全国中学生物理竞赛课件16：热力学基础 35页

热一律应用于理想气体等值过程♠ ( )2 2 2 i m i iE N kT RT pVM      i为分子自由度 单原子分子 i=3 双原子分子 i=5 多原子分子 i=6 定容比热 cV 定容比热 cp p VC C R  2p V C i C i   Q E W  放 ΔE＝Ｗ 绝热膨胀降压降 温时，对外做功， 内能减少；绝热 压缩升压升温时， 外界做功，内能 增加；功量等于 内能增量 ΔE ＝Q 等容升温升压时， 气体吸热，内能 增加；等容降温 降压时，气体放 热，内能减 少．热量等于内 能增量 0＝W+Q 等温膨胀降压时， 对外做功，气体吸 热；等温压缩升压 时，外界做功，气 体放热；功量等于 热量，内能保持不 变 热 一 律 形 式 Q＝０Q,W,ΔE≠0W＝0ΔE＝０ 特 征 绝热变化等压变化等容变化等温变化过 程 1 1 2 2 l ln n Vm RTM V Q W pm RTM p    等压降温压缩时， 放热并外界做功， 内能减少 ΔE＝Q +W 等压升温膨胀时， 吸热并对外做功， 内能增加 2 1 0 VQ m c T T W M    Q E W   吸    2 1 2 1p V V T W m R TM     2 1 0 V mW c T TM Q     0 W Q  0E  E Q   2 1V mE C T TM    E W Q    2 1V mE c T TM    E W   2 1V mE c T TM    绝热膨胀时,对外做功量等于内能的减少: 0( )2 iW E NR T T    0 0( )2 p Vi pVNR NR NR   0 0 1 p V pV    2i i   理想气体做绝热膨胀，由初状态（p0，V0）至末状态（p， V），试证明在此过程中气体所做的功为 0 0 1 p V pVW    等容升温时,吸收的电热全部用作增加内能: 1 0( )VQ E C n T T    1 0( )pQ E W C n T T     1 0 0 0( )V p V p VC n nR nR  1 0 0( )VC p p VR   0 1 0 0( )p p V p VC n nR nR    0 1 0 pC p V VR    则 p V C C  为了测定气体的γ( )，有时用下列方法：一定量的气体初始的温 度、压强和体积分别为T0、p0、V0．用一根通有电流的铂丝对它加热．设两次加热的电流 和时间都相同．第一次保持气体体积V0不变，温度和压强各变为T１和p１；第二次保持压 强p0不变，而温度和体积各变为T２和V１．试证明 p V C C  1 0 0 1 0 0 ( ) ( ) p p V V V p    等压升温时,吸收的电热用作增加内能与对外做功:     0 1 0 0 1 0 V p p p V V    1中活塞下气体压强为 1 2 / 2m0n M T mg S 0 0 nRTmgV nRT hS mg   由 1中活塞下气体内能为 0 0 3 2E n RT 打开活栓重新平衡后 m 2中活塞下气体压强为 2 mg S 2 2 mg nRTV nRT HS mg    由 2中活塞下气体内能为 0 3 2E n RT  由能量守恒可得:  0 3 2 2 2 2 h H HnR T T nMg mg h                   0 0 0 3 22 2 nMgnR T T nR T T nR T Tmg      0 26 27T T 两个相同的绝热容器用带有活栓的绝热细管相连，开始时活栓是关闭 的，如图，容器1里在质量为m的活塞下方有温度T0、摩尔质量M、摩尔数n的单原子理想 气体；容器2里质量为m/2的活塞位于器底且没有气体．每个容器里活塞与上顶之间是抽成 真空的．当打开活栓时容器1里的气体冲向容器2活塞下方，于是此活塞开始上升（平衡时 未及上顶），不计摩擦，计算当活栓打开且建 立平衡后气体的温度T，取 5m nM  热容量定义 p P tC T        1 1 4 40 0 0 01 1T t t t T t tT t t                 其中       1 3 1 4 4 40 0 0 0 11 1 14T t t t t t t t t                                3 0 4014 T t t        3 0 0 4 T T T        3 0 0 4 p P T T Tc         在大气压下用电流加热一个绝热金属片，使其在恒定的功率P下获得 电热能，由此而导致的金属片绝对温度T随时间t的增长关系为 ．