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  • 2021-11-10 发布

2019年湖南郴州中考数学试题(解析版)

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‎{来源}2019 年郴州市初中学业水平考试数学试卷 ‎{适用范围:3. 九年级}‎ ‎{标题}2019年湖南省郴州市中考数学试卷 考试时间:120分钟 满分:130分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题:本大题共8小题,每小题8分,合计24分. ‎ ‎{题目}1.(2019年郴州T1)如右图,数轴上表示-2 的相反数的点是 A.M ‎ B.N C.P ‎ D.Q ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了有理数与数轴间的关系,由于点M对应的有理数是-2,因此本题选A.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-2-2]数轴}‎ ‎{考点:数轴表示数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2.(2019年郴州T2)如图是我国几家银行的标志,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ‎ ‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了轴对称图形;中心对称图形,根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可解答本题.中国建设银行标志:不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不符合题意;中国农业银行标志:是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;中国银行标志:既是轴对称图形又是中心对称图形,符合题意;中国人民银行标志:是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;因此本题选C.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}‎ ‎{考点:轴对称图形}‎ ‎{考点:中心对称图形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3.(2019年郴州T3)邓小平曾说:“中东有石油,中国有稀土”.稀土是加工制造国防、军工等工业品不可 或缺的原料.据有关统计数据表明:至 2017 年止,我国已探明稀土储量约 4400 万吨,居世界第一位,请用科学记数法表示 44 000 000 为 A.44×106 B. 4.4×107 C. 4.4×108 D. 0.44×109 ‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了科学计数法表示较大的数,将44 000 000用科学记数法表示为:4.4×107.因此本题选B.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}4.(2019年郴州T)下列运算正确的是 ‎ A.(x2)3=x5 B. C.x·x2·x4=x6 D.=‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了同底数幂的乘法以及二次根式的运算,利用相关运算法则进行计算,然后判断即可.(x2)3=x6,所以A错误;,所以B错误;.x·x2·x4=x7,所以C错误;=,所以D正确,因此本题选D.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-16-3]二次根式的加减}‎ ‎{考点:同底数幂的乘法}‎ ‎{考点:幂的乘方}‎ ‎{考点:二次根式的除法法则}‎ ‎{考点:二次根式的加减法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5.(2019年郴州T5)一元二次方程 2 x2 + 3x − 5 = 0 的根的情况为 ‎ A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 ‎ C.只有一个实数根 D.没有实数根 ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式,因为a=2,b=3,c=-5,所以Δ=b2-4ac=32-4×2×(-5)=49>0,所以方程2 x2 + 3x − 5 = 0有两个不相等的实数根,因此本题选B.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-21-2-2]公式法}‎ ‎{考点:根的判别式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}6.