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  • 2021-11-10 发布

中考数学专题复习练习:直线和圆的位置关系

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例 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4cm,BC=2cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有何种位置关系?为什么?‎ ‎(1)r=1cm; (2)r=cm; (3)r=2.5cm.‎ 分析 如图,欲判定⊙C与直线AB的关系,只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长,然后再与r比较即可.‎ 解:过C点作CD⊥AB于D,‎ 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,BC=2,‎ ‎ ∴AC=2‎ ‎ ,∴AB·CD=AC·BC,‎ ‎∴,‎ ‎ (1)当r =1cm时 CD>r,∴圆C与AB相离;‎ ‎ (2)当r=cm时,CD=r,∴圆C与AB相切;‎ ‎ (3)当r=2.5cm时,CD<r,∴圆C与AB相交.‎ 说明:从“数”到“形”,判定圆与直线位置关系.‎ 例 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4cm,BC=2cm,以C为圆心,r为半径的圆,若直线AB与⊙C,(1)相交;(2)相切;(3)相离.求半径r的取值.‎ 解:过C点作CD⊥AB于D,‎ 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,BC=2,‎ ‎ ∴AC=2‎ ‎ ,∴AB·CD=AC·BC,‎ ‎∴,‎ ‎ (1)∵直线AB与⊙C相离,∴0rCD,即r>.‎ 说明:从“形”到“数”,由圆与直线位置关系来确定半径.‎ 例 如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=∠D=90°,若AB=6,AD=4,BC=2,试问:DC上是否存在点P,使Rt△PBC∽Rt△APD?‎ ‎ 分析:若Rt△PBC∽Rt△APD,则∠APD+∠BPC=90°,可知∠APB=90°,所以P点为以AB为直径的圆O与DC的交点,由条件可知为⊙O与DC相切,所以存在一点P,使Rt△PBC∽Rt△APD.‎ ‎ 解:设以AB为直径的圆为⊙O,OP⊥DC,则:‎ OP为直角梯形ABCD的中位线,‎ ‎∴OP=(AD+BC)/2=(4+2)/2=3,又∵OA=OB=AB/2=3,‎ ‎∴OP=OA,∴⊙O与DC相切,‎ ‎∴∠APB=90°,∴∠APD+∠BPC=90°.又∵∠PBC+∠BPC=90°,‎ ‎∴∠APD=∠PBC,又∵∠C=∠D=90°,∴Rt△PBC∽Rt△APD.‎ 因此, DC上存在点P,使Rt△PBC∽Rt△APD.‎ ‎ 说明:①直线与圆位置关系的应用;②此题目可以变动数值,使DC与⊙O相交、相离.‎ 典型例题四 例 如图,直角梯形中,,,,为上的一点,平分,平分.求证:以为直径的圆与相切.‎ 分析:要证以为直径的圆与相切,只需证明的中点到的距离等于.‎ 证明 过点作于,‎ 同理可证:‎ 为的中点,‎ 即:以为直径的圆与相切.‎ 说明:在判定直线是圆的切线时,若条件没有告诉它们有公共点,常用的方法就是“距离判定”法,即先由圆心到该直线作垂线,证明圆心到该直线的距离恰好等于半径,从而得出直线是圆的切线的结论.‎ 典型例题五 例 已知中,,于,,,以为圆心,为半径画圆.求证直线和⊙相离.‎ 分析:欲证直线和⊙相离,只需计算点到的距离的长,若,则判定与⊙相离(如图)‎ 证明 于,‎ 是圆心到的距离 ‎∽.‎ 又 ‎⊙的半径为,‎ 故与⊙相离.‎ 典型例题六 例 已知:如图,已知正方形的边长为,和交于,过作分别交、,问以点为圆心,为半径的圆与直线、、的位置关系如何?‎ 分析:分别求出到直线、、的距离,进而与比较大小 解 四边形为正方形,边长为.‎ 于,‎ 又且过点,‎ ‎,且,而.‎ 圆的半径为.‎ 与⊙相切,与⊙相交,与⊙相离.‎ 说明:本题主要考查直线与圆的位置关系定理,关键是求出圆心到三条直线、、的距离,然后比较三个长度与半径的大小,即可证得。‎ 典型例题七 例 已知:如图,梯形ABCD中,,且,AB为⊙O的直径.求证:⊙O与CD相切.‎ 证明 过O作.