2020年广东省广州市从化区中考数学一模试卷 (含解析) 22页

2020 年广东省广州市从化区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1. 쳌 䁜 的值是 A. 5 B. 쳌 䁜 C. 1 䁜 D. 쳌 1 䁜 2. 四个几何体中，三视图都是相同图形的是 A. 长方体 B. 圆柱 C. 球 D. 三棱柱 3. 已知函数 t 1 ，则自变量 x 的取值范围是 A. 香쳌 1 B. 쳌쳌 1 C. 쳌 1 D. 쳌 1 4. 下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 A. B. C. D. 䁜. 已知关于 x 的一元二次方程 2 t ݉ 쳌 的一个实数根为 2，则另一实数根及 m 的值分别为 A. 4， 쳌 2 B. 쳌 4 ， 쳌 2 C. 4，2 D. 쳌 4 ，2 6. 下列运算错误的是 A. 4 4 B. 2 4 4 C. 2 t 2 2 2 D. 3 2 䁜 7. 为了帮助贫困儿童，某校团委在学校举行“送温暖，献爱心”捐款活动。某班 50 名学生捐款情 况如下表所示，则该班此次捐款金额的众数和中位数分别是 。 金额 元 10 20 30 50 100 人数 人 6 13 20 8 3 A. 20 元，20 元 B. 30 元，20 元 C. 30 元，30 元 D. 20 元，30 元 . 如图 AB 是 的直径，弦 ， 3 ， 4 3 ，则阴影 部分图形的面积为 A. 4 3 B. 3C. 4D. 9. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈 十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出 11 钱；每人出 6 钱，又差 16 钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为 x，买鸡的钱数为 y， 可列方程组为 A. 9 t 11 6 t 16 B. 9 쳌 11 6 쳌 16 C. 9 t 11 6 쳌 16 D. 9 쳌 11 6 t 16 1. 对于实数 a，b，定义运算“ ”如下： 2 쳌 ，例如， 䁜 3 䁜 2 쳌 䁜 3 1. 若 t 1 쳌 2 6 ，则 x 的值为 A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分） 11. 因式分解： 2 쳌 4 ______． 12. 将 450000 这个数用科学记数法表示为______ ． 13. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上， 1 3 ， 2 114 ， 则 3 的度数为______． 14. 已知线段 AB 的垂直平分线上有两点 E，F，直线 EF 交 AB 于点 C，且 7 ， 4䁜 ， 则 的度数为______． 1䁜. 如图，利用标杆 BE 测量楼房 CD 的高度，如果标杆 BE 长为 2.4 米，若 tan 3 4 ， 16.米，则楼高是_________． 16. 二次函数 2 t t 经过 䁜3 和 쳌 23 ，则当 _______时，函数取到最小值． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 102.0 分） 17. 解不等式组 1 2 쳌 1 7 쳌 3 2 䁜 쳌 2 쳌 3 t 1 ，并将解集在数轴上表示出来． 1. 已知：如图， ܲ ܲ ， ． 1 求证： ܲ≌ ܲ. 2 求证： 1 2 ． 19. 某网络约车公司近期推出了”520 专享”服务计划，即要求公司员工做到“5 星级服务、2 分钟 响应、0 客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管部门决定了解“单次营运里程”的分 布情况．老王收集了本公司的 5000 个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过 2䁜 公 里 ，他从中随机抽取了 200 个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表，并绘制了不完整的 频数分布直方图 如图 ． 求今年每部手机的售价是多， 1٤ 卖出的数量与去年卖出的数量相同，且销售总额比去年减少 手机专卖店经营的某种手机去年销售总额为 10 万元，今年每部售价比去年降低 500 元，若今年 2. 求出恰好抽到“一男一女”的概率． 