2007年上海市数学中考 9页

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2007年上海市数学中考

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2007 年上海市初中毕业生统一学业考试 数学试卷 考生注意: 1.本卷含四大题,共 25 题; 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须写出证明或计算的主要步骤. 一、填空题:(本大题共 12 题,满分 36 分)[只要求直接写出结果,每个空格填对得 3 分, 否则得零分] 1.计算: 2( 3)  . 2.分解因式: 222a ab . 3.化简: 11 1xx . 4.已知函数 3() 2fx x  ,则 (1)f  . 5.函数 2yx的定义域是 . 6.若方程 2 2 1 0xx   的两个实数根为 1x , 2x ,则 12xx . 7.方程 12x的根是 . 8.如图 1,正比例函数图象经过点 A ,该函数解析式是 . 9.如图 2,E 为平行四边形 ABCD的边 BC 延长线上一点,连结 AE ,交边CD 于点 F .在 不添加辅助线的情况下,请写出图中一对相似三角形: . 10.如果两个圆的一条外公切线长等于 5,另一条外公切线长等于 23a  ,那么 a  . 11.如图 3,在直角坐标平面内,线段 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B ,且 2AB  ,如果将线 段 AB 沿 y 轴翻折,点 A 落在点C 处,那么点C 的横坐标是 . 图 1 x y A O 1 3 图 2 B C D E F 图 3 x y B A O 图 4 12.图 4 是 44 正方形网格,请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑,使图 4 中黑色 部分是一个中心对称图形. 二、选择题:(本大题共 4 题,满分 16 分) 【下列各题的四个结论中,有且只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的圆 括号内,选对得 4 分;不选、错选或者多选得零分】 13.在下列二次根式中,与 a 是同类二次根式的是( ) A. 2a B. 23a C. 3a D. 4a 14.如果一次函数 y kx b的图象经过第一象限,且与 y 轴负半轴相交,那么( ) A. 0k  , 0b  B. 0k  , 0b  C. 0k  , 0b  D. 0k  , 0b  15.已知四边形 ABCD中, 90A B C  ∠ ∠ ∠ ,如果添加一个条件,即可推出该四边 形是正方形,那么这个条件可以是( ) A. 90D ∠ B. AB CD C. AD BC D. BC CD 16.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图 5 所示,为配到与原来大小一样 的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( ) A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 三、(本大题共 5 题,满分 48 分) 17.(本题满分 9 分) 解不等式组: 30 43 3 2 6 x xx     , ,并把解集在数轴上表示出来. 18.(本题满分 9 分) 解方程: 2 2 3 2 1 011 x x x xx  . 19.( 本题满分 10 分,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 4 分) 如图 6,在直角坐标平面内,O 为原点,点 A 的坐标为(10 0), ,点 B 在第一象限内, 5BO  , 3sin 5BOA ∠ . 求:(1)点 B 的坐标;(2)cos BAO∠ 的值. 20.(本题满分 10 分,第(1)小题满分 4 分,第(2),( 3)小题满分各 3 分) 5 1 4 3 2 0 1 2 3 4 5 图 6 x O B y 图 5 初三学生小丽、小杰为了解本校初二学生每周上网的时间,各自在本校进行了抽样调查.小 丽调查了初二电脑爱好者中 40 名学生每周上网的时间,算得这些学生平均每周上网时间为 2.5 小时;小杰从全体初二学生名单中随机抽取了 40 名学生,调查了他们每周上网的时间, 算得这些学生平均每周上网时间为 1.2 小时.小丽与小杰整理各自样数据,如表一所示.请 根据上述信息,回答下列问题: (1)你认为哪位学生抽取的样本具有代表性?答: ; 估计该校全体初二学生平均每周上网时间为 小时; (2)根据具体代表性的样本,把图 7 中的频数分布直方图补画完整; (3)在具有代表性的样本中,中位数所在的时间段是 小时/周. 时间段 (小时/周) 小丽抽样 人数 小杰抽样 人数 0~1 6 22 1~2 10 10 2~3 16 6 3~4 8 2 (每组可含最低值,不含最高值) 表一 21.(本题满分 10 分) 2001 年以来,我国曾五次实施药品降价,累计降价的总金额为 269 亿元,五次药品降价的 年份与相应降价金额如表二所示,表中缺失了 2003 年、2007 年相关数据.已知 2007 年药 品降价金额是 2003 年药品降价金额的 6 倍,结合表中信息,求 2003 年和 2007 年的药品降 价金额. 年份 2001 2003 2004 2005 2007 降价金额(亿元) 54 35 40 表二 四、(本大题共 4 题,满分 50 分) 22.(本题满分 12 分,每小题满分各 6 分) 在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为 (1 4)A , ,且过点 (3 0)B , . (1)求该二次函数的解析式; (2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写 出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标. 图 7 (每组可含最低值,不含最高值) 0 1 2 3 4 小时/周 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 人数 23.(本题满分 12 分,每小题满分各 6 分) 如图 8,在梯形 ABCD中, AD BC∥ ,CA 平分 BCD∠ , DE AC∥ ,交 BC 的延长线 于点 E , 2BE∠ ∠ . (1)求证: AB DC ; (2)若 tg 2B  , 5AB  ,求边 BC 的长. 24.(本题满分 12 分,每小题满分各 4 分) 如图 9,在直角坐标平面内,函数 my x ( 0x  ,m 是常数)的图象经过 (14)A , , ()B a b, , 其中 1a  .过点 A 作 x 轴垂线,垂足为C ,过点 B 作 y 轴垂线,垂足为 D ,连结 AD ,DC , CB . (1)若 ABD△ 的面积为 4,求点 B 的坐标; (2)求证: DC AB∥ ; (3)当 AD BC 时,求直线 AB 的函数解析式. 25.(本题满分 14 分,第(1)小题满分 4 分,第(2),( 3)小题满分各 5 分) 已知: 60MAN ∠ ,点 B 在射线 AM 上, 4AB  (如图 10). P 为直线 AN 上一动点, 以 BP 为边作等边三角形 BPQ (点 BPQ, , 按顺时针排列),O 是 BPQ△ 的外心. (1)当点 P 在射线 AN 上运动时,求证:点O 在 MAN∠ 的平分线上; (2)当点 P 在射线 AN 上运动(点 P 与点 A 不重合)时,AO 与 BP 交于点C ,设 AP x , AC AO y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域; (3)若点 D 在射线 AN 上, 2AD  ,圆 I 为 ABD△ 的内切圆.当 BPQ△ 的边 BP 或 BQ 与圆 I 相切时,请直接写出点 A 与点O 的距离. A B C D E 图 8 图 9 x C O D B A y A B M Q N P O 图 10 备用图 2007 年上海市初中毕业生统一学业考试 数学试卷答案要点与评分标准 说明: 1.