人教版九年级数学上册教案：23_1 图形的旋转（2） 5页

1 23.1 图形的旋转(2) 第二课时 教学内容 1．对应点到旋转中心的距离相等． 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3．旋转前后的图形全等及其它们的运用． 教学目标 理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转 角；理解旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用． 先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念，接着用操作几何、实验探究图 形的旋转的基本性质． 重难点、关键 1．重点：图形的旋转的基本性质及其应用． 2．难点与关键：运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）老师口问，学生口答． 1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 3．请独立完成下面的题目． 如图，O 是六个正三角形的公共顶点，正六边形 ABCDEF 能否看做是 某条线段绕 O 点旋转若干次所形成的图形？ （老师点评）分析：能．看做是一条边（如线段 AB）绕 O 点，按照 同一方法连续旋转 60°、120°、180°、240°、300°形成的． 二、探索新知 上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题： 1．A、B、C、D、E、F 到 O 点的距离是否相等？ 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA 是否相等？ 3．旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA 全等 吗？ 老师点评：（1）距离相等，（2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么这个是否有一般性？ 下面请看这个实验． 请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，•再挖一个点 O 作为旋 转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然 后围绕旋转中心 O 转动硬纸板，•在黑板上再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移去 硬纸板． （分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明） 1．线段 OA 与 OA′，OB 与 OB′，OC 与 OC′有什么关系？ 2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？ 3．△ABC 与△A′B′C′形状和大小有什么关系？ 老师点评：1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是对应点 到旋转中心相等． 2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我们把这三个相等的角，•即 2 对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角． 3．△ABC 和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等． 综合以上的实验操作和刚才作的（3），得出 （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等． 例 1．如图，△ABC 绕 C 点旋转后，顶点 A 的对应点为点 D，试确 定顶点 B•对应点的位置，以及旋转后的三角形． 分析：绕 C 点旋转，A 点的对应点是 D 点，那么旋转角就是∠ACD， 根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=ACD， •又由对应点到旋转中心的距离相等，即 CB=CB′，就可确定 B′的位 置，如图所示． 解：（1）连结 CD （2）以 CB 为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线 CE 上截取 CB′=CB 则 B′即为所求的 B 的对应点． （4）连结 DB′ 则△DB′C 就是△ABC 绕 C 点旋转后的图形． 例 2．如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 DE= 1 4 ，△ ABF 是△ADE 的旋转图形． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）AF 的长度是多少？ （4）如果连结 EF，那么△AEF 是怎样的三角形？ 分析：由△ABF 是△ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求 AF•的长度， 根据旋转前后的对应线段相等，只要求 AE 的长度，由勾股定理很容易得到．•△ABF 与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形． 解：（1）旋转中心是 A 点． （2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的 ∴B 是 D 的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角 （3）∵AD=1，DE= ∴AE= 2211 ( )4 = 17 4 ∵对应点到旋转中心的距离相等且 F 是 E 的对应点 ∴AF= （4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且 AF=AE ∴△EAF 是等腰直角三角形． 三、巩固练习 3 教材 P64 练习 1、2． 四、应用拓展 例 3．如图，K 是正方形 ABCD 内一点，以 AK 为一边作正方形 AKLM， 使 L、M•在 AK 的同旁，连接 BK 和 DM，试用旋转的思想说明线段 BK 与 DM 的关系． 分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的 知识来说明． 解：∵四边形 ABCD、四边形 AKLM 是正方形 ∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM 为旋转角且为 90° ∴△ADM 是以 A 为旋转中心，∠BAD 为旋转角由△ABK 旋转而成的 ∴BK=DM 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握： 1．对应点到旋转中心的距离相等； 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用． 六、布置作业 1．教材 复习巩固 4 综合运用 5、6． 2．作业设计． 作业设计 一、选择题 1．△ABC 绕着 A 点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，•则旋转角等于 （ ） A．50° B．210° C．50°或 210° D．130° 2．在图形旋转中，下列说法错误的是（ ） A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等 B．图形上每一点移动的角度相同 C．图形上可能存在不动的点 D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等 3．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（ ） 二、填空题 1．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________． 2．如图，△ABC 和△ADE 均是顶角为 42°的等腰三角形，BC、DE 分别是 底边，图中的△ABD 绕 A 旋转 42°后得到的图形是________，它们之间 的关系是______，•其中 BD=_________． 3．如图，自正方形 ABCD 的顶点 A 引两条射线分别交 BC、CD 于 E、F，• ∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点 E、F 分别在边 BC、 4 CD 上移动时，BE+•DF•与 EF 的关系是________． 三、综合提高题 1．如图，正方形 ABCD 的中心为 O，M 为边上任意一点，过 OM 随意连一条曲线，•将所画的 曲线绕 O 点按同一方向连续旋转 3 次，每次旋转角度都是 90°，这四个部分之间有何关 系？ 2．如图，以△ABC 的三顶点为圆心，半径为 1，作两两不相交的扇形，•则图中三个扇形面 积之和是多少？ 3．如图，已知正方形 ABCD 的对角线交于 O 点，若点 E 在 AC 的延长线上，•AG•⊥EB，交 EB 的延长线于点 G，AG 的延长线交 DB 的延长线于点 F，则△OAF 与△OBE 重合吗？如果重合 给予证明，如果不重合请说明理由？ 答案: 一、1．C 2．A 3．D 二、1．相等 2．△ACE 图形全等 CE 3．相等 三、1．这四个部分是全等图形 2．∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴绕 AB、AC 的中点旋转 180°，可以得到一个半圆， ∴面积之和= 1 2  ． 3．重合：证明：∵EG⊥AF ∴∠2+∠3=90° ∵∠3+∠1+90°=180° ∵∠1+∠3=90° ∴∠1=∠2 同理∠E=∠F，∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB=BC ∴△ABF≌△BCE，∴BF=CE，∴OE=OF，∵OA=OB 5 ∴△OBE 绕 O 点旋转 90°便可和△OAF 重合．