其中Ｔ0、 α、t0均为常量．求金属片热容量Cp(T)．（本题讨论内容，自然只在一定的温度范围内适 用） 1/ 4 0 0( ) 1 ( )T t T t t     设混合气体的自由度为i, 2 11 7 i i  由 7 2i   1 2 1 2 3 5 7 2 2 4RT RT RT         混合前后气体总内能守恒: 1 23  3 即 由v1摩尔的单原子分子理想气体与v2摩尔双原子分子理想气体混合组 成某种理想气体，已知该混合理想气体在常温下的绝热方程为 常量．试求v1与v2的 比值α. 11 7PV  一个高为152 cm的底部封闭的直玻璃管中下半部充满双原子分子理 想气体，上半部是水银且玻璃管顶部开口，对气体缓慢加热，到所有的水银被排出管外时， 封闭气体的摩尔热容随体积如何变化？传递给气体的总热量是多少？ (大气压强p0=76 cmHg) 取76cmHg为单位压强,76cm长管容为单位体积, 在此单位制下,气体的p-V关系为  1 2 3p V V     1 2 21 p 2 0 1 1 2 2T T nR  由图知   1 max 32 1 V V T T  由 1.5 2.25 m RT n  从T1到Tm 过程,对外做功,内能增加,故: 1Q W E  吸 2 1.5 0.52    5 2.25 2 2 nR nR      3 2  从Tm到T2 过程,对外做功,内能减少,故: Q W E  吸2 p    1 1.5 3 1.52 p p       2.25 35 2 p pnR nR        续解 已知0.1摩尔单原子气体作如图所示变化,求变 化过程中出现的最高温度与吸收的热量 B 31 p/atm 1.5 0 V/L 0.5 2 p A 1.0 气体的p-V关系为 12 2p V  由气体方程 0.1pV RT  2 2 0.1p p RT  当p=1.0atm、V=2L时有最高温度 至此气体对外做功，吸收热量， 内能增大！ 1Q W E  吸1 此后气体继续对外做功，吸收热量，内能减少， 1W 2 2Q W E  吸2 2W 全过程气体共吸收热量为 Q Q Q 吸 吸1 吸2 返回 23 7.5 4.5p p     2 33 1.25 16p    当 时0 2 3 16 1.25 3 mp p Q 吸 全过程气体共吸收热量为  0 0 27 16Q p V吸      2.25 351 1.5 3 1.52 2 p pnRp nRQ p              吸2 查阅 在两端开口的竖直Ｕ型管中注入水银，水银柱的全长为h．将一边 管中的水银下压，静止后撤去所加压力，水银便会振荡起来，其振动周期为 ; 若把管的右端封闭，被封闭的空气柱长L，然后使水银柱做微小的振荡，设空气为理想气体， 且认为水银振荡时右管内封闭气体经历的是准静态绝热过程，大气压强相当h0水银柱产生 的压强．空气的绝热指数为γ．(1)试求水银振动的周期T2；(2)求出γ与T1、T2的关系式. 1 2 2 hT g  y (Δm)max yyma x Δm O A B C 考虑封闭气体,从A状态到C状态,由泊松方程: 0 ( ) [( ) ]yp LS p L y S   γ 0 0[( ) 1]y Lp p pL y    0(1 1)y pL    0h g yL     0 2( )yF p S p S m g    0( ) 2yp p S ySg   0 2h gyS ySgL      0( 2 )h gS Sg yL     考虑封闭气体在C状态时液柱受 力,以位移方向为正,有: 2 2 mT k  0 2 2 hS h gS SgL      0 2 (2 ) h h gL    2 01 2 1 2 hT T L        2 1 0 2 2 1TL h T            设热气球具有不变的容积VB=1.1 m3，气球蒙皮体积与VB 相比可 忽略不计，蒙皮的质量为mH=0.187 kg，在外界气温t1=20℃，正常外界大气压 p1=1.013×105 Pa的条件下，气球开始升空，此时外界大气的密度是ρ1=1.2 kg/m3．(1) 试问气球内部的热空气的温度t2应为多少，才能使气球刚好浮起？