13年1月徐汇中考数学一模试题 9页

2012 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三年级数学学科 （满分 150 分，考试时间 100 分钟） 2013 年 1 月 考生注意： 1、本试卷含四个大题，共 25 题； 2、答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律 无效； 3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤。 一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，那么 tan A等于（ ） A、 5 13 B、 5 12 C、12 5 D、13 5 2、将抛物线 2yx 沿 y 轴向上平移 1 个单位后所得到的抛物线的解析式是（ ） A、 2 1yx B、 2 1yx C、 2( 1)yx D、 2( 1)yx 3、坡比等于1: 3 的斜坡的坡角等于（ ） A、30° B、45° C、50° D、60° 4、关于二次函数 2( 2)yx 的图像，下列说法正确的是（ ） A、开口向下 B、最低点是（2,0） C、对称轴是直线 x＝2 D、对称轴的右侧部分是上升的 5、如图 1，AC、BD 相交与点 O，下列条件中能判定 CD∥AB 的是（ ） A、 AO BO DO CO B、 AO AB CO CD C、 BO CO DO AO D、 AO BO AC BD 6、如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 垂足为 D，那么下列结论中错误的是（ ） A、 22AC BD BC AD   B、 22BC BD CD AB   A B C D O 图 1 A B C D 图 2 C、 AD BC AC CD   D、CD BC AC BD   二、填空题（本大题共 12 小题，每题 4 分，满分 48 分） 7、计算： 2sin60 tan45  _______________。 8、计算： 1 (2 )2a b a b    ____________。 9、抛物线 22 4 3y x x    与 y 轴的交点坐标是___________。 10、如果两个相似三角形对应角平分线的比是 2 :3，那么它们的对应高之比是_________。 11、如图 3，已知 AB∥CD∥EF， : 2:3AC CE  ，BF＝15，那么 BD＝_________。 12、点 C 是线段 AB 上一点， 2BC AC ，点 M、N 分别是线段 AC、BC 的中点，那么 :MN BC  _______。 13、抛物线 2y ax bx c   过( 1,0) 和(5,0)两点，那么该抛物线的对称轴是__________。 14、在以 O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点 (2,4)A ，如果 AO 与 x 轴正半轴的夹角为 ， 那么cos _________。 15、小明同学身高 1.5 米，经太阳光照射，在地面的影长为 2 米，他此时测得旗杆在同一地 面的影长为 12 米，那么旗杆高为_______米。 16、抛物线 2 3y ax bx   与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，且 : 1:3OA OB  ，OB OC ，那么 a 的值是________。 17、两个等腰直角三角形 ACB 和 DCE 的位置如图 4 所示， 点 A、C、E 和点 B、C、D 分别在一条直线上， 90ACB  ， 42AE  ， 3AB DE ，点 G、H 分别是△ACB、△DCE 的 重心，联结 GH，那么 GH＝________。 18、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，点 D 是斜边 AB 的中点，把△ABC 绕点 C 旋转，使得点 B 落在射线 CD 上，点 A 落在点 'A ，那么 'AA的长是________。 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 78 分） 19、抛物线 2 2y ax x c   经过点 (3,0)B 、 (0,3)C 两点。 （1）求抛物线顶点 D 的坐标； （2）抛物线与 x 轴的另一交点为 A，求△ABC 的面积。 A B C D E F 图 3 A B C D E G H 图 4 20、如图 5，在△ABC 中，点 D 是边 AB 的中点， 2AB AC ， 4BC  。 （1）求 CD 的长； （2）设 AB a ， AC b ，求CD（用 a 、b 表示） 21、如图 6，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E，过点 E 作 ED∥BC 交 AB 于点 D。 （1）求证： AE BC BD AC   ； （2）如果 3ADES  ， 2BDES  ， 6DE  ，求 BC 的长。 22、如图 7，小岛 B 正好在深水港口 A 的东南方向，一艘集装箱货船从港口 A 出发沿正东方 向以每小时 30 千米的速度行驶，40 分钟后在 C 处测得小岛 B 在它的南偏东 15°方向， 求小岛 B 离开深水港口 A 的距离。