2020年山东省聊城市中考数学试卷【含答案】 8页

1 / 8 2020 年山东省聊城市中考数学试卷 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 3 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求） 1. 在实数−1，−√2，0，1 4 中，最小的实数是（ ） A.−1 B.1 4 C.0 D.−√2 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在△ 퐴퐵퐶中，퐴퐵＝퐴퐶，∠퐶＝65∘，点퐷是퐵퐶边上任意一点，过点퐷作 퐷퐹 // 퐴퐵交퐴퐶于点퐸，则∠퐹퐸퐶的度数是（ ） A.120∘ B.130∘ C.145∘ D.150∘ 4. 下列计算正确的是（ ） A.푎2 ⋅ 푎3＝푎6 B.푎6 ÷ 푎−2＝푎−3 C.(−2푎푏2)3＝−8푎3푏6 D.(2푎 + 푏)2＝4푎2 + 푏2 5. 为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同 年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（ ） 成绩/分 84 88 92 96 100 人数/人 2 4 9 10 5 A.92分，96分 B.94分，96分 C.96分，96分 D.96分，100分 6. 计算√45 ÷ 3√3 × √3 5 的结果正确的是（ ） A.1 B.5 3 C.5 D.9 7. 如图，在4 × 5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ 퐴퐵퐶的顶点都在 这些小正方形的顶点上，那么sin∠퐴퐶퐵的值为（ ） A.3√5 5 B.√17 5 C.3 5 D.4 5 8. 用配方法解一元二次方程2푥2 − 3푥 − 1＝0，配方正确的是（ ） A.(푥 − 3 4)2 = 17 16 B.(푥 − 3 4)2 = 1 2 C.(푥 − 3 2)2 = 13 4 D.(푥 − 3 2)2 = 11 4 9. 如图，퐴퐵是⊙ 푂的直径，弦퐶퐷 ⊥ 퐴퐵，垂足为点푀，连接푂퐶，퐷퐵．如果 푂퐶 // 퐷퐵，푂퐶＝2√3，那么图中阴影部分的面积是（ ） A.휋 B.2휋 C.3휋 D.4휋 10. 如图，有一块半径为1푚，圆心角为90∘的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器 （接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ） A.1 4 푚 B.3 4 푚 C.√15 4 푚 D.√3 2 푚 2 / 8 11. 人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的 每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第푛个图形用 图ⓝ表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（ ） A.150 B.200 C.355 D.505 12. 如图，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，퐴퐵＝2，∠퐶＝30∘，将푅푡 △ 퐴퐵퐶绕点퐴旋转得到푅푡 △ 퐴퐵′퐶′，使点퐵的对应点퐵′落在퐴퐶上，在퐵′퐶′上取点퐷，使퐵′퐷＝2，那么点퐷到퐵퐶的距 离等于（ ） A.2(√3 3 + 1) B.√3 3 + 1 C.√3 − 1 D.√3 + 1 二、填空题（本题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分．