画树状图或列表 列举法 通秩序维护”志愿小分队，若从该小分队中任意抽取两名司机在某一路口维护交通秩序，请用 成立了“交 男 1 女 3 为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的 4 名网约车司机 3 请估计该公司这 5000 个“单次营运里程”超过 20 公里的次数； 2 数分布直方图补充完整； 请把频 样本中“单次营运里程”不超过 15 公里的频率为______； ______； 表中 1 根据统计表、图提供的信息，解答下面的问题： 30 2 香 2䁜 第五组 24 1䁜 香 2 第四组 26 1 香 1䁜 第三组 a 䁜 香 1 第二组 72 香 䁜 第一组 频数 公里 组别 单次营运里程“x“ 少元． 21. 如图，已知 中，点 D 在边 AC 上，且 ． 1 用尺规作出 的平分线 ܲ 保留作图痕迹，不要求写作法 ： 2 在 1 中，设 CP 与 AB 相交于点 E，连接 . 求证： ． 22. 如图， 是 的内接三角形，且 AB 是 的直径，点 D 在 上，BD 平分 交 AC 于点 E， 交 BC 延长线于点 F． 1 求证：DF 是 的切线． 2 若 4 ， sin 3 䁜 ，求 DE 的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 1 2 t 䁜 和 쳌 2 的 图象相交于点 A，反比例函数 的图象经过点 A． 1 求反比例函数的表达式； 2 设一次函数 1 2 t 䁜 的图象与反比例函数 的图象的另 一个交点为 B，OB，求 的面积． 24. 在 中， ，点 D 为直线 BC 上一动点 点 D 不与 B、C 重合 以 AD 为边作正方形 ADEF，使 ，连接 CF． 1 如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，求证： ； 2 如图 2，当点 D 在线段 BC 的延长线上，且 9 时． 问 1 中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 延长 BA 交 CF 于点 G，连接 GE，若 2 2 ， ，请求出 GE 的长． 2䁜. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 是等腰直角三角形， 9 ，点 21 ． 1 求点 B 的坐标； 2 求经过 A、O、B 三点的抛物线的函数表达式； 3 在 2 所求的抛物线上，是否存在一点 P，使四边形 ABOP 的面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案与解析】 1.答案：A 解析： 本题主要考查了绝对值的性质 . 熟练掌握绝对值的性质及其定义是解题的关键 . 能熟练运用到实际运 算当中． 绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0． 解：根据负数的绝对值是它的相反数，得： 쳌 䁜 䁜 ． 故选 A． 2.答案：C 解析： 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 本题考查了几何体的三视图，从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看 到的图叫做俯视图． 解： A、长方体的三视图分别为长方形，长方形，正方形，不符合题意； B、圆柱的三视图分别为长方形，长方形，圆，不符合题意； C、球的三视图均为圆，正确； D、正三棱柱的主视图为两个长方形的组合体，左视图为长方形，俯视图为三角形，错误， 故选：C． 3.答案：D 解析：解：由题意得， t 1 ， 解得 쳌 1 ． 故选 D． 根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解． 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： 1 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； 2 当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； 3 当函数表达式是算术平方根时，被开方数非负． 4.答案：A 解析： 本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即 可． 解： . 是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D.是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意． 故选 A . 5.