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  • 2021-11-10 发布

中考数学专题复习练习:立方根

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典型例题一 例01 判断正误 ‎1.8的立方根是 ‎2.0.27的立方根是0.3.‎ ‎3.-4是64的立方根.‎ ‎4.-125的立方根是-5.‎ ‎5.-2是-4的平方根.‎ ‎6.表示a的平方根.‎ ‎7..‎ ‎8..‎ ‎9.-0.5是-0.125的立方根.‎ ‎10.‎ 解:1.∵8只有一个立方根2,∴本题结论是错误的.‎ ‎2.∵,∴本题的结论是错误的.‎ ‎3.∵ ,∴-4是-64的立方根,故本题结论是错误的.‎ ‎4.∵ ,∴ 本题结论正确.‎ ‎5.∵ 负数没有平方根,∴ 本题结论是错误的.‎ ‎6.∵ 只表示a的算术平方根,∴本题的结论也是错误的.‎ ‎7.∵ ,∴ 本题结论也是错误的.‎ ‎8.∵ 9是81的算术平方根,不是81的立方根,∴ 本题的结论是错误的.‎ ‎9.∵ ,本题结论正确.‎ ‎10.∵ ,∴本题结论正确.‎ 说明: ①命题目的:这组判断很好,它从各个侧面考查学生掌握立方根与平方根的概念.‎ ‎②解题关键:对概念的灵活运用.‎ ‎③错解剖析:如认为是正确的,产生这种原因的主要问题在于对的意义理解不透.‎ 典型例题二 例02.阅读下面语句:‎ ‎①的次方(k是整数)的立方根是.‎ ‎②如果一个数的立方根等于它本身,那么这个数或者是1,或者是0.‎ ‎③如果,那么a的立方根的符号与a的符号相同.‎ ‎④一个正数的算术平方根以及它的立方根都小于原来的数.‎ ‎⑤两个互为相反数的数开立方所得的结果仍然互为相反数.‎ 在上面语句中,正确的有( )‎ A.1句 B.2句 C.3句 D.4句 分析:当时,,而当时,,可见①不正确;,这说明一个数的立方根等于它本身时,这个数有可能行装于,所以②不正确;当时,是正数,当时,是负数,所以③是正确的;,这个例子足以说明一个正数的算术平方根未必小于原来的数,的情况与此相同;课本中写到:“如果,那么”,这个关系式对 时也是正确的,只不过相当于等式两边调换了位置,所以⑤是正确的.‎ 解答 B 说明 考查立方根的定义及性质.‎ 典型例题三 例03.设,则,,分别等于( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 分析 ,‎ ‎∵ ∴ .‎ ‎∵ ,∴.‎ ‎∵,,∴.‎ 解答 C 说明 考查平方根、立方根的求法.‎ 典型例题四 例04 有下列命题:①负数没有立方根;②一个实数的立方根不是正数就是负数;③一个正数或负数的立方根和这个数同号,0的立方根是0;④如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数必是1和0.‎ 其中错误的是 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④‎ 分析 一个正数的立方根是一个正数,一个负数的立方根是一个负数;0的立方根是0.立方根等于本身的数有0,1和.所以①、②、④都是错的,只有③正确.‎ 解答 B 说明 立方根性质与平方根性质既有联系又有区别,不能混淆.‎ 典型例题五 例05.下列语句正确的是( )‎ A.的立方根是2 B.-3是27的负立方根 C.的立方根是 D.的立方根是 分析 A中=8,它的立方根是2,对;B中27只有一个正的立方根,没有负的立方根,错;C中正数的立方根应只有一个,错;D中=1,它的立方根是1,而不是.‎ 解答 A 说明 注意立方根意义 典型例题六 例06.下列各式正确的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 分析 因表示25的算术平方根,即,表的算术平方根,即;.故只有B正确.‎ 解答 B 说明 成立,但.‎ 典型例题七 例07.下列语句对不对?为什么?‎ ‎(1)0.027的立方根是0.3.‎ ‎(2)不可能是负数.‎ ‎(3)如果a是b的立方根,那么. ‎ ‎(4)一个数的平方根与其立方根相同,则这个数是1.‎ 分析 立方根的定义是解题的基础,一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根.因为开立方与立方互为逆运算,我们知道正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根,0的立方根是零.也就是说,一个数的立方根是惟一的,这是与平方根的最主要的区别.从这些出发考虑问题,上述题不难解答.‎ 解答 (1)正确.因为,所以0.027的立方根是0.3.‎ ‎(2)不正确.当a是负数时,就有一个负的立方根,即就是负数.‎ ‎(3)正确.如果b是正数,它的立方根a也是正数;如果b是负数,它的立方根a也是负数;如果b是零,它的立方根是零,所以.‎ ‎(4)不正确.