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- 2021-11-10 发布
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2021 年中考数学压轴题专项训练《一次函数》
1.甲、乙两车从 A 城出发匀速行驶至 B 城,在整个行驶过程中,甲、乙两车离开 A 城的距
离 y(千米)与行驶时间 x(小时)之间的函数关系如图所示,已知甲对应的函数关系式
为 y=60x,根据图象提供的信息,解决下列问题:
(1)求乙离开 A 城的距离 y 与 x 的关系式;
(2)求乙出发后几小时追上甲车?
解:(1)设乙对应的函 数关系式为 y=kx+b
将点(4,300),(1,0)代入 y=kx+b 得:
解得: ,
∴乙对应的函数关系式 y=100x﹣100;
(2)易得甲车对应的函数解析式为 y=60x,
联立 ,
解得: ,2.5﹣1=1.5(小时),
∴乙车出发后 1.5 小时追上甲车.
2.如图①所示,甲、乙两车从 A 地出发,沿相同路线前往同一目的地,途中经过 B 地.甲
车先出发,当甲车到达 B 地时,乙车开始出发.当乙车到达 B 地时,甲车与 B 地相距 km
设甲、乙两车与 B 地之间的距离为,y1(km),y2(km),乙车行驶的时间为 x(h),y1,
y2 与 x 的函数关系如图②所示.
(1)A,B 两地之间的距离为 20 km;
(2)当 x 为何值时,甲、乙两车相距 5km?
解:(1)A,B 两地之间的距离为 20km.
故答案为:20;
(2)乙车的速度为:20÷ =120(km/h),
甲车的速度为: =100(km/h),
甲比乙早出发的时间为:20÷100=0.2(h),
相遇前:(20+100x)﹣120x=5,解得 x=0.75;
相遇后:120x﹣(20+100x)=5,解得 x=1.25;
答:当 x 为 0.75 或 1 .25 时,甲、乙两车相距 5km.
3.在平面直角坐标系中,直线 y=x+2 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,点 D 的坐标为(0,3),
点 E 是线段 AB 上的一点,以 DE 为腰在第二象限内作等腰直角△DEF,∠EDF=90°.
(1)请直接写出点 A,B 的坐标:A( ﹣2 , 0 ),B( 0 , 2 );
(2)设点 F 的坐标为(a,b),连接 FB 并延长交 x 轴于点 G,求点 G 的坐标.
解:(1)∵直线 y=x+2 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,
∴点 A(﹣2,0),点 B(0,2)
故答案为:(﹣2,0),(0,2)
(2)如图,过点 F 作 FM⊥y 轴,过点 E 作 EN⊥y 轴,
∴∠FMD=∠EDF=90°
∴∠FDM+∠DFM=90°,∠FDM+∠EDN=90°,
∴∠DFM=∠EDN,且 FD=DE,∠FMD=∠END=90°,
∴△DFM≌△EDN(AAS)
∴EN=DM,FM=BN,
∵点 F 的坐标为(a,b),
∴FM=DN=﹣a,DM=b﹣3,
∴点 E 坐标(﹣b+3,3+a),
∵点 E 是线段 AB 上的一点,
∴3+a=﹣b+3+2
∴a+b=2,
∴点 F(a,2﹣a)
设直线 BF 的解析式为 y=kx+2,
∴2﹣a=ka+2
∴k=﹣1,
∴直线 BF 的解析式为 y=﹣x+2,
∴点 G(2,0)
4.某学校甲、乙两名同学去爱国主义教育基地参观,该基地与学校相距 2400 米.甲从学校
步行去基地,出发 5 分钟后乙再出发,乙从学校骑自行车到基地.乙骑行到一半时,发
现有东西忘带,立即返回,拿好东西之后再从学校出发.在骑行过程中,乙的速度保持
不变,最后甲、乙两人同时到达基地.已知,乙骑行的总时间是甲步行时间的 .设甲
步行的时间为 x(分),图中线段 OA 表示甲离开学校的路程 y(米)与 x(分)的函数关
系的图象.图中折线 B﹣C﹣D 和线段 EA 表示乙离开学校的路程 y(米)与 x(分)的函
数关系的图象.根据图中所给的信息,解答下列问题:
(1)甲步行的速度和乙骑行的速度;
(2)甲出发多少时间后,甲、乙两 人第二次相遇?
