于
1,
另一根小于
1
练习
:
*1.当a取什么值时,关于未知数x的方程ax
2
+4x-1=0,只有正实数根?
*2.已知:x
1
,x
2
是关于x的一元二次方程4x
2
+4(m-1)x+m
2
=0的两个非零实根,问x
1,
x
2
能否同号?若能同号,请求出相应m的取值范围;若不能同号,请说明理由.
***
题9
在△ABC中a,b,c分别为∠A, ∠B,∠C
的对边,且c= ,若关于x的方程
有两个相等的实数根,又方程
的两实数根的平方和为6,求△ABC的面积.
拓广探索
1
、当
k
为何值时,方程
2x
2
-(k+1)x+k+3=0
的两根差为
1
。
解:设方程两根分别为
x
1
,x
2
(x
1
>x
2
)
,则
x
1
-x
2
=1
∵ (x
2
-x
1
)
2
=(x
1
+x
2
)
2
-4x
1
x
2
由根与系数的关系得
x
1
+x
2
=
, x
1
x
2
=
∴
解得
k
1
=9,k
2
= -3
当
k=9
或
-3
时,由于△≥
0
,∴
k
的值为
9
或
-3
。
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