上海市宝山区、嘉定区2012年中考二模（期中）数学试题 10页

上海市宝山区（嘉定区）2012年中考二模 数学 ‎ ‎ （满分150分，考试时间100分钟） ‎ 考生注意：‎ ‎1．本试卷含三个大题，共25题；‎ ‎2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；‎ ‎3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．‎ 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）‎ ‎【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】‎ ‎1．下列计算正确的是 （ ▲ ）．‎ ‎（A）； （B）； （C）； （D）．‎ ‎2．如果，，那么下列不等式成立的是（ ▲ ）．‎ ‎(A) ； (B) ； (C) ； (D) ．‎ ‎3．一次函数的图像不经过（ ▲ ）．‎ ‎（A）第一象限；　 （B）第二象限；　 （C）第三象限；　（D）第四象限．‎ ‎4．在研究反比例函数图像与性质时，由于计算粗心，小明误认为（，）、（，）、（，）、（，）、（，）五个点在同一个反比例函数的图像上，后来经检查发现其中有一个点不在，这个点是（ ▲ ）．‎ ‎(A)（，）； (B) （，）； (C)（，）； (D) （，）．‎ ‎①‎ x y O ‎1‎ ‎1‎ ‎③‎ ‎②‎ ‎④‎ ‎(图1)‎ ‎5．如图1，在编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于x轴对称的两个三角形是（ ▲ ）．‎ ‎（A）①和②； （B）②和③； ‎ ‎（C）①和③； （D）②和④．‎ ‎6．下列命题中，假命题是（ ▲ ）.‎ ‎（A）如果一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，‎ 那么这个点在圆外；‎ ‎（B）如果一个圆的圆心到一条直线的距离小于它 的半径，那么这条直线与这个圆有两个交点；‎ ‎（C）边数相同的正多边形都是相似图形；‎ ‎（D）正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎【请将结果直接填入答题纸的相应位置】‎ ‎7．计算： ▲ ． ‎ ‎8．计算： ▲ ． ‎ ‎9．如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，则 ▲ ．‎ ‎10．已知函数，若，则= ▲ ．‎ ‎11．已知一个二次函数的图像在y轴左侧部分是上升的，在y轴右侧部分是下降的，又经过点A（1，1）．那么这个二次函数的解析式可以是 ▲ （写出符合要求的一个解析式即可）．‎ ‎12．在一个不透明的袋子中装有2个白球，个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．‎ 若从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，则的值等于 ▲ ．‎ ‎13．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弦长为 ▲ ．‎ ‎14．在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，如果AD＝5，DB＝10，那么:的值为 ▲ ．‎ ‎15．已知△ABC中，∠A=90°，∠B=θ，AC=b，则AB= ▲ (用b和θ的三角比表示)．‎ ‎16．已知G是△ABC的重心，设，，那么= ▲ （用、表示）．‎ ‎(图2)‎ x y O C B A ‎17．已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径比⊙O2的2倍还大1，‎ 又O1O2=7，那么⊙O2的半径长为 ▲ ．‎ ‎18．如图2，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B的坐标 为（4，2），若四边形为菱形，则点的坐标为 ▲ ．‎ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）‎ ‎19．（本题满分10分）计算：． ‎ ‎20．（本题满分10分）解方程组： ‎ ‎(图3)‎ ‎21．（本题满分10分，每小题满分各5分）‎ 如图3，已知梯形中，AB∥CD，AB=13，CD=4，‎ 点在边AB上，DE∥．