中考数学专题复习练习：一元一次方程 8页

一元一次方程的典型例题一 ‎ 例 国庆节即将来临，学校组织七年级学生参加“国庆专题展”，计划租借42座的客车16辆，恰好坐满．但由于126名学生准备骑自行车前往，所以学校要改变租车方案．‎ ‎ （1）学校改变租车方案后，实际应租借多少辆客车？‎ ‎ （2）若自行车的速度是10千米／时，出发1小时后，客车以40千米／时的速度行驶，结果全体同学同时到达指定地点，则客车行驶了多长时间？‎ ‎ 解：（1）设学校实际租借客车x辆，则可以乘坐42x名学生．‎ ‎ 列方程 ‎ ．‎ ‎ （2）设客车行驶了x小时，则自行车行驶了小时．‎ ‎ 列方程 ‎ ．‎ 说明：（1）学生总数是题中较明显的相等关系，由此列方程；（2）“同时到达指定地点”表明全体学生在同一时刻到达，由此可设客车行驶时间为x小时，则自行车行驶的时间为小时，而两者路程相同，这是此问题中的相等关系．另外，还可以理解为相同的时间里，客车比自行车多行了（千米）．可见，在实际问题中找到相等关系是列方程解决实际问题的关键，依据数量关系列方程，打破了列算式时只能用已知数的限制，使得列方程比列算式更直接、更方便，具有更多的优越性．‎ 一元一次方程的典型例题二 例 观察下列各式，哪几个是等式？哪几个是方程？哪几个是一元一次方程？‎ ‎① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ‎ ‎⑦ ⑧‎ ‎ 解：①②③⑤⑥⑦是等式；①③⑤⑥⑦是方程；①⑥⑦是一元一次方程．‎ 说明：等式、方程和一元一次方程是层层包含的关系，等式是用“＝”连接，表示相等关系的式子，方程是含有未知数的等式，而一元一次方程是含有一个未知数，并且末知数的指数都是1（次），可见一元一次方程属于方程的一种，方程又属于等式的一部分，所以区分三者必须理解它们之间的相互关系．‎ 一元一次方程的典型例题三 例 根据下列条件列方程：‎ ‎ （l）某数的3倍比7大2；‎ ‎ （2）某数的比这个数小1；‎ ‎ （3）某数与3的和是这个数平方的2倍；‎ ‎ （4）某数的2倍加上9是这个数的3倍；‎ ‎ （5）某数的4倍与3的差比这个数多1．‎ ‎ 分析：要列方程，首先要认真审题，明确未知数，并设未知数，然后根据题中的条件，找出相等关系，列出方程，‎ ‎ 解：（1）设某数为，则有：；或 ；或；‎ ‎ （2）设某数为，则有：；或 ；或;‎ ‎（3）设某数为，则有：；或；或；‎ ‎ （4）设某数为，则有：；或 ；或 ；‎ ‎ （5）设某数为，则有 ；或 ；或 ‎ 说明：此题条件中的大（小）、多（少）、和（差）、倍等实际上说的是相等关系：‎ 大数－小数=差；‎ 小数十差=大数；‎ 大数一差=小数．‎ 一元一次方程的典型例题四 例 判断下列各式哪些是一元一次方程．‎ ‎（1）； （2）； （3）；‎ ‎（4）； （5）； （6）‎ 分析： 判断一个数学式子是不是一元一次方程，首先看它是不是方程，其次再看它含有几个未知数，并且未知数的最高次数是多少．‎ 解：（1）是，因为是方程，且方程只含有一个未知数，且含未知数的项最高次数是1．‎ ‎（2）不是．不是方程．‎ ‎（3）不是．因为虽然是方程但含有两个未知数、．‎ ‎（4）不是．因为不是方程．‎ ‎（5）不是．因为含有两个未知数．‎ ‎（6）不一元一次方程的典型例题五 例 甲、乙两个工程队共有30人，其中乙队人数比甲队人数的2倍还多6人，求甲、乙两队各有多少人？‎ ‎　　分析：设甲队有x人，乙队人数比甲队的2倍还多6人，用代数式表示：‎ 乙队为(2x+6)人，于是有：‎ 甲队人数 乙队人数 两队共有人数 x ‎2x+6‎ ‎30‎ 等量关系：甲队人数+乙队人数=30‎ ‎　　解：设甲队有x人，依题意有 x+(2x+6)=30‎ 如果x=1，x+(2x+6)的值是 如果x=2，x+(2x+6)的值是 如果x=3，x+(2x+6)的值是 类似计算下去可得 如果x=8，x+(2x+6)的值是 ‎　　所以甲队的人数是8‎ ‎　　乙队人数为：8×2+6=22‎ ‎　　答：甲队有8人，乙队有22人．