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  • 2021-11-10 发布

2021年中考数学压轴题专项训练 反比例函数(含解析)

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2021 年中考数学压轴题专项训练《反比例函数》 1.如图,反比例函数 y1= 和一次函数 y2=mx+n 相交于点 A(1,3),B(﹣3,a), (1)求一次函数和反比例函数解析式; (2)连接 OA,试问在 x 轴上是否存在点 P,使得△OAP 为以 OA 为腰的等腰三角形,若存 在,直接写出满足题意的点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 解:(1)∵点 A(1,3)在反比例函数 y1= 的图象上, ∴k=1×3=3, ∴反比例函数的解析式为 y1= , ∵点 B(﹣3,a)在反比例函数 y1= 的图象上, ∴﹣3a=3, ∴a=﹣1, ∴B(﹣3,﹣1), ∵点 A(1,3),B(﹣3,﹣1)在一次函数 y2=mx+n 的图象上, ∴ , ∴ , ∴一次函数的解析式为 y2=x +2; (2)如图,∵△OAP 为以 OA 为腰的等腰三角形, ∴①当 OA=OP 时, ∵A(1,3), ∴OA= , ∵OP= , ∵点 P 在 x 轴上, ∴P(﹣ ,0)或( ,0), ②当 OA=AP 时,则点 A 是线段 OP 的垂直平分线上, ∵A(1,3), ∴P(2,0), 即:在 x 轴上存在点 P,使得△OAP 为以 OA 为腰的等腰三角形,此时,点 P 的坐标为(﹣ ,0)或(2,0)或( ,0). 2.在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y= (x>0)的图象 G 经过点 A(3,2),直线 l:y= kx﹣1(k≠0)与 y 轴交于点 B,与图象 G 交于点 C. (1)求 m 的值; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象 G 在点 A,C 之间的部分与线段 BA,BC 围成的区域(不含边界)为 W. ①当直线 l 过点(2,0)时,直接写出区域 W 内的整点个数; ② 若区域 W 内的整点不少于 4 个,结合函数图象,求 k 的取值范围. 解:(1)把 A(3,2)代入 y= 得 m=3×2=6, (2)①当直线 l 过点(2,0)时,直线解析式为 y= x﹣1, 解方程 = x﹣1 得 x1=1﹣ (舍去),x2=1+ ,则 C(1+ , ), 而 B(0,﹣1), 如图 1 所示,区域 W 内的整点有(3,1)一个; ②如图 2,直线 l 在 AB 的下方时,直线 l:y=kx﹣1 过(6,1)时,1=6k﹣1,解得 k = , 当直线在 OA 的上方时,直线经过(1,4)时,4=k﹣1,解得 k=5, 观察图象可知:当 k≤ 或 k≥5 时,区域 W 内的整点不少于 4 个. 3.如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O(0,0),A(6,0),B(4, 3),C(0,3).动点 P 从点 O 出发,以每秒 个单位长度的速度沿边 OA 向终点 A 运动; 动点 Q 从点 B 同时出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿边 BC 向终点 C 运动,设运动的时 间为 t 秒,PQ2=y. ( 1 ) 直 接 写 出 y 关 于 t 的 函 数 解 析 式 及 t 的 取 值 范 围 : ; (2)当 PQ= 时,求 t 的值; (3)连接 OB 交 PQ 于点 D,若双曲线 y= 经过点 D,问 k 的值是否变化?