一个正数的平方根均有两个,而立方根只有一个,通常不可能相等.而平方根只有一个的数是0,0的立方根也恰是零.因此一个数的平方根与立方根相同,这个数只能是零.‎ 说明 立方根与平方根有相似之处,但也有区别,主要是:一个数的立方根是惟一的,而正数的平方根有两个,它们互为相反数,不注意这一点,往往容易出错.‎ 典型例题八 例08.求下列各式的值 ‎(1)  (2)‎ ‎(3) (4)‎ 分析 (1)根据立方根的性质,可以把负号由根号内移至根号外;(2)、(3)注意运算顺序,应先做减法;(4)不要将求出来,而应进行质因数分解,找出三次幂的形式.‎ 解答 (1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ 典型例题九 例09.求适合中的x.‎ 解答 两边开立方得 即,‎ ‎∴ .‎ 说明 本例实质上是解关于x的三次方程,两边开立方是解这类方程的最基本的方法.‎ 典型例题十 例10.一种形状为正方体的玩具名为“魔方”,它是由三层完全相同的小正方体组成的,体积为216立方厘米,求组成它的每个小正方体的棱长.‎ 分析 立方体的体积等于棱长的立方,所以这是一个求立方根的问题.‎ 解答1:∵,∴,即这种玩具的棱长为6厘米,所以每个小正方体的棱长为(厘米)‎ 解答2:设小正方体的棱长为a厘米,则玩具的棱长为厘米,由题意得 ‎,∴,,(厘米).‎ 解答3:设小正方体的棱长为a厘米.则玩具的棱长为厘米,由题意得,∴,∴(厘米).‎ 典型例题十一 例11.已知,试比较与的大小关系.‎ 分析 当时,;当时,;当时,.‎ 因为,猜想当时, 与的大小关系与当时,与的大小关系有可能是不相同的,为此可以取特殊值进行验证.‎ 当时,;当时,,,由此猜想当时,;而当时,.‎ 当时,.比较两个正数的大小,可以计算它们的商或差,当它们的商大于1时,可以断定被除数大于除数;当它们的商小于1时,则可断定被除数小于除数.当两个正数的差大于0时,说明被减数大,当差小于0时,则说明被减数小于减数.‎ 设,则,且 看来,需要确定b,即与1的大小关系,因为在这两种情况下与1的大小关系是不一样的,这仍然要分和两种情况进行讨论.完成了这一步,证明上面猜想就不难了.‎ 证明:如果,则有.‎ 可见当或时,均有.‎ 假如,则有 所以,当时,.‎ 同理可证,当时,.‎ 设,则,且.‎ 根据上面证明,‎ 当时,,而当时,所以当时,.‎ 当时,,而当时,,所以当时,.‎ ‎∵,由立方根的定义知,当时,.‎ 说明 上面证明是有一定难度的,在较大的难度面前,灵活地选择了思考角度,充分发挥了逆向思维的优势,即从相反的方向加以论证.比如通过说当或 时均不可能有,而说明当时,.‎ 作为没给出明确结论的探索题,首先从特殊值入手,形成猜想,这是一种比较有普遍性的解决方法.‎ 典型例题十二 例12.下列说法对不对,为什么?‎ ‎(1)64的立方根是; (2)无意义;‎ ‎(3)的平方根是; (4)和相等;‎ ‎(5)的立方根是; (6)零的平方根、算术平方根、立方根都等于零.‎ 分析:立方根与平方根的性质有很大的区别,要特别注意两种方根的表示方法和叙述的不同.‎ 解答:(1)不对.∵正数有一个正的立方根.‎ ‎ ∴64的立方根是4,即;‎ ‎(2)不对.∵负数有一个负的立方根,‎ ‎ ∴有意义,且;‎ ‎(3)不对.∵一个正数有两个平方根,它们互为相反数,‎ ‎∴的平方根是;‎ ‎(4)对.∵,,‎ ‎ ∴.‎ 一般地:;‎ ‎(5)对.∵,∴的立方根是.‎ ‎(6)对.因为零的平方根、算术平方根、立方根都是零.‎ 典型例题十三 例13.求下列各数的立方根:‎ ‎(1); (2); (3); (4). ‎ 解答:(1)‎ 的立方根是. ‎ ‎(2)‎ 的立方根是. ‎ ‎(3)‎ 的立方根是. ‎ ‎(4)0的立方根还是0. ‎ 说明:立方根与平方根虽然都是开方运算,但与平方根不同,因为任何数都有立方根,而且唯一确定. ‎ 典型例题十四 例14.求下列各式的值:‎ ‎(1); (2);‎ ‎(3); (4).‎ 分析:求立方根首先将根号下的数作一下整理,再进行求解. ‎ 解答:(1);‎ ‎(2);‎ ‎(3);‎ ‎(4).‎ 说明:注意计算过程中的利用立方根的性质进行符号转换.‎ 典型例题十五 例15.已知若求. ‎ 分析:利用已知条件与所求解简的关系找出联系.‎ 解答:‎ 典型例题十六 例16.求下列各式中的:‎ ‎(1) (2);‎ ‎(3); (4).‎ 分析:将方程整理转为求立方根或平方根的问题. ‎ 解答:(1)∵,∴,‎ 即,∴,即;‎ ‎(2)∵,∴,即,∴;‎ ‎(3)∵,∴,∴,即;‎ ‎(4)∵,∴,∴,即.‎ 说明:求过程中注意立方根和平方根的区别,最终结果解个数的不同.‎ 填空题 ‎1.填空题 ‎(1)的立方根是_____________.‎ ‎(2)的立方根是________________.‎ ‎(3)是___________的立方根.‎ ‎(4)若的立方根是6,则_______.‎ ‎(5)0的立方根是______.