(2) 先把气球系在地面上， 并把其内部的空气加热到稳定温度t3=110℃，试问气球释放升空时的初始加速度a等于多少？ （不计空气阻力）(3) 将气球下端通气口扎紧，使气球内部的空气密度保持恒定．在内部空 气保持稳定温度t3=110℃的情况下，气球升离地面，进入温度恒为20℃的等温大气层 中．试问，在这些条件下，气球上升到多少高度h能处于力学平衡状态？（空气密度随高度 按玻尔兹曼规律 分布，式中m为空气分子质量，k为玻耳兹曼常数，T为绝 对温度）(4) 在上升到第3问的高度h时，将气球在竖直方向上拉离平衡位置10 cm，然后再 予以释放，试述气球将做何种运动 1/ 1 mgh kT h e   解答 H tm g mF g 浮BV g 1 1 2 2T T 而由 2 1 2 293 Bm VT 可得 2 68.4t  ℃ ⑵热气球内加热到t3 1 1 3 3T T 由  1 3 3B H B H BV g m g V g m V a      21.03m/sa  ⑶气球上升到h高处平衡时满足 3h B H BV g m g V g   1/3 1 mgh kTH B h B m V eV     1 1 B H 3 B lnkT Vh mg m V     827m ⑷气球在平衡位置上方x(<0 W=W1-W2<0 Q W吸 逆循环中: W 2 W 1 Q W1<0 p 0 V W2>0 W=W2-W1>0 Q W放 做正循环的系统，在膨胀阶段所吸收的热量Q1大于在压缩阶段 放出热量Q2，其差值Q1-Q2在循环中转变为系统对外所做的功W， 能完成这种转变的机械称为热机，热机就是正循环工作机. 水池 水泵 锅炉 水泵 冷凝器 气缸 Q 1 Q2 1 W Q   1 2 1 Q Q Q  2 1 1 Q Q   1 mol 氦气经过如图所示的循环过程，其中 , 求 1→2、2→3、3→4、4→1各过程中气体吸收的热量和热机的效率 2 12p p 4 12V V 1 4 1V 4V 2 3 1p 2p P Vo 12Q 34Q 41Q 23Q 由理想气体状态方程得 2 12T T 3 14T T 4 12T T 12 ,m 2 1 ,m 1( )V VQ C T T C T   23 ,m 3 2 ,m 1( ) 2p pQ C T T C T   34 ,m 4 3 ,m 1( ) 2V VQ C T T C T    41 ,m 1 4 ,m 1( )p pQ C T T C T    1 12 23Q Q Q  ,m 1 ,m 12V pC T C T  2 1 4 1 ( )( )W p p V V   1 1 1pV RT  1 2 1 1 Q Q WQ Q   1 1 ,m(3 2 )V RT T C R   15.3% ,m3 2VC R 做逆循环的系统，依靠外界对系统所做的功,使系统从低温热源 处吸收热量，并将外界对系统做的功和由低温热源所吸取的热在 高温处通过放热传递给外界，能完成这种转变的机械称为致冷机， 致冷机是逆循环工作机. 2e Q W  1 W Q   1 2 1 Q Q Q  2 1 1 Q Q   卡诺循环是由两个准静态等温过程和两个准静 态绝热过程组成 ,只在两个有恒定温度的高、低温热 源吸、放热的理想循环. W 1T1p 2p 4p 3p 1V 4V 2V 3V 1 2T T V p o A B C 2T D 低温热源 2T 高温热源 1T 卡诺热机 1Q 2Q W 1 2W Q Q  2 1 1 2 1 1Q T Q T      1 2 1 2 Q Q T T  可逆过程与不可逆过程♠ 一台电冰箱放在室温为 的房间里 ，冰箱储 藏柜中的温度维持在 . 现每天有 的热量自房 间传入冰箱内 , 若要维持冰箱内温度不变 , 外界每天需做多 少功 , 其功率为多少? 设在 至 之间运转的致冷机 ( 冰箱 ) 的致冷系数, 是卡诺致冷机致冷系数的 55% . 