只要求填写最后结果） 13. 因式分解：푥(푥 − 2) − 푥 + 2＝________． 14. 如图，在⊙ 푂中，四边形푂퐴퐵퐶为菱形，点퐷在퐴푚퐶̂ 上，则∠퐴퐷퐶的度数是 ________． 15. 计算：(1 + 푎 1−푎) ÷ 1 푎2−푎 =________． 16. 某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、 “艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是________． 17. 如图，在直角坐标系中，点퐴(1,  1)，퐵(3,  3)是第一象限角平分线上的两点，点 퐶的纵坐标为1，且퐶퐴＝퐶퐵，在푦轴上取一点퐷，连接퐴퐶，퐵퐶，퐴퐷，퐵퐷，使得四边形 퐴퐶퐵퐷的周长最小，这个最小周长的值为________． 三、解答题（本题共 8 个小题，共 69 分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演 步骤） 18. 解不等式组{ 1 2 푥 + 1 < 7 − 3 2 푥, 3푥−2 3 ≥ 푥 3 + 푥−4 4 , 并写出它的所有整数解． 19. 为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：퐴“剪 纸”、퐵“沙画”、퐶“葫芦雕刻”、퐷“泥塑”、퐸“插花”．为了了解学生对每种 3 / 8 活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完 整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量为________；统计图中的푎＝________，푏＝________； （2）通过计算补全条形统计图； （3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数． 20. 今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的퐴，퐵两种树苗，每捆퐴种树苗 比每捆퐵种树苗多10棵，每捆퐴种树苗和每捆퐵种树苗的价格分别是630元和600元， 而每棵퐴种树苗和每棵퐵种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍． （1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？ （2）如果购进的这批树苗共5500棵，퐴种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批 树苗的费用最低，应购进퐴种树苗和퐵种树苗各多少棵？并求出最低费用． 21. 如图，在▱퐴퐵퐶퐷中，퐸为퐵퐶的中点，连接퐴퐸并延长交퐷퐶的延长线于点퐹，连接 퐵퐹，퐴퐶，若퐴퐷＝퐴퐹，求证：四边形퐴퐵퐹퐶是矩形． 4 / 8 22. 如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼퐴퐵的 高度进行测量，先测得居民楼퐴퐵与퐶퐷之间的距离퐴퐶为35푚，后站在푀点处测得居民 楼퐶퐷的顶端퐷的仰角为45∘，居民楼퐴퐵的顶端퐵的仰角为55∘，已知居民楼퐶퐷的高度为 16.6푚，小莹的观测点푁距地面1.6푚．求居民楼퐴퐵的高度（精确到푙푚）．（参考数据： sin55∘ ≈ 0.82，cos55∘ ≈ 0.57，tan55∘ ≈ 푙. 43）． 23. 如图，已知反比例函数푦 = 푘 푥 的图象与直线푦＝푎푥 + 푏相交于点퐴(−2,  3)，퐵(1,  푚)． （1）求出直线푦＝푎푥 + 푏的表达式； （2）在푥轴上有一点푃使得△ 푃퐴퐵的面积为18，求出点푃的坐标． 