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- 2021-11-10 发布
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2021 年中考数学压轴题专项训练《反比例函数》
1.如图,反比例函数 y1= 和一次函数 y2=mx+n 相交于点 A(1,3),B(﹣3,a),
(1)求一次函数和反比例函数解析式;
(2)连接 OA,试问在 x 轴上是否存在点 P,使得△OAP 为以 OA 为腰的等腰三角形,若存
在,直接写出满足题意的点 P 的坐标;若不存在,说明理由.
解:(1)∵点 A(1,3)在反比例函数 y1= 的图象上,
∴k=1×3=3,
∴反比例函数的解析式为 y1= ,
∵点 B(﹣3,a)在反比例函数 y1= 的图象上,
∴﹣3a=3,
∴a=﹣1,
∴B(﹣3,﹣1),
∵点 A(1,3),B(﹣3,﹣1)在一次函数 y2=mx+n 的图象上,
∴ ,
∴ ,
∴一次函数的解析式为 y2=x +2;
(2)如图,∵△OAP 为以 OA 为腰的等腰三角形,
∴①当 OA=OP 时,
∵A(1,3),
∴OA= ,
∵OP= ,
∵点 P 在 x 轴上,
∴P(﹣ ,0)或( ,0),
②当 OA=AP 时,则点 A 是线段 OP 的垂直平分线上,
∵A(1,3),
∴P(2,0),
即:在 x 轴上存在点 P,使得△OAP 为以 OA 为腰的等腰三角形,此时,点 P 的坐标为(﹣
,0)或(2,0)或( ,0).
2.在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y= (x>0)的图象 G 经过点 A(3,2),直线 l:y=
kx﹣1(k≠0)与 y 轴交于点 B,与图象 G 交于点 C.
(1)求 m 的值;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象 G 在点 A,C 之间的部分与线段 BA,BC
围成的区域(不含边界)为 W.
①当直线 l 过点(2,0)时,直接写出区域 W 内的整点个数;
② 若区域 W 内的整点不少于 4 个,结合函数图象,求 k 的取值范围.
解:(1)把 A(3,2)代入 y= 得 m=3×2=6,
(2)①当直线 l 过点(2,0)时,直线解析式为 y= x﹣1,
解方程 = x﹣1 得 x1=1﹣ (舍去),x2=1+ ,则 C(1+ , ),
而 B(0,﹣1),
如图 1 所示,区域 W 内的整点有(3,1)一个;
②如图 2,直线 l 在 AB 的下方时,直线 l:y=kx﹣1 过(6,1)时,1=6k﹣1,解得 k
= ,
当直线在 OA 的上方时,直线经过(1,4)时,4=k﹣1,解得 k=5,
观察图象可知:当 k≤ 或 k≥5 时,区域 W 内的整点不少于 4 个.
3.如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O(0,0),A(6,0),B(4,
3),C(0,3).动点 P 从点 O 出发,以每秒 个单位长度的速度沿边 OA 向终点 A 运动;
动点 Q 从点 B 同时出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿边 BC 向终点 C 运动,设运动的时
间为 t 秒,PQ2=y.
( 1 ) 直 接 写 出 y 关 于 t 的 函 数 解 析 式 及 t 的 取 值 范 围 :
;
(2)当 PQ= 时,求 t 的值;
(3)连接 OB 交 PQ 于点 D,若双曲线 y= 经过点 D,问 k 的值是否变化?若不
变化,请求出 k 的值;若变化,请说明理由.
解:(1)过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,如图 1 所示.
当运动时间为 t 秒时(0≤t≤4)时,点 P 的坐标为( t,0),点 Q 的坐标为(4﹣t,3),
∴PE=3,EQ=|4﹣t﹣ t|=|4﹣ t|,
∴PQ2=PE2+EQ2=32+|4﹣ t|2= t2﹣20t+25,
∴y 关于 t 的函数解析式及 t 的取值范围: ;
故答案为: .
(2)当 时,
整理,得 5t2﹣16t+12=0,
解得:t1=2, .
