中考数学第一轮复习导学案二次根式 10页

- 1 - 二次根式 ◆【课前热身】 1．已知 n12 是正整数，则实数 n 的最大值为（ ） A．12 B．11 C．8 D．3 2．下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ） A． 7 B． 3 C． 1 2 D． 2 3． 3 最接近的整数是（ ） A．0 B．2 C．4 D．5 4.二次根式 2( 3) 的值是（ ） A． 3 B．3 或 3 C．9 D．3 5.计算 18 － 8 ＝___________． 【参考答案】1.B 2.C 3.B 4.D 5. 2 ◆【考点聚焦】 1.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根 式.掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式 化简； 2.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理 化. 1．二次根式 式子 a （a≥0）叫做二次根式． 2．最简二次根式 同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中 含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 3．同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次 根式． - 2 - 4．二次根式的性质 ①（ a ） 2 =a（a≥0）； ② 2a =│a│= ( 0) 0( 0) ( 0) aa a aa     ； ③ ab = · b （a≥0，b≥0）； ④ bb a a  （b≥0，a>0）． 5．分母有理化及有理化因式 把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，•若它们的 积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式． ◆【备考兵法】 （本知识点涉及到的常用解题方法） 1.考查最简二次根式、同类二次根式概念.有关习题经常出现在选择题中. 2.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中 档解答题中出现的较多. 二次根式的运算 （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它 的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积 的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商） 仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及 多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． ◆【考点链接】 1．二次根式的有关概念 ⑴ 式子 )0( aa 叫做二次根式．注意被开方数 a 只能是 ． ⑵ 最简二次根式 被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最 简二次根式． (3) 同类二次根式 - 3 - 化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 ⑴ a 0； ⑵   2 a （ a ≥0） ⑶ 2a ； ⑶ ab （ 0,0  ba ）； ⑷ b a （ 0,0  ba ）. 3．二次根式的运算 (1) 二次根式的加减： ①先把各个二次根式化成 ； ②再把 分别合并，合并时，仅合并 ， 不变. ◆【典例精析】 例 1 填空题： （1）若式子 1 32x  有意义，则 x 的取值范围是_______． （2）实数 a，b，c，如图所示，化简 2a －│a－b│+ 2()bc =______． oc 1-1 ba 【解答】 （1）由 x－3≥0 及 3x  －2≠0，得 x≥3 且 x≠7． （2）由图可知，a<0，b>0，c<0，且│b│>│c│ ∴ =－a，－│a－b│=a－b， =b+c ∴ －│a－b│+ =c． 例 2 选择题： （1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A． 3 和 18 B． 和 1 3 - 4 - C． 22 . 1 1a b ab D a a和和 （2）在根式 1) 2 2 2;2) ;3) ;4) 275 xa b x xy abc，最简二次根式是（ ） A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) （3）已知 a>b>0，a+b=6 ab ，则 ab ab   的值为（ ） A． 2 2 B．2 C． 2 D． 1 2 【解答】（1）∵ 18 =3 ，∴ 3 与 不是同类二次根式，A 错． 1 3 = 3 3 ，∴ 与 是同类二次根，∴B 正确． ∵ 22| | ,ab b a a b =│a│ b ， ∴C 错，而显然，D 错，∴选 B． （2）选 C． （3）∵a>b>0，∴（ a + ）2=a+b+2 =8 ，（ － ）2 =a+b－2 =4 ∴ 2 2 ( ) 4 1 2,22( ) 8 a b ab a b a b ab a b      ，故选 A． 例 3 (贵州安顺)先化简，再求值： 2 44( 2)24 xx xx  ，其中 5x  【答案】 22( 2) 4= ( 2)2( 2) 2 xxxx    原式 或 ( 2)( 2)[]2 xx x= 5 时， 224 ( 5) 4 1 2 2 2 x  【解析】遇到此种问题，要注意观察整个式子，然后合理运用分解因式的方法进行化简，得 到最简式子后，代入求值. - 5 - ◆【迎考精练】 一、选择题 1. (湖北武汉)函数 21yx中自变量 x 的取值范围是（ ） A． 1 2x ≥ B． 1 2x≥ C． 1 2x ≤ D． 1 2x≤ 2. （湖北荆门）若 11xx   2()xy ，则 x－y 的值为（ ） A．－1 B．1 C．2 D．3 3. （湖北黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ） A． 