2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题41 阅读理解、图表信息 12页

阅读理解、图表信息(包括新定义,新运算)‎ 一.选择题 ‎1. （2020•四川省泸州市•3分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（　　）‎ A．10﹣4 B．3﹣5 C． D．20﹣8‎ ‎【分析】作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BH＝CH＝BC＝2，则根据勾股定理可计算出AH＝，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE＝BC＝2﹣2，则计算出HE＝2﹣4，然后根据三角形面积公式计算．‎ ‎【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴BH＝CH＝BC＝2，‎ 在Rt△ABH中，AH＝＝，‎ ‎∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，‎ ‎∴BE＝BC＝2（﹣1）＝2﹣2，‎ ‎∴HE＝BE﹣BH＝2﹣2﹣2＝2﹣4，‎ ‎∴DE＝2HE＝4﹣8‎ ‎∴S△ADE＝×（4﹣8）×＝10﹣4．‎ 故选：A．‎ 12‎ ‎【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．‎ ‎2. （2020•四川省内江市•3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（　　）‎ A．x＝（x﹣5）﹣5 B．x＝（x+5）+5 ‎ C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+5‎ ‎【分析】设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．‎ ‎【解答】解：设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，‎ 依题意，得：x＝（x﹣5）﹣5．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．‎ ‎3. （2020•贵州省黔西南州•12分）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．‎ 根据以上规定，回答问题：‎ 12‎ ‎（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是　B　；‎ A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形 ‎（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：　（1）（3）（5）　（填序号）；‎ ‎（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．‎ 其中真命题的个数有　C　个；‎ A．0‎ B．1‎ C．2‎ D．3‎ ‎（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．‎ 12‎ ‎【分析】（1）根据旋转图形，中心对称图形的定义判断即可．‎ ‎（2）旋转对称图形，且有一个旋转角是60度判断即可．‎ ‎（3）根据旋转图形的定义判断即可．‎ ‎（4）根据要求画出图形即可．‎ ‎【解答】解：（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形，‎ 故选B．‎ ‎（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有（1）（3）（5）．‎ 故答案为（1）（3）（5）．‎ ‎（3）命题中①③正确，‎ 故选C．‎ ‎（4）图形如图所示：‎ ‎【点评】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．‎ ‎4.(2020•山东省潍坊市•3分)若定义一种新运算：a⊕b＝，例如：3⊕1＝3－1＝2；5⊕4＝5+4－6＝3．则函数y＝(x+2)⊕(x－1)的图象大致是(　　)‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 12‎ ‎【分析】根据a⊕b＝，可得当x+2≥2(x－1)时，x≤4，分两种情况：当x≤4时和当x＞4时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵当x+2≥2(x－1)时，x≤4，‎ ‎∴当x≤4时，(x+2)⊕(x－1)＝(x+2)－(x－1)＝x+2－x+1＝3，即y＝3，‎ 当x＞4时，(x+2)⊕(x－1)＝(x+2)+(x－1)－6＝x+2+x－1－6＝2x－5，即y＝2x－5，‎ ‎∴k＝2＞0，∴当x＞4时，y＝2x－5，函数图象向上，y随x的增大而增大，‎ 综上所述，A选项符合题意．故选A．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键．‎ 二.填空题 ‎ ‎1.（2020•江西省•3分）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是 ．‎ ‎【解析】依题意可得，有两个尖头表示，有5个丁头表示，故这个两位数为25‎ ‎2.（2020•山东临沂市•3分）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为　﹣1　．‎ ‎【分析】连接AO交⊙O于B，则线段AB的长度即为点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离，根据勾股定理即可得到结论．‎ ‎【解答】解：连接AO交⊙O于B，‎ 则线段AB的长度即为点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离，‎ ‎∵点A（2，1），‎ ‎∴OA＝＝，‎ ‎∵OB＝1，‎ 12‎ ‎∴AB＝﹣1，‎ 即点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，线段的性质，正确的理解题意是解题的关键．‎ 三.解答题 ‎1.（2020•广东省广州市•3分）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当______时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当_____时，最小．‎ ‎【答案】 (1). 10.0； (2).．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把整理得：，设，利用二次函数性质求出当时有最小值；‎ ‎（2）把整理得：， 设，利用二次函数的性质即可求出当取最小值时的值．‎ ‎【详解】解：（1）整理得：，‎ 设，‎ 由二次函数的性质可知：当时，函数有最小值，‎ 即：当时，的值最小，‎ 故答案为：10.0；‎ ‎（2）整理得：，‎ 设，由二次函数性质可知：‎ 当时，有最小值，‎ 即：当时，的值最小，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，关键是设，整理成二次函数，利用二次函数的性质—何时取最小值来解决即可．‎ 12‎ ‎2. (2020•山东省青岛市•10分)实际问题：‎ 某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？‎ 问题建模：‎ 从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a (1＜a＜n)个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？‎ 模型探究：‎ 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．‎ 探究一：‎ ‎(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？‎ 表①‎ 所取的2个整数 ‎1，2‎ ‎1，3‎ ‎2，3‎ 如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．‎ ‎(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？‎ 表②‎ 所取的2个整数 ‎1，2‎ ‎1，3‎ ‎1，4‎ ‎2，3‎ ‎2，4‎ ‎3，4‎ ‎2个整数之和 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．‎ ‎(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有　 　种不同的结果．‎ ‎(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有　 　种不同的结果．