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- 2021-11-10 发布
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2018年浙江省宁波市中考数学试卷
一、选择题(每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.(4分)在﹣3,﹣1,0,1这四个数中,最小的数是( )
A.﹣3 B.﹣1 C.0 D.1
2.(4分)2018中国(宁波)特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕.本次博览会为期四天,参观总人数超55万人次,其中55万用科学记数法表示为( )
A.0.55×106 B.5.5×105 C.5.5×104 D.55×104
3.(4分)下列计算正确的是( )
A.a3+a3=2a3 B.a3•a2=a6 C.a6÷a2=a3 D.(a3)2=a5
4.(4分)有五张背面完全相同的卡片,正面分别写有数字1,2,3,4,5,把这些卡片背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张,其正面的数字是偶数的概率为( )
A. B. C. D.
5.(4分)已知正多边形的一个外角等于40°,那么这个正多边形的边数为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
6.(4分)如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体,在这个几何体的三视图中,是中心对称图形的是( )
A.主视图 B.左视图
C.俯视图 D.主视图和左视图
7.(4分)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连结OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为( )
20
A.50° B.40° C.30° D.20°
8.(4分)若一组数据4,1,7,x,5的平均数为4,则这组数据的中位数为( )
A.7 B.5 C.4 D.3
9.(4分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB于点D,则的长为( )
A.π B.π C.π D.π
10.(4分)如图,平行于x轴的直线与函数y=(k1>0,x>0),y=(k2>0,x>0)的图象分别相交于A,B两点,点A在点B的右侧,C为x轴上的一个动点,若△ABC的面积为4,则k1﹣k2的值为( )
A.8 B.﹣8 C.4 D.﹣4
11.(4分)如图,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为﹣1,则一次函数y=(a﹣b)x+b的图象大致是( )
20
A. B. C. D.
12.(4分)在矩形ABCD内,将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1,图2两种方式放置(图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠),矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2.当AD﹣AB=2时,S2﹣S1的值为( )
A.2a B.2b C.2a﹣2b D.﹣2b
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.(4分)计算:|﹣2018|= .
14.(4分)要使分式有意义,x的取值应满足 .
15.(4分)已知x,y满足方程组,则x2﹣4y2的值为 .
16.(4分)如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为 米(结果保留根号).
20
17.(4分)如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为 .
18.(4分)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,M是AB的中点,连结
MD,ME.若∠EMD=90°,则cosB的值为 .
三、解答题(本大题有8小题,共78分)
19.(6分)先化简,再求值:(x﹣1)2+x(3﹣x),其中x=﹣.
20.(8分)在5×3的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)在图1中画出线段BD,使BD∥AC,其中D是格点;
(2)在图2中画出线段BE,使BE⊥AC,其中E是格点.
20
21.(8分)在第23个世界读书日前夕,我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间(用t表示,单位:小时),采用随机抽样的方法进行问卷调查,调查结果按0≤t<2,2≤t<3,3≤t<4,t≥4分为四个等级,并依次用A,B,C,D表示,根据调查结果统计的数据,绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,由图中给出的信息解答下列问题:
(1)求本次调查的学生人数;
(2)求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数,并把条形统计图补充完整;
(3)若该校共有学生1200人,试估计每周课外阅读时间满足3≤t<4的人数.
22.(10分)已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点(1,0),(0,).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)将抛物线y=﹣x2+bx+c平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.
23.(10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连结DE交BC于点F,连接BE.
(1)求证:△ACD≌△BCE;
(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.
20
24.(10分)某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2000元,乙种商品共用了2400元.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元,且购进的甲、乙两种商品件数相同.
(1)求甲、乙两种商品的每件进价;
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售,甲种商品的销售单价为60元,乙种商品的销售单价为88元,销售过程中发现甲种商品销量不好,商场决定:甲种商品销售一定数量后,将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售;乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元,问甲种商品按原销售单价至少销售多少件?
25.(12分)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.
(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;
(2)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求证:△ABC是比例三角形.
(3)如图2,在(2)的条件下,当∠ADC=90°时,求的值.
26.(14分)如图1,直线l:y=﹣x+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,点C是线段OA上一动点(0<AC<).以点A为圆心,AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D,交线段AB于点E,连结OE并延长交⊙A于点F.
(1)求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值;
(2)如图2,连结CE,当CE=EF时,
20
①求证:△OCE∽△OEA;
②求点E的坐标;
(3)当点C在线段OA上运动时,求OE•EF的最大值.
20
2018年浙江省宁波市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.
【解答】解:由正数大于零,零大于负数,得
﹣3<﹣1<0<1,
最小的数是﹣3,
故选:A.
2.
【解答】解:550000=5.5×105,
故选:B.
3.