(3)经过点 D 的双曲线 的 k 值不变.
连接 OB,交 PQ 于点 D,过点 D 作 DF⊥OA 于点 F,如图 2 所示.
∵OC=3,BC=4,
∴ .
∵BQ∥OP,
∴△BDQ∽△ODP,
∴ ,
∴OD=3.
∵CB∥OA,
∴∠DOF=∠OBC.
在 Rt△OBC 中, , ,
∴ , ,
∴点 D 的坐标为 ,
∴经过点 D 的双曲线 的 k 值为 .
4.如图,一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于点 A(﹣3,m+8),B(n,
﹣6)两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求△AOB 的面积;
(3)若 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)是该反比例函数图象上的两点,且当 x1<x2 时,y1>y2,
指出点 P、Q 各位于哪个象限?
解:(1)将 A(﹣3,m+8)代入反比例函数 y= 得﹣3(m+8)=m,解得 m=﹣6,
∴点 A 的坐标为(﹣3,2),反比例函数解析式为 y=﹣ ,
将点 B(n,﹣6)代入 y=﹣ 得﹣6n=﹣6,解得 n=1,
∴点 B 的坐标为(1,﹣6),
将点 A(﹣3,2),B(1,﹣6)代入 y=kx+b 得 ,解得 ,
∴一次函数解析式为 y=﹣2x﹣4;
(2)设 AB 与 x 轴相交于点 C,如图,
当﹣2x﹣4=0,解得 x=﹣2,则点 C 的坐标为(﹣2,0),
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC,
= ×2×2+ ×2×6,
=2+6,
=8;
(3)∵当 x1<x2 时,y1>y2,
∴点 P 和点 Q 不在同一象限,
∴P 在第二象限,Q 在第四象限.
5.如图,平面直角坐标系中,一次函数 y=x﹣1 的图象与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,与
反比例函数 y= 的图象交于点 C,D,CE⊥x 轴于点 E, = .
(1)求反比例函数的表达式与点 D 的坐标;
(2)以 CE 为边作▱ ECMN,点 M 在一次函数 y=x﹣1 的图象上,设点 M 的横坐标为 a,当
边 MN 与反比例函数 y= 的图象有公共点时,求 a 的取值范围.
解:(1)由题意 A(1,0),B(0,﹣1),
∴OA=OB=1,
∴∠OAB=∠CAE=45°
∵AE=3OA,
∴AE=3,
∵EC⊥x 轴,
∴∠AEC=90°,
∴∠EAC=∠ACE=45°,
∴EC=AE=3,
∴C(4,3),
∵反比例函数 y= 经过点 C(4,3),
∴k=12,
由 ,解得 或 ,
∴D(﹣3,﹣4).
(2)如图,设 M(a,a﹣1).
当点 N 在反比例函数的图象上时,N(a, ),
∵四边形 ECMN 是平行四边形,
∴MN=EC=3,
∴|a﹣1﹣ |=3,
解得 a=6 或﹣2 或﹣1± (舍弃),
∴M(6,5)或(﹣2,﹣3),
观察图象可知:当边 MN 与反比例函数 y= 的图象有公共点时 4<a≤6 或﹣3≤a≤﹣2.
6.如图,一次函数 y=kx+2 的图象与 y 轴交于点 A,正方形 ABCD 的顶点 B 在 x 轴上,点 D
在直线 y=kx+2 上,且 AO=OB,反比例函数 y= (x>0)经过点 C.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)点 P 是 x 轴上一动点,当△PCD 的周长最小时,求出 P 点的坐标;
(3)在(2)的 条件下,以点 C、D、P 为顶点作平行四边形,直接写出第四个顶点 M 的
坐标.
解:(1)设一次函数 y=kx+2 的图象与 x 轴交于点 E,连接 BD,如图 1 所示.
当 x=0 时,y=kx+2=2,
∴OA=2.
