2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷 12页

‎2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷 一、选择题 ‎ ‎ ‎1. 已知二次函数y＝‎−x‎2‎+2x−3‎，那么下列关于该函数的判断正确的是（ ） ‎ A.该函数图象有最高点‎(0, −3)‎ B.该函数图象有最低点‎(0, −3)‎ C.该函数图象在x轴的下方 D.该函数图象在对称轴左侧是下降的 ‎ ‎ ‎2. 如图，AB // CD // FF，AC＝‎2‎，AE＝‎5‎，BD＝‎1.5‎，那么下列结论正确的是（ ） ‎ A.DF=‎‎15‎‎4‎ B.EF=‎‎15‎‎4‎ C.CD=‎‎15‎‎4‎ D.‎BF=‎‎15‎‎4‎ ‎ ‎ ‎3. 已知，P是线段AB上的点，且AP‎2‎＝BP⋅AB，那么AP:AB的值是（ ） ‎ A.‎5‎‎−1‎‎2‎ B.‎3−‎‎5‎‎2‎ C.‎5‎‎+1‎‎2‎ D.‎‎3+‎‎5‎‎2‎ ‎ ‎ ‎4. 在Rt△ABC中，‎∠B＝‎90‎‎∘‎，BC＝‎3‎，AC＝‎5‎，那么下列结论正确的是（ ） ‎ A.sinA=‎‎3‎‎4‎ B.cosA=‎‎4‎‎5‎ C.cotA=‎‎5‎‎4‎ D.‎tanA=‎‎4‎‎3‎ ‎ ‎ ‎5. 跳伞运动员小李在‎200‎米的空中测得地面上的着落点A的俯角为‎60‎‎∘‎，那么此时小李离着落点A的距离是（ ） ‎ A.‎200‎米 B.‎400‎米 C.‎200‎‎3‎‎3‎米 D.‎400‎‎3‎‎3‎米 ‎ ‎ ‎6. 下列命题中，假命题是（ ） ‎ A.凡有内角为‎30‎‎∘‎的直角三角形都相似 B.凡有内角为‎45‎‎∘‎的等腰三角形都相似 C.凡有内角为‎60‎‎∘‎的直角三角形都相似 D.凡有内角为‎90‎‎∘‎的等腰三角形都相似 二、填空题 ‎ ‎ ‎ 计算：‎2sin‎60‎‎∘‎−cot‎30‎‎∘‎⋅tan‎45‎‎∘‎＝________． ‎ ‎ ‎ ‎ 如果线段a＝‎4‎厘米，c＝‎9‎厘米，那么线段a、c的比例中项b＝________厘米． ‎ ‎ ‎ ‎ 如果两个相似三角形的对应高比是‎3‎‎:2‎，那么它们的相似比是________． ‎ ‎ ‎ ‎ 四边形ABCD和四边形A‎′‎B‎′‎C‎′‎D‎′‎是相似图形，点A、B、C、D分别与A‎′‎、B‎′‎、C‎′‎、D‎′‎对应，已知BC＝‎3‎，CD＝‎2.4‎，B‎′‎C′‎＝‎2‎，那么C′‎D‎′‎的长是________． ‎ ‎ ‎ ‎ 已知二次函数y＝‎2(x+2‎‎)‎‎2‎，如果x>−2‎，那么y随x的增大而________． ‎ ‎ ‎ ‎ 同一时刻，高为‎12‎米的学校旗杆的影长为‎9‎米，一座铁塔的影长为‎21‎米，那么此铁塔的高是________米． ‎ ‎ ‎ ‎ 一山坡的坡度i＝‎1:3‎，小刚从山坡脚下点P处上坡走了‎50‎‎10‎米到达点N处，那么他上升的高度是________米． ‎ ‎ ‎ ‎ 在‎△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AB＝‎6‎，AC＝‎4‎，BC＝‎5‎，AD＝‎2‎，AE＝‎3‎，那么DE的长是________． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在Rt△ABC中，‎∠C＝‎90‎‎∘‎，AC＝‎2‎，BC＝‎1‎，正方形DEFG内接于‎△ABC，点G、F分别在边AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长是________． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在‎△ABC中，点D在边BC上，AD⊥AC，‎∠BAD＝‎∠C，BD＝‎2‎，CD＝‎6‎，那么tanC＝________． ‎ ‎ ‎ ‎ 我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，其中‎△ABC的中线BD、CE互相垂直于点G，如果BD＝‎9‎，CE＝‎12‎，那么D、E两点间的距离是________． ‎ ‎ ‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎ 如图，在矩形ABCD中，AB＝‎3‎，AD＝‎4‎，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A‎′‎BC‎′‎D‎′‎，点A的对应点A‎′‎在对角线AC上，点C、D分别与点C‎′‎、D‎′‎对应，A′‎D‎′‎与边BC交于点E，那么BE的长是________． ‎ 三、解答题 ‎ ‎ ‎ 已知：a:b:c＝‎2:3:5‎ ‎ ‎（1）求代数式‎3a−b+c‎2a+3b−c的值；‎ ‎ ‎ ‎（2）如果‎3a−b+c＝‎24‎，求a，b，c的值．