答案：D 解析： 【试题解析】 此题考查了根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 根据题意，利用根与系数的关系式列出关系式，确定出另一根及 m 的值即可． 解：由根与系数的关系式得： 22 쳌 ， 2 t 2 쳌 ݉ ， 解得： 2 쳌 4 ， ݉ 2 ， 则另一实数根及 m 的值分别为 쳌 4 ，2， 故选 D． 6.答案：D 解析：解：A、 4 4 ，运算正确，不符合题意； B、 2 4 4 ，运算正确，不符合题意； C、 2 t 2 2 2 ，运算正确，不符合题意； D、 3 2 6 ，运算错误，符合题意； 故选：D． 根据同底数幂的除法法则、积的乘方与幂的乘方法则、合并同类项法则计算，判断即可． 本题考查的是同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的 关键． 7.答案：C 解析： 此题考查了中位数与众数的知识 . 中位数是将一组数据从小到大 或从大到小 重新排列后，最中间的 那个数 或最中间两个数的平均数 ． 根据众数和中位数的定义求解即可，众数是出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大重新 排列后，找出最中间两个数的平均数． 解： 6 t 13 t 2 t t 3 䁜 ， 共有 50 个数， 中位数是第 25、26 个数的平均数， 中位数是 3 t 3 2 3 ， 出现次数最多的数是 30， 众数是 30， 中位数是 30，众数是 30， 故选 C． 8.答案：B 解析：解： 2 6 ， 又 ， 3 ， ， 1 2 1 2 2 3 ， 4 ． ， 则在 和 中， ， ≌ ， 阴影 扇形 64 2 36 3 ． 故选：B． 首先证明 1 2 1 2 ，则可以证得 ≌ ，则 阴影 扇形 ，利用扇形的面积公式 即可求解． 本题考查了扇形的面积公式，证明 ≌ ，得到 阴影 扇形 是本题的关键． 9.答案：D 解析：解：设人数为 x，买鸡的钱数为 y，可列方程组为： 9 쳌 11 6 t 16 ． 故选：D． 直接利用每人出九钱，会多出 11 钱；每人出 6 钱，又差 16 钱，分别得出方程求出答案． 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键． 10.答案：A 解析：解： t 1 쳌 2 6 ， t 1 2 쳌 t 1 쳌 2 2 t 2 t 1 쳌 2 쳌 쳌 2 3 t 3 ， 3 t 3 6解得： 1 ． 故选：A． 直接利用已知计算公式进而把已知代入求出答案． 此题主要考查了一元一次方程的解法，正确应用公式是解题关键． 11.答案： t 2 쳌 2 解析：解： 2 쳌 4 t 2 쳌 2 ． 故答案为： t 2 쳌 2 ． 直接利用平方差公式分解因式得出答案． 此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 12.答案： 4.䁜 1 䁜 解析： 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 1 ，其中 1 香 1 ，n 为整数，据此解答，确 定 a 与 n 的值是解题的关键． 解： 4䁜 4.䁜 1 䁜 ． 故答案为： 4.䁜 1 䁜 ． 13.答案： 36 解析：解： ， 2 114 ， 在 中， 3 1 쳌 1 쳌 1 쳌 3 쳌 114 36 ． 故答案为： 36 ． 首先根据平行线的性质求得 的度数，然后在 中，利用内角和定理即可求解． 本题重点考查了平行线的性质及对顶角相等的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等． 14.答案： 2䁜 或 6䁜 解析：解： 线段 AB 的垂直平分线上有两点 E，F，直线 EF 交 AB 于点 C， 9 ， 7 ， 4䁜 ， 4䁜 ， 2 ， 当点 E，F 在直线 AB 的同旁时， 쳌 2䁜 ， 当点 E，F 在直线 AB 的两旁时， 4䁜 t 2 6䁜 ， 综上所述， 的度数为 2䁜 或 6䁜 ， 故答案为： 2䁜 或 6䁜 ． 根据垂直的定义得到 9 ，根据三角形的内角和得到 4䁜 ， 2 ， 当点 E， F 在直线 AB 的同旁时， 当点 E，F 在直线 AB 的两旁时，根据角的和差即可得到结论． 本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确的作出图形是解题的关键． 15.答案：15 米 解析： 本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考 常考题型． 在 中求出 AB，再在 中求出 CD 即可． 解：在 中， 9 ， 2.4 米， ， 2.4 3 4 ， 3.2 米 ， t 3.2 t 16. 