∵四边形 ABCD 为正方形,OA=OB,
∴∠BAE=90°,∠OAB=∠OBA=45°,
∴∠OAE=∠OEA=45°,
∴OE=2,点 E 的坐标为(﹣2,0).
将 E(﹣2,0)代入 y=kx+2,得:﹣2k+2=0,解得:k=1,
∴一次函数的解析式为 y=x+2.
∵∠OBD=∠ABD+∠OBA=90°,
∴BD∥OA.
∵OE=OB=2,
∴BD=2OA=4,
∴点 D 的坐标为(2,4).
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴点 C 的坐标为(2+2﹣0,0+4﹣2),即(4,2).
∵反比例函数 y= (x>0)经过点 C,
∴n=4×2=8,
∴反比例函数解析式为 y= .
(2)作点 D 关于 x 轴的对称点 D′,连接 CD′交 x 轴于点 P,此时△PCD 的周长取最小
值,如图 2 所示.
∵点 D 的坐标为(2,4),
∴点 D′的坐标为(2,﹣4).
设直线 CD′的解析式为 y=ax+b(a≠0),
将 C(4,2),D′(2,﹣4)代入 y=ax+b,得: ,
解得: ,
∴直线 CD′的解析式为 y=3x﹣10.
当 y=0 时,3x﹣10=0,解得:x= ,
∴当△PCD 的周长最小时,P 点的坐标为( ,0).
(3)设点 M 的坐标为(x,y),分三种情况考虑,如图 3 所示.
①当 DP 为对角线时, ,
解得: ,
∴点 M1 的坐标为( ,2);
②当 CD 为对角线时, ,
解得: ,
∴点 M2 的坐标为( ,6);
③当 CP 为对角线时, ,
解得: ,
∴点 M3 的坐标为( ,﹣2).
综上所述:以点 C、 D、P 为顶点作平行四边形,第四个顶点 M 的坐标为( ,2),( ,
6)或( ,﹣2).
7.如图在平面直角坐标系中,一次函数 y=﹣2x﹣4 的图象与反比例函数 y= 的图象交于
点 A(1,n),B(m,2)
(1)求反比例函数关系式及 m 的值;
(2)若 x 轴正半轴上有一点 M 满足△MAB 的面积为 16,求点 M 的坐标;
(3)根据函数图象直接写出关于 x 的不等式在 <﹣2x﹣4 的解集
解:(1)∵一次函数 y=﹣2x﹣4 的图象过点 A(1,n),B(m,2)
∴n=﹣2﹣4,2=﹣2m﹣4
∴n=﹣6 ,m=﹣3,
∴A(1,﹣6)
把 A(1,﹣6)代入 y= 得,k=﹣6,
∴反比例函数关系式为 y=﹣ ;
(2)设直线 AB 与 x 轴交于 N 点,则 N(﹣2,0),
设 M(m,0),m>0,
∵S△MAB=S△BMN+S△AMN,△MAB 的面积为 16,
∴ |m+2|×(2+6)=16,
解得 m=2 或﹣6(不合题意舍去),
∴M(2,0);
(3)由图象可知:不等式在 <﹣2x﹣4 的解集是 x<﹣3 或 0<x<1.
8.如图,在平面直角坐标系中,点 A(3,5)与点 C 关于原点 O 对称,分别过点 A、C 作 y
轴的平行线,与反比例函数 的图象交于点 B、D,连结 AD、BC,AD 与 x
轴交于点 E(﹣2,0).
(1)求直线 AD 对应的函数关系式;
(2)求 k 的值;
(3)直接写出阴影部分图形的面积之和.
解:(1)设直线 AD 对应的函数关系式为 y=ax+b.
∵直线 AD 过点 A(3,5),E(﹣2,0),
∴ 解得
∴直线 AD 的解析式为 y=x+2.