若不 变化,请求出 k 的值;若变化,请说明理由. 解:(1)过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,如图 1 所示. 当运动时间为 t 秒时(0≤t≤4)时,点 P 的坐标为( t,0),点 Q 的坐标为(4﹣t,3), ∴PE=3,EQ=|4﹣t﹣ t|=|4﹣ t|, ∴PQ2=PE2+EQ2=32+|4﹣ t|2= t2﹣20t+25, ∴y 关于 t 的函数解析式及 t 的取值范围: ; 故答案为: . (2)当 时, 整理,得 5t2﹣16t+12=0, 解得:t1=2, . (3)经过点 D 的双曲线 的 k 值不变. 连接 OB,交 PQ 于点 D,过点 D 作 DF⊥OA 于点 F,如图 2 所示. ∵OC=3,BC=4, ∴ . ∵BQ∥OP, ∴△BDQ∽△ODP, ∴ , ∴OD=3. ∵CB∥OA, ∴∠DOF=∠OBC. 在 Rt△OBC 中, , , ∴ , , ∴点 D 的坐标为 , ∴经过点 D 的双曲线 的 k 值为 . 4.如图,一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于点 A(﹣3,m+8),B(n, ﹣6)两点. (1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)求△AOB 的面积; (3)若 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)是该反比例函数图象上的两点,且当 x1<x2 时,y1>y2, 指出点 P、Q 各位于哪个象限? 解:(1)将 A(﹣3,m+8)代入反比例函数 y= 得﹣3(m+8)=m,解得 m=﹣6, ∴点 A 的坐标为(﹣3,2),反比例函数解析式为 y=﹣ , 将点 B(n,﹣6)代入 y=﹣ 得﹣6n=﹣6,解得 n=1, ∴点 B 的坐标为(1,﹣6), 将点 A(﹣3,2),B(1,﹣6)代入 y=kx+b 得 ,解得 , ∴一次函数解析式为 y=﹣2x﹣4; (2)设 AB 与 x 轴相交于点 C,如图, 当﹣2x﹣4=0,解得 x=﹣2,则点 C 的坐标为(﹣2,0), ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC, = ×2×2+ ×2×6, =2+6, =8; (3)∵当 x1<x2 时,y1>y2, ∴点 P 和点 Q 不在同一象限, ∴P 在第二象限,Q 在第四象限. 5.如图,平面直角坐标系中,一次函数 y=x﹣1 的图象与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,与 反比例函数 y= 的图象交于点 C,D,CE⊥x 轴于点 E, = . (1)求反比例函数的表达式与点 D 的坐标; (2)以 CE 为边作▱ ECMN,点 M 在一次函数 y=x﹣1 的图象上,设点 M 的横坐标为 a,当 边 MN 与反比例函数 y= 的图象有公共点时,求 a 的取值范围. 解:(1)由题意 A(1,0),B(0,﹣1), ∴OA=OB=1, ∴∠OAB=∠CAE=45° ∵AE=3OA, ∴AE=3, ∵EC⊥x 轴, ∴∠AEC=90°, ∴∠EAC=∠ACE=45°, ∴EC=AE=3, ∴C(4,3), ∵反比例函数 y= 经过点 C(4,3), ∴k=12, 由 ,解得 或 , ∴D(﹣3,﹣4). (2)如图,设 M(a,a﹣1). 当点 N 在反比例函数的图象上时,N(a, ), ∵四边形 ECMN 是平行四边形, ∴MN=EC=3, ∴|a﹣1﹣ |=3, 解得 a=6 或﹣2 或﹣1± (舍弃), ∴M(6,5)或(﹣2,﹣3), 观察图象可知:当边 MN 与反比例函数 y= 的图象有公共点时 4<a≤6 或﹣3≤a≤﹣2. 6.