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- 2021-11-10 发布
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- 1 -
一元一次不等式(组)应用
◆ 课前热身
1.一罐饮料净重 500 克,罐上注有“蛋白质含量≥0.4% ”,则这罐饮料中蛋白质的含量
至少为__________克.
2.据佛山日报报道,6月1日佛山市最高气温是33℃,最低气温是24℃,则当天佛山市气温t
(℃)的变化范围是( )
A. 33t B. 24t ≤ C. 24 33t D. 24 33t≤ ≤
3.某公司打算至多用 1200 元印制广告单.已知制版费 50 元,每印一张广告单还需支付 0.3
元的印刷费,则该公司可印制的广告单数量 x (张)满足的不等式为 .
4.不等式组
2 5 0
1 12
x
x
≥
所有整数解的和是 .
【参考答案】
1.2 2. D 3.50 0.3 1200x ≤ 4.3
◆考点聚焦
知识点
一元一次不等式组应用
大纲要求
能应用一元一次不等式(组)的知识分析和解决简单的数学问题和实际问题.
考查重点与常见题型
考查解一元一次不等式(组)的能力,有关试题多为解答题
◆备考兵法
判断不等式是否成立,关键是分析不等号的变化,其根据是不等式的性质.
◆考点链接
1.求不等式(组)的特殊解:
不等式(组)的解往往有无数多个,但其特殊解在某些范围内是有限的,如整数解,非
负整数解,求这些特殊解应先确定不等式(组)的解集,然后再找到相应答案.
2.列不等式(组)解应用题的一般步骤:
①审:审题,分析题中已知什么、求什么,明确各数量之间的关系;②找:找出能够表
示应用题全部含义的一个不等关系;③设:设未知数(一般求什么,就设什么为 x ;④
- 2 -
列:根据这个不等关系列出需要的代数式,从而列出不等式(组);⑤解:解所列出的
不等式(组),写出未知数的值或范围;⑥答:检验所求解是否符合题意,写出答案(包
括单位).
◆典例精析
例 1.(湖南长沙)已知关于 x 的不等式组 0
5 2 1
xa
x
≥ ,
只有四个整数解,则实数 a 的取值范
围是 .
【答案】 23 a
【解析】本题考查了不等式组的解法。解 axax 得,0 ①
解 2125 xx 得, ②,
因为该不等式组有解,由①、②得该不等式组解集为 2 xa ,
用数轴表示为
由图可得实数 a 的取值范围是 。
例 2.(四川凉山州)我国沪深股市交易中,如果买、卖一次股票均需付交易金额的 0.5%作
费用.张先生以每股 5 元的价格买入“西昌电力”股票 1000 股,若他期望获利不低于 1000
元,问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出?(精确到 0.01 元)
【分析】利润=销售额-本钱,在买入股票时,交易中的本钱不仅是 1000 5=5000 元,还有交易
税即 50000.5%元,在卖出股票时,实际所得的钱也要扣掉交易税即交易的钱的 0.5%.
解:设至少涨到每股 x 元时才能卖出.
根据题意得1000 (5000 1000 ) 0.5% 5000 1000xx ≥ ,
解这个不等式得 1205
199x≥ ,即 6.06x≥ .,
答:至少涨到每股 6.06 元时才能卖出.
例 3.(河南)某家电商场计划用 32400 元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、
洗衣机共 l5 台.三种家电的进价和售价如下表所示:
3 2 0 1 -1 -2 -3
- 3 -
(1)在不超出现有资金的前提下,若购进电视机的数量和冰箱的数量相同,洗衣机数量不大
于电视机数量的一半,商场有哪几种进货方案?
(2)国家规定:农民购买家电后,可根据商场售价的 13%领取补贴.在(1)的条件下.
如果这 15 台家电全部销售给农民,国家财政最多需补贴农民多少元?
【分析】(1)首先由题意正确设出三种电器的台数,进而根据题意列出不等式组求解。
(2)根据(1)中方案的实际补贴进行比较即可。
解:设购进电视机、冰箱各 x 台,则洗衣机为(15-2x)台
15-2x≤ 1
2 x ,
依题意得:
2000x+2400x+1600(15-2x)≤32400
解这个不等式组,得 6≤x≤7
∵x 为正整数,∴x=6 或 7
方案 1:购进电视机和冰箱各 6 台,洗衣机 3 台;
方案 2:购进电视机和冰箱各 7 台,洗衣机 1 台
(2)方案 1 需补贴:(6×2100+6×2500+1×1700)×13%=4251(元);
方案 2 需补贴:(7×2100+7×2500+1×1700)×13%=4407(元);
∴国家的财政收入最多需补贴农民 4407 元.
◆迎考精炼
一、选择题
1.(湖南长沙)已知三角形的两边长分别为 3cm 和 8cm,则此三角形的第三边的长可能是
( )
A.4cm B.5cm C.6cm D.13cm
- 4 -
2.(广西崇左)不等式组 2
21
x
x
≤
的整数解共有( )
A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个
二、填空题
1.(青海)不等式组
2 5 0
1 12
x
x
≥
所有整数解的和是 .