(2)∵点 A(3,5)关于原点 O 的对称点为点 C,
∴点 C 的坐标为(﹣3,﹣5),
∵CD∥y 轴,
∴设点 D 的坐标为(﹣3,a),
∴a=﹣3+2=﹣1,
∴点 D 的坐标为(﹣3,﹣1),
∵反比例函数 y= 的图象经过点 D,
∴k=﹣3×(﹣1)=3;
(3)如图:
∵点 A 和点 C 关于原点对称,
∴阴影部分的面积等于平行四边形 CDGF 的面积,
∴S 阴影=4×3=12.
9.如图,一次函数 y=kx+b 的图象分别与反比例函数 y= 的图象在第一象限交于点 A(4,
3),与 y 轴的负半轴交于点 B,且 OA=OB.
(1)求函数 y=kx+b 和 y= 的表达式;
(2)已知点 C(0,8),试在该一次函数图象上确定一点 M,使得 MB=MC,求此时点 M
的坐标.
解:(1)把点 A(4,3)代入函数得:a=3×4=12,
∴y= ,
OA=5,
∵OA=OB,
∴OB=5,
∴点 B 的坐标为(0,﹣5),
把 B(0,﹣5),A(4,3)代入 y=kx+b 得:
∴y=2x﹣5;
(2)作 MD⊥y 轴.
∵点 M 在一次函数 y=2x﹣5 上,
∴设点 M 的坐标为(x,2x﹣5).
∵MB=MC,
∴CD=BD,
∴x2+(8﹣2x+5)2=x2+(﹣5﹣2x+5)2
∴8﹣(2x﹣5)=2x﹣5+5
解得:x=
∴2x﹣5= ,
∴点 M 的坐标为( , ).
10.如图,矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上,点 B 在反比例函数 y= (k
≠0)的第一象限内的图象上,OA=3,OC=5,动点 P 在 x 轴的上方,且满足 S△PAO= S
矩形 OABC.
(1)若点 P 在这个反比例函数的图象上,求点 P 的坐标;
(2)连接 PO、PA,求 PO+PA 的最小值;
(3)若点 Q 是平面内一点,使得以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是菱形,则请你直接写
出满足条件的所有点 Q 的坐标.
解:(1)由题意,可知:点 B 的坐标为(3,5).
∵点 B 在反比例函数 y= (k≠0)的第一象限内的图象上,
∴k=3×5=15,
∴反比例函数的解析式为 y= .
∵S△PAO= S 矩形 OABC,
∴ ×3×yP= ×3×5,
∴yP=3.
当 y=3 时, =3,解得:x=5,
∴当点 P 在这个反比例函数的图象上时,点 P 的坐标为(5,3).
(2)由(1)可知:点 P 在直线 y=3 上,作点 O 关于直线 y=3 的对称点 O′,连接 AO
′交直线 y=3 于点 P,此时 PO+PA 取得最小值,如图 1 所示.
∵点 O 的坐标为(0,0),
∴点 O′的坐标为(0,6).
∵点 A 的坐标为(3,0),
∴AO′= =3 ,
∴PO+PA 的最小值为 3 .
(3)∵AB∥y 轴,AB=5,点 P 的纵坐标为 3,
∴AB 不能为对角线,只能为边.
设点 P 的坐标为(m,3),
分两种情况考虑,如图 2 所示:
①当点 Q 在点 P 的上方时,AP=AB=5,即(m﹣3)2+(3﹣0)2=25,
解得:m1=﹣1,m2=7,
∴点 P1 的坐标为(﹣1,3),点 P2 的坐标为(7,3).
又∵PQ=5,且 PQ∥AB∥y 轴,
∴点 Q1 的坐标为(﹣1,8),点 Q2 的坐标为(7,8);
②当点 Q 在点 P 的下方时,BP=AB=5,即(m﹣3)2+(3﹣5)2=25,
解得:m3=3﹣ ,m4=3+ ,
同理,可得出:点 Q3 的坐标为(3﹣ ,﹣2),点 Q4 的坐标为(3+ ,﹣2).
综上所述:当以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是菱形时,点 Q 的坐标为(﹣1,8),(7,8),
(3﹣ ,﹣2)或(3+ ,﹣2).
