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  • 2021-11-10 发布

人教版9年级上册数学全册导学案《圆》第1节 垂直于弦的直径导学案1

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1 《圆》第一节 垂直于弦的直径导学案 1 主编人: 主审人: 班级: 学号: 姓名: 学习目标: 【知识与技能】 1 理解圆的轴对称性,掌握垂径定理及其他结论 2 学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题 3 了解拱高、弦心距等概念 【过程与方法】 经历探索发现圆的对称性,证明垂径定理及其他结论的过程,锻炼思维品质,学习证明的方法 【情感、态度与价值观】 在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后,还要求对发现的性质进行证明,培养学生的 新意识,良好的运用数学 【重点】 垂径定理及其推论 【难点】 垂径定理及其推论 学习过程: 一、自主学习 (一)复习巩固 判断: 1、直径是弦,弦是直径。 ( ) 2、半圆是弧,弧是半圆。 ( ) 3、周长相等的两个圆是等圆。 ( ) 4、长度相等的两条弧是等弧。 ( ) 5、同一条弦所对的两条弧是等弧。( ) 6、在同圆中,优弧一定比劣弧长。( ) 7、请在图上画出弦 CD,直径 AB.并说明___________________________叫做弦; _________________________________ 叫做直径. 8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出概念及表示方法.弧:___ _ 半圆:_________________________ 优弧:________________ _ 表示方法:__ 劣弧:______________________________ _,表示方法:______ 9、同心圆: __________________ _ _等圆: __________________________ _. 10、同圆或等圆的半径_______.等弧: _______________________ (二)自主探究 请同学按下面要求完成下题: 如图,AB 是⊙O 的一条弦,作直径 CD,使 CD⊥AB,垂足为 M. (1)如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 2 BA C D O M 圆是 对称图形,其对称轴是任意一条过 的直线. (2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?为什么? 相等的线段: 相等的弧: 这样,我们就得到垂径定理: 垂直于 的直径平分弦,并且平分弦所对的两条 . 表达式: 下面我们用逻辑思维给它证明一下: 已知:直径 CD、弦 AB 且 CD⊥AB 垂足为 M 求证:AM=BM,弧 AC=BC,弧 AD=BD. 分析:要证 AM=BM,只要证 AM、BM 构成的两个三角形全等.因此,只要连结 OA、 •OB 或 AC、BC 即可. 证明:如图,连结 OA、OB,则 OA=OB 在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中 ∴Rt△OAM≌Rt△OBM( ) ∴AM= ∴点 和点 关于 CD 对称 ∵⊙O 关于 CD 对称 ∴当圆沿着直线 CD 对折时,点 A 与点 B 重合,弧 AC 与 BC 重合,AD 与 CD 重合. ∴ , , 进一步,我们还可以得到结论: 平分弦( )的直径垂直于 ,并且平分弦所对的两条 . 表达式: (三)、归纳总结: 1.圆是 图形,任何一条 所在直线都是它的对称轴. 2.垂径定理 推论 . (四)自我尝试: 1、辨析题:下列各图,能否得到 AE=BE 的结论?为什么? BA C O M D A B C O E A B O E A B O E O 3 C BD O A 2、赵州桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4m,拱高(弧的中点到 弦的距离)为 7.2m,你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗? 注:在半径 r,弦 a,弦心距 d,拱高 h 四个量中,任意知道其中的 个量中, 利用 定理,就可以求出其余的量。 3、如图,两圆都以点 O 为圆心,求证 AC=BD 二、教师点拔 1、圆是轴对称图形,经过圆心的 都是它的对称轴。由此可得出垂径定理:垂直 于弦的直径 弦,并且 弦所对的两条弧。平分弦(不是直径)的直径 于弦, 并且 弦所对的两条弧。如果具备垂径定理五个条件中的任何两个,那么也就具备其 他三个及其推论,可以概括如下,对于一个圆和一条直线来说,如果一条直线具备① 经 过圆心,② 垂直于弦, ③平分弦(不是直径),④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的 劣弧,五个条件中的任何两个,那么也就具备了其他三个。在圆的有关计算和证明中,常 作圆心到 的垂线段,这样不仅为利用垂径定理创造条件,而且为构造直角三角形利用 勾股定理,沟通已知与未知量之间的关系创造条件。 2、本节学习的数学方法是数形结合和转化思想。 三、课堂检测 1、如图,在⊙O 中,弦 AB 的长为 8cm,圆心 O 到 AB 的距离为 3cm,求⊙O 的半径。 D D A B E D O A B E R E D B A C 4 C E D O F 2、如图,在⊙O 中,AB,AC 为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB 于 D,OE⊥AC 于 E,求 证四边形 ADOE 是正方形。 四、课外训练 1.P 为⊙O 内一点,OP=3cm,⊙O 半径为 5cm,则经过 P 点的最短弦长为________;•最长 弦长为_______. 2.如图 5,OE、OF 分别为⊙O 的弦 AB、CD 的弦心距,如果 OE=OF,那么_______(只需写 一个正确的结论) (5) (6) 3.如图 6,⊙O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,则弦 CD 长 4.如图,一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中 CD,点 O 是 CD 弧所在圆的圆心,•其中 CD=300m,E 为 CD 弧上一点,且 OE⊥CD,垂足为 F,EF=45m,求这段弯路的半径. 5.AB 和 CD 分别是⊙O 上的两条弦,圆心 O 到它们的距离分别是 OM 和 ON,如果 AB>CD,OM 和 ON 的大小有什么关系?为什么? B A C E D O B A C E D O F O B A C E D M M O A B C D 5