【解答】解:∵a3+a3=2a3,
∴选项A符合题意;
∵a3•a2=a5,
∴选项B不符合题意;
∵a6÷a2=a4,
∴选项C不符合题意;
∵(a3)2=a6,
∴选项D不符合题意.
20
故选:A.
4.
【解答】解:∵从写有数字1,2,3,4,5这5张纸牌中抽取一张,其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果,
∴正面的数字是偶数的概率为,
故选:C.
5.
【解答】解:正多边形的一个外角等于40°,且外角和为360°,
则这个正多边形的边数是:360°÷40°=9.
故选:D.
6.
【解答】解:从上边看是一个田字,
“田”字是中心对称图形,
故选:C.
7.
【解答】解:∵∠ABC=60°,∠BAC=80°,
∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°,
∵对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,
∴EO是△DBC的中位线,
∴EO∥BC,
∴∠1=∠ACB=40°.
故选:B.
8.
【解答】解:∵数据4,1,7,x,5的平均数为4,
20
∴=4,
解得:x=3,
则将数据重新排列为1、3、4、5、7,
所以这组数据的中位数为4,
故选:C.
9.
【解答】解:∵∠ACB=90°,AB=4,∠A=30°,
∴∠B=60°,BC=2
∴的长为=,
故选:C.
10.
【解答】解:∵AB∥x轴,
∴A,B两点纵坐标相同.
设A(a,h),B(b,h),则ah=k1,bh=k2.
∵S△ABC=AB•yA=(a﹣b)h=(ah﹣bh)=(k1﹣k2)=4,
∴k1﹣k2=8.
故选:A.
11.
【解答】解:由二次函数的图象可知,
a<0,b<0,
当x=﹣1时,y=a﹣b<0,
∴y=(a﹣b)x+b的图象在第二、三、四象限,
故选:D.
20
12.
【解答】解:S1=(AB﹣a)•a+(CD﹣b)(AD﹣a)=(AB﹣a)•a+(AB﹣b)(AD﹣a),
S2=AB(AD﹣a)+(a﹣b)(AB﹣a),
∴S2﹣S1=AB(AD﹣a)+(a﹣b)(AB﹣a)﹣(AB﹣a)•a﹣(AB﹣b)(AD﹣a)=(AD﹣a)(AB﹣AB+b)+(AB﹣a)(a﹣b﹣a)=b•AD﹣ab﹣b•AB+ab=b(AD﹣AB)=2b.
故选:B.
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.
【解答】解:|﹣2018|=2018.
故答案为:2018.
14.
【解答】解:要使分式有意义,则:x﹣1≠0.
解得:x≠1,故x的取值应满足:x≠1.
故答案为:x≠1.
15.
【解答】解:原式=(x+2y)(x﹣2y)
=﹣3×5
=﹣15
故答案为:﹣15
16.
20
【解答】解:由于CD∥HB,
∴∠CAH=∠ACD=45°,∠B=∠BCD=30°
在Rt△ACH中,∵∴∠CAH=45°
∴AH=CH=1200米,
在Rt△HCB,∵tan∠B=
∴HB==
==1200(米).
∴AB=HB﹣HA
=1200﹣1200
=1200(﹣1)米
故答案为:1200(﹣1)
17.
【解答】解:如图1中,当⊙P与直线CD相切时,设PC=PM=m.
在Rt△PBM中,∵PM2=BM2+PB2,
∴x2=42+(8﹣x)2,
20
∴x=5,
∴PC=5,BP=BC﹣PC=8﹣5=3.
如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K,连接PK,则PK⊥AD,四边形PKDC是矩形.
∴PM=PK=CD=2BM,
∴BM=4,PM=8,
在Rt△PBM中,PB==4.
综上所述,BP的长为3或4.
18.
【解答】解:延长DM交CB的延长线于点H.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=AD=2,AD∥CH,
∴∠ADM=∠H,
∵AM=BM,∠AMD=∠HMB,
∴△ADM≌△BHM,
∴AD=HB=2,
20
∵EM⊥DH,
∴EH=ED,设BE=x,
∵AE⊥BC,
∴AE⊥AD,
∴∠AEB=∠EAD=90°
∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2,
∴22﹣x2=(2+x)2﹣22,
∴x=﹣1或﹣﹣1(舍弃),
∴cosB==,
故答案为.
三、解答题(本大题有8小题,共78分)
19.
【解答】解:原式=x2﹣2x+1+3x﹣x2=x+1,
当x=﹣时,原式=﹣+1=.
20.
【解答】解:(1)如图所示,线段BD即为所求;
(2)如图所示,线段BE即为所求.
21.