‎ ‎（1）若，且，求的面积；‎ ‎（2）若∠DEC=∠A，求边BC的长度．‎ ‎22．（本题满分10分，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分3分)‎ 已知⊙、⊙外切于点T，经过点T的任一直线分别与⊙、⊙交于点A、B，‎ ‎（1）若⊙、⊙是等圆（如图4），求证AT =BT；‎ ‎(图5)‎ T B A ‎(图4)‎ T B A ‎（2）若⊙、⊙的半径分别为R、r（如图5），试写出线段AT、BT与R、r之间始终存在的数量关系（不需要证明）．‎ ‎ ‎ ‎23．（本题满分12分，每小题满分各3分）‎ 结合“两纲教育”，某中学600名学生参加了“让青春飞扬”知识竞赛．竞赛组委会从中随机抽取了部分学生的成绩（得分都是整数，最高分98分）作为样本进行统计分析，并绘制成抽样分析分类统计表和频率分布直方图（如表1和图6，部分数据缺失）．试根据所提供的信息解答下列问题： ‎ ‎(1) 本次随机抽样调查的样本容量是 ▲ ；‎ ‎(2) 试估计全校所有参赛学生中成绩等第为优良的学生人数；‎ ‎(3) 若本次随机抽样的样本平均数为76.5，又表1中b比a大15，试求出a、b的值；‎ ‎(4) 如果把满足的x的取值范围记为[p，q]，表1中a的取值范围是 ▲ ．‎ ‎ （A）[69.5，79.5] （B）[65，74]‎ 抽样分析频率分布直方图 ‎(图6)‎ 成绩(分)‎ ‎0.01‎ ‎0.04‎ ‎0.02‎ ‎0.03‎ ‎49.5‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.15‎ ‎59.5‎ ‎69.5‎ ‎79.5‎ ‎89.5‎ ‎99.5‎ ‎ （C）[66.5，75.5] （D）[66，75]‎ 表1：抽样分析分类统计表 成绩范围 成绩等第 不合格 合格 优良 人数 ‎40‎ 平均成绩 ‎57‎ a b ‎ ‎ ‎ ‎ ‎24．（本题满分12分，每小题满分各4分）‎ 如图7，平面直角坐标系中，已知点A（2，3），线段垂直于轴，垂足为，将线段绕点A逆时针方向旋转90°，点B落在点处，直线与轴的交于点．‎ ‎(图7)‎ ‎1‎ ‎1‎ x y A O ‎（1）试求出点D的坐标；‎ ‎（2）试求经过、、三点的抛物线的表达式，‎ 并写出其顶点E的坐标；‎ ‎（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点，使得 以点、、为顶点的三角形与△ACD相似．‎ ‎25．（本题满分14分，第(1) 、(2)小题满分各5分，第(3)小题满分4分）‎ 已知△ABC中，（如图8），点到两边的距离相等，且PA=PB．‎ ‎（1）先用尺规作出符合要求的点P（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由；‎ ‎（2）设，，试用、的代数式表示的周长和面积；‎ ‎（3）设CP与AB交于点D，试探索当边AC、BC的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．‎ A B C ‎（备用图）‎ A B C ‎（图 ）‎ ‎8‎ ‎2011学年第二学期期中考试九年级 数学参考答案 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）‎ ‎1、C； 2、A； 3、B； 4、C； 5、B； 6、D.‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎7、； 8、； 9、； 10、； ‎ ‎11、【答案不唯一，如等】； 12、； 13、； ‎ ‎14、； 15、【答案不唯一，等等价形式均可】； ‎ ‎16、； 17、2或6； 18、（，）.‎ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）‎ ‎19．解：‎ ‎ ………………………………5分 ‎ ………………………………2分 ‎ ………………………………3分 ‎20．解：方程可变形为 .‎ ‎ 得或. ………………………1分 方程可变形为 .‎ 两边开平方，得 ‎ ‎ 或 . ……………………1分 因此，原方程组可化为四个二元一次方程组：‎ ‎ …………………4分 分别解这四个方程组，得原方程组的解是 ‎ ………………4分 ‎21．