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- 2021-11-10 发布
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2020年四川省自贡市中考数学试卷
一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图，直线a // b，∠1＝50∘，则∠2的度数为（ ）
A.40∘ B.50∘ C.55∘ D.60∘
2. 5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历史的自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨．人数700000用科学记数法表示为（ ）
A.70×104 B.0.7×107 C.7×105 D.7×106
3. 如图所示的几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 关于x的一元二次方程ax2-2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（ ）
A.12 B.-12 C.1 D.-1
5. 在平面直角坐标系中，将点(2, 1)向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ）
A.(-1, 1) B.(5, 1) C.(2, 4) D.(2, -2)
6. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是（ ）
A.中位数是5 B.众数是7 C.平均数是4 D.方差是3
8. 如果一个角的度数比它补角的2倍多30∘，那么这个角的度数是（ ）
A.50∘ B.70∘ C.130∘ D.160∘
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，∠A＝50∘，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A.50∘ B.40∘ C.30∘ D.20∘
10. 函数y=kx与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx-b的大致图象为（ ）
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A. B. C. D.
11. 某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A.80(1+35%)x-80x=40 B.80(1+35%)x-80x=40
C.80x-80(1+35%)x=40 D.80x-80(1+35%)x=40
12. 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB=6，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90∘，则AE长为（ ）
A.2 B.5 C.322 D.332
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13. 分解因式：3a2-6ab+3b2＝________．
14. 与14-2最接近的自然数是________．
15. 某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序（只填番号）：________．
①绘制扇形图；
②收集最受学生欢迎菜品的数据；
③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；
④整理所收集的数据．
16. 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC // AB．BC长6米，坡角β为45∘，AD的坡角α为30∘，则AD长为________米（结果保留根号）．
17. 如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为________．
18. 如图，直线y=-3x+b与y轴交于点A，与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，且AB⋅AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝ 43 ，前25个等边三角形的周长之和为________．
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三、解答题（共8个题，共78分）
19. 计算：|-2|-(5+π)0+(-16)-1．
20. 先化简，再求值：x+1x2-4⋅(1x+1+1)，其中x是不等式组x+1≥05-2x>3 的整数解．
21. 如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．
求证：AE＝BF．
22. 某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．
（1）本次调查的学生人数是________人，m＝________；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是________；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是________．
8 / 8
23. 甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．
（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；
（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
24. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x-2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x-(-1)|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与-1所对应的点之间的距离．
（1）发现问题：代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？
（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数-1、2、x，AB＝3．
∵ |x+1|+|x-2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴ 当点P在线段AB上时，PA+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB>3．
∴ |x+1|+|x-2|的最小值是3．
（3）解决问题：