‎ ‎　　说明：如果这个题设乙队有x人，则甲队的人数是人，显然所列代数式比设甲队有x人复杂而且容易出错．所以列方程解应用题时，在认真审题的基础上，第一个关键步骤就是如何“设未知数”．估算在实际生活中经常用到，可以根据计算的结果适当调整带入的数以便快捷的得到近似值．‎ 是．因为中未知数最高次数为2次．‎ 一元一次方程的典型例题六 例 判断0和4是不是方程的解．‎ 分析：根据方程解的意义，将数带入方程两侧判断是否相等．‎ 解：（1）如果0是方程的根，那么把0分别代入原方程的左边和右边，方程两边的数值应该相等．‎ 左边=‎ 右边=‎ ‎∴ 左边≠右边，‎ ‎∴ 不是方程的解．‎ ‎（2）把分别代入原方程的两边．‎ 左边=‎ ‎ =，‎ 右边=‎ ‎∵左边＝右边，‎ ‎∴是方程的解．‎ 说明：我们在检验某数是不是方程的解时，应把这个数分别代入原方程的左边、右边，而不是代入原方程本身．‎ 一元一次方程的典型例题七 例 检验及是否是方程的解．‎ ‎ 分析：将及代入方程，若使方程左右两边的值相等，则是，否则就不是．‎ ‎ 解：将代入原方程，左边，右边。‎ ‎ 由于左边＝右边，因此是原方程的解．‎ ‎ 将代入原方程，左边，右边。‎ ‎ 由于左边≠右边，因此不是原方程的解．‎ ‎ 说明：根据方程的解的定义进行检验判断．‎ 一元一次方程的填空题 ‎1．为了保障师生的身体健康，学校每年都要购买无尘粉笔，现在无尘粉笔的售价是每盒a元，比去年便宜了b元：‎ ‎（1）去年此粉笔的售价是每盒____元；‎ ‎（2）若去年购进该粉笔100盒，需要_________元；‎ ‎（3）若学校现在购进该粉笔100盒，需要____元；‎ ‎（4）若购进100盒粉笔，今年比去年节省____元；‎ ‎（5）若该粉笔现在的售价是每盒1.5元，比去年每盒便宜了0.3元，则去年购买100盒粉笔的钱今年可以购买多少盒？设今年可以购买x盒，可列方程为_______________．‎ ‎2．某数与2的和的3倍是9，设某数为x，列成方程是___________．‎ ‎3．写一个以为解的一元一次方程为_____________．‎ ‎4．一家商店将某种服装按成本价提高40％后标价，又以8折（即按标价的80％）优惠卖出，结果每件仍获利15元，如果设每件服装的成本价为x元，那么 ‎（1）每件服装的标价为________；‎ ‎（2）每件服装的实际售价为_______；‎ ‎（3）每件服装的利润为_________； ‎ ‎（4）由此，可列出方程为________；‎ 参考答案：‎ ‎1．（1） （2） （3） （4） （5）‎ ‎2． 3．如等 ‎4．（1） （2）‎ ‎ （3） （4）‎ 一元一次方程的选择题 ‎1．方程中是一元一次方程的有（ ）个．‎ ‎ A．1 B．‎2 ‎‎ C．3 D．4‎ ‎2．“比a的少2的数”可以列式表示为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎3．长方形的宽是a米，长比宽多‎2米，则此长方形的面积可以表示为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下列各方程后面括号里的数，均是该方程的解是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．方程的解是（ ）‎ A． B． C．1 D．－1‎ ‎ 6．一元一次方程的解是（ ）．‎ A．7 B．‎6 ‎‎ C．5 D．4‎ ‎8．是方程的解，则的值是（ ）‎ A．7 B．‎1 C．－1 D．