5 C 20 C 72.0 10 J 5 C 20 C 2 1 2 5555% 10.2100 Te e T T     卡 由致冷机致冷系数 2 1 2 Qe Q Q   21 1 eQ e Q得 房间传入冰箱的热量 ' 72.0 10 JQ   ' 2Q Q热平衡时 ' 7 1 2 1 1 2.2 10 Je eQ Q Qe e     則 保持冰箱储藏柜在 , 每天需做功 5 C ' 7 1 2 1 0.2 10 JW Q Q Q Q      70.2 10 24 3600 WP Wt    故功率 23W 定容摩尔热容量CV为常量的某理想气体， 经历如图所示的p—V平面上的两个循环过程A1B1C1A1和 A2B2C2A2，相应的效率分别为η1和η2，试比较η1和η2的 大小. p B1 B2 C2 C1A1 A2 O V1 V2 V 1 W Q   1 1 1 11 2 1 2 1 1 1( )( ) ( )( )2 2B C B AW p p V V p p V V      1 1 2 1 )(B Ap p k V V  又 2 1 2 1 1 ( )2W k V V  W 1 W 22 2 2 1 1 ( )2W k V V 同理 A1→B1过程吸热:  1 1 1B A mQ C T TM  吸 对此多方过程,多 方指数 n=-1!    1 V n Cn   1 2BMP V mR 1 1AMP V mR 2 2kV 2 1kV 2 2 1 2 1 1 2 V kQ C V VR   吸  2 2 2 1 1 2 V kQ C V VR    2吸同理 1 2        2 1 2 11 V R V V C V V    　　　　　 设有一以理想气体为工作物质的热机循环，如图所示， 试证明其效率为 绝热 p VV2 V1 p2 p1 1 23 W Q   吸 1→2过程对外做功,且: 1 2 2 1 1 2 1 p V p VW E      2→3过程外界对气体做功:  2 3 2 1 2W p V V   3→1过程吸热:   1 2 2 2 1 32 2 p V p Vi iQ n R T T n R nR nR          1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 p V p V p p V VV p V         1 2 1 2 1 1 1 V V p p               1 2 2 2 1 p V p V    2 1 1 ln 8.31 400 ln 5JVQ RT V     在400 K等温过程中对外做的功与从高温热源所吸收的热 相同: 35.35 10 J 1 2 1 2 Q Q T T 由 2 1 3 4Q Q 在300 K等温过程中向低温热源放热为: 34.01 10 J 在卡诺循环中的净功为: 1 3 2 1.34 10 JW Q Q    　　　　　 １mol理想气体在400 K—300 K之间完成一卡诺循 环．在400K等温线上，起始体积为0.0010 m3，最后体积为0.0050 m3， 计算气体在此过程中所做的功，以及从高温热源吸收的热量和传给 低温热源的热量. 对过程12341: 12341 0 0W p V净功 吸热  1 2 2 1 0 0 3 2 3 2Q T V pR T     2 3 3 2 0 02p p CQ C T T p VR    2 p p Ci i C R    由 5 21 2 3 4 1 2 1 3 W Q    吸 对过程15641: 15641 0 03W p V 1 4 4 5 0 0 0 0 3 3 42 pCQ Q p V p VR    0 0 29 2 p V 1 5 6 4 1 6 2 9 W Q    吸 15641 12341 39 29    2 3 P 4p0 3p0 2p0 p0 V0 2V0 V 65 1 4 0 　　　　　 如图所示为单原子理想气体的两个封闭热循环：12341 和15641，比较这两个热循环过程的效率哪个高？高多少倍？ 　　　　　 用N mol的理想气体作为热机的工作物质，随着热机 做功，气体的状态变化，完成一个循环1-2-3-1，如图所示，过程1-2 和2-3在图象中是直线段，而过程3-1可表达为 ，式中 B是一个未知常量，T1是图示坐标轴上标出的给定绝对温度．求气体 在一个循环中做的功  10.5 3T T BV BV  对过程3→1:  10.5 3T T BV BV 由 T=T1时有: 1 21, 2BV BV  2 1 32V V V 即 T 2T1 T1 V 1 2 3 0 V1 V21 2 3 1 1 1p V T 1 1 12 2p V T 1 1 122 p V T 1 1p BNRT其中 续解 3→1的P-V关系为  10.5 3p BT NR BV  V2V1 p p1 0 V 1 2 p 1 2 3 1 1 1 2 2 pW V   1 4 NRT 　　　　　 一热机工作于两个相同材料的物体A和B之间，两物 体的温度分别为TA和TB（TA＞TB），每个物体的质量为m、比热恒 定，均为s．