‎ ‎ ‎ ‎ 已知二次函数y＝ax‎2‎+bx+c(a≠0)‎自变量x的值和它对应的函数值y如表所示： ‎ x ‎…‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎−1‎ ‎0‎ m ‎…‎ ‎ ‎ ‎（1）请写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；‎ ‎ ‎ ‎（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为‎4‎，求‎△ABC的面积．‎ ‎ ‎ ‎ 如图，一艘游艇在离开码头A处后，沿南偏西‎60‎‎∘‎方向行驶到达B处，此时从B处发现灯塔C在游轮的东北方向，已知灯塔C在码头A的正西方向‎200‎米处，求此时游轮与灯塔C的距离（精确到‎1‎米）． （参考数据：‎2‎‎=1.414‎，‎3‎‎=1.732‎，‎6‎‎=2.449‎） ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在‎△ABC中，AD、BE是‎△ABC的角平分线，BE＝CE，AB＝‎2‎，AC＝‎3‎． ‎ ‎（1）设AB‎→‎‎=‎a‎→‎，BC‎→‎‎=‎b‎→‎，求向量BE‎→‎（用向量a‎→‎、b‎→‎表示）‎ ‎ ‎ ‎（2）将‎△ABC沿直线AD翻折后，点B在边AC上的点F重合，联结DF，求S‎△CDF‎:‎S‎△CEB的值．‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在‎△ABC中，点D，E，F，G分别在AB、AC、BC上，AB＝‎3AD，CE＝‎2AE，BF＝FG＝CG，DG与EF交于点H． ‎ ‎（1）求证：FH⋅AC＝HG⋅AB；‎ ‎ ‎ ‎（2）联结DF，EG，求证：‎∠A＝‎∠FDG+∠GEF．‎ ‎ ‎ ‎ 如图，将抛物线y=−‎4‎‎3‎x‎2‎+4‎平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C，新抛物线与x轴正半轴交于点B，联结BC，tanB＝‎4‎，设新抛物线与x轴的另一交点是A，新抛物线的顶点是D． ‎ ‎（1）求点D的坐标；‎ ‎ ‎ ‎（2）设点E在新抛物线上，联结AC、DC，如果CE平分‎∠DCA，求点E的坐标．‎ ‎ ‎ ‎（3）在（2）的条件下，将抛物线y=−‎4‎‎3‎x‎2‎+4‎沿x轴左右平移，点C的对应点为F，当‎△DEF和‎△ABC相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．‎ ‎ ‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎ 如图，在‎△ABC中，AB＝AC＝‎5‎，BC＝‎6‎，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，‎∠CDE＝‎∠A，‎∠GBE＝‎∠ABC，DE与边BC交于点F． ‎ ‎（1）求cosA的值；‎ ‎ ‎ ‎（2）当‎∠A＝‎2∠ACD时，求AD的长；‎ ‎ ‎ ‎（3）点D在边AB上运动的过程中，AD:BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD:BE的值；如果变化，请说明理由．‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 参考答案与试题解析 ‎2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷 一、选择题 ‎1.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 二次函数的性质 二次函数的最值 抛物线与x轴的交点 ‎【解析】‎ 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】‎ 该函数图象在x轴下方，故选项C正确（1）该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误（2）故选：C．‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 平行线分线段成比例 ‎【解析】‎ 根据平行线分线段成比例定理判断即可．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ AB // CD // FF，AC＝‎2‎，AE＝‎5‎，BD＝‎1.5‎， ∴ ACCE‎=‎BDDF， 即‎2‎‎5−2‎‎=‎‎1.5‎DF， 解得：DF=‎‎9‎‎4‎， ∴ BF＝BD+DF=‎9‎‎4‎+‎3‎‎2‎=‎‎15‎‎4‎，‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 比例线段 黄金分割 ‎【解析】‎ 根据黄金分割定义即可求解．