(2019年郴州T6)下列采用的调查方式中,合适的是 ‎ A.为了解东江湖的水质情况,采用抽样调查的方式 B.我市某企业为了解所生产的产品的合格率,采用普查的方式 ‎ C.某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查,采用抽样调查的方式 ‎ D.某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况,采用普查的方式 ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了调查方法的选择,调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来,具体问题具体分析.了解东江湖的水质情况时,若进行一次全面的调查,费大量的人力物力是得不尝失,因此宜采用抽样调查的方式,故A选项是合适的;企业为了解所生产的产品的合格率,所采取的实验多带有破坏性,因此采取抽样调查即可,故B选项不合适;小型企业员工数量有限,因此给在职员工做工作服前对每个人进行尺寸大小进行测量即可,所以C选项不合适;在了解某市中小学生的视力情况时,若进行一次全面的调查,费大量的人力物力是得不尝失的,采取抽样调查即可,故D选项不合适.因此本题选A.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-19-4]课题学习 选择方案}‎ ‎{考点:全面调查}‎ ‎{考点:抽样调查}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}7.(2019年郴州T7)如图,分别以线段 AB 的两端点 A,B 为圆心,大于 AB 长为半径画弧,在线段 AB的两侧分别交于点 E,F,作直线 EF 交 AB 于点 O.在直线 EF 上任取一点 P ‎(不与 O重合),连接 PA,PB,则下列结论不一定成立的是 A.PA=PB B.OA=OB C.OP=OF D.PO⊥AB ‎(第7题图)‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了线段垂直平分线的性质;作图—复杂作图,由作图过程可知EF是AB的垂直平分线,所以PA=PB,OA=OB,PO⊥AB,一定成立,因此本题选C.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-13-1-2]垂直平分线}‎ ‎{考点:垂直平分线的性质}‎ ‎{考点:与垂直平分线有关的作图}‎ ‎{考点:垂直平分线的判定}‎ ‎{类别:北京作图}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}8.(2019年郴州T8)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对 全等的三角形,如图所示,已知∠A=90°,BD=4,CF=6,则正方形 ADOF 的边长是 A. B.2 C. D.4‎ ‎(第8题图)‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了勾股定理和解一元二次方程,设正方形ADOF的边长为x,则AB=4+x,AC=6+x,BC=10,由于∠A=90°,所以BC2=AB2+AC2,即100=16+8x+x2+36+12x+x2,解得x=2或x=-12(不合题意,舍去),因此本题选B.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-17-1]勾股定理}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{考点:角平分线的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题:本大题共8小题,每小题3分,合计24分.‎ ‎{题目}9.(2019年郴州T9)二次根式中,x 的取值范围是 .‎ ‎{答案}x≥2‎ ‎{解析}本题考查了二次根式有意义的条件.直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.若在实数范围内有意义,则x-2≥0,解得:x≥2.因此本题应填x≥2.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-16-1]二次根式}‎ ‎{考点:二次根式的有意义的条件}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}10.(2019年郴州T10)若,则= .‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了比例的性质,直接运用比例的性质化简计算即可,因为=1+=,所以=,因此本题应填.