①|x-4|+|x+2|的最小值是________；
②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x-1|>4；
③当a为何值时，代数式|x+a|+|x-3|的最小值是2．
8 / 8
25. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且PA＝PC=2AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．
（1）证明：AF=CF；
（2）若tan∠ABC＝22，证明：PA是⊙O的切线；
（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A(-3, 0)、B(1, 0)，交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．
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参考答案与试题解析
2020年四川省自贡市中考数学试卷
一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.B 2.C 3.B 4.A 5.D
6.A 7.C 8.C 9.D 10.D
11.A 12.B
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13.3(a-b)2 14.2
15.②④①③ 16.62
17.239 18.60
三、解答题（共8个题，共78分）
19.原式＝2-1+(-6)
＝1+(-6)
＝-5．
20.x+1x2-4⋅(1x+1+1)
=x+1(x+2)(x-2)⋅1+x+1x+1
=x+2(x+2)(x-2)
=1x-2，
由不等式组x+1≥05-2x>3 ，得-1≤x<1，
∵ x是不等式组x+1≥05-2x>3 的整数解，
∴ x＝-1，0，
∵ 当x＝-1时，原分式无意义，
∴ x＝0，
当x＝0时，原式=10-2=-12．
21.在正方形ABCD中，
AB＝CD＝CD＝AD，
∵ CE＝DF，
∴ BE＝CF，
在△AEB与△BFC中，
AB=BC∠ABE=∠BCFBE=CF ，
∴ △AEB≅△BFC(SAS)，
∴ AE＝BF．
22.60,30
C组的人数为60-18-12-9＝21（人），补全条形统计图如图：
14,12
23.由题意可得，
y甲＝0.9x，
当0≤x≤100时，y乙＝x，
当x>100时，y乙＝100+(x-100)×0.8＝0.8x+20，
由上可得，y乙=x(0≤x≤100)0.8x+20(x>100) ；
当0.9x<0.8x+20时，得x<200，即此时选择甲商场购物更省钱；
当0.9x＝0.8x+20时，得x＝200，即此时两家商场购物一样；
当0.9x>0.8x+200时，得x>200，即此时选择乙商场购物更省钱．
24.②如图所示，满足|x+3|+|x-1|>4的x范围为x<-3或x>1
③当a为-1或-5时，代数式|x+a|+|x-3|的最小值是2
6
25.证明：连接OC．
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∵ PC＝PA，OC＝OA，
∴ OP垂直平分线段AC，
∴ AF=CF．
证明：设BC＝a，
∵ AB是直径，
∴ ∠ACB＝90∘，
∵ tan∠ABC=ACBC=22，
∴ AC＝22a，AB=BC2+AC2=a2+(22a)2=3a，
∴ OC＝OA＝OB=3a2，CD＝AD=2a，
∵ PA＝PC=2AB，
∴ PA＝PC＝32a，
∵ ∠PDC＝90∘，
∴ PD=PC2-CD2=18a2-2a2=4a，
∵ DC＝DA，AO＝OB，
∴ OD=12BC=12a，
∴ AD2＝PD⋅OD，
∴ ADPD=ODAD，
∵ ∠ADP＝∠ADO＝90∘，
∴ △ADP∽△ODA，
∴ ∠PAD＝∠DOA，
∵ ∠DOA+∠DAO＝90∘，
∴ ∠PAD+∠DAO＝90∘，
∴ ∠PAO＝90∘，
∴ OA⊥PA，
∴ PA是⊙O的切线．
如图，过点E作EJ⊥PF于J，BK⊥PF于K．
∵ BC＝2，
由（1）可知，PA＝62，AB＝6，
∵ ∠PAB＝90∘，
∴ PB=PA2+AB2=72+36=63，
∵ PA2＝PE⋅PB，
∴ PE=7263=43，
∵ ∠CDK＝∠BKD＝∠BCD＝90∘，
∴ 四边形CDKB是矩形，
∴ CD＝BK＝22，BC＝DK＝2，
∵ PD＝8，
∴ PK＝10，
∵ EJ // BK，
∴ PEPB=EJBK=PJPK，
∴ 4363=EJ22=PJ10，
∴ EJ=423，PJ=203，
∴ DJ＝PD-PJ＝8-203=43，
∴ DE=EJ2+DJ2=(423)2+(43)2=433．
26.抛物线的表达式为：y＝a(x+3)(x-1)＝a(x2+2x-3)＝ax2+2ax-3a，
即-3a＝3，解得：a＝-1，
故抛物线的表达式为：y＝-x2-2x+3；
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由抛物线的表达式得，点M(-1, 4)，点N(0, 3)，
则tan∠MAC=MCAC=2，
则设直线AM的表达式为：y＝2x+b，
将点A的坐标代入上式并解得：b＝6，
故直线AM的表达式为：y＝2x+6，
∵ ∠EFD＝∠DHA＝90∘，∠EDF＝∠ADH，
∴ ∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cos∠DEF=55，
设点E(x, -x2-2x+3)，则点D(x, 2x+6)，
则FE＝EDcos∠DEF＝(-x2-2x+3-2x-6)×55=55(-x2-4x-3)，
∵ -55<0，故EF有最大值，此时x＝-2，故点D(-2, 2)；
①点C(-1, 0)关于y轴的对称点为点B(1, 0)，连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，
PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，
则BD=(1+2)2+(0-2)2=13；
②过点O作直线OK，使sin∠NOK=14，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，
DQ+14OQ＝DQ+QK＝DK为最小值，
则直线OK的表达式为：y=15x，
∵ DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y=-115x+b，
将点D的坐标代入上式并解得：b＝2-215，
则直线DK的表达式为：y=-115x+2-215，
故点Q(0, 2-215)，
由直线KD的表达式知，QD与x负半轴的夹角（设为α）的正切值为115，则cosα=154，
则DQ=xQ-xDcosα=2154=815，而14OQ=14(2-215)，
则DQ+14OQ为最小值=815+14(2-215)=15+12．
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