(3)若 s(米)表示甲、乙两人之间的距离,当 15≤x≤30 时,求 s(米)关于 x(分)
的函数关系式.
解:(1)由题意得: (米/分),
=240(米/分);
(2)由题意可得:C(10,1200),D(15,0),A(30,2400),
设线段 CD 的解析式为:y=kx+b,则
,
解得
∴线段 CD 的解析式为:y=﹣240x+3600,
易知线段 OA 的解析式为:y=80x,根据题意得
240x+3600=80x,
解得:x= ,
∴甲出发 分后,甲、乙两人第二次相遇;
(3)∵E(20,0),A(30,2400),
设线段 EA 的解析式为:y=mx+n,
,
解得 ,
∴线段 EA 的解析式为:y=240x﹣4800,
∴当 15≤x≤20 时,s=yOA﹣0=80x,
当 20<x≤30 时,s=yOA﹣yEA=80x﹣(240x﹣4800)=﹣160x+4800,
∴ .
5.对于给定的△ABC,我们给出如下定义:
若点 M 是边 BC 上的一个定点,且以 M 为圆心的半圆上的所有点都在△ABC 的内部或边上,
则称这样的半圆为 BC 边上的点 M 关于△ABC 的内半圆,并将半径最大的内半圆称为点 M
关于△ABC 的最大内半圆.
若点 M 是边 BC 上的一个动点(M 不与 B,C 重合),则在所有的点 M 关于△ABC 的最大内
半圆中,将半径最大的内半圆称为 BC 关于△ABC 的内半圆.
(1)在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=2,
①如图 1,点 D 在边 BC 上,且 CD=1,直接写出点 D 关于△ABC 的最大内半圆的半径长;
②如图 2,画出 BC 关于△ABC 的内半圆,并直接写出它的半径长;
(2)在平面直角坐标系 xOy 中,点 E 的坐标为(3,0),点 P 在直线 y= x 上运动(P
不与 O 重合),将 OE 关于△OEP 的内半圆半径记为 R,当 ≤R≤1 时,求点 P 的横坐标 t
的取值范围.
解:(1)①如图 1,过 D 作 DE⊥AC 于 E,
∵Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=2,
∴∠C=∠B=45°,
∵CD=1,
∴BD=2 ﹣1>CD,
∴D 到 AC 的距离小于到 AB 的距离,
∵△DEC 是等腰直角三角形,
∴DE= ,
即点 D 关于△ABC 的最大内半圆的半径长是 ;
②当 D 为 BC 的中点时,BC 关于△ABC 的内半圆为⊙D,如图 2,
∴BD= BC= ,
同理可得:BC 关于△ABC 的内半圆半径 DE=1.
(2)过点 E 作 EF⊥OE,与直线 y= x 交于点 F,设点 M 是 OE 上的动点,
i)当点 P 在线段 OF 上 运动时(P 不与 O 重合),OE 关于△OEP 的内半圆是以 M 为圆心,
分别与 OP,PE 相切的半圆,如图 3,连接 PM,
∵直线 OF:y= x
∴∠FOE=30°
由(1)可知:当 M 为线段中点时,存在 OE 关于△OEP 的内半圆,
∴当 R= 时,如图 3,DM= ,此时 PM⊥x 轴,P 的横坐标 t=OM= ;
如图 4,当 P 与 F 重合时,M 在∠EFO 的角平分线上,⊙M 分别与 OF,FE 相切,
此时 R=1,P 的横坐标 t=OE=3;
∴当 ≤R≤1 时,t 的取值范围是 ≤t≤3.
ii)当点 P 在 OF 的延长线上运动时,OE 关于△OEP 的内半圆是以 M 为圆心,经过点 E 且
与 OP 相切的半圆,如图 5.