2 米 ， 在 中， ， 3 4 2 ， 1䁜 米 ， 故答案为 15 米． 16.答案： 3 2 解析：解： 二次函数 2 t t 中， 1 쳌 ， 函数有最小值， 二次函数 2 t t 经过 䁜3 和 쳌 23 ，两点的函数值相等， 对称轴为 䁜쳌2 2 3 2 ， 函数在 3 2 ，y 有最小值． 故答案为 3 2 ． 利用二次函数图象上点的坐标特征求得顶点的横坐标即可． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由条件求得二次函数的顶点横坐标是解题的关键． 17.答案：解： 1 2 쳌 1 7 쳌 3 2 䁜 쳌 2 쳌 3 t 1 解不等式 得： 4 ， 解不等式 得： 쳌 2.䁜 ， 不等式组的解集为 2.䁜 香 4 ， 在数轴上表示为 ． 解析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式 组的解集是解此题的关键． 18.答案：证明： 1 在 ܲ 和 ܲ 中， ܲ ܲ ܲ ܲ ܲ≌ ܲ ． 2 ܲ≌ ܲ ， ܲ ܲ ， 1 2 ． 解析：本题考查全等三角形的判定和性质．等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等 三角形解决问题，属于基础题． 1 根据 ASA 即可判断． 2 利用全等三角形的性质以及等边对等角即可证明． 19.答案： 14 ； .73 ； 2 估计该公司这 5000 个“单次营运里程”超过 20 公里的次数为 䁜 3 2 7䁜 次； 3 画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中恰好抽到一男一女的结果数为 6， 恰好抽到“一男一女”的概率为 6 12 1 2 ． 解析：解： 1 由条形图知 4 ； 样本中“单次营运里程”不超过 15 公里的频率为 72t4t26 72t4t26t24t3 .73 ； 补全图形如下： 故答案为： 4 ； .73 ； 2 见答案； 3 见答案． 1 由频数分布直方图可直接得出 a 的值； 用第一、二、三组的频数和除以总数量可得； 根 据分布表中数据即可得； 2 用总数量乘以样本中“单次营运里程”超过 20 公里的次数所占比例即可得； 3 画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出抽到一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合 事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率．也考查了统计图． 20.答案：解：设今年每部手机的售价是 x 元，则去年每部手机的售价是 t 䁜 元， ．，就可以得出结论 ≌ ，就可以由 SAS 证明 可以得出 由 CP 平分 2 根据尺规作图的基本作图作一个角的平分线的方法，就可以作出射线 CP； 1 时证明三角形全等是关键． 解析：本题考查了尺规作图的基本作图作一个角的平分线，全等三角形的判定及性质的运用，解答 ． ， ≌ ， 中， 和 在 ． 的平分线， 是 2 ܲ 射线 CP 即为所求． 解：如图 1 所示： 1 21.答案： 方程求解，注意检验． 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列 列方程求解．， 1٤ 比去年减少 元，根据今年的销售总额 t 䁜 解析：设今年每部手机的售价是 x 元，则去年每部手机的售价是 答：今年每部手机的售价是 4500 元． 是原分式方程的解，且符合题意． 4䁜 经检验， ， 4䁜 解得： ％ 11쳌1 t䁜 1 由题意得， 22.答案：解： 1 连接 OD， 平分 交 AC 于点 E， ， ， ， ， t 9 ， t 9 ， 9 ， 是 的切线； 2 连接 AD， 是 的直径， 9 ， 平分 交 AC 于点 E， ， 在 中， 4 ， sin sin 3 䁜 ， 3 ， ， sin sin 3 䁜 ， 在 中， sin 3 䁜 ， 设 3 ， 䁜 ， 쳌 根据勾股定理可得 3 2 t 9 䁜 2 ，解得 3 4 ， 9 4 ． 解析：本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关 键． 1 连接 OD，根据角平分线的定义得到 ，由等腰三角形的性质得到 ， 等量代换得到 ，推出 9 ，根据切线的判定定理得到结论； 2 连接 AD，根据圆周角定理得到 9 ，根据角平分线的定义得到 ，解直角 三角形得到 3 ，求得 9 4 ． 23.