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-27-3]图形的相似}‎ ‎{考点:比例的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}11.(2019年郴州T11)如图,直线 a,b 被直线 c,d 所截.若 a//b,∠1=130°,∠2=30°,则∠3 的度数为 度.‎ ‎(第11题图)‎ ‎{答案}100‎ ‎{解析}本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质,∵a∥b,∴∠1=∠2+∠3,又∵∠2=30°,∴∠3=∠1-∠2=130°-30°=100°,因此本题应填100.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-11-2]与三角形有关的角}‎ ‎{考点:三角形的外角}‎ ‎{考点:两直线平行同位角相等}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}12.(2019年郴州T12)某校举行演讲比赛,七个评委对小明的打分如下: 9,8,7,6,9,9,7,这组数据的中位数是 .‎ ‎{答案}8‎ ‎{解析}本题考查了中位数的概念,将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的数(或最中间的两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.将数据9,8,7,6,9,9,7,从小到大排列为:6,7,7,8,9,9,9,中间的数是8,即这组数据的中位数是8,因此本题应填8.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}13.(2019年郴州T13)某商店今年 6 月初销售纯净水的数量如下表所示:‎ 日期 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 数量(瓶)‎ ‎120‎ ‎125‎ ‎130‎ ‎135‎ 观察此表,利用所学函数知识预测今年 6 月 7 日该商店销售纯净水的数量约为 瓶.‎ ‎{答案}150‎ ‎{解析}本题考查了函数的应用,由表格可知销售数量y与日期x之间的函数关系式为y=120+5(x-1)=5x+115,当x=7时,y=5×7+115=150,因此本题应填150.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-19-1-1]变量与函数}‎ ‎{考点:函数关系式}‎ ‎{考点:函数值}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}14.(2019年郴州T14)如图是甲、乙两人 6 次投篮测试(每次投篮 10 个)成绩的统计图,甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、 ,则 (填“>”“=”或“<”)‎ 测试次数 测试成绩/个 甲 乙 ‎(第14题图)‎ ‎{答案}<‎ ‎{解析}本题考查了方差的计算,因为=(8+7+8+6+9+8)=,=〔(8-)2+(7-)2+(8-)2+(6-)2+(9-)2+(8-)2〕=,=(7+4+7+9+5+7)=,=〔(7-)2+(4-)2+(7-)2+(9-)2+(5-)2+(7-)2〕=,因为>,所以>,因此本题应填“<”.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-20-2-1]方差}‎ ‎{考点:算术平均数}‎ ‎{考点:方差}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}15.(2019年郴州T15)已知某几何体的三视图如图,其中主视图和左视图都是腰长为 5,底边长为 4 的等腰三角形,则该几何体的侧面展开图的面积是 .(结果保留 π )‎ ‎(第15题图)‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎ ‎ ‎{答案}10π ‎{解析}本题考查了由三视图判断几何体,圆锥的计算.依题意,圆锥的地面周长为4π,圆锥的母线长为5,所以其侧面展开图为扇形,面积为×4π×5=10π,因此本题应填10π.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{考点:简单几何体的三视图}‎ ‎{考点:扇形的面积}{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ 题目}16.(2019年郴州T16)如图,点 A,C 分别是正比例函数 y=x 的图象与反比例函数 y=的图象的交点,过 A点作 AD⊥ x 轴于点 D,过 C 点作 CB⊥ x 轴于点 B,则四边形 ABCD 的面积为 .