‎ ‎【解答】‎ 设AB为‎1‎，AP为x，则BP为‎1−x， ∵ AP‎2‎＝BP⋅AB， ∴ x‎2‎＝‎(1−x)×1‎ 解得x‎1‎‎=‎‎5‎‎−1‎‎2‎，x‎2‎‎=‎‎−1−‎‎5‎‎2‎（舍去）． ∴ AP:AB=‎‎5‎‎−1‎‎2‎．‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 锐角三角函数的定义 ‎【解析】‎ 根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义解决问题即可．‎ ‎【解答】‎ 如图，∵ ‎∠B＝‎90‎‎∘‎，BC＝‎3‎，AC＝‎5‎， ∴ AB=AC‎2‎−BC‎2‎=‎5‎‎2‎‎−‎‎3‎‎2‎=4‎， ∴ cosA=ABAC=‎‎4‎‎5‎，‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 ‎【解析】‎ 已知直角三角形的一个锐角和直角边求斜边，运用三角函数定义解答．‎ ‎【解答】‎ 根据题意，此时小李离着落点A的距离是‎200‎sin60‎‎=‎‎400‎‎3‎‎3‎，‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 命题与定理 ‎【解析】‎ 根据相似三角形的判定定理对各小题分析判断即可判断．‎ ‎【解答】‎ A‎、凡有内角为‎30‎‎∘‎的直角三角形都相似，所以A选项的命题为真命题； B、凡有内角为‎45‎‎∘‎的等腰三角形不一定相似，所以B选项的命题为假命题； C、凡有内角为‎60‎‎∘‎的直角三角形都相似所以C选项的命题为真命题； D、凡有内角为‎90‎‎∘‎的等腰三角形都相似，所以D选项的命题为真命题．‎ 二、填空题 ‎【答案】‎ ‎0‎ ‎【考点】‎ 特殊角的三角函数值 ‎【解析】‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 直接利用特殊角的三角函数值进而化简得出答案．‎ ‎【解答】‎ 原式＝‎2×‎3‎‎2‎−‎3‎×1‎ ‎=‎3‎−‎‎3‎ ＝‎0‎．‎ ‎【答案】‎ ‎6‎ ‎【考点】‎ 比例线段 ‎【解析】‎ 根据比例中项的定义得到a:b＝b:c，然后利用比例性质计算即可．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 线段a和c的比例中项为b， ∴ a:b＝b:c， 即‎4:b＝b:9‎， ∴ b＝‎±6‎（负值舍去）．‎ ‎【答案】‎ ‎3‎‎:2‎ ‎【考点】‎ 相似三角形的性质 ‎【解析】‎ 根据相似三角形对应高的比等于相似比解答．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 两个相似三角形的对应高比是‎3‎‎:2‎， ∴ 它们的相似比是‎3‎‎:2‎，‎ ‎【答案】‎ ‎1.6‎ ‎【考点】‎ 相似图形 ‎【解析】‎ 相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 四边形ABCD∽‎四边形A‎′‎B‎′‎C‎′‎D‎′‎， ∴ CD:C′D′‎＝BC:B′C′‎， ∵ BC＝‎3‎，CD＝‎2.4‎，B‎′‎C′‎＝‎2‎， ∴ C′D′‎＝‎1.6‎，‎ ‎【答案】‎ 增大 ‎【考点】‎ 二次函数的性质 ‎【解析】‎ 由二次函数解析式可求得其对称轴，结合二次函数的增减性可求得答案．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ y＝‎2(x+2‎‎)‎‎2‎， ∴ 抛物线开口向上，且对称轴为x＝‎−2‎， ∴ 在对称轴右侧y随x的增大而增大， ∴ 当x>−2‎时，y随x的增大而增大，‎ ‎【答案】‎ ‎28‎ ‎【考点】‎ 相似三角形的应用 平行投影 ‎【解析】‎ 根据成比例关系可知，旗杆高比上旗杆的影长等于铁塔的高比上铁塔的影长，代入数据即可得出答案．‎ ‎【解答】‎ 设铁塔高度为x，有‎12‎‎9‎‎=‎x‎21‎， 解得：x＝‎28‎， 答：铁塔的高是‎28‎米， 故答案为：‎28‎．‎ ‎【答案】‎ ‎50‎ ‎【考点】‎ 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 ‎【解析】‎ 设坡面的铅直高度为x米，根据坡度的概念用x表示出坡面的水平宽度，根据勾股定理计算即可．‎ ‎【解答】‎ 设坡面的铅直高度为x米， ∵ 山坡的坡度i＝‎1:3‎， ∴ 坡面的水平宽度为‎3x米， 由勾股定理得，‎(3x‎)‎‎2‎+‎x‎2‎＝‎(50‎‎10‎‎)‎‎2‎， 解得，x＝‎50‎， 则他上升的高度是‎50‎米，‎ ‎【答案】‎ ‎5‎‎2‎ ‎【考点】‎ 相似三角形的性质与判定 ‎【解析】‎ 通过证明‎△AED∽△ABC，可得DEBC‎=ADAC=‎‎1‎‎2‎，即可求解．