设两个物体的压强保持不变，且不发生相变． (a)假定热机能从系统获得理论上允许的最大机械能，求出两物体A 和B最终达到的温度T0的表达式，给出解题的全部过程． (b)由此得出允许获得的最大功的表达式． (c)假定热机工作于两箱水之间，每箱水的体积为2.50 m3，一箱水 的温度为350 K，另一箱水的温度为300 K．计算可获得的最大机械 能． 已知水的比热容＝4.19×103 ，水的密度＝1.00×103kg.m-3． 续解 (a)设热机工作的全过程由n(n→∞)个元卡诺循环组成，第i次卡诺循环中， 卡诺热机从高温热源（温度设为Ti）处吸收的热量为ΔQ1后，温度降为Ti+1； 在低温热源（温度设为Tj）处放出的热量为ΔQ2后，温度升高为Tj+1，满足 1 1( )i iQ m s T T    1 2 i j Q Q T T   2 1( )j jQ ms T T   11 j ji i i j T TT T T T     1i i i T T A T n  令 1 1 nn AAi i T A T n              1 1 1 1lim lim nn An n Ai n nii i T A T n                    0 ln A TA T得 0 A A T eT  0 ln B TA T同理可得 0 A BT T T (b)由卡诺热机的循环过程可知：      1 2 0 0 2A B A B A BW Q Q ms T T ms T T ms T T T T          2 A Bms T T  一反复循环运转的装置在水流速度为u=0.1 m/s的海洋上将大海 的热能转化为机械能．考虑深度h=1 km的海水最上层的温度T1=300 K，而与水面相邻的 空气温度为T2=280 K．装置在垂直于水流方向上的宽度为L=1 km．估计该装置所能提供 的最大功率，已知水的比热为c=4200 J/(kg.K)，水的密度ρ=103 kg/m3． 解答 工作物质为单位时间流过的水 uLh 取温度从T1→T2中的某一元过程：   2 1 i i i i i T Tp cm T T T     Q吸 i 热机总功率：    1 1 2 1 1 lim lim n n i i i i i n n ii i T Tp p cm T T T T                    1 1 2 2 1 lim n i i n ii T Tcm T T cmT T           1 1 2 21 lim n i i n ii T T cm T T P T cmT       1 lim n n i A n    1i i i T T A T n    1 1 nn AAi i T A T n              1 2 T T 1 2 lnA T T   1 1 2 2 2 ln Tp cm T T cmT T    82.9 10 kW  读题 某空调器按卡诺循环运转，其中的做功装置连续工作时所提供的功 率为p0． ⑴夏天，室外温度为恒定的T1，启动空调器连续工作，最后可将室温降至恒定的 T2．室外通过热传导在单位时间内向室内传输的热量正比于（T1－T2）（牛顿冷却定律）， 比例系数为A．试用T1、p0和A来表示T2． ⑵当室外温度为30℃时，若这台空调器只有30％的时间处于工作状态，则室温可维持在 20℃．试问室外温度最高为多少时，用此空调器仍可使室温维持在20℃？ ⑶冬天，可将空调器吸热、放热反向．试问室外温度最低为多少时，用此空调器可使室温 在20℃？ 解答 ⑴ 夏天，空调为致冷机，从室内吸热Q2，向室外放热 Q11 2 1 2 Q Q T T  0 1 2p Q Q  2 1 2( )Q A T T  2 1 2 2 0 0 0 1 1 22 0 2 2( , 4 )AT T p pT Ap pT TA A T           ⑵代入数据:   2 0 2 1 0 10 0.3 293 293 293 A p A T p         1 38.3T  ℃ ⑴ 冬天，空调为热机，从室外吸热 ，向室内放热1Q 2Q 2 0 1 0 10 0.3 293 (293 ) 293 A p A T p         1 1.7T ℃ 读题