如图,一次函数 y=kx+2 的图象与 y 轴交于点 A,正方形 ABCD 的顶点 B 在 x 轴上,点 D 在直线 y=kx+2 上,且 AO=OB,反比例函数 y= (x>0)经过点 C. (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)点 P 是 x 轴上一动点,当△PCD 的周长最小时,求出 P 点的坐标; (3)在(2)的 条件下,以点 C、D、P 为顶点作平行四边形,直接写出第四个顶点 M 的 坐标. 解:(1)设一次函数 y=kx+2 的图象与 x 轴交于点 E,连接 BD,如图 1 所示. 当 x=0 时,y=kx+2=2, ∴OA=2. ∵四边形 ABCD 为正方形,OA=OB, ∴∠BAE=90°,∠OAB=∠OBA=45°, ∴∠OAE=∠OEA=45°, ∴OE=2,点 E 的坐标为(﹣2,0). 将 E(﹣2,0)代入 y=kx+2,得:﹣2k+2=0,解得:k=1, ∴一次函数的解析式为 y=x+2. ∵∠OBD=∠ABD+∠OBA=90°, ∴BD∥OA. ∵OE=OB=2, ∴BD=2OA=4, ∴点 D 的坐标为(2,4). ∵四边形 ABCD 为正方形, ∴点 C 的坐标为(2+2﹣0,0+4﹣2),即(4,2). ∵反比例函数 y= (x>0)经过点 C, ∴n=4×2=8, ∴反比例函数解析式为 y= . (2)作点 D 关于 x 轴的对称点 D′,连接 CD′交 x 轴于点 P,此时△PCD 的周长取最小 值,如图 2 所示. ∵点 D 的坐标为(2,4), ∴点 D′的坐标为(2,﹣4). 设直线 CD′的解析式为 y=ax+b(a≠0), 将 C(4,2),D′(2,﹣4)代入 y=ax+b,得: , 解得: , ∴直线 CD′的解析式为 y=3x﹣10. 当 y=0 时,3x﹣10=0,解得:x= , ∴当△PCD 的周长最小时,P 点的坐标为( ,0). (3)设点 M 的坐标为(x,y),分三种情况考虑,如图 3 所示. ①当 DP 为对角线时, , 解得: , ∴点 M1 的坐标为( ,2); ②当 CD 为对角线时, , 解得: , ∴点 M2 的坐标为( ,6); ③当 CP 为对角线时, , 解得: , ∴点 M3 的坐标为( ,﹣2). 综上所述:以点 C、 D、P 为顶点作平行四边形,第四个顶点 M 的坐标为( ,2),( , 6)或( ,﹣2). 7.如图在平面直角坐标系中,一次函数 y=﹣2x﹣4 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 点 A(1,n),B(m,2) (1)求反比例函数关系式及 m 的值; (2)若 x 轴正半轴上有一点 M 满足△MAB 的面积为 16,求点 M 的坐标; (3)根据函数图象直接写出关于 x 的不等式在 <﹣2x﹣4 的解集 解:(1)∵一次函数 y=﹣2x﹣4 的图象过点 A(1,n),B(m,2) ∴n=﹣2﹣4,2=﹣2m﹣4 ∴n=﹣6 ,m=﹣3, ∴A(1,﹣6) 把 A(1,﹣6)代入 y= 得,k=﹣6, ∴反比例函数关系式为 y=﹣ ; (2)设直线 AB 与 x 轴交于 N 点,则 N(﹣2,0), 设 M(m,0),m>0, ∵S△MAB=S△BMN+S△AMN,△MAB 的面积为 16, ∴ |m+2|×(2+6)=16, 解得 m=2 或﹣6(不合题意舍去), ∴M(2,0); (3)由图象可知:不等式在 <﹣2x﹣4 的解集是 x<﹣3 或 0<x<1. 8.如图,在平面直角坐标系中,点 A(3,5)与点 C 关于原点 O 对称,分别过点 A、C 作 y 轴的平行线,与反比例函数 的图象交于点 B、D,连结 AD、BC,AD 与 x 轴交于点 E(﹣2,0). (1)求直线 AD 对应的函数关系式; (2)求 k 的值; (3)直接写出阴影部分图形的面积之和. 