‎ 探究二：‎ 12‎ ‎(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有　 　种不同的结果．‎ ‎(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有　 　种不同的结果．‎ 探究三：‎ 从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有　 　种不同的结果．‎ 归纳结论：‎ 从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1＜a＜n)个整数，这a个整数之和共有　 　种不同的结果．‎ 问题解决：‎ 从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券，共有　476　种不同的优惠金额．‎ 拓展延伸：‎ ‎(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)‎ ‎(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1＜a＜n+1)个整数，这a个整数之和共有　 种不同的结果．‎ ‎【分析】根据整数的总个数n，与任取的a个整数，分别计算这a个整数之和的最大值、最小值，进而得出共有多少种不同结果情况，然后延伸到一般情况．‎ ‎【解答】解：探究一：‎ ‎(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2＝3，最大值为4+5＝9，这2个整数之和共有9－3+1＝7种不同情况；故答案为7；‎ ‎(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2＝3，最大值为n+n－1＝2n－1，这2个整数之和共有2n－1－3+1＝2n－3种不同情况；故答案为2n－3；‎ 探究二：‎ 12‎ ‎(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3＝6，最大值为2+3+4＝9，这3个整数之和共有9－6+1＝4种不同情况；故答案为4；‎ ‎(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3＝6，最大值为n+(n－1)+(n－2)＝3n－3，这3个整数之和共有3n－3－6+1＝3n－8种不同结果，故答案为3n－8；‎ 探究三：‎ 从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和的最小值为1+2+3+4＝10，最大值为n+(n－1)+(n－2)+(n－3)＝4n－6，因此这4个整数之和共有4n－6－10+1＝4n－15种不同结果，‎ 归纳总结：‎ 从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取a个整数，这a个整数之和的最小值为1+2+…+a＝，最大值为n+(n－1)+(n－2)+(n－3)+…+(n－a+1)＝na－，因此这a个整数之和共有na－－+1＝a(n－a)+1种不同结果，‎ 故答案为a(n－a)+1；‎ 问题解决：‎ 将n＝100，a＝5，代入a(n－a)+1得；5×(100－5)+1＝476，故答案为476；‎ 拓展延伸：‎ ‎(1)设从1，2，3，…，36这36个整数中任取a个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果，由上述结论得，a(36－a)+1＝204，解得，a＝7或a＝29；‎ 答：从1，2，3，…，36这36个整数中任取7个整数或取29个整数，能使取出的这些整数之和共有204种不同的结果；‎ ‎(2)根据上述规律，从(n+1)个连续整数中任取a个整数，这a个整数之和共有a(n+1－a)+1，‎ 故答案为a(n+1－a)+1．‎ ‎【点评】本题考查用代数式表示数字的变化规律，确定任取的a个整数之和的最大值和最小值是得出正确答案的关键．‎ ‎3. （2020•四川省遂宁市•9分）阅读以下材料，并解决相应问题：‎ 小明在课外学习时遇到这样一个问题：‎ 定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1.b1.c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2.b2.c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2‎ 12‎ ‎＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．‎ 请思考小明的方法解决下面问题：‎ ‎（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．‎ ‎（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．‎ ‎（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A.B两点，与y轴交于点C，点A.B.C关于原点的对称点分别是A1.B1.C1，试求证：经过点A1.B1.C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．‎ ‎【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；‎ ‎（2）由函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2020即可求出结论；‎ ‎（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．‎ ‎【解答】解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，‎ ‎∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，‎ ‎∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，‎ ‎∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；‎ ‎（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．‎ ‎（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3））＝﹣6，‎ 12‎ ‎∴点C的坐标为（0，﹣6）．‎ 当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，‎ 解得：x1＝1，x2＝﹣3，‎ ‎∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．‎ ‎∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，‎ ‎∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．‎ 设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），‎ 将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，‎ 解得：a＝﹣2，‎ 过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．‎ ‎∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，‎ ‎∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，‎ ‎∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，‎ ‎∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．‎ ‎【点评】本题考查了相反数、二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用“旋转函数”的定义求出a2，b2，c2的值；（2）利用“旋转函数”的定义求出m，n的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式．‎ ‎4.跨学科，新定义，方案 ‎2020年内蒙古通辽市用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．‎ ‎【答案】(1)；(2)，图见解析 ‎【解析】‎ 12‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；‎ ‎（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．‎ 详解】解：（1）=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ 解得：‎ 将解集表示在数轴上如下：‎ ‎【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤 12‎