‎ ‎(6)7的立方根是_______.‎ ‎(7)_______. ‎ ‎(8)________.‎ ‎2.填空题 ‎(1)的倒数为________.‎ ‎(2)49的算术平方根的立方根是________.‎ ‎(3)若,则 ‎(4)______.‎ ‎(5)________.‎ ‎(6)的绝对数为_______.‎ ‎(7)_______.‎ ‎(8)的立方根为_______.‎ ‎3.填空题 ‎(1)的立方根是_______.‎ ‎(2)是_____的立方根.‎ ‎(3)81的平方根的立方根是_______.‎ ‎(4)_______.‎ ‎(5)的立方根是______.‎ ‎(6)的立方根是________.‎ ‎(7)若,则_______.‎ ‎(8)已知,则_______.‎ 参考答案:‎ ‎1.(1) (2) (3)(4)216(5)0 (6) (7) (8)3‎ ‎2.(1) (2) (3)(4)60(5) (6)117 (7) (8)1‎ ‎3.(1) (2)-11(3)(4)15 (5) (6)(7)-4 (8)‎ 选择题 ‎1.选择题 ‎(1)开立方得 A. B. C. D.‎ ‎(2)的值为 A. B.2 C. D.无意义 ‎(3)立方根等于本身的数为 A.1 B.-1 C.0 D.‎ ‎(4)下列说法正确的是 A.的立方根是和 B.的立方根没有意义 C.是-6的立方根 D.的立方根是8‎ ‎2.选择题 ‎(1)下列语句正确的是( )‎ A.的立方根是2 B.是27负的立方根 C.的立方根是 D.的立方根是-1‎ ‎(2)下列说法中错误的个数是( )‎ ‎①负数没有立方根,②1的立方根与平方根都是1,③的平方根是,④‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎(3)若(),下列条件成立的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎(4)若,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎(5)某数的立方根等于这个数的算术平方根,则这个数等于( )‎ A.0 B. C.或0 D.0或1‎ 参考答案:‎ ‎1.(1)B (2)A (3)D (4)C ‎2.(1)A (2)C (3)A (4)C (5)D 解答题 ‎1.求下列各数的立方根 ‎(1) (2)0 (3) ‎ ‎(4) (5) (6)‎ ‎2.求下列各式的值 ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎(5) (6)‎ ‎3.求下列的值 ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎4.求值 ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎5.求下列各式的值 ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎6.求值:‎ ‎7.若与互为相反数,则________.‎ 参考答案:‎ ‎1.(1) (2)0 (3) (4) (5) (6)‎ ‎2.(1) (2)5 (3) (4) (5) (6)‎ ‎3.(1)-1 (2)2 (3) (4)‎ ‎4.(1)-2 (2) (3) (4)‎ ‎5.(1)5 (2) (3)2 (4)‎ ‎6. ‎ ‎7. ‎ ‎10.3立方根 一.选择题:‎ ‎1.下列各式中正确的是( ).‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎2.的立方根是( ).‎ ‎(A)-4 (B)±4 (C)±2 (D)-2‎ ‎3.,则的值是( ).‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎4.下列四种说法中:‎ ‎(1)负数没有立方根;‎ ‎(2)1的立方根与平方根都是1;‎ ‎(3)的平方根是;‎ ‎(4).‎ 共有( )个是错误的.‎ ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ 二.填空题:‎ ‎5.若,则叫做的__________,记作___________.‎ ‎6.的立方根是__________,125的立方根是___________.‎ ‎7.若某数的立方等于-0.027,则这个数的倒数是____________.‎ ‎8.已知,则.‎ ‎9.若,,则.‎ ‎10.若一个数的立方根就是它本身,则这个数是__________.‎ 三.解答题:‎ ‎11.计算:‎ ‎(1); (2) (3).‎ ‎12.解方程:.‎ ‎【答案】‎ ‎(一)1.C 2.D 3.B 4.C ‎(二)5.立方根; 6.;5 7. 8.0 9.8.067‎ ‎10.±1或0‎ ‎(三)11.(1)-4 (2)2 (3)0.5 12.‎