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ ADAC‎=‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎2‎，AEAB‎=‎3‎‎6‎=‎‎1‎‎2‎， ∴ ADAC‎=‎AEAB，且‎∠DAE＝‎∠BAC， ∴ ‎△AED∽△ABC， ∴ DEBC‎=ADAC=‎‎1‎‎2‎， ∴ DE=‎1‎‎2‎BC=‎‎5‎‎2‎，‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎【答案】‎ ‎2‎‎5‎‎7‎ ‎【考点】‎ 相似三角形的性质与判定 正方形的性质 ‎【解析】‎ 作CM⊥AB于M，交GF于N，由勾股定理得出AB=‎2‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎5‎，由面积法求出CM=AC×BCAB=‎‎2‎‎5‎‎5‎，证明‎△CGF∽△CAB，得出CNCM‎=‎GFAB，即可得出答案．‎ ‎【解答】‎ 故答案为：‎2‎‎5‎‎7‎． ‎ ‎【答案】‎ ‎1‎‎2‎ ‎【考点】‎ 解直角三角形 相似三角形的性质与判定 ‎【解析】‎ 证明‎△ABD∽△CBA，得出ADAC‎=ABBC=‎BDAB，求出AB＝‎4‎，由三角函数定义即可得出答案．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ BD＝‎2‎，CD＝‎6‎， ∴ BC＝BD+CD＝‎8‎， ∵ ‎∠B＝‎∠B，‎∠BAD＝‎∠C， ∴ ‎△ABD∽△CBA， ∴ ADAC‎=ABBC=‎BDAB， ∴ AB‎2‎＝BD×BC＝‎2×8‎＝‎16‎， ∴ AB＝‎4‎， ∵ AD⊥AC， ∴ tanC=ADAC=ABBC=‎4‎‎8‎=‎‎1‎‎2‎；‎ ‎【答案】‎ ‎5‎ ‎【考点】‎ 三角形中位线定理 相似三角形的性质与判定 ‎【解析】‎ 连接DE，设BD、CE交于点P，证明DE是‎△ABC的中位线，得出DE=‎1‎‎2‎BC，DE // BC，证明‎△PDE∽△PBC，得出PDPB‎=PEPC=DEBC=‎‎1‎‎2‎，求出PC＝‎8‎，PE＝‎6‎，由勾股定理得出BC=PC‎2‎+PB‎2‎=10‎，即可得出答案．‎ ‎【解答】‎ 故答案为：‎5‎． ‎ ‎【答案】‎ ‎25‎‎8‎ ‎【考点】‎ 旋转的性质 矩形的性质 相似三角形的性质 ‎【解析】‎ 如图，过点B作BF⊥AC，过点E作EH⊥AC，由勾股定理可求AC＝‎5‎，由面积法可求BF=‎‎12‎‎5‎，由勾股定理可求AF=‎‎9‎‎5‎，由旋转的性质可得AB＝BA‎′‎，‎∠BAD＝‎∠BA‎′‎D‎′‎＝‎90‎‎∘‎，可求AA‎′‎=‎‎7‎‎5‎，由等腰三角形的性质可求HC的长，通过证明‎△EHC∽△ABC，可得BCAC‎=‎HCEC，可求EC的长，即可求解．‎ ‎【解答】‎ 如图，过点B作BF⊥AC，过点E作EH⊥AC， ∵ AB＝‎3‎，AD＝‎4‎，‎∠ABC＝‎90‎‎∘‎， ∴ AC=AB‎​‎‎2‎+BC‎​‎‎2‎=‎9+16‎=5‎， ∵ S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎AB×BC=‎1‎‎2‎AC×BF， ∴ ‎3×4‎＝‎5BF， ∴ BF=‎‎12‎‎5‎ ∴ AF=AB‎​‎‎2‎−BF‎​‎‎2‎=‎9−‎‎144‎‎25‎=‎‎9‎‎5‎， ∵ 将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A‎′‎BC‎′‎D‎′‎， ∴ AB＝BA‎′‎，‎‎∠BAD 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎＝‎∠BA‎′‎D‎′‎＝‎90‎‎∘‎，且BF⊥AC， ∴ ‎∠BAC＝‎∠BA‎′‎A，AF＝A‎′‎F=‎‎9‎‎5‎，‎∠BA‎′‎A+∠EA‎′‎C＝‎90‎‎∘‎， ∴ A‎′‎C＝AC−AA‎′‎=‎‎7‎‎5‎， ∵ ‎∠BA‎′‎A+∠EA‎′‎C＝‎90‎‎∘‎，‎∠BAA‎′‎+∠ACB＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠ACB＝‎∠EA‎′‎C， ∴ A‎′‎E＝EC，且EH⊥AC， ∴ A‎′‎H＝HC=‎1‎‎2‎A‎′‎C=‎‎7‎‎10‎， ∵ ‎∠ACB＝‎∠ECH，‎∠ABC＝‎∠EHC＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎△EHC∽△ABC， ∴ BCAC‎=‎HCEC ∴ ‎4‎‎5‎‎=‎‎7‎‎10‎EC ∴ EC=‎‎7‎‎8‎， ∴ BE＝BC−EC＝‎4−‎7‎‎8‎=‎‎25‎‎8‎，‎ 三、解答题 ‎【答案】‎ ‎∵ a:b:c＝‎2:3:5‎， ∴ 设a＝‎2k，b＝‎3k，c＝‎5k(k≠0)‎， 则‎3a−b+c‎2a+3b−c‎=‎6k−3k+5k‎4k+9k−5k=1‎；‎ 设a＝‎2k，b＝‎3k，c＝‎5k(k≠0)‎，则 ‎6k−3k+5k＝‎24‎， 解得k＝‎3‎． 