‎ ‎(第16题图)‎ ‎{答案}8‎ ‎{解析}本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解方程组得或,所以A的坐标为(2,2),C的坐标为(-2,-2),又过 A点作 AD⊥ x 轴于点 D,过 C 点作 CB⊥ x 轴于点 B,所以B(-2,0),D(2,0),所以BD=4,AD=2,所以ABCD的面积=AD·BD=0,因此本题应填8.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:反比例函数与一次函数的综合}‎ ‎{考点:一次函数与几何图形综合}‎ ‎{考点:代数填空压轴}‎ ‎{考点:几何填空压轴}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题:本大题共10小题,合计82分.‎ ‎{题目}17.(2019年郴州T17)计算:‎ ‎{解析}本题考查了实数的运算,零指数幂,负整数指数幂,绝对值,特殊角的三角函数值.直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案.‎ ‎{答案}解:原式=1-2×+-1+2‎ ‎=1-+-1+2‎ ‎=2‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-28-3]锐角三角函数}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:简单的实数运算}‎ ‎{考点:二次根式的混合运算}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{题目}18.(2019年郴州T18)先化简,再求值:,其中a=.‎ ‎{解析}本题考查了分式的化简求值,原式中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把a的值代入计算即可求值.‎ ‎{答案}解: 原式=-‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎ 当a=时,原式===.‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:分式的混合运算}‎ ‎{考点:简单的实数运算}‎ ‎{题目}19.(2019年郴州T19)如图,□ABCD 中,点 E 是边 AD 的中点,连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F,连接 AC,DF.‎ 求证:四边形 ACDF 是平行四边形.‎ ‎{解析}本题考查了平行四边形、平行线的判定,全等三角形的性质,解题的关键是得到AF∥CD,且AF=CD.‎ ‎{答案}证明:∵ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB∥CD,即AF∥CD,‎ ‎∴∠AFE=∠DCE ‎∵点 E 是边 AD 的中点,‎ ‎∴EF=EC,‎ 又∵∠AEF=∠DEC,‎ ‎∴△AEF≌△DEC,‎ ‎∴ AF=DC ‎∴四边形 ACDF 是平行四边形.‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-18-1-2]平行四边形的判定}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:平行四边形边的性质}‎ ‎{考点:两直线平行内错角相等}‎ ‎{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}‎ ‎{考点:全等三角形的性质}‎ ‎{考点:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形}‎ ‎{题目}20.(2019年郴州T20)我市去年成功举办 2018 郴州国际休闲旅游文化节,获评“全国森林旅游示范市”.我市有 A,B,C,D,E 五个景区很受游客喜爱.一旅行社对某小区居民在暑假期间去 以上五个景区旅游(只选一个景区)的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图:‎ ‎(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 人,m= ,并补全条形统计图;‎ ‎(2)若该小区有居民 1200 人,试估计去 B 地旅游的居民约有多少人?‎ ‎(3)小军同学已去过 E 地旅游,暑假期间计划与父母从 A,B,C,D 四个景区中,任 选两个去旅游,求选到 A,C 两个景区的概率.(要求画树状图或列表求概率)‎ ‎{解析}本题考查了扇形统计图;条形统计图;列表法与树状图法.(1)由D组人数及其所占百分比求得被调查人数,再用B组人数除以被调查人数所得的百分比求m,继而根据各组人数之和等于总人数求出C组的人数,从而补全条形统计图;(2)用样本估计总体,从而估计去 B 地旅游的居民人数;(3)依据树状图,可得共有12种等可能的情况,其中选中A、C的情况有2种,即可得选到 A,C 两个景区的概率.