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- 2021-11-10 发布
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1
《圆》第一节 垂直于弦的直径导学案 1
主编人: 主审人:
班级: 学号: 姓名:
学习目标:
【知识与技能】
1 理解圆的轴对称性,掌握垂径定理及其他结论
2 学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题
3 了解拱高、弦心距等概念
【过程与方法】
经历探索发现圆的对称性,证明垂径定理及其他结论的过程,锻炼思维品质,学习证明的方法
【情感、态度与价值观】
在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后,还要求对发现的性质进行证明,培养学生的
新意识,良好的运用数学
【重点】
垂径定理及其推论
【难点】
垂径定理及其推论
学习过程:
一、自主学习
(一)复习巩固
判断:
1、直径是弦,弦是直径。 ( ) 2、半圆是弧,弧是半圆。 ( )
3、周长相等的两个圆是等圆。 ( ) 4、长度相等的两条弧是等弧。 ( )
5、同一条弦所对的两条弧是等弧。( ) 6、在同圆中,优弧一定比劣弧长。( )
7、请在图上画出弦 CD,直径 AB.并说明___________________________叫做弦;
_________________________________ 叫做直径.
8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出概念及表示方法.弧:___ _
半圆:_________________________ 优弧:________________ _ 表示方法:__
劣弧:______________________________ _,表示方法:______
9、同心圆: __________________ _ _等圆: __________________________ _.
10、同圆或等圆的半径_______.等弧: _______________________
(二)自主探究
请同学按下面要求完成下题:
如图,AB 是⊙O 的一条弦,作直径 CD,使 CD⊥AB,垂足为 M.
(1)如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
2
BA
C
D
O
M
圆是 对称图形,其对称轴是任意一条过 的直线.
(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?为什么?
相等的线段:
相等的弧:
这样,我们就得到垂径定理:
垂直于 的直径平分弦,并且平分弦所对的两条 .
表达式:
下面我们用逻辑思维给它证明一下:
已知:直径 CD、弦 AB 且 CD⊥AB 垂足为 M
求证:AM=BM,弧 AC=BC,弧 AD=BD.
分析:要证 AM=BM,只要证 AM、BM 构成的两个三角形全等.因此,只要连结 OA、
•OB 或 AC、BC 即可.
证明:如图,连结 OA、OB,则 OA=OB
在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中
∴Rt△OAM≌Rt△OBM( )
∴AM=
∴点 和点 关于 CD 对称
∵⊙O 关于 CD 对称
∴当圆沿着直线 CD 对折时,点 A 与点 B 重合,弧 AC 与 BC 重合,AD 与 CD 重合.
∴ , ,
进一步,我们还可以得到结论:
平分弦( )的直径垂直于 ,并且平分弦所对的两条 .
表达式:
(三)、归纳总结:
1.圆是 图形,任何一条 所在直线都是它的对称轴.
2.垂径定理
推论 .
(四)自我尝试:
1、辨析题:下列各图,能否得到 AE=BE 的结论?为什么?
BA
C
O
M
D
A B
C
O
E A B
O
E A B O
E
O
3
C BD
O
A
2、赵州桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4m,拱高(弧的中点到
弦的距离)为 7.2m,你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗?
注:在半径 r,弦 a,弦心距 d,拱高 h 四个量中,任意知道其中的 个量中,
利用 定理,就可以求出其余的量。
3、如图,两圆都以点 O 为圆心,求证 AC=BD
二、教师点拔
1、圆是轴对称图形,经过圆心的 都是它的对称轴。由此可得出垂径定理:垂直
于弦的直径 弦,并且 弦所对的两条弧。平分弦(不是直径)的直径 于弦,
并且 弦所对的两条弧。如果具备垂径定理五个条件中的任何两个,那么也就具备其
他三个及其推论,可以概括如下,对于一个圆和一条直线来说,如果一条直线具备① 经
过圆心,② 垂直于弦, ③平分弦(不是直径),④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的
劣弧,五个条件中的任何两个,那么也就具备了其他三个。在圆的有关计算和证明中,常
作圆心到 的垂线段,这样不仅为利用垂径定理创造条件,而且为构造直角三角形利用
勾股定理,沟通已知与未知量之间的关系创造条件。
2、本节学习的数学方法是数形结合和转化思想。
三、课堂检测
1、如图,在⊙O 中,弦 AB 的长为 8cm,圆心 O 到 AB 的距离为 3cm,求⊙O 的半径。
D D
A B E
D
O
A B
E
R
E
D
B A
C
4
C
E
D
O
F
2、如图,在⊙O 中,AB,AC 为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB 于 D,OE⊥AC 于 E,求
证四边形 ADOE 是正方形。
四、课外训练
1.P 为⊙O 内一点,OP=3cm,⊙O 半径为 5cm,则经过 P 点的最短弦长为________;•最长
弦长为_______.
2.如图 5,OE、OF 分别为⊙O 的弦 AB、CD 的弦心距,如果 OE=OF,那么_______(只需写
一个正确的结论)
(5) (6)
3.如图 6,⊙O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,则弦 CD 长
4.如图,一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中 CD,点 O 是 CD 弧所在圆的圆心,•其中
CD=300m,E 为 CD 弧上一点,且 OE⊥CD,垂足为 F,EF=45m,求这段弯路的半径.
5.AB 和 CD 分别是⊙O 上的两条弦,圆心 O 到它们的距离分别是 OM 和 ON,如果 AB>CD,OM
和 ON 的大小有什么关系?为什么?
B
A
C
E
D
O
B
A
C
E
D
O
F
O
B A
C
E
D
M
M
O
A
B
C
D
5