人教版九年级数学上册教案：21_2_1 直接开平方法 4页

1 21.2.1 直接开平方法 教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一 元一次方程． 教学目标 理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程 ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程， 然后知识迁移到解 a（ex+f）2+c=0 型的一元二次方程． 重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学 思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如 x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解 形如（x+m）2=n（n≥0）的方程． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题 1．填空 （1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____= （x+______）2． 问题 2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始，沿 AB 边向点 B 以 1cm/s•的 速度移动，点 Q 从点 B 开始，沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 AB=6cm，BC=12cm， •P、Q 都从 B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于 8cm2？ B C A Q www.czsx.com.cn P 老师点评： 问题 1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（ 2）4 2；（ 3）（ 2 p ）2 ． 问题 2：设 x 秒后△PBQ 的面积等于 8cm2 则 PB=x，BQ=2x 依题意，得： 1 2 x·2x=8 x2=8 根据平方根的意义，得 x=±2 2 即 x1=2 ，x2=-2 2 可以验证，2 2 和-2 都是方程 1 2 x·2x=8 的两根，但是移动时间不能是负值． 所以 2 秒后△PBQ 的面积等于 8cm2． 二、探索新知 上面我们已经讲了 x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得 x=±2 ，如果 x 换元为 2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论） 老师点评：回答是肯定的，把 2t+1 变为上面的 x，那么 2t+1=±2 即 2t+1=2 ，2t+1=-2 方程的两根为 t1= - ，t2=- - 例 1：解方程：x2+4x+4=1 分析：很清楚，x2+4x+4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=±1 即 x+2=1，x+2=-1 所以，方程的两根 x1=-1，x2=-3 例 2．市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2 提高到 14.4m，求每年人均住 房面积增长率． 分析：设每年人均住房面积增长率为 x．•一年后人均住房面积就应该是 10+•10x=10 （1+x）；二年后人均住房面积就应该是 10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为 x， 则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接开平方，得 1+x=±1.2 即 1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的两根是 x1=0.2=20%，x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2 应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为 20%． （学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想 称为“降次转化思想”． 三、巩固练习 教材练习． 四、应用拓展 例 3．某公司一月份营业额为 1 万元，第一季度总营业额为 3.31 万元，求该公司二、三 月份营业额平均增长率是多少？ 分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x，•那么二月份的营业额就应该是（1+x）， 三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2． 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x． 3 那么 1+（1+x）+（1+x）2=3.31 把（1+x）当成一个数，配方得： （1+x+ 1 2 ）2=2.56，即（x+ 3 2 ）2=2．56 x+ =±1.6，即 x+ =1.6，x+ =-1.6 方程的根为 x1=10%，x2=-3.1 因为增长率为正数， 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为 10%． 五、归纳小结 本节课应掌握： 由应用直接开平方法解形如 x2=p（p≥0），那么 x=± p 转化为应用直接开平方法解形 如（mx+n）2=p（p≥0），那么 mx+n=± ，达到降次转化之目的． 六、布置作业 1．教材复习巩固 1、2． 2．选用作业设计: 一、选择题 1．若 x2-4x+p=（x+q）2，那么 p、q 的值分别是（ ）． A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程 3x2+9=0 的根为（ ）． A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根 3．用配方法解方程 x2- 2 3 x+1=0 正确的解法是（ ）． A．（ x- 1 3 ）2= 8 9 ，x= ± 22 3 B．（ x- ）2=- ，原方程无解 C．（ x- ）2= 5 9 ，x1= + 5 3 ，x2= 25 3  D．（ x- ）2=1，x1= 5 3 ，x2=- 二、填空题 1．若 8x2-16=0，则 x 的值是_________． 2．如果方程 2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________． 3．如果 a、b 为实数，满足 34a  +b2-12b+36=0，那么 ab 的值是_______． 三、综合提高题 1．解关于 x 的方程（x+m）2=n． 4 2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 25m）， •另三边用木栏围 成，木栏长 40m． （1）鸡场的面积能达到 180m2 吗？能达到 200m 吗？ （2）鸡场的面积能达到 210m2 吗？ 3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长 4 米的铁丝，由于需要，现在要制成一个 矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？ 答案: 一、1．B 2．D 3．B 二、1．± 2 2．9 或-3 3．-8 三、1．当 n≥0 时，x+m=± n ，x1= -m，x2=- -m．当 n<0 时，无解 2．（ 1）都能达到．设宽为 x，则长为 40-2x， 依题意，得：x（40-2x）=180 整理，•得：•x2-20x+90=0，x1=10+ 10 ，x2=10- ； 同理 x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为 40-20=20． （2）不能达到．同理 x（40-2x）=210，x2-20x+105=0， b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到． 3．因要制矩形方框，面积尽可能大， 所以，应是正方形，即每边长为 1 米的正方形．