11.如图,已知 C,D 是反比例函数 y= 图象在第一象限内的分支上的两点,直线 CD 分别
交 x 轴、y 轴于 A,B 两点,设 C,D 的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),且 x1<x2,连接
OC、OD.
(1)若 x1+y1=x2+y2,求证:OC=OD;
(2)tan∠BOC= ,OC= ,求点 C 的坐标;
(3)在(2)的条件下,若∠BOC=∠AOD,求直线 CD 的解析式.
(1)证明:∵C,D 是反比例函数 y= 图象在第一象限内的分支上的两点,
∴y1= ,y2= .
∵x1+y1=x2+y2,即 x1+ =x2+ ,
∴x1﹣x2= .
又∵x1<x2,
∴ =1,
∴ =x2=y1, =x1=y2.
∴OC= = ,OD= = ,
∴OC=OD.
(2)解:∵tan∠BOC= ,
∴ = .
又∵OC= ,
∴ + =10,
∴x1=1,y1=3 或 x1=﹣1,y1=﹣3.
∵点 C 在第一象限,
∴点 C 的坐标为(1,3).
(3)解:∵∠BOC=∠AOD,
∴tan∠AOD= ,
∴ = .
∵点 C(1,3)在反比例函数 y= 的图象上,
∴m=1×3=3,
∴x2•y2=3,
∴x2=3,y2=1 或 x2=﹣3,y2=﹣1.
∵点 D 在第一象限,
∴点 D 的坐标为(3,1).
设直线 CD 的解析式为 y=kx+b(k≠0),
将 C(1,3),D(3,1)代入 y=kx+b,得: ,
解得: ,
∴直线 CD 的解析式为 y=﹣x+4.
12.如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的两边分别在 x 轴、y 轴上,D 是对角线的交点,
若反比例函数 y= 的图象经过点 D,且与矩形 OABC 的两边 AB,BC 分别交于点 E,F.
(1)若 D 的坐标为(4,2)
①则 OA 的长是 8 ,AB 的长是 4 ;
②请判断 EF 是否与 AC 平行,井说明理由;
③在 x 轴上是否存在一点 P.使 PD+PE 的值最小,若存在,请求出点 P 的坐标及此时 PD+PE
的长;若不存在.请说明理由.
(2)若点 D 的坐标为(m,n),且 m>0,n>0,求 的值.
解:(1)①∵点 D 的坐标为(4,2),
∴点 B 的坐标为(8,4),
∴OA=8,AB=4.
故答案为:8;4.
②EF∥AC,理由如下:
∵反比例函数 y= 的图象经过点 D(4,2),
∴k=4×2=8.
∵点 B 的坐标为(8,4),BC∥x 轴,AB∥y 轴,
∴点 F 的坐标为(2,4),点 E 的坐标为(8,1),
∴BF=6,BE=3,
∴ = , = ,
∴ = .
∵∠ABC=∠EBF,
∴△ABC∽△EBF,
∴∠BCA=∠BFE,
∴EF∥AC.
③作点 E 关于 x 轴对称的点 E′,连接 DE′交 x 轴于点 P,此时 PD+PE 的值最小,如图所
示.
∵点 E 的坐标为(8,1),
∴点 E′的坐标为(8,﹣1),
∴DE′= =5.
设直线 DE′的解析式为 y=ax+b(a≠0),
将 D(4,2),E′(8,﹣1)代入 y=ax+b,得: ,
解得: ,
∴直线 DE′的解析式为 y=﹣ x+5.
当 y=0 时,﹣ x+5=0,
解得:x= ,
∴当点 P 的坐标为( ,0)时,PD+PE 的值最小,最小值为 5.
(2)∵点 D 的坐标为(m,n),
∴点 B 的坐标为(2m,2n).
∵反比例函数 y= 的图象经过点 D(m,n),
∴k=mn,
∴点 F 的坐标为( m,2n),点 E 的坐标为(2m, n),
∴BF= m,BE= n,
∴ = , = ,
∴ = .
又∵∠ABC=∠EBF,
∴△ABC∽△EBF,
∴ = = .