解:(1)设直线 AD 对应的函数关系式为 y=ax+b. ∵直线 AD 过点 A(3,5),E(﹣2,0), ∴ 解得 ∴直线 AD 的解析式为 y=x+2. (2)∵点 A(3,5)关于原点 O 的对称点为点 C, ∴点 C 的坐标为(﹣3,﹣5), ∵CD∥y 轴, ∴设点 D 的坐标为(﹣3,a), ∴a=﹣3+2=﹣1, ∴点 D 的坐标为(﹣3,﹣1), ∵反比例函数 y= 的图象经过点 D, ∴k=﹣3×(﹣1)=3; (3)如图: ∵点 A 和点 C 关于原点对称, ∴阴影部分的面积等于平行四边形 CDGF 的面积, ∴S 阴影=4×3=12. 9.如图,一次函数 y=kx+b 的图象分别与反比例函数 y= 的图象在第一象限交于点 A(4, 3),与 y 轴的负半轴交于点 B,且 OA=OB. (1)求函数 y=kx+b 和 y= 的表达式; (2)已知点 C(0,8),试在该一次函数图象上确定一点 M,使得 MB=MC,求此时点 M 的坐标. 解:(1)把点 A(4,3)代入函数得:a=3×4=12, ∴y= , OA=5, ∵OA=OB, ∴OB=5, ∴点 B 的坐标为(0,﹣5), 把 B(0,﹣5),A(4,3)代入 y=kx+b 得: ∴y=2x﹣5; (2)作 MD⊥y 轴. ∵点 M 在一次函数 y=2x﹣5 上, ∴设点 M 的坐标为(x,2x﹣5). ∵MB=MC, ∴CD=BD, ∴x2+(8﹣2x+5)2=x2+(﹣5﹣2x+5)2 ∴8﹣(2x﹣5)=2x﹣5+5 解得:x= ∴2x﹣5= , ∴点 M 的坐标为( , ). 10.如图,矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上,点 B 在反比例函数 y= (k ≠0)的第一象限内的图象上,OA=3,OC=5,动点 P 在 x 轴的上方,且满足 S△PAO= S 矩形 OABC. (1)若点 P 在这个反比例函数的图象上,求点 P 的坐标; (2)连接 PO、PA,求 PO+PA 的最小值; (3)若点 Q 是平面内一点,使得以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是菱形,则请你直接写 出满足条件的所有点 Q 的坐标. 解:(1)由题意,可知:点 B 的坐标为(3,5). ∵点 B 在反比例函数 y= (k≠0)的第一象限内的图象上, ∴k=3×5=15, ∴反比例函数的解析式为 y= . ∵S△PAO= S 矩形 OABC, ∴ ×3×yP= ×3×5, ∴yP=3. 当 y=3 时, =3,解得:x=5, ∴当点 P 在这个反比例函数的图象上时,点 P 的坐标为(5,3). (2)由(1)可知:点 P 在直线 y=3 上,作点 O 关于直线 y=3 的对称点 O′,连接 AO ′交直线 y=3 于点 P,此时 PO+PA 取得最小值,如图 1 所示. ∵点 O 的坐标为(0,0), ∴点 O′的坐标为(0,6). ∵点 A 的坐标为(3,0), ∴AO′= =3 , ∴PO+PA 的最小值为 3 . (3)∵AB∥y 轴,AB=5,点 P 的纵坐标为 3, ∴AB 不能为对角线,只能为边. 设点 P 的坐标为(m,3), 分两种情况考虑,如图 2 所示: ①当点 Q 在点 P 的上方时,AP=AB=5,即(m﹣3)2+(3﹣0)2=25, 解得:m1=﹣1,m2=7, ∴点 P1 的坐标为(﹣1,3),点 P2 的坐标为(7,3). 又∵PQ=5,且 PQ∥AB∥y 轴, ∴点 Q1 的坐标为(﹣1,8),点 Q2 的坐标为(7,8); ②当点 Q 在点 P 的下方时,BP=AB=5,即(m﹣3)2+(3﹣5)2=25, 解得:m3=3﹣ ,m4=3+ , 同理,可得出:点 Q3 的坐标为(3﹣ ,﹣2),点 Q4 的坐标为(3+ ,﹣2). 