‎ ‎{答案}解:(1)有统计图可知:D组人数有20人,占调查人数的10%,‎ 所以被调查到的人数为 20÷10%=200(人)‎ 又B组人数为70,所以占被调查人数的70÷200×100%=35%,‎ 所以m=35,‎ C组人数为:200-20-70-20-50=40(人)‎ 补全的条形统计图为:‎ ‎ (2)若该小区有居民 1200 人,则去 B 地旅游的居民约有1200×=420(人);‎ ‎ (3)画树状图如下:‎ ‎ ‎ ‎ 可见,共有12种等可能的情况,其中选中A、C的情况有2种, ‎ ‎ 所以选到 A,C 两个景区的概率为.‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:两步事件不放回}‎ ‎{考点:扇形统计图}‎ ‎{考点:条形统计图}‎ ‎(第21题图)‎ ‎{题目}21.(2019年郴州T21)如图所示,巡逻船在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 45°方向上,距离 A 处 30 km.在灯塔 C 的正南方向 B 处有一渔船发出求救信号,巡逻船接到指示后立即前往施救.已知 B 处 在 A 处的北偏东 60°方向上,这时巡逻船与渔船的距离是多少?(精确到 0.01 km.参考数据:≈1.414,≈ 1.732,≈ 2.449 )‎ ‎{解析}本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题.延长CB交东西方向线于点D,则AD=AC·sin45°,AD=AB·sin60°,从而得到AC·sin45°=AB·sin60°,由于AC=30km,sin45°=,sin60°=,因此可求得AB,此即巡逻船与渔船的距离.‎ ‎{答案}解:延长CB交东西方向线于点D,则AD=AC·sin45°,AD=AB·sin60°,‎ ‎ ∴AC·sin45°=AB·sin60°,‎ 由于AC=30km,sin45°=,sin60°=,‎ ‎∴AB===10≈24.49(km)‎ 答:巡逻船与渔船的距离是24.49km.‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:解直角三角形-方位角}‎ ‎{考点:解直角三角形}‎ ‎{题目}22.(2019年郴州T22)某小微企业为加快产业转型升级步伐,引进一批A,B两种型号的机器.已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件,且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等.‎ ‎(1)每台A,B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件?‎ ‎(2)如果该企业计划安排A,B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件,为了如期完成任务,要求两种机器每小时加工的零件不少于72件,同时为了保障机器的正常运转,两种机器每小时加工的零件不能超过76件,那么A,B两种型号的机器可以各安排多少台?‎ ‎{解析}本题考查了分式方程的应用;一元一次不等式组的应用.(1)设一台A型号机器每小时加工x个零件,则一台B型机器每小时加工(x-2)个零件,根据一台A型机器加工80个零件与一台B 型机器加工60个零件所用时间相等可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;(2)利用两种机器每小时加工的零件不少于72件,不能超过76件,列方程组可得出结论.‎ ‎{答案}解:(1)设一台A型号机器每小时加工x个零件,则一台B型机器每小时加工(x-2)个零件,‎ 根据,解得x=8‎ 经检验x=8是原方程的解,‎ 所以A型机器每小时加工零件8个,B型机器每小时加工零件6个;‎ ‎ (2)设A型号机器安排y台,则B型号机器安排(10-y)台,‎ ‎ 依题意,可得 72≤8y+6(10-y)≤76‎ ‎ 解得 6≤y≤8‎ ‎ 即y的可取值为:6,7,8‎ ‎ 所以A,B两种型号的机器可以作如下安排:‎ ① A型号机器6台,B型号机器4台;‎ ② A型号机器7台,B型号机器3台;‎ ③ A型号机器8台,B型号机器2台.‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-15-3]分式方程}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:其他分式方程的应用}‎ ‎{考点:一元一次不等式的整数解}‎ ‎{考点:一元一次不等式的应用}‎ ‎{题目}23.(2019年郴州T23)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,CD 与⊙O 相切于点 D,且 AD//OC.‎ ‎(1)求证:BC 是⊙O 的切线;‎ ‎(2)延长 CO 交⊙O 于点 E.若∠CEB=30°,⊙O 的半径为 2,求 的长.(结果保留 π )‎ ‎(第23题图)‎ ‎{解析}本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质和弧长的计算.