解答只列出试题的一种或几种解法.如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评 分标准相应评分. 2.第一大题只要求直接写出结果,每个空格填对得 3 分,否则得零分;第二大题每题选对 得 4 分,不选、错选或者多选得零分;17 题至 25 题中右端所注的分数,表示考生正确做对 这一步应得分数,评分时,给分或扣分均以 1 分为单位. 答案要点与评分标准 一、填空题(本大题共 12 题,满分 36 分) 1.3 2. 2 ( )a a b 3. 1 ( 1)xx 4.1 5. 2x≥ 6.2 7. 3x  8. 3yx 9. AFD EFC△ ∽△ (或 EFC EAB△ ∽△ ,或 EAB AFD△ ∽△ ) 10.1 11. 2 12.答案见图 1 二、选择题(本大题共 4 题,满分 16 分) 13. C 14.B 15.D 16.B 三、(本大题共 5 题,满分 48 分) 17.解:由30x,解得 3x  . ··································································· 3 分 由 43 3 2 6 xx   ,解得 1x  . ······································································· 3 分 不等式组的解集是 13x   . ······································································ 1 分 解集在数轴上表示正确. ················································································· 2 分 18.解:去分母,得 2 3 (2 1)( 1) 0x x x x     , ··············································· 3 分 整理,得 23 2 1 0xx   , ·············································································· 2 分 解方程,得 12 11 3xx  , . ·········································································· 2 分 经检验, 1 1x  是增根, 2 1 3x  是原方程的根,原方程的根是 1 3x  . ·············· 2 分 19.解:(1)如图 2,作 BH OA ,垂足为 H , ················································· 1 分 在 Rt OHB△ 中, 5BO  , 3sin 5BOA, 3BH. ·································································································· 2 分 图 1 4OH.……………………………… 1 分 点 B 的坐标为(4 3), .……………………2 分 (2) 10OA  , 4OH  , 6AH.………………1 分 在 Rt AHB△ 中, 3BH  , 35AB .………… 1 分 25cos 5 AHBAO AB    .………………………………2 分 20.( 1)小杰;1.2. ·············································································· 2 分,2 分 (2)直方图正确. ························································································· 3 分 (3)0~1. ··································································································· 3 分 21.解:[解法一]设 2003 年和 2007 年的药品降价金额分别为 x 亿元、 y 亿元. ·········· 1 分 根据题意,得 2 2 6 54 35 40 269 yx xy        ……………………………………………………………… 分 ……………………………………………… 分 解方程组,得 2 2 20 120 x y    ……………………………………………………………………… 分 ……………………………………………………………………… 分 答:2003 年和 2007 年的药品降价金额分别为 20 亿元和 120 亿元. ·························· 1 分 [解法二]设 2003 年的药品降价金额为 x 亿元, ······················································ 1 分 则 2007 年的药品降价金额为 6x 亿元. ······························································· 2 分 根据题意,得54 35 40 6 269xx     . ························································ 2 分 解方程,得 20x  , 6 120x . ···································································· 4 分 答:2003 年和 2007 年的药品降价金额分别为 20 亿元和 120 亿元. ·························· 1 分 四、(本大题共 4 题,满分 50 分) 22.解:(1)设二次函数解析式为 2( 1) 4y a x   , ··········································· 2 分 二次函数图象过点 (3 0)B , , 0 4 4a   ,得 1a  . ········································· 3 分 二次函数解析式为 2( 1) 4yx   ,即 2 23y x x   . ···································· 1 分 (2)令 0y  ,得 2 2 3 0xx   ,解方程,得 1 3x  , 2 1x  . ·························· 2 分 二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标分别为(3 0), 和( 1 0) , . 二次函数图象向右平移 1 个单位后经过坐标原点. ············································· 2 分 平移后所得图象与 x 轴的另一个交点坐标为(4 0), . ··············································· 2 分 23.( 1)证明: DE AC∥ , BCA E   . ·························································································· 1 分 CA平分 BCD , 2BCD BCA   , ···················································································· 1 分 2BCD E   , ························································································ 1 分 A y H O 图 2 x B 又 2BE   , B BCD   . ·························································································· 1 分 梯形 ABCD是等腰梯形,即 AB DC . ························································· 2 分 (2)解:如图 3,作 AF BC , DG BC , 垂足分别为 FG, ,则 AF DG∥ . 