则a＝‎2k＝‎6‎， b＝‎3k＝‎9‎， c＝‎5k＝‎15‎．‎ ‎【考点】‎ 比例的性质 ‎【解析】‎ ‎（1）根据比例设a＝‎2k，b＝‎3k，c＝‎5k(k≠0)‎，然后代入比例式进行计算即可得解； （2）先设a＝‎2k，b＝‎3k，c＝‎5k(k≠0)‎，然后将其代入‎3a−b+c＝‎24‎，即可求得a、b、c的值．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ a:b:c＝‎2:3:5‎， ∴ 设a＝‎2k，b＝‎3k，c＝‎5k(k≠0)‎， 则‎3a−b+c‎2a+3b−c‎=‎6k−3k+5k‎4k+9k−5k=1‎；‎ 设a＝‎2k，b＝‎3k，c＝‎5k(k≠0)‎，则 ‎6k−3k+5k＝‎24‎， 解得k＝‎3‎． 则a＝‎2k＝‎6‎， b＝‎3k＝‎9‎， c＝‎5k＝‎15‎．‎ ‎【答案】‎ 由表格可知， 该函数有最小值，当x＝‎2‎时，y＝‎−1‎，当x＝‎4‎和x＝‎0‎时的函数值相等，则m＝‎3‎， 即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x＝‎2‎，顶点坐标为‎(2, −1)‎，m的值是‎3‎；‎ 由题意可得， 点B的坐标为‎(1, 0)‎，点A的坐标为‎(2, −1)‎，点C的坐标为‎(4, 3)‎， 设直线AC的函数解析式为y＝kx+b， ‎2k+b=−1‎‎4k+b=3‎‎ ‎，得k=2‎b=−5‎‎ ‎， 所以直线AC的函数解析式为y＝‎2x−5‎， 当y＝‎0‎时，‎0‎＝‎2x−5‎，得x＝‎2.5‎， 则直线AC与x轴的交点为‎(2.5, 0)‎， 故‎△ABC的面积是：‎(2.5−1)×3‎‎2‎‎+‎(2.5−1)×|−1|‎‎2‎=3‎．‎ ‎【考点】‎ 二次函数的性质 二次函数图象上点的坐标特征 抛物线与x轴的交点 ‎【解析】‎ ‎（1）根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值； （2）根据表格中的数据和题意，可以写出点B、点A和点C的坐标，再求出直线AC和x轴的交点，即可得到‎△ABC的面积．‎ ‎【解答】‎ 由表格可知， 该函数有最小值，当x＝‎2‎时，y＝‎−1‎，当x＝‎4‎和x＝‎0‎时的函数值相等，则m＝‎3‎， 即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x＝‎2‎，顶点坐标为‎(2, −1)‎，m的值是‎3‎；‎ 由题意可得， 点B的坐标为‎(1, 0)‎，点A的坐标为‎(2, −1)‎，点C的坐标为‎(4, 3)‎， 设直线AC的函数解析式为y＝kx+b， ‎2k+b=−1‎‎4k+b=3‎‎ ‎，得k=2‎b=−5‎‎ ‎， 所以直线AC的函数解析式为y＝‎2x−5‎， 当y＝‎0‎时，‎0‎＝‎2x−5‎，得x＝‎2.5‎， 则直线AC与x轴的交点为‎(2.5, 0)‎， 故‎△ABC的面积是：‎(2.5−1)×3‎‎2‎‎+‎(2.5−1)×|−1|‎‎2‎=3‎．‎ ‎【答案】‎ 此时游轮与灯塔C的距离为‎386‎米． ‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎【考点】‎ 解直角三角形的应用-方向角问题 ‎【解析】‎ 过B作BD⊥AC于D，解直角三角形即可得到结论．‎ ‎【解答】‎ 过B作BD⊥AC于D， 在Rt△BCD中，∵ ‎∠D＝‎90‎‎∘‎，‎∠DBC＝‎45‎‎∘‎， ∴ ‎∠DBC＝‎∠DCB＝‎45‎‎∘‎， ∴ BD＝CD， 在Rt△ABD中，∵ ‎∠DAB＝‎30‎‎∘‎， ∴ AD=‎3‎BD， ∵ AC＝‎200‎， ∴ ‎3‎BD−BD＝‎200‎， ∴ BD=‎200‎‎3‎‎−1‎=100(‎3‎+1)‎， ∴ BC=‎2‎BD＝‎100(‎3‎+1)×‎2‎≈386‎米，‎ ‎【答案】‎ ‎∵ EB＝EC， ∴ ‎∠EBC＝‎∠C， ∵ BE平分‎∠ABC， ∴ ‎∠ABE＝‎∠EBC， ∴ ‎∠ABE＝‎∠C， ∵ ‎∠BAE＝‎∠CAB， ∴ ‎△BAE∽△CAB， ∴ AB‎2‎＝AE⋅AC， ∴ AE=‎‎4‎‎3‎， ∴ AE=‎4‎‎9‎AC， ∵ AC‎→‎‎=AB‎→‎+‎BC‎→‎， ∴ AC‎→‎‎=a‎→‎+‎b‎→‎， ∴ AE‎→‎‎=‎4‎‎9‎a‎→‎+‎‎4‎‎9‎b‎→‎， ∴ BE‎→‎‎=BA‎→‎+AE‎→‎=−a‎→‎+‎4‎‎9‎a‎→‎+‎4‎‎9‎b‎→‎=‎4‎‎9‎b‎→‎−‎‎5‎‎9‎a‎→‎．