解：（1）分别过点C、D作、，交于点、（如图3）. ‎ ‎(图3)‎ G F ‎∵AB∥CD ‎ ‎∴. ………1分 ‎∵AB∥CD，DE∥，‎ ‎∴. ‎ ‎ ∵AB=13，CD=4，‎ ‎∴. ………1分 ‎∵，，‎ ‎∴. ………1分 在Rt△BCF中，由，得 ‎3，即，. ………1分 ‎∴.‎ ‎∴. ………1分 ‎（2）∵AB∥CD，∴. ………1分 ‎ 又∵∠DEC=∠A，‎ ‎∴△CDE∽△DEA. ………1分 ‎ ∴ . ………1分 ‎∵，CD=4，∴.‎ ‎∴,（负值已舍）. ………1分 ‎∵AB∥CD，DE∥，‎ ‎∴. ………1分 ‎22．（1）证明：联结.‎ ‎∵⊙、⊙外切于点T，∴点T在上. …1分 过、分别作、，垂足为C、D（如图4）， ‎ ‎(图4)‎ T B A C D ‎∴ ∥. …1分 ‎ ∴ . …1分 ‎ ∵⊙、⊙是等圆，∴. …1分 ‎ ∴，∴. …1分 ‎ 在⊙中，∵，∴. ‎ 同理 . … 1分 ‎ ∴，即. … 1分 ‎（2）解：线段AT、BT与R、r之间始终存在的数量关系是. … 3分 ‎23．解：(1) 80 ； … 3分 ‎(2) 成绩位于79.5~89.5的频率为 ‎. … 1分 所以全校所有参赛学生中成绩等第为优良的学生人数为 ‎（人） … 2分 ‎(3) 本次随机抽样分析成绩不合格的人数为（人），‎ 成绩优良的人数为（人）， … 1分 ‎ 依据题意，可得方程组 ‎ ……1分 ‎ 解得 ……1分 ‎ (4) D ． ……3分 ‎24．（本题满分12分，每小题满分各4分）‎ 解：（1）点C的坐标为（，）. ……1分 ‎(图7)‎ ‎1‎ ‎1‎ x y A O C D E F ‎ 设直线的表达式为. ‎ ‎ 易得 解得 ……2分 ‎ 所以直线的表达式为.‎ ‎ 当时，，.‎ ‎ 所以点D的坐标为（，）. ……1分 ‎（2）设经过、、三点的抛物线的表达式 为（） ……1分 ‎ 易得 ……1分 解得 ……1分 ‎ 因此，所求的抛物线的表达式为. ‎ ‎ 其顶点坐标为 (，). ……1分 ‎（3）点F在的对称轴(即直线)上，所以设点F的坐标为（1，）.‎ ‎ 由题意可得 ，，‎ ‎ ∴ , .‎ ‎ 所以若以、、为顶点的三角形与△ACD相似，必有一个角的度数为，‎ 由此可得点F必定在点E的上方， ‎ ‎， ……1分 ‎ 所以当或时，‎ 以、、为顶点的三角形与△ACD相似. ……1分 由点D（，）、C（，）、A（2，3）、(，)易得 ‎ ‎，，.‎ ‎ ∴ 或.‎ ‎ 解得 或. ‎ ‎ 故符合题意的点F有两个，其坐标为（1,5）或（1,6）. ……2分 ‎25.（本题满分14分，第(1) 、(2)小题满分各5分，第(3)小题满分4分）‎ 解：（1）依题意，点P既在的平分线上，又在线段AB的垂直平分线上.‎ ‎ 如图8—1，作的平分线CP，作线段的垂直平分线PM，CP与PM的 ‎ 交点即为所求的P点。【有作图痕迹，且作图基本正确】 ……2分.‎ ‎ 是等腰直角三角形. ……1分（只写出等腰三角形，不得分）.‎ 理由如下：过点P分别作、，垂足为E、F（如图8—2）.‎ ‎ ∵平分，、，垂足为E、F，‎ ‎∴.‎ 又∵ ，∴ ≌.‎ ‎∴ . ………1分 ‎∵，，，‎ ‎∴， 从而. ………1分 M 图8-1‎ 图8-2‎ 又 ∴ 是等腰直角三角形.‎ ‎（2）如图8-2，在中，，，，‎ ‎∴. ………1分 由≌，≌，可得，.‎ ‎∴.………1分 在中，，，，‎ ‎ ∴. ‎ ‎∴. ‎ 所以的周长为：. ………1分 因为的面积=的面积的面积的面积 ‎ ==‎ ‎ =（）. ………2分 ‎【或 .】‎ ‎（3）【法1】过点分别作、，垂足为、（图8-3）.‎ ‎ 易得 . ……1分 ‎ 由∥得 ①；‎ 由∥得 ② ‎ ‎①+②，得 ，即 . ………2分 ‎∴ ， 即 . ………1分 ‎【法2】（前面同法1）又 ，.‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴. ……2分 图8—3‎ 图8-4‎ ‎∴ ，即 . ……1分 ‎【法3】过点作，垂足为（图8-4）. ‎ ‎ 在中，， ……1分 由∥得 ①； ② ‎ ‎①+②，得 ，即 . ………2分 ‎∴ ，即 . ………1分 ‎【法4】过点作∥，交射线于点（如图8-5）‎ 易得 ，. ………1分 ‎∵∥，∴.‎ ‎∴ ，. ………2分 即 . ………1分 ‎【法5】过点作的平行线，交射线于点 (见图8-6),‎ 得，，………1分 又 ， 即 ， ……2分 所以 ， ………1分 ‎【法6】分别过点、分别作的平行线，交射线于点，交射线于点(见图8-7).‎ 得， ……1分 又 ， ‎ ‎∴ ，………2分 图8-5‎ 图8-6‎ 图8-7‎ 即，.………1分