－7‎ ‎4．增加6倍后，比它扩大到8倍少4，则列得的方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．有一批画册，如果3人一本，还剩2本，如果2人一本，还有9人没有分到，设人数为，则可以列出方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 参考答案：‎ ‎1． C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．A 8．A 9．A ‎ 一元一次方程的解答题 ‎1．列方程：‎ ‎（1）小明在超市购买4瓶酸奶和3瓶鲜奶，共花去9.6元．酸奶的标价是每瓶1.5元，则鲜奶每瓶多少元？‎ ‎ （2）校图书馆的图书被学生借出25％后，还剩15万册，则学校图书馆共有图书多少册？‎ ‎ （3）校足球场的周长为‎310米，长与宽的差是‎25米，这个足球场的长是多少米？‎ ‎ （4）甲、乙两名同学练习百米赛跑，甲每秒跑‎7米，乙每秒跑‎6.5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？‎ ‎ （5）小伟今年14岁，爷爷60岁，多少年后小伟的年龄是爷爷年龄的？‎ ‎ 2．我们赖以生存的地球是一个蓝色的星球，因为在地球上，海洋的面积是陆地面积的2.4倍，而地球的表面积约为5.1亿平方米，你能求出地球上海洋的总面积吗？‎ ‎3．足球的表面是由一些黑色的正五边形和白色的正六边形皮块组成，黑、白皮块的数目之比是3：5．一个足球的表面有32个皮块．请问，黑色皮块有多少块？‎ ‎ 4．商店里为了不积压夏装，在秋天往往都会打折销售．有一款裙装打8折出售，结果便宜了32元钱，你知道这套裙装原来的售价吗？‎ ‎5．由算术到代数是数学史上的一次伟大的进步．现在我们可以用含字母的式子，表示实际问题中的数量关系．如果已知一个含有字母的式子，你能用实际问题加以解释吗？例如：‎3a可以解释为：苹果每公斤a元，买3公斤共需‎3a元；等边三角形的边长是a，则此三角形的周长是‎3a；等等．请你尝试用生活中的实际问题来解释．‎ ‎6．根据题意设未知数并列出方程（不必求解）‎ ‎ （1）矩形周长是‎16 cm，长比宽多‎2cm，则这个矩形的长是多少？‎ ‎ （2）A、B两地相距‎50 km，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，甲每小时比乙多行‎2 km，若两人同时出发，经过3 h相遇，则甲、乙的速度分别为多少？‎ ‎ （3）某校社会实践活动小组，调查了高峰时段的某市的二环路、三环路、四环路的车流量：二环路车流量为每小时10 000辆，四环路比三环路车流量每小时多2000辆，三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍．则三环路，四环路的车流量各是多少？‎ 参考答案 ‎1．（1）设鲜奶每瓶x元，则；‎ ‎（2）设学校图书馆共有藏书x万册，则；‎ ‎（3）设长是x米，则；‎ ‎（4）设甲经过x秒可以追上乙，则；‎ ‎（5）设x年后小伟的年龄是爷爷年龄的，则．‎ ‎2．设陆地面积x亿平方米，则．‎ ‎3．设黑皮块有x个，则．‎ ‎4．设原价x元，则．‎ ‎5．略 ‎6．（1）解法一：设宽为x cm，则长为cm，根据题意，得 解法二：设长为x cm，则宽为cm，根据题意，得 ‎（2）解法一：设甲的速度为x km/h，则乙的速度为km/h，根据题意，得 解法二：设乙的速度为x km/h，则甲的速度为 km/h，根据题意得 ‎（3）解法一：设三环路的车流量为每小时x辆，则四环路的车流量为每小时 辆，根据题意得 解法二：设四环路的车流量为每小时x辆，则三环路的车流量为每小时辆，根据题意得．‎