则 ‎ 为AB中点,∴E为CD中点,∴‎ ‎⊙O的半径.‎ ‎∴⊙O与CD相切.‎ 说明:本题考查切线的判定,解题关键是作出圆心到直线的距离,再证明这个距离等于半径的长.‎ 选择题 ‎1.已知直线,在上取一点,过点与相切的圆有()‎ A.1个 B.2个 C.4个 D.无数个 ‎2.在中,,,,若以为圆心,为半径作圆,则斜边与⊙的位置关系是()‎ A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 ‎3.已知圆的半径为,圆心到直线的距离为,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是()‎ A.0 B.1 C.2 D.不能确定 ‎4.已知圆的半径为,如果一条直线和圆心的距离为,那么这条直线和这个圆的位置关系是()‎ A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相离 ‎5.中,,,,以为圆心作⊙和相切,则⊙的半径长为()‎ A.8 B.4 C. D.‎ ‎6.圆中最大的弦长为10,如果直线与圆相交,设直线与圆心的距离为,则()‎ A. B. C. D.‎ 答案:‎ ‎1.D 2. C 3. C 4. B 5. D 6. D.‎ 填空题 ‎1、已知⊙O的直径为12cm.‎ ‎(1)若圆心O到直线l的距离为12cm,则直线l与⊙O 的位置关系为 ;‎ ‎(2)若圆心O到直线l的距离为6cm,则直线l与⊙O 的位置关系为 ;‎ ‎(3)若圆心O到直线l的距离为3cm,则直线l与⊙O 的位置关系为 .‎ ‎2、已知⊙O的直径为10cm.‎ ‎(1)若直线l与⊙O相交,则圆心O到直线l的距离为 ;‎ ‎(2)若直线l与⊙O相切,则圆心O到直线l的距离为 ;‎ ‎(3)若直线l与⊙O相离,则圆心O到直线l的距离为 .‎ ‎3、两个同心圆,大圆半径R=3 cm,小圆半径r=2 cm,d是圆心到直线l的距离,当d=2 cm ,l与小圆的交点个数为 , l与大圆的交点个数为 ;当d=2.5cm,l与小圆 的交点个数为 , l与大圆的交点个数为 .‎ ‎4、过圆上—点可以作圆的 条切线,过圆外一点可以作圆的 条切线,‎ 过 点,不存在圆的切线.‎ 参考答案:1、相离,相切,相交; 2、大于0小于5,等于5,大于5; ‎ ‎3、一个,两个;没有,两个; 4、一条,两条,圆内. ‎ 解答题 ‎1.已知⊙O中的最长的弦为8,当圆心到直线l的距离d为何值时,直线l与⊙O相切、相离、相交?‎ ‎2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=8cm,BC=4cm,以点C为圆心,半径分别为2cm和4cm画两个圆,这两个圆与AB有怎样的位置关系?当半径多长时,AB与⊙O相切?‎ ‎3.已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=∠D=90°,切AD+BC=AB,AB为⊙O的直径,求证:⊙O与CD相切.‎ ‎4.中,是边上的高,且,、分别是,的中点,以为直径的圆与的位置关系如何?为什么?‎ ‎5.中,,,,⊙的半径为1,问当在什么范围内取值时,与⊙相离、相切、相交?‎ ‎6.已知的斜边,,以点为圆心,半径分别为和画两个圆,这两个圆与有怎样的位置关系?当半径多长时,与⊙相切?‎ ‎7.在中,,,若以为圆心,为半径的圆与 相切,求的度数。‎ ‎8.在中,,,,以为圆心,当半径多长时所作⊙与相切?相交?相离?‎ ‎9.在中,,是上的一点,且.以为圆心,为半径的圆与直线有怎样的位置关系?‎ ‎10.在中,,,,以为圆心,分别以3、4、5为半径作三个圆,记作⊙、⊙、⊙,判断直线与这三个圆的位置关系,并说明理由.‎ 答案:‎ ‎1.当d =4时,相切;当d >4时,相离;当0d <4时,相交. ‎ ‎2.提示:过点C作CF⊥AB于F,CF=2.当r =2cm时 CF>r,∴圆与AB相离;当r=4cm时,CF<r,∴圆与AB相交;当r=CF=2时,圆与AB相切.‎ ‎3.提示:过点O作OE⊥CD于E,利用梯形中位线可知,OE= (AD+BC)/2=AB/2=OA,∴⊙O与CD相切.‎ 切点个数为6.‎ ‎ ②当r>9时,⊙O与△ABC不能相切,即切点个数为0. ‎ ‎4.相切 ‎5.时,与⊙相离. 时,与⊙相切. 时,与⊙相交 ‎6.以为半径时,直线与⊙相离;以为半径时,直线与⊙相交,以为半径时9,直线与⊙相切。‎ ‎7.‎ ‎8.,,‎ ‎9.⊙与相切 ‎10.⊙与相离,⊙与相切,⊙与相交.‎