∴当 R=1 时,t 的取值范围是 t≥3.
iii)当点 P 在 OF 的反向延长上运动时(P 不与 O 重合),OE 关于△OEP 的内半圆是以 M
为圆心,经过点 O 且与 EP 相切的半圆,如图 6.
∵∠FOE=∠OPE+∠OEP=30°,
∴∠OEP<30°,
∴OM<1,
当 R= 时,如图 6,过 P 作 PA⊥x 轴于 A,N 是切点,连接 MN,MN⊥PE,此时 OM=MN=
,ME=3﹣ = ,
∴EN= = = ,
Rt△OPA 中,∠POA=30°,OA=﹣t,
∴PA=﹣ t,
∵∠ENM=∠EAP=90°,∠MEN=∠AEP,
∴△EMN∽△EPA,
∴ ,即 =
解得:t=﹣ ,
∴当 ≤R<1 时,t 的取值范围是 t≤﹣ .
综上,点 P 在直线 y= x 上运动时(P 不与 O 重合),当 ≤R≤1 时,t 的取值范围是
t≤﹣ 或 t≥ .
6.已知,一次函数 y=﹣ x+6 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、点 B,与直线 y= x 相
交于点 C.过点 B 作 x 轴的平行线 l.点 P 是直线 l 上的一个动点.
(1)求点 A,点 B 的坐标.
(2)若 S△AOC=S△BCP,求点 P 的坐标.
(3)若点 E 是直线 y= x 上的一个动点,当△APE 是以 AP 为直角边的等腰直角三角形
时,求点 E 的坐标.
解:(1)一次函数 y=﹣ x+6 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、点 B,
则点 A、B 的坐标分别为:(8,0)、(0,6);
(2)联立 y=﹣ x+6、y= x 并解得:x=3,故点 C(3, ),
S△AOC= 8× =15=S△BCP= BP×(yP﹣yC)= BP×(6﹣ ),
解得:BP= ,
故点 P( ,6)或(﹣ ,6)
(3)设点 E(m, m)、点 P(n,6);
①当∠EPA=90°时,如左图,
∵∠MEP+∠MPE=90°,∠MPE+∠NPA=90°,
∴∠MEP=∠NPA,AP=PE,∵△EMP≌△PNA(AAS),
则 ME=PN=6,MP=AN,
即|m﹣n|=6, m﹣6=8﹣n,
解得:m= 或 16,
故点 E( , )或(14, );
②当∠EAP=90°时,如右图,
同理可得:△AMP≌△ANE(AAS),
故 MP=EN,AM=AN=6,
即 m=n﹣8,|8﹣m|=6,解得:m=2 或 14,
故点 E(2, )或(16,20);
上,E( , )或(14, )或;(2, )或(16,20).
7.如图,A,B 是直线 y=x+4 与坐标轴的交点,直线 y=﹣2x+b 过点 B,与 x 轴交于点 C.
(1)求 A,B,C 三点的坐标;
(2)当点 D 是 AB 的中点时,在 x 轴上找一点 E,使 ED+EB 的和最小,画出点 E 的位置,
并求 E 点的坐标.
(3)若点 D 是折线 A﹣B﹣C 上一动点,是否存在点 D,使 AACD 为直角三角形,若存在,
直接写出 D 点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)在 y=x+4 中,
令 x=0,得 y=4,
令 y=0,得 x=﹣4,∴A(﹣4,0),B(0,4).
把 B(0,4)代入,y=﹣2x+b,
得 b=4
∴直线 BC 为:y=﹣2x+4.
在 y=﹣2x+4 中,
令 y=0,得 x=2,
∴C 点的坐标为(2,0);
(2)如图点 E 为所求
点 D 是 AB 的中点,A(﹣4,0),B(0,4).∴D(﹣2,2).
点 B 关于 x 轴的对称点 B1 的坐标为(0,﹣4).
设直线 DB1 的解析式为 y=kx+b.
把 D(﹣2,2),B1(0,﹣4)代入一次函数表达式并解得:
故该直线方程为:y=﹣3x﹣4.