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用是解决问题的关键.‎ ‎{答案}解:(1)证明:连接OD,如答图所示.‎ ‎(23题答图)‎ ‎∵AD//OC,‎ ‎∴∠COD=∠ADO,∠COB=∠DAO,‎ 又∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO,‎ ‎∴∠COD=∠COB,‎ 在△COD和△COB中,‎ ‎∴△COD≌COB,‎ ‎∴∠CDO=∠CBO,‎ 又CD 与⊙O 相切于点 D,‎ ‎∴∠CDO=90°,‎ ‎∴∠CBO=90°,‎ ‎∴BC 是⊙O 的切线;‎ ‎ (2)∵∠CEB=30°,∴∠COB=60°,‎ 由(1)知,∠COD=∠COB,‎ ‎∴∠COD=60°,‎ ‎∴∠DOB=∠COD+∠COB=120°‎ ‎∵⊙O 的半径为 2,‎ ‎∴的长==.‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:两直线平行同位角相等}‎ ‎{考点:两直线平行内错角相等}‎ ‎{考点:全等三角形的判定SAS}‎ ‎{考点:全等三角形的性质}‎ ‎{考点:切线的性质}‎ ‎{考点:切线的判定}‎ ‎{考点:弧长的计算}‎ ‎{题目}24.(2019年郴州T24)若一个函数当自变量在不同范围内取值时,函数表达式不同,我们称这样的函数为分段函数.下面我们参照学习函数的过程与方法,探究分段函数 的图象与性质. ‎ 列表:‎ x ‎…‎ ‎-3‎ ‎-‎ ‎-2‎ ‎-‎ ‎-1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ 描点:在平面直角坐标系中,以自变量 x 的取值为横坐标,以相应的函数值 y 为纵坐标,描出相应的点,如图所示.‎ ‎(1)如图,在平面直角坐标系中,观察描出的这些点的分布,作出函数图象;‎ ‎(2)研究函数并结合图象与表格,回答下列问题:‎ ‎①点A(-5,y1),B(-,y2),C(x1,),D(x2,6)在函数图象上,则 y1 y2 , x1 x2 ;(填“>”、“=”或“<”)‎ ‎②当函数值y=2 时,求自变量 x 的值;‎ ‎③在直线x=-1的右侧的函数图象上有两个不同的点 P( x3,y3 ),Q( x4,y4 ) ,且y3=y4 ,求 x3+x4的值;‎ ① 若直线 y=a 与函数图象有三个不同的交点,求 a 的取值范围.‎ ‎{解析}本题考查了函数图象的一般画法,分段函数的增减性,绝对值的性质等内容.‎ ‎{答案}解:(1)根据列表、描点,可以做出函数图像,如下图:‎ ‎ ‎ ‎ (2)①由图象可知,当x≤-1时,函数值随x的增大而减小,‎ 因为A、B在函数图象上,且-5<-<-1, ‎ 所以y1<y2.‎ 又因为>2,6>2,C、D在函数图象上,‎ 所以C、D在函数图象y=x-1(x>1)上,且函数值随x的增大而增大,‎ ‎∵<6,∴x1<x2.‎ 即这里的两空应填:<;<.‎ ‎ ②当y=2时,若x≤-1,则有-=2,解得x=-1;‎ ‎ 若x>-1时,则有|x-1|=2,即x-1=±2,‎ 解得x=3或x=-1(不合题意,舍去)‎ 综上所述,y=2时,自变量x的值为-1或3.‎ ‎③若点 P( x3,y3 ),Q( x4,y4 ) 是直线x=-1的右侧的函数图象上的两个不同的点,且y3=y4 ,则|x3-1|=|x4-1|,所以x3-1=-(x4-1),‎ 所以x3+x4=2.‎ ‎④若直线 y=a 与函数图象有三个不同的交点,‎ 通过观察函数图象可知:0<a<2.‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{考点:分段函数}‎ ‎{考点:函数图象上的点}‎ ‎{考点:一次函数的性质}‎ ‎{考点:反比例函数的性质}‎ ‎{题目}25.(2019年郴州T25)如图1,矩形ABCD中,点E为AB边上的动点(不与A,B重合),把△ADE沿DE翻折,点A的对应点为A1 ,延长EA1交直线DC于点F,再把∠BEF折叠,使点B的对应点B1落在EF上,折痕EH交直线BC于点H.‎ ‎(1)求证:△A1DE∽△B1EH;‎ ‎(2)如图2,直线MN是矩形ABCD的对称轴,若点A1恰好落在直线MN上,试判断△DEF的形状,并说明理由;‎ ‎(3)如图3,在(2)的条件下,点G为△DEF内一点,且∠DGF=150°,试探究DG,EG,FG的数量关系.‎ ‎(第25题图)‎ A1‎ B1‎ A1‎ B1‎ A1‎ B1‎ ‎{解析}本题考查了相似三角形的判定,轴对称图形的性质,勾股定理等内容.‎ ‎{答案}解:(1)证明:由于△ADE沿DE翻折,点A的对应点为A1 ,‎ ‎ ∴∠AED=∠A1ED 再把∠BEF折叠,使点B的对应点B1落在EF上,折痕EH交直线BC于点H.