2.(四川凉山州)若不等式组 2
20
xa
bx
的解集是 11x ,则 2009()ab .
三、解答题
1.(2009 年重庆)解不等式组: 30
3( 1) 2 1
x
xx
, ①
≤ . ②
2.(山东临沂)解不等式组 3 (2 1) 2
10 2(1 ) 3( 1)
x
xx
≥
,并把解集在数轴上表示出来.
3.(贵州黔东南州)若不等式组
12
1
mx
mx 无解,求 m 的取值范围.
4.(浙江义乌)据统计,底义乌市共有耕地 267000 亩,户籍人口 724000 人,2004 年底至底
户籍人口平均每两年...约增加 2%,假设今后几年继续保持这样的增长速度。(本题计算结果精
确到个位)
(1)预计 2012 年底义乌市户籍人口约多少人?
(2)为确保 2012 年底义乌市人均耕地面积不低于现有水平,预计底至 2012 年底平均每年
耕地总面积至少应该增加多少亩?
5.(湖南益阳)开学初,小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用 18 元钱买了 1 支钢
笔和 3 本笔记本;小亮用 31 元买了同样的钢笔 2 支和笔记本 5 本.
(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格;
(2)校运会后,班主任拿出 200 元学校奖励基金交给班长,购买上述价格的钢笔和笔记本
共 48 件作为奖品,奖给校运会中表现突出的同学,要求笔记本数不少于钢笔数,共有
多少种购买方案?请你一一写出.
- 5 -
6.(湖南株洲)初中毕业了,孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取 140~200 元钱,买一份礼
物送给父母.已知:在暑假期间,如果卖出的报纸不超过 1000 份,则每卖出一份报纸可得
0.1 元;如果卖出的报纸超过 1000 份,则超过部分....每份可得 0.2 元.
(1)请说明:孔明同学要达到目的,卖出报纸的份数必须超过 1000 份.
(2)孔明同学要通过卖报纸赚取 140~200 元,请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内.
7.(四川眉山)“六一”前夕,某玩具经销商用去 2350 元购进 A、B、C 三种新型的电动玩
具共 50 套,并且购进的三种玩具都不少于 10 套,设购进 A 种玩具 x 套,B 种玩具 y 套,三
种电动玩具的进价和售价如右表所示,
⑴用含 、 y 的代数式表示购进 C 种玩具的套数;
⑵求 与 x 之间的函数关系式;
⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出,且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用
200 元。
①求出利润P(元)与 (套)之间的函数关系式;②求出利润的最大值,并写出此时三种玩具
各多少套.
8.(广西桂林)在保护地球爱护家园活动中,校团委把一批树苗分给初三(1)班同学去栽
种.如果每人分 2 棵,还剩 42 棵;如果前面每人分 3 棵,那么最后一人得到的树苗少于 5
棵(但至少分得一棵).
(1)设初三(1)班有 x 名同学,则这批树苗有多少棵?(用含 的代数式表示).
(2) 初三(1)班至少有多少名同学?最多有多少名
9.(山西太原) 某公司计划生产甲、乙两种产品共 20 件,其总产值 w(万元)满足:1150
< <1200,相关数据如下表.为此,公司应怎样设计这两种产品的生产方案.
产品名称 每件产品的产值(万元)
甲 45
乙 75
10.(湖北孝感)5 月份,某品牌衬衣正式上市销售.5 月 1 日的销售量为 10 件,5 月 2 日
- 6 -
的销售量为 35 件,以后每天的销售量比前一天多 25 件,直到日销售量达到最大后,销售量
开始逐日下降,至此,每天的销售量比前一天少 15 件,直到 5 月 31 日销售量为 0.设该品
牌衬衣的日销量为 p(件),销售日期为 n(日),p 与 n 之间的关系如图所示.
(1)写出 p 关于 n 的函数关系式 p = (注明 n 的取值范围);
(2)经研究表明,该品牌衬衣的日销量超过 150 件的时间为该品牌衬衣的流行期.请问:
该品牌衬衣本月在市面的流行期是多少天?
(3)该品牌衬衣本月共销售了 件.
11.(四川绵阳)李大爷一年前买入了相同数量的 A、B 两种种兔,目前,他所养的这两种种
兔数量仍然相同,且 A 种种兔的数量比买入时增加了 20 只,B 种种兔比买入时的 2 倍少 10
只.
(1)求一年前李大爷共买了多少只种兔?
(2)李大爷目前准备卖出 30 只种兔,已知卖 A 种种兔可获利 15 元/只,卖 B 种种兔
可获利 6 元/只.如果要求卖出的 A 种种兔少于 B 种种兔,且总共获利不低于 280 元,那么
他有哪几种卖兔方案?哪种方案获利最大?请求出最大获利.