‎ ‎∵ AD平分‎∠BAC， ∴ ABAC‎=BDDC=‎‎2‎‎3‎， 由翻折可知：‎∠ABC＝‎∠AFD， ∵ ‎∠ABC＝‎2∠C， ∴ ‎∠AFD＝‎2∠C， ∵ ‎∠AFD＝‎∠FDC+∠C， ∴ ‎∠FDC＝‎∠C， ∵ ‎∠EBC＝‎∠C， ∴ ‎∠FDC＝‎∠EBC， ∴ DF // BE， ∴ ‎△CFD∽△CEB， ∴ S‎△CFDS‎△CEB‎=(CDCB‎)‎‎2‎=‎‎9‎‎25‎． ‎ ‎【考点】‎ ‎*平面向量 角平分线的性质 翻折变换（折叠问题）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）利用相似三角形的性质求出AE，求出AE‎→‎，利用三角形法则即可解决问题． （2）证明DF // BE，利用相似三角形的性质即可解决问题．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ EB＝EC， ∴ ‎∠EBC＝‎∠C， ∵ BE平分‎∠ABC， ∴ ‎∠ABE＝‎∠EBC， ∴ ‎∠ABE＝‎∠C， ∵ ‎∠BAE＝‎∠CAB， ∴ ‎△BAE∽△CAB， ∴ AB‎2‎＝AE⋅AC， ∴ AE=‎‎4‎‎3‎， ∴ AE=‎4‎‎9‎AC， ∵ AC‎→‎‎=AB‎→‎+‎BC‎→‎， ∴ AC‎→‎‎=a‎→‎+‎b‎→‎， ∴ AE‎→‎‎=‎4‎‎9‎a‎→‎+‎‎4‎‎9‎b‎→‎， ∴ BE‎→‎‎=BA‎→‎+AE‎→‎=−a‎→‎+‎4‎‎9‎a‎→‎+‎4‎‎9‎b‎→‎=‎4‎‎9‎b‎→‎−‎‎5‎‎9‎a‎→‎．‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎∵ AD平分‎∠BAC， ∴ ABAC‎=BDDC=‎‎2‎‎3‎， 由翻折可知：‎∠ABC＝‎∠AFD， ∵ ‎∠ABC＝‎2∠C， ∴ ‎∠AFD＝‎2∠C， ∵ ‎∠AFD＝‎∠FDC+∠C， ∴ ‎∠FDC＝‎∠C， ∵ ‎∠EBC＝‎∠C， ∴ ‎∠FDC＝‎∠EBC， ∴ DF // BE， ∴ ‎△CFD∽△CEB， ∴ S‎△CFDS‎△CEB‎=(CDCB‎)‎‎2‎=‎‎9‎‎25‎． ‎ ‎【答案】‎ ‎（2）‎ ‎【考点】‎ 相似三角形的性质与判定 ‎【解析】‎ ‎（1）根据已知条件可得‎△BGD∽△BCA，‎△CEF∽△CAB，进而可得‎∠HFG＝‎∠B，‎∠HGF＝‎∠C，可推出‎△HGF∽△ACB，即可得结论； （2）连接DE，可证明DE // BC且DE＝FG，可得四边形DEGF是平行四边形，即可得结论．‎ ‎【解答】‎ ‎（2）‎ ‎【答案】‎ ‎∵ 抛物线y=−‎4‎‎3‎x‎2‎+4‎的顶点为C， ∴ 点C(0, 4)‎ ∴ OC＝‎4‎， ∵ tanB＝‎4=‎OCOB， ∴ OB＝‎1‎， ∴ 点B(1, 0)‎ 设点D坐标‎(a, b)‎ ∴ 新抛物线解析式为：y=−‎4‎‎3‎(x−a‎)‎‎2‎+b，且过点C(0, 4)‎，点B(1, 0)‎ ∴ ‎0=−‎4‎‎3‎(1−a)‎​‎‎2‎+b‎4=−‎4‎‎3‎a‎​‎‎2‎+b‎ ‎ 解得：a=−1‎b=‎‎16‎‎3‎‎ ‎ ∴ 点D坐标‎(−1, ‎16‎‎3‎)‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 如图‎1‎，过点D作DH⊥OC， ∵ 点D坐标‎(−1, ‎16‎‎3‎)‎ ∴ 新抛物线解析式为：y=−‎4‎‎3‎(x+1‎)‎‎2‎+‎‎16‎‎3‎， 当y＝‎0‎时，‎0=−‎4‎‎3‎(x+1‎)‎‎2‎+‎‎16‎‎3‎， ∴ x‎1‎＝‎−3‎，x‎2‎＝‎1‎， ∴ 点A(−3, 0)‎， ∴ AO＝‎3‎， ∴ AOCO‎=‎‎3‎‎4‎， ∵ 点D坐标‎(−1, ‎16‎‎3‎)‎ ∴ DH＝‎1‎，HO=‎‎16‎‎3‎， ∴ CH＝OH−OC=‎‎4‎‎3‎， ∴ DHCH‎=‎‎3‎‎4‎， ∴ AOCO‎=‎DHCH，且‎∠AOC＝‎∠DHC＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎△AOC∽△CHD， ∴ ‎∠ACO＝‎∠DCH， ∵ CE平分‎∠ACD， ∴ ‎∠ACE＝‎∠DCE， ∴ ‎∠ACO+∠ACE＝‎∠DCH+∠DCE，且‎∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE＝‎180‎‎∘‎ ∴ ‎∠ECO＝‎∠ECH＝‎90‎‎∘‎＝‎∠AOB， ∴ EC // AO， ∴ 点E纵坐标为‎4‎， ∴ ‎4=−‎4‎‎3‎(x+1‎)‎‎2‎+‎‎16‎‎3‎， ∴ x‎1‎＝‎−2‎，x‎2‎＝‎0‎， ∴ 点E(−2, 4)‎，‎ 如图‎2‎， ∵ 点E(−2, 4)‎，点C(0, 4)‎，点A(−3, 0)‎，点B(1, 0)‎，点D坐标‎(−1, ‎16‎‎3‎)‎ ∴ DE＝DC=‎‎5‎‎3‎，AC=AO‎​‎‎2‎+CO‎​‎‎2‎=‎16+9‎=5‎，AB＝‎3+1‎＝‎4‎， ∴ ‎∠DEC＝‎∠DCE， ∵ EC // AB， ∴ ‎∠ECA＝‎∠CAB， ∴ ‎∠DEC＝‎∠CAB， ∵ ‎△DEF和‎△ABC相似 ∴ DEAC‎=‎EFAB或DEAB‎=‎EFAC， ∴ ‎5‎‎3‎‎5‎‎=‎EF‎4‎或‎5‎‎3‎‎4‎‎=‎EF‎5‎ ∴ EF=‎‎4‎‎3‎或‎25‎‎12‎ ∴ 点F(−‎2‎‎3‎, 4)‎或‎(‎1‎‎12‎, 4)‎ 设平移后解析式为：y=−‎4‎‎3‎(x+1−c‎)‎‎2‎+4‎， ∴ ‎4=−‎4‎‎3‎(−‎2‎‎3‎+1−c‎)‎‎2‎+4‎或‎4=−‎4‎‎3‎(‎1‎‎12‎+1−c‎)‎‎2‎+4‎， ∴ c‎1‎‎=‎‎1‎‎3‎，c‎2‎‎=‎‎13‎‎12‎ ∴ 平移后解析式为：y=−‎4‎‎3‎(x+‎2‎‎3‎‎)‎‎2‎+4‎或y=−‎4‎‎3‎(x−‎1‎‎12‎‎)‎‎2‎+4‎，‎ ‎【考点】‎ 二次函数综合题 ‎【解析】‎ ‎（1）设点D坐标‎(a, b)‎，可得新抛物线解析式为：y=−‎4‎‎3‎(x−a‎)‎‎2‎+b，先求出点C，点B坐标，代入解析式可求解； （2）通过证明‎△AOC∽△CHD，可得‎∠ACO＝‎∠DCH，可证EC // AO，可得点E纵坐标为‎4‎，即可求点E坐标； （3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求点F坐标，即可求平移后得到抛物线的表达式．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 抛物线y=−‎4‎‎3‎x‎2‎+4‎的顶点为C， ∴ 点C(0, 4)‎ ∴ OC＝‎4‎， ∵ tanB＝‎4=‎OCOB， ∴ OB＝‎1‎， ∴ 点B(1, 0)‎ 设点D坐标‎(a, b)‎ ∴ 新抛物线解析式为：y=−‎4‎‎3‎(x−a‎)‎‎2‎+b，且过点C(0, 4)‎，点B(1, 0)‎ ∴ ‎0=−‎4‎‎3‎(1−a)‎​‎‎2‎+b‎4=−‎4‎‎3‎a‎​‎‎2‎+b‎ ‎ 解得：a=−1‎b=‎‎16‎‎3‎‎ ‎ ∴ 点D坐标‎(−1, ‎16‎‎3‎)‎ 如图‎1‎，过点D作DH⊥OC， ∵ 点D坐标‎(−1, ‎16‎‎3‎)‎ ∴ 新抛物线解析式为：y=−‎4‎‎3‎(x+1‎)‎‎2‎+‎‎16‎‎3‎， 当y＝‎0‎时，‎0=−‎4‎‎3‎(x+1‎)‎‎2‎+‎‎16‎‎3‎， ∴ x‎1‎＝‎−3‎，x‎2‎＝‎1‎， ∴ 点A(−3, 0)‎， ∴ AO＝‎3‎， ∴ AOCO‎=‎‎3‎‎4‎， ∵ 点D坐标‎(−1, ‎16‎‎3‎)‎ ∴ DH＝‎1‎，HO=‎‎16‎‎3‎， ∴ CH＝OH−OC=‎‎4‎‎3‎， ∴ DHCH‎=‎‎3‎‎4‎， ∴ AOCO‎=‎DHCH，且‎∠AOC＝‎∠DHC＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎△AOC∽△CHD， ∴ ‎∠ACO＝‎∠DCH， ∵ ‎CE 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 平分‎∠ACD， ∴ ‎∠ACE＝‎∠DCE， ∴ ‎∠ACO+∠ACE＝‎∠DCH+∠DCE，且‎∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE＝‎180‎‎∘‎ ∴ ‎∠ECO＝‎∠ECH＝‎90‎‎∘‎＝‎∠AOB， ∴ EC // AO， ∴ 点E纵坐标为‎4‎， ∴ ‎4=−‎4‎‎3‎(x+1‎)‎‎2‎+‎‎16‎‎3‎， ∴ x‎1‎＝‎−2‎，x‎2‎＝‎0‎， ∴ 点E(−2, 4)‎，‎ 如图‎2‎， ∵ 点E(−2, 4)‎，点C(0, 4)‎，点A(−3, 0)‎，点B(1, 0)‎，点D坐标‎(−1, ‎16‎‎3‎)‎ ∴ DE＝DC=‎‎5‎‎3‎，AC=AO‎​‎‎2‎+CO‎​‎‎2‎=‎16+9‎=5‎，AB＝‎3+1‎＝‎4‎， ∴ ‎∠DEC＝‎∠DCE， ∵ EC // AB， ∴ ‎∠ECA＝‎∠CAB， ∴ ‎∠DEC＝‎∠CAB， ∵ ‎△DEF和‎△ABC相似 ∴ DEAC‎=‎EFAB或DEAB‎=‎EFAC， ∴ ‎5‎‎3‎‎5‎‎=‎EF‎4‎或‎5‎‎3‎‎4‎‎=‎EF‎5‎ ∴ EF=‎‎4‎‎3‎或‎25‎‎12‎ ∴ 点F(−‎2‎‎3‎, 4)‎或‎(‎1‎‎12‎, 4)‎ 设平移后解析式为：y=−‎4‎‎3‎(x+1−c‎)‎‎2‎+4‎， ∴ ‎4=−‎4‎‎3‎(−‎2‎‎3‎+1−c‎)‎‎2‎+4‎或‎4=−‎4‎‎3‎(‎1‎‎12‎+1−c‎)‎‎2‎+4‎， ∴ c‎1‎‎=‎‎1‎‎3‎，c‎2‎‎=‎‎13‎‎12‎ ∴ 平移后解析式为：y=−‎4‎‎3‎(x+‎2‎‎3‎‎)‎‎2‎+4‎或y=−‎4‎‎3‎(x−‎1‎‎12‎‎)‎‎2‎+4‎，‎ ‎【答案】‎ 作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M． ∵ AB＝AC，AH⊥BC， ∴ BH＝CH＝‎3‎， ∴ AH=AB‎2‎−BH‎2‎=‎5‎‎2‎‎−‎‎3‎‎2‎=4‎， ∵ S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎⋅BC⋅AH=‎1‎‎2‎⋅AC⋅BM， ∴ BM=BC⋅AHAC=‎‎24‎‎5‎， ∴ AM=AB‎2‎−BM‎2‎=‎5‎‎2‎‎−(‎‎24‎‎5‎‎)‎‎2‎=‎‎7‎‎5‎， ∴ cosA=AMAB=‎‎7‎‎25‎．