13.如图,一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 y= (m≠0)的图象交于 A(﹣
3,1),B(1,n)两点.
(1)求反比例函数和一次函数解析式;
(2)结合图象直接写出不等式 ﹣kx﹣b>0 的解.
解:(1)∵点 A(﹣3,1)在反比例函数 y= (m≠0)的图象上,
∴m=(﹣3)×1=﹣3,
∴反比例函数的表达式为 y=﹣ ,
∵点 B(1,n)也在反比例函数 y=﹣ 的图象上,
∴n=﹣ =﹣3,即 B(1,﹣3),
把点 A(﹣3,1),点 B(1,﹣3)代入一次函数 y=kx+b 中,
得 ,
解得 ,
∴一次函数的表达式为 y=﹣x﹣2;
(2)如图所示,当 >kx+b 时,x 的取值范围是﹣3<x<0 或 x>1,
所以不等式 ﹣kx﹣b>0 的解是:﹣3<x<0 或 x>1.
14.如图,在 平面直角坐标系 xOy 内,函数 y= 的图象与反比例函数 y= (k≠0)图
象有公共点 A,点 A 的坐标为(8,a),AB⊥x 轴,垂足为点 B.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)点 P 在线段 OB 上,若 AP=BP+2,求线段 OP 的长;(3)点 D 为射线 OA 上一点,在
(2)的条件下,若 S△ODP=S△ABO,求点 D 的坐标.
解:(1)∵函数 y= 的图象过点 A(8,a),
∴a= ×8=4,
∴点 A 的坐标为(8,4),
∵反比例函数 y= (k≠0)图象过点 A(8,4),
∴4= ,得 k=32,
∴反比例函数的解析式为 y= ;
(2)设 BP=b,则 AP=b+2,
∵点 A(8,4),AB⊥x 轴于点 B,
∴AB=4,∠ABP=90°,
∴b2+42=(b+2)2,
解得,b=3,
∴OP=8﹣3=5,
即线段 OP 的长是 5;
(3)设点 D 的坐标为(d, d),
∵点 A(8,4),点 B(8,0),点 P(5,0),S△ODP=S△ABO,
∴ ,
解得,d= ,
∴ d= ,
∴点 D 的坐标为( , ).
15.阅读理解:
如图(1),在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 的坐标是(1,2),点 B 的坐标是(3,4),
过点 A、点 B 作平行于 x 轴、y 轴的直线相交于点 C,得到 Rt△ABC,由勾股定理可得,
线段 AB= = .
得出结论:
(1)若 A 点的坐标为(x1,y1),B 点的坐标为(x2,y2)请你直接用 A、B 两点的坐标表
示 A、B 两点间的距离;
应用结论:
(2)若点 P 在 y 轴上运动,试求当 PA=PB 时,点 P 的坐标.
(3)如图(2)若双曲线 L1:y= (x>0)经过 A(1,2)点,将线段 OA 绕点 O 旋转,
使点 A 恰好落在双曲线 L2:y=﹣ (x>0)上的点 D 处,试求 A、D 两点间的距离.
解:(1)∵A 点的坐标为(x1,y1),B 点的坐标为(x2,y2),
∴根据两点间的距离公式得,AB= ;
(2)设点 P(0,a),
∵A 的坐标是(1,2),点 B 的坐标是(3,4),
∵PA= ,PB= ,
∵PA=PB,
∴ = ,
∴a=5,
∴P(0,5);
(3)∵双曲线 L1:y= (x>0)经过 A(1,2)点,
∴OA= ,k=1×2=2,
∴双曲线 L1:y= (x>0),双曲线 L2:y=﹣ (x>0),
设点 D 坐标为(m,﹣ )(m>0),
∴OD= ,
由旋转知,OA=OD,
∴ = ,
∴m=±1 或 m=±2,
∵m>0,
∴m=1 或 m=2,
∴D(1,﹣2)或(2,﹣1).
∵A(1,2),
∴AD=4 或 .
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