令 y=0,得 E 点的坐标为 .
(3)存在,D 点的坐标为(﹣1,3)或 .
①当点 D 在 AB 上时,由 OA=OB=4
得到:∠BAC=45°,
由等腰直角三角形求得 D 点的坐标为(﹣1,3);
②当点 D 在 BC 上时,如图,设 AD 交 y 轴于点 F.
在△AOF 与△BOC 中,∠FAO=∠CBO,∠AOF=∠BOD,AO=BO,
∴△AOF≌△BOC(ASA).∴OF=OC=2,
∴点 F 的坐标为(0,2),
易得直线 AD 的解析式为 ,与 y=﹣2x+4 组成方程组并解得:
x= ,∴交点 D 的坐标为 .
8.(1)模型建立:
如图 1,等腰直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,CB=CA,直线 ED 经过点 C,过 A 作 AD
⊥ED 于 D,过 B 作 BE⊥ED 于 E.求证:△BEC≌△CDA;
(2)模型应用:
①如图 2,一次函数 y=﹣2x+4 的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B,以线段 AB 为腰在
第一象限内作等腰直角三角形 ABC,则 C 点的坐标为 C(4,6)或 C(6,2) (直接
写出结果)
②如图 3,在△ABC 和△DCE 中,CA=CB,CD=CE,∠CAB=∠CED=45°,连接 BD、AE,
作 CM⊥AE 于 M 点,延长 MC 与 BD 交于点 N,求证:N 是 BD 的中点.
解:(1)∵AD⊥ED,BE⊥ED,
∴∠D=∠E=90°,∠ACD=∠CAD=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠BCE=90°,
∴∠BCE=∠CAD,
在△BEC 和△CDA 中
,
∴△BEC≌△CDA(AAS);
(2)①根据题意可得点 C 的坐标为 C(4,6)或 C(6,2);
故答案为: C(4,6)或 C(6,2);
②如图,作 BP⊥MN 交 MN 的延长线于 P,作 DQ⊥MN 于 Q
∵∠BCP+∠BCA=∠CAM+∠AMC,
∵∠BCA=∠AMC,
∴∠BCP=∠CAM,
在△CBP 与△ACM 中,
,
∴△CBP≌△ACM(AAS),
∴MC=BP,
同理,CM=DQ,
∴DQ=BP
在△BPN 与△DQN 中,
,
∵△BPN≌△DQN(AAS),
∴BN=ND,
∴N 是 BD 的中点.
9.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=﹣ x+4 与 x 轴、y 轴分别相交于 B、A 两
点,点 C 是 AB 的中点,点 E、F 分别为线段 AB、OB 上的动点,将△BEF 沿 EF 折叠,使点
B 的对称点 D 恰好落在线段 OA 上(不与端点重合).连接 OC 分别交 DE、DF 于点 M、N,
连接 FM.
(1)求 tan∠ABO 的值;
(2)试判断 DE 与 FM 的位置关系,并加以证明;
(3)若 MD=MN,求点 D 的坐标.
解:(1)直线 l:y=﹣ x+4 与 x 轴、y 轴分别相交于 B、A 两点,
则点 A、B 的坐标分别为:(0,4)、(3,0);
tan∠ABO= = =tanα;
(2)DE 与 FM 的位置关系为相互垂直,理由:
点 C 是 AB 的中点,
则∠COB=∠CBO=∠EDF=α,∠ONF=∠DNM,
∴∠DMN=∠DFO,
∴O、F、M、D 四点共圆,
∴∠DMF+∠DOF=180°,
∴∠DOF=90°,即:DE⊥FM;
(3)MD=MN,
∴∠MDN=∠MND=α,
而∠COB=α,∠DNM=∠ONF=α,
即△OCF 为以 ON 为底,底角为α的等腰三角形,
则 tan∠NFO= = =tanβ,则 cosβ= (证明见备注);
设 OF=m,则 DF=FB=3﹣m,
cos∠DFO=cosβ= ,
解得:m= ,
OD2=DF2﹣OF2=(3﹣m)2﹣m2= ;
则 OD= ,
故点 D(0, ).