7 B． 3 C． 1 2 D． 2 4. （四川眉山）估算 27 2 的值( ) A．在 1 到 2 之间 B．在 2 到 3 之间 C．在 3 到 4 之间 D．在 4 到 5 之间 5. （湖南益阳）在电路中，已知一个电阻的阻值 R 和它消耗的电功率 P.由电功率计算公 式 R UP 2  可得它两端的电压 U 为 （ ） Ａ． P RU  Ｂ． R PU  Ｃ． PRU  Ｄ． PRU  6. （新疆）若 x m n y m n   ， ，则 xy 的值是（ ） A． 2 m B． 2 n C． mn D． mn 二、填空题 1.（河南省）16 的平方根是 . 2.（山西省）计算： 12 3 = ． 3.（2009 年辽宁铁岭）函数 3 3 y x   自变量 x 的取值范围是 ． 4.（广西崇左）当 x≤0 时，化简 21 xx 的结果是 ． 5.（湖北襄樊）计算： 118232   ． - 6 - 6．(上海市)分母有理化： 1 5  ． 7．（黑龙江大兴安岭）计算：  2712 ． 8.（广东佛山）（1）有这样一个问题： 2 与下列哪些数相乘，结果是有理数？ A．32 B． 22 C． 23 D． 3 2 E．0 问题的答案是（只需填字母）： ； （2）如果一个数与 相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式 9.（福建福州）请写出一个比 5 小的整数 . 10.（湖南湘西自治州）对于任意不相等的两个数 a，b，定义一种运算※如下：a※b= ba ba   ， 如 3※2= 523 23   ．那么 12※4= 11．（浙江嘉兴）当 2x 时，代数式 135 2  xx 的值是 ． 三、解答题 1.(广东梅州)计算： 1 0 1( 3 2) 4cos30 | 12 |3      ° ． 2.（湖南邵阳）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 3 5 ， 3 2 ， 13 2  一样的式 子，其实我们还可以将其进一步化简： ＝ 55 3 55 53 ＝   ；（一） ＝ 3 6 33 32 ＝   （二） ＝ ））（（ ）－（ 1313 132   ＝ 13 13 132 22    ＝ ）（ ）（ （三） - 7 - 以上这种化简的步骤叫做分母有理化。 13 2  还可以用以下方法化简： ＝ 13 13 1313 13 13 13 13 22        ＝））（（＝）（＝ （四） （1)请用不同的方法化简 35 2  。 （2) 参照（三）式得 ＝______________________________________________； 参照（四）式得 ＝_________________________________________. （2）化简： 1212 1... 57 1 35 1 13 1        nn . 3. （ 山东威 海 ） 先 化 简 ， 再 求 值 ： 22( ) ( )(2 ) 3a b a b a b a     ，其中 2 3 3 2ab    ， ． 4.（2009 年辽宁朝阳）先化简，再求值： 211 2 xxxxx  ，其中 21x ． 5.（湖南怀化）先化简，再求值：   2 0 tan 60a ab a b bab     · ，其中 13ab， ． 6.（山东泰安）先化简、再求值： 33)22 5(42 3   aaaa a ，其中 . - 8 - 【参考答案】 选择题 1.B 2.C [解析]本题考查二次根式的意义，由题意可知 1x  ， 1y  ，∴x－y=2，故选 C． 3.C 4.C 5.C 6.D 填空题 1. ±4 2. 3 3. 3x  4. 1 【解析】二次根式的性质及绝对值的化简， 2x ＝ｘ，∵ x≤0 ，∴原式=1-x+x=1 5. 1233 【解析】本题考查二次根式的运算， 118232   112 2 3 2 2 333    ，故填 6. 5 5 7. 3 8. （1） A D E、 、 ； （2）设这个数为 x ，则 2xa· （ a 为有理数），所以 2 ax  （ 为有理数）． 注：无“ 为有理数”扣 1 分；写 2xa 视同 2 ax  9. 答案不唯一，小于或等于２的整数均可，如：2，1 等. 10. 1 2 11. 5 解答题 - 9 - 1. 解： 1 0 1( 3 2) 4cos30 | 12 |3      ° ． 31 3 4 122     4 2 3 2 3   4 2. 解：（1） 22 2 2( 5 3) 2( 5 3) 53 5 3 ( 5 3)( 5 3) ( 5) ( 3)         ， 222 ( 5) ( 3) ( 5 3)( 5 3) 53 5 3 5 3 5 3          ； （2）原式= 3 1 5 3 7 5 ( 3 1)( 3 1) ( 5 3)( 5 3) ( 7 5)( 7 5)          2 1 2 1 2 1 2 1)( 2 1 2 1 nn n n n n          … () = 3 1 5 3 7 5 2 1 2 1 2 2 2 2 nn        … = 2 1 1 2 n ． 3. 解： 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )(2 ) 3 2 2 3a b a b a b a a ab b a ab b a            ab ． 当 23a    ， 32b 时， 原式 22( 2 3)( 3 2) ( 2) ( 3) 1        4. 解：原式= 221 2 1 2 x x x xx    = 12 ( 1)( 1) xx x x x   = 2 1x  ． 将 21x 代入上式得原式= 22 ( 2) 2 2 1 1 2   ． - 10 - 5. 解：   2 0 tan 60a ab a b bab      ()13a a b bab     3ab   1 3 1 3 3 2ab       ， ， 原式 6. 解：原式=        )2( )2)(2(5 )2(2 3 a aa a a = 29 2 )2(2 3 a a a a    = )3)(3( 2 )2(2 3 aa a a a    = )3(2 1  a 当 6 3 )333(2 133    时，原式a