24. 如图，在△ 퐴퐵퐶中，퐴퐵＝퐵퐶，以△ 퐴퐵퐶的边퐴퐵为直径作⊙ 푂，交퐴퐶于点퐷，过 点퐷作퐷퐸 ⊥ 퐵퐶，垂足为点퐸． 5 / 8 （1）试证明퐷퐸是⊙ 푂的切线； （2）若⊙ 푂的半径为5，퐴퐶＝6√10，求此时퐷퐸的长． 25. 如图，二次函数푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 4的图象与푥轴交于点퐴(−1,  0)，퐵(4,  0)，与푦轴 交于点퐶，抛物线的顶点为퐷，其对称轴与线段퐵퐶交于点퐸，垂直于푥轴的动直线푙分别 交抛物线和线段퐵퐶于点푃和点퐹，动直线푙在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿 푥轴正方向移动到퐵点． （1）求出二次函数푦＝푎푥2 + 푏푥 + 4和퐵퐶所在直线的表达式； （2）在动直线푙移动的过程中，试求使四边形퐷퐸퐹푃为平行四边形的点푃的坐标； （3）连接퐶푃，퐶퐷，在动直线푙移动的过程中，抛物线上是否存在点푃，使得以点푃，퐶， 퐹为顶点的三角形与△ 퐷퐶퐸相似？如果存在，求出点푃的坐标；如果不存在，请说明理 由． 6 / 8 参考答案与试题解析 2020 年山东省聊城市中考数学试卷 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 3 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求） 1.D 2.C 3.B 4.C 5.B 6.A 7.D 8.A 9.B 10.C 11.C 12.D 二、填空题（本题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分．只要求填写最后结果） 13.(푥 − 2)(푥 − 1) 14.60∘ 15.−푎 16.1 3 17.4 + 2√5 三、解答题（本题共 8 个小题，共 69 分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演 步骤） 18.{ 1 2 푥 + 1 < 7 − 3 2 푥 3푥−2 3 ≥ 푥 3 + 푥−4 4 ， 解不等式①，푥 < 3， 解不等式②，得푥 ≥ − 4 5 ， ∴ 原不等式组的解集为− 4 5 ≤ 푥 < 3， 它的所有整数解为0，1，2． 19.120,12,36 该校2500名学生中喜爱“葫芦雕刻”的有625人 20.这一批树苗平均每棵的价格是20元； 购进퐴种树苗3500棵，퐵퐴种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费 用为111000元 21.证明：∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是平行四边形， ∴ 퐴퐵 // 퐶퐷，퐴퐵＝퐶퐷， ∴ ∠퐵퐴퐸＝∠퐶퐹퐸，∠퐴퐵퐸＝∠퐹퐶퐸， ∵ 퐸为퐵퐶的中点， ∴ 퐸퐵＝퐸퐶， ∴ △ 퐴퐵퐸 ≅△ 퐹퐶퐸(퐴퐴푆)， ∴ 퐴퐵＝퐶퐹． ∵ 퐴퐵 // 퐶퐹， ∴ 四边形퐴퐵퐹퐶是平行四边形， ∵ 퐵퐶＝퐴퐹， ∴ 四边形퐴퐵퐹퐶是矩形． 22.居民楼퐴퐵的高度约为30米 23.将点퐴的坐标代入反比例函数表达式并解得：푘＝−2 × 3＝−6， 故反比例函数表达式为：푦 = − 6 푥 ， 将点퐵的坐标代入上式并解得：푚＝−6，故点퐵(1, −6)， 将点퐴、퐵的坐标代入一次函数表达式得{3 = −2푎 + 푏 −6 = 푎 + 푏 ，解得{푎 = −3 푏 = −3 ， 故直线的表达式为：푦＝−3푥 − 3； 设直线与푥轴的交点为퐸，当푦＝0时，푥＝−1，故点퐸(−1,  0)， 分别过点퐴、퐵作푥轴的垂线퐴퐶、퐵퐷，垂足分别为퐶、퐷， 7 / 8 则푆△푃퐴퐵 = 1 2 푃퐸 ⋅ 퐶퐴 + 1 2 푃퐸 ⋅ 퐵퐷 = 3 2 푃퐸 + 6 2 푃퐸 = 9 2 푃퐸＝18，解得：푃퐸＝4， 故点푃的坐标为(3,  0)或(−5,  0)． 