【参考答案】
- 7 -
一、选择题
1. C
2.C 解析:由(1)得 x≥-2,由(2)得 x<3,解集为:-2<x<3,整数解有-1,0,1,2
四个
二、填空题
1.3
2. 1
三、解答题
1.解:由①得 3x ,
由②得 2x ,
所以不等式组的解集是 32x ≤ .
2.解:解不等式 3 2 1 2x ≥ ,得 3x ≤ .
解不等式 10 2(1 ) 3( 1)xx ,得 1x .
所以原不等式组的解集为 13x ≤ .
把解集在数轴上表示出来为
3.解:因为原不等式组无解,所以可得到: 121 mm
解这个关于 m 的不等式得: 2m
所以 m 的取值范围是 2m .
4.解:(1) 2724000 (1 2%) 753249.6 753250 ≈
(2)设平均每年耕地总面积增加 x 亩,
2
267000 4 267000
724000(1 2%) 724000
x
≥
2696.7 2697x≥ ≈
答:2012 年底义乌市户籍人口约 753250 人;平均每年耕地总面积至少增加 2697 亩.
5.解:(1)设每支钢笔 x 元,每本笔记本 y 元
依题意得:
3152
183
yx
yx
1 0 2 3 1
- 8 -
解得:
5
3
y
x
答:每支钢笔 3 元,每本笔记本 5 元
(2)设买 a 支钢笔,则买笔记本(48-a)本
依题意得:
aa
aa
48
200)48(53
解得: 2420 a
所以,一共有5种方案.
即购买钢笔、笔记本的数量分别为:
20,28; 21,27; 22,26; 23,25; 24,24.
6.(1)如果孔明同学卖出 1000 份报纸,则可获得:1000 0.1 100 元,没有超过 140 元,
从而不能达到目的.
(2)设孔明同学暑假期间卖出报纸 x 份,由(1)可知 1000x ,依题意得:
1000 0.1 0.2( 1000) 140
1000 0.1 0.2( 1000) 200
x
x
解得 1200 1500x
答:孔明同学暑假期间卖出报纸的份数在 1200~1500 份之间.
7.(1)购进 C 种玩具套数为:50-x-y(或 47-
5
4 x-
10
11 y)
(2)由题意得 40 55 50( ) 2350x y x y
整理得 2 30yx
(3)①利润=销售收入-进价-其它费用
(50 40) (80 55) (65 50)(50 ) 200p x y x y
又∵ ∴整理得
②购进 C 种电动玩具的套数为:50 50 (2 30) 80 3x y x x x
据题意列不等式组
10
2 30 10
80 3 10
x
x
x
,解得 7020 3x ∴x 的范围为 ,且
x 为整数 x 的最大值是 23
- 9 -
∵在 15 250px中, 15k >0 ∴P 随 x 的增大而增大
∴当 x 取最大值 23 时,P 有最大值,最大值为 595 元.此时购进 A、B、C 种玩具分别
为 23 套、16 套、11 套.
8.解(1)这批树苗有( 2 42x )棵
(2)根据题意,得 2 42 3( 1) 5
2 42 3( 1) 1
xx
xx
≥
解这个不等式组,得 40< x ≤44
答:初三(1)班至少有 41 名同学,最多有 44 名同学.
9.解:设计划生产甲产品 x 件,则生产乙产品 20 x 件,
根据题意,得
45 75 20 1150
45 75 20 1200
xx
xx
,
.
解得 3510 3x .
x为整数,∴ 11x .此时, 20 9x( 件).
答:公司应安排生产甲产品 11 件,乙产品 9 件.
10.解:(1) 25 15 (1 12
15 465 (12 31
n n n
p
n n n
≤ ≤ ,且 为整数)
≤ ,且 为整数)
;
(2)由题意,有:
25 15 150
15 465 150.
n
n
;
解得, 36 21
5
n ,整数 n 的值可取 7,8,9,……20 共 14 个.
∴该品牌衬衣本月在市面的流行期为 14 天.
(3)4335 件.
11.(1)设李大爷一年前买 A、B 两种种兔各 x 只,则由题意可列方程为
x + 20 = 2x-10,解得 x = 30. 即一年前李大爷共买了 60 只种兔.
(2)设李大爷卖 A 种兔 x 只,则卖 B 种兔 30-x 只,则由题意得
x<30-x, ①
15x +(30-x)×6≥280, ②
- 10 -
解 ①,得 x<15; 解 ②,得 x≥
9
100 , 即
9
100 ≤x<15.
∵ x 是整数, ≈11.11, ∴ x = 12,13,14.
即李大爷有三种卖兔方案:
方案一 卖 A 种种兔 12 只,B 种种兔 18 只;可获利 12×15 + 18×6 = 288(元);
方案二 卖 A 种种兔 13 只,B 种种兔 17 只;可获利 13×15 + 17×6 = 297(元);
方案三 卖 A 种种兔 14 只,B 种种兔 16 只;可获利 14×15 + 16×6 = 306(元).
显然,方案三获利最大,最大利润为 306 元.
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