【解答】解:(1)由条形图知,A级的人数为20人,
20
由扇形图知:A级人数占总调查人数的10%
所以:20÷10%=20×=200(人)
即本次调查的学生人数为200人;
(2)由条形图知:C级的人数为60人
所以C级所占的百分比为:×100%=30%,
B级所占的百分比为:1﹣10%﹣30%﹣45%=15%,
B级的人数为200×15%=30(人)
D级的人数为:200×45%=90(人)
B所在扇形的圆心角为:360°×15%=54°.
(3)因为C级所占的百分比为30%,
所以全校每周课外阅读时间满足3≤t<4的人数为:1200×30%=360(人)
答:全校每周课外阅读时间满足3≤t<4的约有360人.
22.
【解答】解:(1)把(1,0),(0,)代入抛物线解析式得:,
解得:,
则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+;
(2)抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+=﹣(x+1)2+2,
20
将抛物线向右平移一个单位,向下平移2个单位,解析式变为y=﹣x2.
23.
【解答】解:(1)由题意可知:CD=CE,∠DCE=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB,
∠BCE=∠DCE﹣∠DCB,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD与△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS)
(2)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=45°,
由(1)可知:∠A=∠CBE=45°,
∵AD=BF,
∴BE=BF,
∴∠BEF=67.5°
24.
【解答】解:(1)设甲种商品的每件进价为x元,则乙种商品的每件进价为(x+8)元.
根据题意,得,=,
解得 x=40.
经检验,x=40是原方程的解.
答:甲种商品的每件进价为40元,乙种商品的每件进价为48元;
(2)甲乙两种商品的销售量为=50.
20
设甲种商品按原销售单价销售a件,则
(60﹣40)a+(60×0.7﹣40)(50﹣a)+(88﹣48)×50≥2460,
解得 a≥20.
答:甲种商品按原销售单价至少销售20件.
25.
【解答】解:(1)∵△ABC是比例三角形,且AB=2、AC=3,
①当AB2=BC•AC时,得:4=3AC,解得:AC=;
②当BC2=AB•AC时,得:9=2AC,解得:AC=;
③当AC2=AB•BC时,得:AC=6,解得:AC=(负值舍去);
所以当AC=或或时,△ABC是比例三角形;
(2)∵AD∥BC,
∴∠ACB=∠CAD,
又∵∠BAC=∠ADC,
∴△ABC∽△DCA,
∴=,即CA2=BC•AD,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∴∠ADB=∠ABD,
∴AB=AD,
∴CA2=BC•AB,
∴△ABC是比例三角形;
(3)如图,过点A作AH⊥BD于点H,
20
∵AB=AD,
∴BH=BD,
∵AD∥BC,∠ADC=90°,
∴∠BCD=90°,
∴∠BHA=∠BCD=90°,
又∵∠ABH=∠DBC,
∴△ABH∽△DBC,
∴=,即AB•BC=BH•DB,
∴AB•BC=BD2,
又∵AB•BC=AC2,
∴BD2=AC2,
∴=.
26.
【解答】解:∵直线l:y=﹣x+b与x轴交于点A(4,0),
∴﹣×4+b=0,
∴b=3,
∴直线l的函数表达式y=﹣x+3,
∴B(0,3),
∴OA=4,OB=3,
在Rt△AOB中,tan∠BAO==;
(2)①如图2,连接DF,∵CE=EF,
20
∴∠CDE=∠FDE,
∴∠CDF=2∠CDE,
∵∠OAE=2∠CDE,
∴∠OAE=∠ODF,
∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形,
∴∠OEC=∠ODF,
∴∠OEC=∠OAE,
∵∠COE=∠EOA,
∴△COE∽△EOA,
②过点E⊥OA于M,
由①知,tan∠OAB=,
设EM=3m,则AM=4m,
∴OM=4﹣4m,AE=5m,
∴E(4﹣4m,3m),AC=5m,∴
OC=4﹣5m,
由①知,△COE∽△EOA,
∴,
∴OE2=OA•OC=4(4﹣5m)=16﹣20m,
∵E(4﹣4m,3m),
∴(4﹣4m)2+9m2=25m2﹣32m+16,
∴25m2﹣32m+16=16﹣20m,
∴m=0(舍)或m=,
∴4﹣4m=,3m=,
∴(,),
(3)如图,设⊙O的半径为r,过点O作OG⊥AB于G,
20
∵A(4,0),B(0,3),
∴OA=4,OB=3,
∴AB=5,
∴AB×OG=OA×OB,
∴OG=,
∴AG==×=,
∴EG=AG﹣AE=﹣r,
连接FH,
∵EH是⊙O直径,
∴EH=2r,∠EFH=90°=∠EGO,
∵∠OEG=∠HEF,
∴△OEG∽△HEF,
∴,
∴OE•EF=HE•EG=2r(﹣r)=﹣2(r﹣)2+,
∴r=时,OE•EF最大值为.
20
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