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  • 2021-11-10 发布

中考数学专题复习练习:(2)垂径定理

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垂 径 定 理 内容提要:‎ 圆的轴对称性:过圆心的任一条直线(直径所在的直线)都是它的对称轴。‎ 垂径定理 垂径定理包含两个条件和三个结论,即 C D A B O E 条件结论 符号语言:‎ 推论1:在(1)、(2)、(3)、(4)、(5)中,任意两个成立,都可以推出另外三个都成立。‎ 推论2:平行的两弦之间所夹的两弧相等。‎ 相关概念:弦心距:圆心到弦的距离(垂线段OE)。‎ 应用链接:垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题(利用弦心距、半径、半弦构造Rt△OAE)。‎ 概念辨析题:‎ ‎1.下面四个命题中正确的一个是()‎ A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D.在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 ‎2.下列命题中,正确的是(  ).‎ ‎ A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧  B.过弦的中点的直线必过圆心 ‎ C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心  D.弦的垂线平分弦所对的弧 典型例题分析:‎ 例题1、在直径为‎52cm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大深度为‎16cm,那么油面宽度AB是________cm.‎ 说明:本题主要考查垂径定理.易错点是忘记油面宽度是的2倍.‎ 例题2、在直径为‎52cm的圆柱形油槽内装入一些油后,,如果油面宽度是‎48cm,那么油的最大深度为________cm.‎ 说明:①此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形——分析图形——‎ 数形结合——解决问题;②作辅助线的能力.‎ 例题3、已知:在⊙中,弦,点到的距离等于的一半,求:的度数和圆的半径.‎ ‎ ‎ 说明:作出弦的弦心距,构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键.‎ 例题4、如图,已知在⊙中,弦,且,垂足为,于,于.‎ ‎(1)求证:四边形是正方形.‎ ‎ (2)若,,求圆心到弦和的距离.‎ 例题5、如图,已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=‎6cm,EB=‎2cm,∠BED=30°,求CD的长.‎ A B D C E O 说明:此题是利用垂径定理的计算问题,要充分利用条件∠BED=30°‎ ‎,构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形,通过解直角三角形求解。‎ 例题6、已知:△ABC内接于⊙O,AB=AC,半径OB=‎5cm,圆心O到BC的距离为‎3cm,求AB的长.‎ 说明:①此题没有图形,在解题时应考虑到满足条件的图形,此题有两种情况;②利用条件构造垂径定理的基本图形解题.‎ 例题7、在直径为‎50cm的⊙O中,弦AB=‎40cm,弦CD=‎48cm,且AB∥CD,求:AB与CD之间的距离.‎ 说明:此题没有图形,在解题时应考虑到满足条件的两弦可能在圆心的同侧,也可能在在圆心的两侧,即有两解.‎ 例题8、如图,F是以O为圆心,BC为直径的半圆上任意一点,A是的中点,AD⊥BC于D,求证:AD=BF.‎ 例题9、如图,在两个同心圆中,大圆的弦AB,交小圆于C、D两点,设大圆和小圆的半径分别为.求证:.‎ 例题10、已知:如图,是⊙的直径,是弦,,于.求证:.‎ 说明:本题考查垂径定理的应用,解题关键是正确作出辅助线,易错点是忽视证 例题11、已知:⊙O的半径,弦AB、AC的长分别是、.求的度数。‎ 作 业:‎ 一、填空题 ‎1、过⊙O内一点P的最长弦为‎10cm,最短的弦为‎6cm,则OP的长为 .‎ ‎2.在⊙中,弦长为,圆心到弦的距离为,则⊙半径长为 ‎ ‎3.半径是的圆中,圆心到长的弦的距离是 ‎ ‎4. 圆的两互相平行的弦长分别和,又两弦之间距离为,则圆的半径长是 ‎ ‎5. 在半径为的圆内有两条互相平行的弦,弦长分别为、,则这两条弦之间的距离为________‎ ‎6.如图,有一圆弧形桥拱,拱形的半径,桥拱的距度m,则拱高m.‎ ‎7.如图,⊙O的直径CD与弦AB交于点M,添加条件:_____________(写出一个即可),就可得到M是AB的中点.‎ ‎8.一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示,如果水管横截面的半径是‎13cm,水面宽,则水管中水深是_______cm.‎ 二、选择题 ‎1.下列命题中错误的有()‎ ‎(1)弦的垂直平分线经过圆心(2)平分弦的直径垂直于弦 ‎(3)梯形的对角线互相平分(4)圆的对称轴是直径 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎2、⊙O的直径为10,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则OM的长的取值范围是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎3.如图,如果为⊙直径,弦,垂足为,那么下列结论中错误的 是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.如图,是⊙直径,是⊙的弦,于,则图中不大于半圆的相等弧有( )对。‎ A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 ‎5.如图,⊙O的直径AB,垂足为点E,若,则( )‎ A.2 B.‎4 C.8 D.16‎ ‎6.过⊙O内一点M的最长的弦长为‎4cm,最短的弦长为‎2cm,‎ 则OM的长为( )‎ A.cm B.cm C.1 D.‎‎3cm ‎7.已知:如图,⊙O中直径AB垂直于弦CD,垂足为E,若,则BE的长是( )‎ A.1 B.‎2 C.3 D.4‎ ‎8.已知⊙O的弦AB长‎8cm,弦心距为‎3cm,则⊙O的直径是( )‎ A.‎5cm B.‎10cm C.cm D.cm ‎9.已知⊙O的半径为‎2cm,弦AB长cm,则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )‎ A.‎1cm B.‎2cm C.cm D.cm ‎10.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点,,则AC的长为( )‎ A.‎0.5cm B.‎1cm C.‎1.5cm D.‎‎2cm ‎11.如图,AB为⊙O的一固定直径,它把⊙O分成上、下两个半圆,自上半圆上一点C作弦,的平分线交⊙O于点P,当点C在上半圆(不包括A、B两点)上移动时,点P( )‎ A.到CD的距离保持不变 B.位置不变 C.等分 D.随C点的移动而移动 ‎12.圆的弦与直径相交成30°角,并且分直径为‎6cm和‎4cm两部分,则弦心距为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎13.如图,已知⊙的半径为,两弦与垂直相交于,若,,则(  )‎ ‎ A.  B.  C.  D.‎ ‎14.在⊙中,是弦,是的中点,延长交⊙于.若,则的度数是(  ).‎ ‎ A.   B.   C.   D.‎ 三、解答题 ‎1.如图,某地有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度为米,拱顶高出水面米,现有一艘宽米,船仓顶部为方形并高出水面米的货船要经过这里.问货船能否顺利通过这座拱桥?‎ ‎ ‎ ‎2.如图,已知:在⊙中,是直径,是弦,交于,交于.求证:‎ ‎.‎