备注:如下图,
过点 N 作 HN⊥OF 于点 H,tanα= ,则 sinα= ,作 FM⊥ON 于点 M,
设 FN=OF=5a,则 FN=4a,则 ON=6a,
同理可得:NH= ,
tan∠NFO= = =tanβ,则 cosβ= .
10.如图,直线 l1:y= x+ 与 y 轴的交点为 A,直线 l1 与直线 l2:y=kx 的交点 M 的坐标
为 M(3,a).
(1)求 a 和 k 的值;
(2)直接写出关于 x 的不等式 x+ <kx 的解集;
(3)若点 B 在 x 轴上,MB=MA,直接写出点 B 的坐标.
解:(1)∵直线 l1 与直线 l2 的交点为 M(3,a),
∴M(3,a)在直线 y= x+ 上,也在直线 y=kx 上,
∴a= ×3+ =3,
∴M(3,3),
∴3=3k,
解得 k=1;
(2)不等式 x+ <kx 的解集为 x>3;
(3)作 MN⊥x 轴于 N,
∵直线 l1:y= x+ 与 y 轴的交点为 A,
∴A(0, ),
∵M(3,3),
∴AM2=(3﹣0)2+(3﹣ )2= ,
∵MN=3,MB=MA,
∴BN= = ,
∴B( ,0)或 B( ,0).
11.如图,长方形 OBCD 的 OB 边在 x 轴上,OD 在 y 轴上,把 OBC 沿 OC 折叠得到 OCE,OE 与
CD 交于点 F.
(1)求证:OF=CF;
(2)若 OD=4,OB=8,写出 OE 所在直线的解析式.
解:(1)∵四边形 OBCD 为矩形,
∴DO=BC,∠OBC=∠ODC.
由翻折的性质可知∠E=∠OBC,CE=BC,
∴OD=CE,∠E=∠ODC.
在△ODF 和△CEF 中,
∴△ODF≌△CEF(AAS),
∴OF=CF.
(2)∵OF=CF.
设 DF=x,则 OF=CF=8﹣x.
在 Rt△ODF 中,OD=4,根据勾股定理得,OD2+DF2=OF2,
∴42+x2=(8﹣x)2,
解得 x=3,
∴F(3,4),
设直线 OE 的解析式为 y=kx,
把 F(3,4)代入得 4=3k,
解得 k= ,
∴OE 所在直线的解析式 y= x.
12.如图,在平面直角坐标系中,直线 y=﹣x+m 过点 A(5,﹣2)且分别与 x 轴、y 轴交于
点 B、C,过点 A 画 AD∥x 轴,交 y 轴于点 D.
(1)求点 B、C 的坐标;
(2)在线段 AD 上存在点 P,使 BP +CP 最小,求点 P 的坐标.
解:(1)∵y=﹣x+m 过点 A(5,﹣2),
∴﹣2=﹣5+m,
∴m=3,
∴y=﹣x+3,
令 y=0,∴x=3,
∴B(3,0),
令 x=0,∴y=3,
∴C(0,3);
(2)过 C 作直线 AD 对称点 Q,
可得 Q(0,﹣7),
连结 BQ,交 AD 与点 P
可得直线 BQ: ,
令 y′=﹣2,
∴ ,
∴ .
13.如图,直线 l1 的函数表达式为 y=3x﹣2,且直线 l1 与 x 轴交于点 D.直线 l2 与 x 轴交
于点 A,且经过点 B(4,1),直线 l1 与 l2 交于点 C(m,3).
(1)求点 D 和点 C 的坐标;
(2)求直线 l2 的函数表达式;
(3)利用函数图象写出关于 x,y 的二元一次方程组 的解.