‎ 设AH交CD于K． ∵ ‎∠BAC＝‎2∠ACD，‎∠BAH＝‎∠CAH， ∴ ‎∠CAK＝‎∠ACK， ∴ CK＝AK，设CK＝AK＝x， 在Rt△CKH中，则有x‎2‎＝‎(4−x‎)‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎， 解得x=‎‎25‎‎8‎， ∴ AK＝CK=‎‎25‎‎8‎， ∵ ‎∠ADK＝‎∠ADC，‎∠DAK＝‎∠ACD， ∴ ‎△ADK∽△CDA， ∴ ADCD‎=AKAC=DKAD=‎25‎‎8‎‎5‎=‎‎5‎‎8‎，设AD＝m，DK＝n， 则有mn+‎‎25‎‎8‎‎=‎‎5‎‎8‎m‎2‎‎=n(n+‎25‎‎8‎)‎‎ ‎，解得m=‎‎125‎‎39‎，n=‎‎625‎‎312‎． ∴ AD=‎‎125‎‎39‎．‎ 结论：AD:BE＝‎5:6‎值不变． 理由：∵ ‎∠GBE＝‎∠ABC，‎∠BAC+2∠ABC＝‎180‎‎∘‎，‎∠GBE+∠EBC+∠ABC＝‎180‎‎∘‎， ∴ ‎∠EBC＝‎∠BAC， ∵ ‎∠EDC＝‎∠BAC， ∴ ‎∠EBC＝‎∠EDC， ∴ D，B，E，C四点共圆， ∴ ‎∠EDB＝‎∠ECB， ∵ ‎∠EDB+∠EDC＝‎∠ACD+∠DAC，‎∠EDC＝‎∠DAC， ∴ ‎∠EDB＝‎∠ACD， ∴ ‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎∠ECB‎＝‎∠ACD， ∴ ‎△ACD∽△BCE， ∴ ADBE‎=ACBC=‎‎5‎‎6‎． ‎ ‎【考点】‎ 三角形综合题 ‎【解析】‎ ‎（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．解直角三角形求出BM，AM即可解决问题． （2）设AH交CD于K．首先证明AK＝CK，设AK＝CK＝x，在Rt△CHK中，理由勾股定理求出x，再证明‎△ADK∽△CDA，理由相似三角形的性质构建方程组即可解决问题． （3）结论：AD:BE＝‎5:6‎值不变．证明‎△ACD∽△BCE，可得ADBE‎=ACBC=‎‎5‎‎6‎．‎ ‎【解答】‎ 作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M． ∵ AB＝AC，AH⊥BC， ∴ BH＝CH＝‎3‎， ∴ AH=AB‎2‎−BH‎2‎=‎5‎‎2‎‎−‎‎3‎‎2‎=4‎， ∵ S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎⋅BC⋅AH=‎1‎‎2‎⋅AC⋅BM， ∴ BM=BC⋅AHAC=‎‎24‎‎5‎， ∴ AM=AB‎2‎−BM‎2‎=‎5‎‎2‎‎−(‎‎24‎‎5‎‎)‎‎2‎=‎‎7‎‎5‎， ∴ cosA=AMAB=‎‎7‎‎25‎．‎ 设AH交CD于K． ∵ ‎∠BAC＝‎2∠ACD，‎∠BAH＝‎∠CAH， ∴ ‎∠CAK＝‎∠ACK， ∴ CK＝AK，设CK＝AK＝x， 在Rt△CKH中，则有x‎2‎＝‎(4−x‎)‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎， 解得x=‎‎25‎‎8‎， ∴ AK＝CK=‎‎25‎‎8‎， ∵ ‎∠ADK＝‎∠ADC，‎∠DAK＝‎∠ACD， ∴ ‎△ADK∽△CDA， ∴ ADCD‎=AKAC=DKAD=‎25‎‎8‎‎5‎=‎‎5‎‎8‎，设AD＝m，DK＝n， 则有mn+‎‎25‎‎8‎‎=‎‎5‎‎8‎m‎2‎‎=n(n+‎25‎‎8‎)‎‎ ‎，解得m=‎‎125‎‎39‎，n=‎‎625‎‎312‎． ∴ AD=‎‎125‎‎39‎．‎ 结论：AD:BE＝‎5:6‎值不变． 理由：∵ ‎∠GBE＝‎∠ABC，‎∠BAC+2∠ABC＝‎180‎‎∘‎，‎∠GBE+∠EBC+∠ABC＝‎180‎‎∘‎， ∴ ‎∠EBC＝‎∠BAC， ∵ ‎∠EDC＝‎∠BAC， ∴ ‎∠EBC＝‎∠EDC， ∴ D，B，E，C四点共圆， ∴ ‎∠EDB＝‎∠ECB， ∵ ‎∠EDB+∠EDC＝‎∠ACD+∠DAC，‎∠EDC＝‎∠DAC， ∴ ‎∠EDB＝‎∠ACD， ∴ ‎∠ECB＝‎∠ACD， ∴ ‎△ACD∽△BCE， ∴ ADBE‎=ACBC=‎‎5‎‎6‎． ‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页