综上所述:当以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是菱形时,点 Q 的坐标为(﹣1,8),(7,8), (3﹣ ,﹣2)或(3+ ,﹣2). 11.如图,已知 C,D 是反比例函数 y= 图象在第一象限内的分支上的两点,直线 CD 分别 交 x 轴、y 轴于 A,B 两点,设 C,D 的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),且 x1<x2,连接 OC、OD. (1)若 x1+y1=x2+y2,求证:OC=OD; (2)tan∠BOC= ,OC= ,求点 C 的坐标; (3)在(2)的条件下,若∠BOC=∠AOD,求直线 CD 的解析式. (1)证明:∵C,D 是反比例函数 y= 图象在第一象限内的分支上的两点, ∴y1= ,y2= . ∵x1+y1=x2+y2,即 x1+ =x2+ , ∴x1﹣x2= . 又∵x1<x2, ∴ =1, ∴ =x2=y1, =x1=y2. ∴OC= = ,OD= = , ∴OC=OD. (2)解:∵tan∠BOC= , ∴ = . 又∵OC= , ∴ + =10, ∴x1=1,y1=3 或 x1=﹣1,y1=﹣3. ∵点 C 在第一象限, ∴点 C 的坐标为(1,3). (3)解:∵∠BOC=∠AOD, ∴tan∠AOD= , ∴ = . ∵点 C(1,3)在反比例函数 y= 的图象上, ∴m=1×3=3, ∴x2•y2=3, ∴x2=3,y2=1 或 x2=﹣3,y2=﹣1. ∵点 D 在第一象限, ∴点 D 的坐标为(3,1). 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b(k≠0), 将 C(1,3),D(3,1)代入 y=kx+b,得: , 解得: , ∴直线 CD 的解析式为 y=﹣x+4. 12.如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的两边分别在 x 轴、y 轴上,D 是对角线的交点, 若反比例函数 y= 的图象经过点 D,且与矩形 OABC 的两边 AB,BC 分别交于点 E,F. (1)若 D 的坐标为(4,2) ①则 OA 的长是 8 ,AB 的长是 4 ; ②请判断 EF 是否与 AC 平行,井说明理由; ③在 x 轴上是否存在一点 P.使 PD+PE 的值最小,若存在,请求出点 P 的坐标及此时 PD+PE 的长;若不存在.请说明理由. (2)若点 D 的坐标为(m,n),且 m>0,n>0,求 的值. 解:(1)①∵点 D 的坐标为(4,2), ∴点 B 的坐标为(8,4), ∴OA=8,AB=4. 故答案为:8;4. ②EF∥AC,理由如下: ∵反比例函数 y= 的图象经过点 D(4,2), ∴k=4×2=8. ∵点 B 的坐标为(8,4),BC∥x 轴,AB∥y 轴, ∴点 F 的坐标为(2,4),点 E 的坐标为(8,1), ∴BF=6,BE=3, ∴ = , = , ∴ = . ∵∠ABC=∠EBF, ∴△ABC∽△EBF, ∴∠BCA=∠BFE, ∴EF∥AC. ③作点 E 关于 x 轴对称的点 E′,连接 DE′交 x 轴于点 P,此时 PD+PE 的值最小,如图所 示. ∵点 E 的坐标为(8,1), ∴点 E′的坐标为(8,﹣1), ∴DE′= =5. 设直线 DE′的解析式为 y=ax+b(a≠0), 将 D(4,2),E′(8,﹣1)代入 y=ax+b,得: , 解得: , ∴直线 DE′的解析式为 y=﹣ x+5. 当 y=0 时,﹣ x+5=0, 解得:x= , ∴当点 P 的坐标为( ,0)时,PD+PE 的值最小,最小值为 5. (2)∵点 D 的坐标为(m,n), ∴点 B 的坐标为(2m,2n). ∵反比例函数 y= 的图象经过点 D(m,n), ∴k=mn, ∴点 F 的坐标为( m,2n),点 E 的坐标为(2m, n), ∴BF= m,BE= n, ∴ = , = , ∴ = . 