解:(1)在 y=3x﹣2 中
令 y=0,即 3x﹣2=0 解得 x= ,
∴D( ,0),
∵点 C(m,3)在直线 y=3x﹣2 上,
∴3m﹣2=3,
∴m= ,
∴C( ,3);
(2)设直线 l2 的函数表达式为 Y=KX+B(K≠0),
由题意得: ,
解得: ,
∴y=﹣ x+ ;
(3)由图可知,二元一次方程组 的解为 .
14.如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交于点 A(﹣3,0),与 y
轴交于点 B,且与正比例函数 y= x 的图象交点为 C(m,4).
(1)求一次函数 y=kx+b 的解析式;
(2)求△BOC 的面积;
(3)若点 D 在第二象限,△DAB 为等腰直角三角形,则点 D 的坐标为 (﹣2,5)或(﹣
5,3)或( , ) .
解:(1)∵点 C 在正比例函数图象上,
∴ m=4,解得:m=3,
∵点 C(3,4)、A(﹣3,0)在一次函数图象上,
∴代入一次函数解析式可得 ,解这个方程组得 ,
∴一次函数的解析式为 y= x+2;
(2)在 中,令 x=0,解得 y=2,
∴B(0,2)
∴S△BOC=×2×3=3;
(3)过点 D1 作 D1E⊥y 轴于点 E,过点 D2 作 D2F⊥x 轴于点 F,如图,
∵点 D 在第二象限,△DAB 是以 AB 为直角边的等腰直角三角形,
∴AB=BD2,
∵∠D1BE+∠ABO=90°,∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BAO=∠EBD1,
∵在△BED1 和△AOB 中,
∴△BED1≌△AOB(AAS),
∴BE=AO=3,D1E=BO=2,
即可得出点 D 的坐标为(﹣2,5);
同理可得出:△AFD2≌△AOB,
∴FA=BO=2,D2F=AO=3,
∴点 D 的坐标为(﹣5,3),
∵∠D1AB=∠D2BA=45°,
∴∠AD3B=90°,
∴D3( , ),
综上可知点 D 的坐标为(﹣2,5)或(﹣5,3)或( , ).
故答案为:(﹣2,5)或(﹣5,3)或( , ).
15.如图 1 中的三种情况所示,对于平面内的点 M,点 N,点 P,如果将线段 PM 绕点 P 顺时
针旋转 90°能得到线段 PN,就称点 N 是点 M 关于点 P 的“正矩点”.
(1)在如图 2 所示的平面直角坐标系 xOy 中,已知 S(﹣3,1),P(1,3),Q(﹣1,﹣
3),M(﹣2,4).
①在点 P,点 Q 中, 点 P 是点 S 关于原点 O 的“正矩点”;
②在 S,P,Q,M 这四点中选择合适的三点,使得这三点满足:
点 S 是点 P 关于点 M 的“正矩点”,写出一种情况即可;
(2)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=kx+3(k<0)与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,
点 A 关于点 B 的“正矩点”记为点 C,坐标为 C(xc,yc).
①当点 A 在 x 轴的正半轴上且 OA 小于 3 时,求点 C 的横坐标 xc 的值;
②若点 C 的纵坐标 yc 满足﹣1<yc≤2,直接写出相应的 k 的取值范围.
解:(1)①在点 P,点 Q 中,点 S 绕点 O 顺时针旋转 90°能得到线段 OP,故 S 关于点 O
的“正矩点”为点 P,
故答案为点 P;
②点 S 是点 P 关于点 M 的“正矩点”(答案不唯一);
故 答案为:S,P,M;
(2)①如图 1,作 CE⊥x 轴于点 E,作 CF⊥y 轴于点 F,
∠BFC=∠AOB=90°,点 B(0,3),点 A(﹣ ,0),
∵∠ABO+∠CBO=90°,∠CBO+∠BCF=90°,
∴∠BCF=∠ABO,BC=BA,
∴△BCF≌△AOB(AAS),
∴FC=OB=3,
故点 C 的坐标为:(﹣3,3+ ),
即点 C 的横坐标 xc 的值为﹣3;
②点 C(﹣3,3+ ),如图 2,
﹣1<yc≤2,即:﹣1<3+ ≤2,
则﹣3≤k .
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