‎ ‎∴∠BEH=∠FEH,‎ 又∠AED+∠A1ED+∠BEH+∠FEH=180°‎ ‎∴∠A1ED+∠FEH=90°‎ ‎∵ABCD是矩形,∴∠EDA1+∠A1ED=180°-90°=90°‎ ‎∴∠∠EDA1=∠FEH,‎ 又∠DAE=∠DA1E=∠HBE=∠HB1E=90°,‎ ‎∴△A1DE∽△B1EH;‎ ‎(2)△DEF是等边三角形,理由如下:‎ ‎∵MN是矩形的对称轴,点A1恰好落在直线MN上,‎ ‎∴,即EA1=A1F,‎ 又∠DA1E=90°‎ ‎∴DA1是EF的垂直平分线,‎ ‎∴DE=DF,∠EDA1=∠FDA1,即△DEF是等腰三角形.‎ ‎∵△A1DE是△ADE沿DE翻折得到的,‎ ‎∴∠ADE=∠A1DE=∠A1DF=∠ADC=30°,‎ ‎∴∠EDF=60°,‎ 即△DEF是等边三角形.‎ ‎ (3)DG,EG,FG所满足的数量关系为:DG2+FG2=EG2.‎ ‎ 理由如下:‎ 将△EDG绕点E逆时针旋转60°,从而旋转后的ED将会和EF重合,同时G点落在了 G1的位置(如答图).‎ 由于△EFG1是由△EDG旋转过去得到的,‎ 因此FG1=DG,EG=EG1,∠GEG1=60°.‎ ‎∴GG1=EG,‎ 所以△GFG1的三边长事实上分别等于GF、GD、GE。‎ 又∠GFG1=∠G1FE+∠GFE ‎=∠GDE+∠GFE ‎=(60°-∠GDF)+(60°-∠GFD)‎ ‎=120°-(∠GDF+∠GFD)‎ ‎=120°-(180°-∠DGF)‎ ‎=120°-(180°-150°)‎ ‎=90°‎ ‎ 所以△GFG1是直角三角形,且GF2+G1F2=GG12,‎ ‎ 即DG2+GF2=GE2.‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{考点:相似三角形的判定(两角相等)}‎ ‎{考点:垂直平分线的性质}‎ ‎{考点:等边三角形的判定}‎ ‎{考点:轴对称的性质}‎ ‎{考点:旋转的性质}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{题目}26.(2019年郴州T26)已知抛物线y=ax2 + bx + 3与x轴分别交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.‎ ‎(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;‎ ‎(2)点F是线段AD上一个动点.‎ ‎①如图1,设k=,当 k 为何值时,CF=AD ?‎ ‎②如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与△ABC相似?若相似,求出点F的坐标;若不相似,请说明理由.‎ A B O C D F y y y O O A A B B C C D D F F ‎{解析}本题考查了有关二次函数的综合性问题.解题的关键在于熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题. ‎ ‎{答案}解:(1)因为抛物线y=ax2 + bx + 3与x轴分别交于A(-3,0),B(1,0)两点,‎ ‎ ∴,解得 ‎∴抛物线的表达式为y=-x2-2x+3,‎ ‎∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,‎ ‎∴抛物线的顶点D的坐标为(-1,4).‎ ‎(2)①∵A、D两点的坐标分别为:A(-3,0),D(-1,4),‎ ‎∴可设过A、D两点的直线的表达式为y=mx+n,‎ 依题意,得,解得 ‎∴直线AD的表达式为y=2x+6.‎ 又∵抛物线y=ax2 + bx + 3与y轴的交点为C,‎ ‎∴C点的坐标为(0,3),‎ ‎∴AD2=[-3-(-1)]2+(0-4)2=20,‎ ‎ AC2=(-3-0)2+(0-3)2=18,‎ ‎ DC2=(-1-0)2+(4-3)2=2,‎ 即AD2=AC2+DC2,‎ ‎∴△ACD是直角三角形,且∠ACD=90°,‎ 若CF=AD,则点F为AD的中点,‎ 此时,k==,‎ ‎∴当k=时,CF=AD.‎ ‎②因为点F在AD上,所以可设F点的坐标为(t,2t+6)‎ ‎∴AF=,‎ ‎ OF=‎ ‎ OA=3‎ 由(2)①知△ABC各边的长为AC=,BC=,AB=4,‎ ‎ 又tan∠DAC===,tan∠OCB==‎ ‎∴∠DAC=∠OCB,‎ ‎∵OA=OC=3,∴∠OAC=∠OCA ‎∴∠DAO=∠DAC+∠OAC=∠OCB+∠OCA=∠ACB,‎ (i) 当时,我们有,解得t=-2‎ 即当t=-2时,△OFA∽△ABC,此时F点的坐标为(-2,2);‎ ‎(ii)当时,我们有,解得t=-,‎ ‎ 即当t=-时,△FOA∽△ABC,此时点F的坐标为(-,);‎ ‎ 综上所述,当点F的坐标为(-2,2)或(-,)时,以A,F,O为顶点的三角形是否与△ABC相似.‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{考点:代数综合}‎ ‎{考点:二次函数y=ax2+bx+c的性质}‎ ‎{考点:二次函数的三种形式}‎ ‎{考点:二次函数中讨论相似}‎ ‎{考点:相似三角形的判定(两边夹角)}‎ ‎{考点:勾股定理}‎