答案：解： 1 联立 1 2 t 䁜 和 쳌 2 并解得： 쳌 2 4 ，故点 쳌 2.4 ， 将点 A 的坐标代入反比例函数表达式得： 4 쳌2 ，解得： 쳌 ， 故反比例函数表达式为： 쳌 ； 2 联立 并解得： 쳌 2 或 쳌 ， 当 쳌 时， 1 2 t 䁜 1 ，故点 쳌 1 ， 设 1 2 t 䁜 交 x 轴于点 쳌 1 ，过点 A、B 分别作 x 轴的垂线交于点 M、N， 则 쳌 1 2 香 쳌 1 2 香 1 2 4 1 쳌 1 2 1 1 1䁜 ． 解析： 1 联立 1 2 t 䁜 和 쳌 2 并解得： 쳌 2 4 ，故点 쳌 2.4 ，进而求解； 2 쳌 1 2 香 쳌 1 2 香 ，即可求解． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程 思想，综合性较强． 24.答案： 1 证明：菱形 ADEF 中， ， ， ， 在 与 中， ， ≌ ， ； 2 解： 1 中的结论仍然成立；理由如下： 9 ， 在 与 中， ， ≌ ， ； 过 A 作 于 H，过 E 作 香 于 M， 香 于 N， 如图所示： 9 ， ， 2 4 ， 2 ， 4 ， 6 ， ， 四边形 ADEF 是正方形， ， 9 ， ， 香 ， 香 ， 四边形 CMEN 是矩形， 香 香 ， 香 香 ， 香 9 ， t 香 香 t 香 9 ， 香 ， 在 与 香 中， 香 香 ， ≌ 香 ， 香 6 ， 香 2 ， 香 香 6 ， 香 香 6 ， 4䁜 ，  4䁜 ，  是等腰直角三角形，  4 ， 香 2 ，  香 2 t 香 2 2 2 t 6 2 2 1 ． 解析： 1 由 SAS 证明 ≌ ，得出对应边相等即可； 2 由 SAS 证明 ≌ ，得出对应边相等即可； 过 A 作 于 H，过 E 作 香 于 M， 香 于 N，证出 香 ，由 AAS 证 明 ≌ 香 ，得出 香 6 ， 香 2 ，得出 香 香 6 ， 香 香 6 ，证出  是等腰直角三角形，得出  4 ，求出 香 2 ，由勾股定理求出 GE 的长即可． 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰直角 三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三 角形全等是解决问题的关键． 25.答案：解： 1 如图 1，过 A 作 轴于点 C，过 B 作 轴于点 D， 为等腰三角形， ， 9 ， t t 9 ， ， 在 和 中 ≌ ， 21 ， 1 ， 2 ， 쳌 12 ； 2 抛物线过 O 点， 可设抛物线解析式为 2 t ， 把 A、B 两点坐标代入可得 4 t 2 1 쳌 2 ， 解得 䁜 6 쳌 7 6 ， 经过 A、B、O 原点的抛物线解析式为 䁜 6 2 쳌 7 6 ； 3 四边形 ABOP， 可知点 P 在线段 OA 的下方， 过 P 作 ܲ 轴交 AO 于点 E，如图 2， 设直线 AO 解析式为 ， 21 ， 1 2 ， 直线 AO 解析式为 1 2 ， 设 P 点坐标为 䁜 6 2 쳌 7 6 ，则 1 2 ， ܲ 1 2 쳌 䁜 6 2 쳌 7 6 쳌 䁜 6 2 t 䁜 3 쳌 䁜 6 쳌 1 2 t 䁜 6 ， ܲ 1 2 ܲ 2 ܲ 쳌 䁜 6 쳌 1 2 t 䁜 6 ， 由 21 可求得 䁜 ， 1 2 䁜 2 ， 四边形 ܲ t ܲ 쳌 䁜 6 쳌 1 2 t 䁜 6 t 䁜 2 1 3 ， 쳌 䁜 6 香 ， 当 1 时，四边形 ABOP 的面积最大，此时 P 点坐标为 1 쳌 1 3 ， 综上可知存在使四边形 ABOP 的面积最大的点 P，其坐标为 1 쳌 1 3 ． 解析：本题为二次函数的综合应用，主要涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、全等三角形的 判定和性质、三角形的面积以及方程思想等知识．在 1 中构造三角形全等是解题的关键，在 2 中 注意待定系数法的应用，在 3 中用 t 表示出四边形 ABOP 的面积是解题的关键．本题考查知识点较 多，综合性较强，难度适中． 1 过 A 作 轴于点 C，过 B 作 轴于点 D，则可证明 ≌ ，则可求得 OD 和 BD 的长，可求得 B 点坐标； 2 根据 A、B、O 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； 3 由四边形 ABOP 可知点 P 在线段 AO 的下方，过 P 作 ܲ 轴交线段 OA 于点 E，可求得直线 OA 解析式，设出 P 点坐标，则可表示出 E 点坐标，可表示出 PE 的长，进一步表示出 ܲ 的面积， 则可得到四边形 ABOP 的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时 P 点的坐标．