（精确到 0.1 千米） 【参考数据： 2 1.41 ， 6 2.45 ，sin15 0.26 ，cos15 0.97 ， tan15 0.27 】 A B C D 图 5 A B C D E 图 6 B C A 北 图 7 23、“数学迷”小楠通过从“特殊到一般”的过程，对倍角三角形（一个内角是另一个内角的 2 倍的三角形）进行研究，得出 结论：如图 8，在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分 别是 a、b、c，如果 2AB   ，那么 22a b bc。下面给出小楠对其中一种特殊情形的 一种证明方法。 已知：如图 9，在△ABC 中，∠A＝90°，∠B＝45°。 求证： 22a b bc 证明：如图 9，延长 CA 到 D，使得 AD＝AB， ∴∠D＝∠ABD ∵∠CAB＝∠D+∠ABD＝2∠D，∠CAB＝90° ∴∠D＝45°，∵∠ABC＝45°， ∴∠D＝∠ABC，又∠C＝∠C ∴△ABC∽△BCD ∴ BC AC CD BC ，即 ab b c a ∴ 根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明（用不同于材料中的方法也可以）： 已知：如图 8，在△ABC 中，∠A＝2∠B。 求证： 24、抛物线 2 5y mx mx n   与 y 轴正半轴交于点 C，与 x 轴分别交于点 A 和点 (1,0)B ，且 2OC OA OB。 （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是 y 轴上一点，当△PBC 和△ABC 相似时，求点 P 坐标。 B C a b c A 图 8 D A B C a b c 图 9 25、梯形 ACBD 中，AB∥CD，CD＝10，AB＝50， 4cos 5A  ， 90AB     ，点 M 是边 AB 的中点，点 N 是边 AD 上的动点。 （1）如图 10，求梯形 ABCD 的周长； （2）容易 11，联结 MN，设 AN＝x， cosMN NMA y   （ NMA 是锐角），求 y 关于 x 的关系式及定义域； （3）如果直线 MN 与直线 BC 交于点 P，当∠P＝∠A 时，求 AN 的长。 A B C D 图 10 M N A B C D 图 11 2012 学年第一学期徐汇区初三年级数学学科 期终学习能力诊断卷参考答案和评分标准 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．C； 2．B； 3．A； 4．D； 5．D； 6．B． 二．填空题：（本大题共 12 题，满分 48 分） 7． 3 ； 8． b  2 3 ； 9． )3,0( ； 10． 3:2 ； 11．6 ； 12． 4:3 （或 4 3 ）； 13．直线 2x ； 14． 5 5 ； 15．9 ； 16．1或 1 ； 17． 3 22 （或 3 8 ）； 18． 5 58 ． 三、（本大题共 7 题，第 19、20、21、22 题每题 10 分，第 23、24 题每题 12 分，第 25 题 14 分，满分 78 分） 19. 解：（1）由题意，得      ;3 ,069 c ca ………………………………………（1 分） 解得      ;3 ,1 c a ………………………………………………………（1 分） ∴ 322  xxy ………………………………………………（1 分） ∴ )4,1(D ……………………………………………………………（2 分） （2）由题意，得 0322  xx ，解得 3,1 21  xx ； ∴ )0,1(A …………………………………………………………（2 分） 又 )0,3(B 、 )3,0(C ∴ 6342 1 ABCS …………………………………………（3 分） 20．解：（1）∵点 D 是边 AB 的中点， ACAB 2 ，∴ ACABAD 2 2 2 1  （1 分） ∴ 2 2AC AD ， 2 2 2 1 AB AC ………………………………（1 分） ∴ AB AC AC AD  ，又 AA  ．∴ ADC ∽ ACB ……………（1 分） ∴ AB AC BC CD  ，即 2 2 4 CD ，∴ 22CD …………………（2 分） （2）∵点 D 是边 AB 的中点，∴ AD aAB  2 1 2 1  …………………（2 分） ∴ CD AD baAC   2 1 ．…………………………………（3 分） 21．（1）证明：∵ BE 平分 ABC ，∴ CBEABE  ．……………………（1 分） ∵DE∥BC ，∴ CBEDEB  ……………………………（1 分） ∴ DEBABE  ．∴ DEBD  ……………………………（1 分） ∵DE∥BC ，∴ BC DE AC AE  ……………………………………（1 分） ∴ BC BD AC AE  ，∴ ACBDBCAE  ………………………（1 分） （2）解：设 ABE 中边 AB 上的高为 h ． ∴ 2 3 2 1 2 1       BD AD hBD hAD S S BDE ADE ，…………………………………（2 分） ∵DE∥BC，∴ AB AD BC DE  ． ………………………………………（1 分） ∴ 5 36 BC ，∴ 10BC ． …………………………………………（2 分） 22．