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- 2021-11-10 发布
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垂 径 定 理
内容提要:
圆的轴对称性:过圆心的任一条直线(直径所在的直线)都是它的对称轴。
垂径定理
垂径定理包含两个条件和三个结论,即
C
D
A
B
O
E
条件结论
符号语言:
推论1:在(1)、(2)、(3)、(4)、(5)中,任意两个成立,都可以推出另外三个都成立。
推论2:平行的两弦之间所夹的两弧相等。
相关概念:弦心距:圆心到弦的距离(垂线段OE)。
应用链接:垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题(利用弦心距、半径、半弦构造Rt△OAE)。
概念辨析题:
1.下面四个命题中正确的一个是()
A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D.在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
2.下列命题中,正确的是( ).
A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B.过弦的中点的直线必过圆心
C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心 D.弦的垂线平分弦所对的弧
典型例题分析:
例题1、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大深度为16cm,那么油面宽度AB是________cm.
说明:本题主要考查垂径定理.易错点是忘记油面宽度是的2倍.
例题2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后,,如果油面宽度是48cm,那么油的最大深度为________cm.
说明:①此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形——分析图形——
数形结合——解决问题;②作辅助线的能力.
例题3、已知:在⊙中,弦,点到的距离等于的一半,求:的度数和圆的半径.
说明:作出弦的弦心距,构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键.
例题4、如图,已知在⊙中,弦,且,垂足为,于,于.
(1)求证:四边形是正方形.
(2)若,,求圆心到弦和的距离.
例题5、如图,已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=6cm,EB=2cm,∠BED=30°,求CD的长.
A
B
D
C
E
O
说明:此题是利用垂径定理的计算问题,要充分利用条件∠BED=30°
,构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形,通过解直角三角形求解。
例题6、已知:△ABC内接于⊙O,AB=AC,半径OB=5cm,圆心O到BC的距离为3cm,求AB的长.
说明:①此题没有图形,在解题时应考虑到满足条件的图形,此题有两种情况;②利用条件构造垂径定理的基本图形解题.
例题7、在直径为50cm的⊙O中,弦AB=40cm,弦CD=48cm,且AB∥CD,求:AB与CD之间的距离.
说明:此题没有图形,在解题时应考虑到满足条件的两弦可能在圆心的同侧,也可能在在圆心的两侧,即有两解.
例题8、如图,F是以O为圆心,BC为直径的半圆上任意一点,A是的中点,AD⊥BC于D,求证:AD=BF.
例题9、如图,在两个同心圆中,大圆的弦AB,交小圆于C、D两点,设大圆和小圆的半径分别为.求证:.
例题10、已知:如图,是⊙的直径,是弦,,于.求证:.
说明:本题考查垂径定理的应用,解题关键是正确作出辅助线,易错点是忽视证
例题11、已知:⊙O的半径,弦AB、AC的长分别是、.求的度数。
作 业:
一、填空题
1、过⊙O内一点P的最长弦为10cm,最短的弦为6cm,则OP的长为 .
2.在⊙中,弦长为,圆心到弦的距离为,则⊙半径长为
3.半径是的圆中,圆心到长的弦的距离是
4. 圆的两互相平行的弦长分别和,又两弦之间距离为,则圆的半径长是
5. 在半径为的圆内有两条互相平行的弦,弦长分别为、,则这两条弦之间的距离为________
6.如图,有一圆弧形桥拱,拱形的半径,桥拱的距度m,则拱高m.
7.如图,⊙O的直径CD与弦AB交于点M,添加条件:_____________(写出一个即可),就可得到M是AB的中点.
8.一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示,如果水管横截面的半径是13cm,水面宽,则水管中水深是_______cm.
二、选择题
1.下列命题中错误的有()
(1)弦的垂直平分线经过圆心(2)平分弦的直径垂直于弦
(3)梯形的对角线互相平分(4)圆的对称轴是直径
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、⊙O的直径为10,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则OM的长的取值范围是( )
(A) (B)
(C) (D)
3.如图,如果为⊙直径,弦,垂足为,那么下列结论中错误的
是( )
A. B. C. D.
4.如图,是⊙直径,是⊙的弦,于,则图中不大于半圆的相等弧有( )对。
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
5.如图,⊙O的直径AB,垂足为点E,若,则( )
A.2 B.4 C.8 D.16
6.过⊙O内一点M的最长的弦长为4cm,最短的弦长为2cm,
则OM的长为( )
A.cm B.cm C.1 D.3cm
7.已知:如图,⊙O中直径AB垂直于弦CD,垂足为E,若,则BE的长是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知⊙O的弦AB长8cm,弦心距为3cm,则⊙O的直径是( )
A.5cm B.10cm C.cm D.cm
9.已知⊙O的半径为2cm,弦AB长cm,则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )
A.1cm B.2cm C.cm D.cm
10.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点,,则AC的长为( )
A.0.5cm B.1cm C.1.5cm D.2cm
11.如图,AB为⊙O的一固定直径,它把⊙O分成上、下两个半圆,自上半圆上一点C作弦,的平分线交⊙O于点P,当点C在上半圆(不包括A、B两点)上移动时,点P( )
A.到CD的距离保持不变 B.位置不变
C.等分 D.随C点的移动而移动
12.圆的弦与直径相交成30°角,并且分直径为6cm和4cm两部分,则弦心距为( )
A. B. C. D.
13.如图,已知⊙的半径为,两弦与垂直相交于,若,,则( )
A. B. C. D.
14.在⊙中,是弦,是的中点,延长交⊙于.若,则的度数是( ).
A. B. C. D.
三、解答题
1.如图,某地有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度为米,拱顶高出水面米,现有一艘宽米,船仓顶部为方形并高出水面米的货船要经过这里.问货船能否顺利通过这座拱桥?
2.如图,已知:在⊙中,是直径,是弦,交于,交于.求证:
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