在 Rt AFB△ 中, tg 2B  , 2AF BF .…………1 分 又 5AB  ,且 2 2 2AB AF BF, 2254BF BF   ,得 1BF  .……………………1 分 同理可知,在 Rt DGC△ 中, 1CG  .……………1 分 AD BC∥ , DAC ACB   . 又 ACB ACD   , DAC ACD   , AD DC. 5DC AB, 5AD. ···································································· 1 分 AD BC∥ , AF DG∥ ,四边形 AFGD 是平行四边形, 5FG AD   . ···· 1 分 25BC BF FG GC      .··································································· 1 分 24.( 1)解: 函数 (0myxx, m 是常数)图象经过 (14)A , , 4m. ··········· 1 分 设 BD AC, 交于点 E ,据题意,可得 B 点的坐标为 4a a   , , D 点的坐标为 40 a   , , E 点的坐标为 41 a   , , ···················································································· 1 分 1a  , DB a, 44AE a . 由 ABD△ 的面积为 4,即 14442 a a  , ······················································· 1 分 得 3a  ,点 B 的坐标为 43 3   , . ··································································· 1 分 (2)证明:据题意,点C 的坐标为(10), , 1DE  , 1a  ,易得 4EC a , 1BE a, 1 11 BE a aDE     , 44 14 AE a aCE a     . ····················································· 2 分 A B C F G E D 图 3 BE AE DE CE. ······························································································ 1 分 DC AB ∥ . ······························································································ 1 分 (3)解: DC AB∥ ,当 AD BC 时,有两种情况: ①当 AD BC∥ 时,四边形 ADCB是平行四边形, 由(2)得, 1BE AE aDE CE   , 11a   ,得 2a  . 点 B 的坐标是(2,2). ··············································································· 1 分 设直线 AB 的函数解析式为 y kx b,把点 AB, 的坐标代入, 得 4 22 kb kb    , 解得 2 6. k b    , 直线 AB 的函数解析式是 26yx   . ··························································· 1 分 ②当 AD 与 BC 所在直线不平行时,四边形 ADCB是等腰梯形, 则 BD AC , 4a,点 B 的坐标是(4,1). ············································· 1 分 设直线 AB 的函数解析式为 y kx b,把点 AB, 的坐标代入, 得 4 1 4 . kb kb    , 解得 1 5 k b    , 直线 AB 的函数解析式是 5yx   . ····························································· 1 分 综上所述,所求直线 AB 的函数解析式是 26yx   或 5yx   . 25.( 1)证明:如图 4,连结OB OP, , O 是等边三角形 BPQ 的外心, OB OP, ··················································· 1 分 圆心角 360 1203BOP   . 当OB 不垂直于 AM 时,作OH AM ,OT AN ,垂足分别为 HT, . 由 360HOT A AHO ATO        ,且 60A , 90AHO ATO    , 120HOT  . BOH POT   . ····················································································· 1 分 Rt RtBOH POT △ ≌ △ . ··········································································· 1 分 OH OT.点O 在 MAN 的平分线上. ···················································· 1 分 当OB AM 时, 360 90APO A BOP OBA      . 即OP AN ,点O 在 MAN 的平分线上. 综上所述,当点 P 在射线 AN 上运动时,点O 在 MAN 的平分线上. (2)解:如图 5, AO 平分 MAN ,且 60MAN, 30BAO PAO    . ·············································································· 1 分 由(1)知,OB OP , 120BOP, 30CBO  , CBO PAC   . BCO PCA   , AOB APC   . ························································· 1 分 ABO ACP△ ∽△ . AB AO AC AP. AC AO AB AP. 4yx . ·············································· 1 分 定义域为: 0x  .························································································· 1 分 (3)解:①如图 6,当 BP 与圆 I 相切时, 23AO  ; ······································· 2 分 ②如图 7,当 BP 与圆 I 相切时, 4 33AO  ; ··················································· 1 分 ③如图 8,当 BQ 与圆 I 相切时, 0AO  . ························································ 2 分 A B M Q N P ()D I O 图 6 ()PA D 图 7 P ()A 图 8 H 图 4 T C 图 5