24.证明：连接푂퐷、퐵퐷， ∵ 퐴퐵是⊙ 푂直径， ∴ ∠퐴퐷퐵＝90∘， ∴ 퐵퐷 ⊥ 퐴퐶， ∵ 퐴퐵＝퐵퐶， ∴ 퐷为퐴퐶中点， ∵ 푂퐴＝푂퐵， ∴ 푂퐷 // 퐵퐶， ∵ 퐷퐸 ⊥ 퐵퐶， ∴ 퐷퐸 ⊥ 푂퐷， ∵ 푂퐷为半径， ∴ 퐷퐸是⊙ 푂的切线； 由（1）知퐵퐷是퐴퐶的中线， ∴ 퐴퐷＝퐶퐷 = 1 2 퐴퐶 = 3√10， ∵ 푂的半径为5， ∴ 퐴퐵＝6， ∴ 퐵퐷 = √퐴퐵2 − 퐴퐷2 = √102 − (3√10)2 = √10， ∵ 퐴퐵＝퐴퐶， ∴ ∠퐴＝∠퐶， ∵ ∠퐴퐷퐵＝∠퐶퐸퐷＝90∘， ∴ △ 퐶퐷퐸 ∽△ 퐴퐵퐷， ∴ 퐶퐷 퐴퐵 = 퐷퐸 퐵퐷 ，即3√10 10 = 퐷퐸 √10 ， ∴ 퐷퐸＝3． 25.将点퐴(−1,  0)，퐵(4,  0)，代入푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 4， 得：{ 0 = 푎 − 푏 + 4 0 = 16푎 + 4푏 + 4 ， 解得：{푎 = −1 푏 = 3 ， ∴ 二次函数的表达式为：푦＝−푥2 + 3푥 + 4， 当푥＝0时，푦＝4， ∴ 퐶(0,  4)， 设퐵퐶所在直线的表达式为：푦＝푚푥 + 푛， 将퐶(0,  4)、퐵(4,  0)代入푦＝푚푥 + 푛， 得：{ 4 = 푛 0 = 4푚 + 푛 ， 解得：{푚 = −1 푛 = 4 ， ∴ 퐵퐶所在直线的表达式为：푦＝−푥 + 4； ∵ 퐷퐸 ⊥ 푥轴，푃퐹 ⊥ 푥轴， ∴ 퐷퐸 // 푃퐹， 只要퐷퐸＝푃퐹，四边形퐷퐸퐹푃即为平行四边形， ∵ 푦＝−푥2 + 3푥 + 4＝−(푥 − 3 2)2 + 25 4 ， ∴ 点퐷的坐标为：(3 2 , 25 4 )， 将푥 = 3 2 代入푦＝−푥 + 4，即푦 = − 3 2 + 4 = 5 2 ， 8 / 8 ∴ 点퐸的坐标为：(3 2 , 5 2)， ∴ 퐷퐸 = 25 4 − 5 2 = 15 4 ， 设点푃的横坐标为푡， 则푃的坐标为：(푡, −푡2 + 3푡 + 4)，퐹的坐标为：(푡, −푡 + 4)， ∴ 푃퐹＝−푡2 + 3푡 + 4 − (−푡 + 4)＝−푡2 + 4푡， 由퐷퐸＝푃퐹得：−푡2 + 4푡 = 15 4 ， 解得：푡1 = 3 2 （不合题意舍去），푡2 = 5 2 ， 当푡 = 5 2 时，−푡2 + 3푡 + 4＝−(5 2)2 + 3 × 5 2 + 4 = 21 4 ， ∴ 点푃的坐标为(5 2 , 21 4 )； 存在，理由如下： 如图2所示： 由（2）得：푃퐹 // 퐷퐸， ∴ ∠퐶퐸퐷＝∠퐶퐹푃， 又∵ ∠푃퐶퐹与∠퐷퐶퐸有共同的顶点퐶，且∠푃퐶퐹在∠퐷퐶퐸的内部， ∴ ∠푃퐶퐹 ≠ ∠퐷퐶퐸， ∴ 只有∠푃퐶퐹＝∠퐶퐷퐸时，△ 푃퐶퐹 ∽△ 퐶퐷퐸， ∴ 푃퐹 퐶퐸 = 퐶퐹 퐷퐸 ， ∵ 퐶(0,  4)、퐸(3 2 , 5 2)， ∴ 퐶퐸 = √(3 2)2 + (4 − 5 2)2 = 3√2 2 ， 由（2）得：퐷퐸 = 15 4 ，푃퐹＝−푡2 + 4푡，퐹的坐标为：(푡, −푡 + 4)， ∴ 퐶퐹 = √푡2 + [4 − (−푡 + 4)]2 = √2푡， ∴ −푡2+4푡 3√2 2 = √2푡 15 4 ， ∵ 푡 ≠ 0， ∴ 15 4 (−푡 + 4)＝3， 解得：푡 = 16 5 ， 当푡 = 16 5 时，−푡2 + 3푡 + 4＝−(16 5 )2 + 3 × 16 5 + 4 = 84 25 ， ∴ 点푃的坐标为：(16 5 , 84 25)．