解： 由题意，得 203 230 AC ． ……………………………………（2 分） 【方法一】过点C 作 ABCD  ，垂足为 D ．……………………………………（1 分） 在 ADCRt 中，  90ADC ，  45CAD ∴ 21045cos  ACAD ， 21045sin  ACCD ……（2 分） 在 BDCRt 中，  90BDC ，  30154590B …（1 分） ∴ 61030cot  CDBD …………………………………………（2 分） ∴ )62(10  BDADAB ≈ 6.38)45.241.1(10  ．…（2 分） 【方法二】过点 B 作 ACBD  ，交 AC 延长线于 ． ………………………（1 分） 在 BDCRt 中，  90BDC ，  15CBD 设 xBD  ，∴ xBDCD 27.015tan  ． ………………………（2 分） ∵ DABDABABD  45459090 ……………（1 分） ∴ BDAD  ，∴ xx  27.020 ，得 73.0 20x ……………………（2 分） ∴ 6.3873.0 2041.173.0 2022  BDAB …………………（2 分） 答：小岛 B 离开深水港口 A 的距离是 6.38 千米． 23．证明： 延长CA 到 D ，使得 ABAD  .……………………………………（2 分） ∴ ABDD  ，……………………………………………………（2 分） ∵ DABDDCAB  2 ，………………………………（2 分） ∵ ABCCAB  2 ，∴ ABCD  ，又 CC  ∴ ABC ∽ BCD …………………………………………………（2 分） ∴ BC AC CD BC  ，即 a b cb a  ………………………………………（2 分） ∴ bcba  22 ………………………………………………………（2 分） 24．解：（1）由题意，得抛物线对称轴是直线 2 5x ，……………………………（1 分） ∵点 A 和点 B 关于直线 对称，点 )0,1(B ，∴ )0,4(A ………（1 分） ∵ 4142  OBOAOC ，∴ 2OC …………………………（1 分） ∵点C 在 y 轴正半轴上，∴ )2,0(C ………………………………（1 分） ∴ 22 5 2 1 2  xxy ………………………………………………（2 分） （2）由题意，可得 3AB ， 5BC ， 52AC …………………（1 分） ∵ OBOAOC 2 ，∴ OA OC OC OB  ，又 COABOC  ∴ BOC ∽ COA ，∴ OACOCB  ………………………（1 分） ∴ PBC 和 ABC 相似时，分下列两种情况： 1 当 AC AB BC CP  时，得 52 3 5 CP ，∴ 2 3CP ， ∴ 2 1 2 32  CPOCOP ，∴ )2 1,0(P ．………………………（2 分） 2 当 AB AC BC CP  时，得 3 52 5 CP ，∴ 3 10CP ， ∴ 3 423 10  OCCPOP ，∴ )3 4,0( P ．………………（2 分） 综合  21 、 ，当 和 相似时 或 ． 25．解：（1）过点C 作CF ∥ AD ，交 AB 于点 F ．………………………………（1 分） ∴ ACFB  ，∵  90BA ， ∴  90BCFB ，∴  90FCB ∵ AB ∥CD ，∴四边形CDAF 是平行四边形； ∴ ADCF  ， 10 CDAF ，∴ 40 AFABBF 在 BCFRt 中， ，∴ BF CFCFB cos ， ∴ ADCFBBFCF  325 440cos ………………………（1 分） ∴ 243240 2222  CFBFBC …………………………（1 分） ∴ 11624503210 ABCDC ．…………………………………（1 分） （2）过点 N 作 ABNQ  ，垂足为Q ．∴  90NQMNQA ，…（1 分） ∴ AN AQA cos ，∴ xAANAQ 5 4cos  ， ∴ MN MQNMA cos ，∴ yNMAMNMQ  cos ， ∵点 M 是边 AB 的中点，∴ 252 1  ABAM ， ∴ xy 5 425  ；…………………………………………………………（2 分） 定义域是0 ＜ x ＜ 4 125 ．…………………………………………………（1 分） （3）分别延长 BCAD、 交于点 E ，联结 EM ． ∵  90BA ，∴  90AEB ， 25 BMEMAM ； ∴ 405 450cos  AABAE ． 直线 MN 与直线 BC 交于点 P ，当 AP  时，分两种情况： 1 当点 P 在CB 的延长线上时， ∵ EMBM  ，∴ EBMBEM  ；∵  90ABEA ， ∴  90MEBP ，∴  90EMNEMP ； ∵ EMAM  ，∴ AAEM  ；∴ EN EMAEM cos ， ∴ 4 125 5 4 25 cos  A EMEN ；∴ 4 35 4 12540  ENAEAN .…（3 分） 2 当点 在 BC 的延长线上时， ∵  90PNEP ， PNEANM  ，∴  90ANMA ， ∴  90AMN ，∴ AN AMA cos ，∴ 4 125 5 4 25 cos  A AMAN .…（3 分） 综合 、 2 ，当 时， 4 35AN 或 4 125 ．