又∵∠ABC=∠EBF, ∴△ABC∽△EBF, ∴ = = . 13.如图,一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 y= (m≠0)的图象交于 A(﹣ 3,1),B(1,n)两点. (1)求反比例函数和一次函数解析式; (2)结合图象直接写出不等式 ﹣kx﹣b>0 的解. 解:(1)∵点 A(﹣3,1)在反比例函数 y= (m≠0)的图象上, ∴m=(﹣3)×1=﹣3, ∴反比例函数的表达式为 y=﹣ , ∵点 B(1,n)也在反比例函数 y=﹣ 的图象上, ∴n=﹣ =﹣3,即 B(1,﹣3), 把点 A(﹣3,1),点 B(1,﹣3)代入一次函数 y=kx+b 中, 得 , 解得 , ∴一次函数的表达式为 y=﹣x﹣2; (2)如图所示,当 >kx+b 时,x 的取值范围是﹣3<x<0 或 x>1, 所以不等式 ﹣kx﹣b>0 的解是:﹣3<x<0 或 x>1. 14.如图,在 平面直角坐标系 xOy 内,函数 y= 的图象与反比例函数 y= (k≠0)图 象有公共点 A,点 A 的坐标为(8,a),AB⊥x 轴,垂足为点 B. (1)求反比例函数的解析式; (2)点 P 在线段 OB 上,若 AP=BP+2,求线段 OP 的长;(3)点 D 为射线 OA 上一点,在 (2)的条件下,若 S△ODP=S△ABO,求点 D 的坐标. 解:(1)∵函数 y= 的图象过点 A(8,a), ∴a= ×8=4, ∴点 A 的坐标为(8,4), ∵反比例函数 y= (k≠0)图象过点 A(8,4), ∴4= ,得 k=32, ∴反比例函数的解析式为 y= ; (2)设 BP=b,则 AP=b+2, ∵点 A(8,4),AB⊥x 轴于点 B, ∴AB=4,∠ABP=90°, ∴b2+42=(b+2)2, 解得,b=3, ∴OP=8﹣3=5, 即线段 OP 的长是 5; (3)设点 D 的坐标为(d, d), ∵点 A(8,4),点 B(8,0),点 P(5,0),S△ODP=S△ABO, ∴ , 解得,d= , ∴ d= , ∴点 D 的坐标为( , ). 15.阅读理解: 如图(1),在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 的坐标是(1,2),点 B 的坐标是(3,4), 过点 A、点 B 作平行于 x 轴、y 轴的直线相交于点 C,得到 Rt△ABC,由勾股定理可得, 线段 AB= = . 得出结论: (1)若 A 点的坐标为(x1,y1),B 点的坐标为(x2,y2)请你直接用 A、B 两点的坐标表 示 A、B 两点间的距离; 应用结论: (2)若点 P 在 y 轴上运动,试求当 PA=PB 时,点 P 的坐标. (3)如图(2)若双曲线 L1:y= (x>0)经过 A(1,2)点,将线段 OA 绕点 O 旋转, 使点 A 恰好落在双曲线 L2:y=﹣ (x>0)上的点 D 处,试求 A、D 两点间的距离. 解:(1)∵A 点的坐标为(x1,y1),B 点的坐标为(x2,y2), ∴根据两点间的距离公式得,AB= ; (2)设点 P(0,a), ∵A 的坐标是(1,2),点 B 的坐标是(3,4), ∵PA= ,PB= , ∵PA=PB, ∴ = , ∴a=5, ∴P(0,5); (3)∵双曲线 L1:y= (x>0)经过 A(1,2)点, ∴OA= ,k=1×2=2, ∴双曲线 L1:y= (x>0),双曲线 L2:y=﹣ (x>0), 设点 D 坐标为(m,﹣ )(m>0), ∴OD= , 由旋转知,OA=OD, ∴ = , ∴m=±1 或 m=±2, ∵m>0, ∴m=1 或 m=2, ∴D(1,﹣2)或(2,﹣1). ∵A(1,2), ∴AD=4 或 .