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2020 年四川省达州市中考数学试卷 一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间 2020 年 6 月 30 日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到 1002 万．1002 万用科学记数法表示， 正确的是 ( ) A． 71.002 10 B． 61.002 10 C． 41002 10 D． 21.002 10 万 2．（3 分）下列各数中，比 3 大比 4 小的无理数是 ( ) A．3.14 B．10 3 C． 12 D． 17 3．（3 分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是 ( ) A． B． C． D． 4．（3 分）下列说法正确的是 ( ) A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查 B．确定事件一定会发生 C．某校 6 位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为 98、97、99、99、98、96，那 么这组数据的众数为 98 D．数据 6、5、8、7、2 的中位数是 6 5．（3 分）图 2 是图 1 中长方体的三视图，用 S 表示面积， 2 3S x x 主 ， 2S x x 左 ，则 (S 俯 ) A． 2 3 2x x  B． 2 2 1x x  C． 2 4 3x x  D． 22 4x x 6．（3 分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为 m ，下列 代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是 ( ) A．12( 1)m  B． 4 8(m  2)m  C．12( 2) 8m   D．12 16m  7．（3 分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳 计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满 5 进 1，用来记录孩子自出 生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是 ( ) A．10 B．89 C．165 D．294 8．（3 分）如图，在半径为 5 的 O 中，将劣弧 AB 沿弦 AB 翻折，使折叠后的 AB 恰好与 OA 、 OB 相切，则劣弧 AB 的长为 ( ) A． 5 3  B． 5 2  C． 5 4  D． 5 6  9 ．（ 3 分 ） 如 图 ， 直 线 1y kx 与 抛 物 线 2 2y ax bx c   交 于 A 、 B 两 点 ， 则 2 ( )y ax b k x c    的图象可能是 ( ) A． B． C． D． 10．（3 分）如图， 45BOD   ，BO DO ，点 A 在 OB 上，四边形 ABCD 是矩形，连接 AC 、 BD 交于点 E ，连接 OE 交 AD 于点 F ．下列 4 个判断：① OE 平分 BOD ；② OF BD ； ③ 2DF AF ；④若点 G 是线段OF 的中点，则 AEG 为等腰直角三角形．正确判断的个 数是 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．（3 分）2019 年是中华人民共和国成立 70 周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和 群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改 革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以 下是打乱了的统计步骤： ①绘制扇形统计图 ②收集三个部分本班学生喜欢的人数 ③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比 其中正确的统计顺序是 ． 12．（3 分）如图，点 ( 2,1)P  与点 ( , )Q a b 关于直线1( 1)y   对称，则 a b  ． 13．（3 分）小明为测量校园里一棵大树 AB 的高度，在树底部 B 所在的水平面内，将测角 仪 CD 竖直放在与 B 相距8m 的位置，在 D 处测得树顶 A 的仰角为 52 ．若测角仪的高度是 1m ，则大树 AB 的高度约为 ．（结果精确到1m ．参考数据：sin52 0.78  ，cos52 0.61  ， tan52 1.28)  14．（3 分）如图，点 A 、 B 在反比函数 12y x  的图象上， A 、 B 的纵坐标分别是 3 和 6， 连接 OA 、 OB ，则 OAB 的面积是 ． 15．（3 分）已知 ABC 的三边 a 、 b 、 c 满足 2| 3| 8 4 1 19b c a a b       ，则 ABC 的 内切圆半径  ． 16．（3 分）已知 k 为正整数，无论 k 取何值，直线 11 : 1y kx k   与直线 21 : ( 1) 2y k x k    都交于一个固定的点，这个点的坐标是 ；记直线 11 和 21 与 x 轴围成的三角形面积为 kS ， 则 1S  ， 1 2 3 100S S S S   的值为 ． 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共 72 分） 17．（5 分）计算： 2 2 0 312 ( ) ( 5) 1253       ． 18．（7 分）求代数式 2 2 1 2( 1)1 2 1 x xxx x x       的值，其中 2 1x   ． 19．（7 分）如图，点 O 在 ABC 的边 BC 上，以OB 为半径作 O ， ABC 的平分线 BM 交 O 于点 D ，过点 D 作 DE BA 于点 E ． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形； （2）判断 O 与 DE 交点的个数，并说明理由． 20．（7 分）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程， 为了解学生的学习情况，随机抽取了 20 名学生的测试成绩，分数如下： 94 83 90 86 94 88 96 100 89 82 94 82 84 89 88 93 98 94 93 92 整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图： 等级 成绩 / 分 频数 A 95 100x„ „ a B 90 95x „ 8 C 85 90x „ 5 D 80 85x „ 4 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空： a  ， b  ； （2）若成绩不低于 90 分为优秀，估计该校 1200 名八年级学生中，达到优秀等级的人数； （3）已知 A 等级中有 2 名女生，现从 A 等级中随机抽取 2 名同学，试用列表或画树状图的 方法求出恰好抽到一男一女的概率． 21．（8 分）如图， ABC 中， 2BC AB ， D 、 E 分别是边 BC 、 AC 的中点．将 CDE 绕 点 E 旋转 180 度，得 AFE ． （1）判断四边形 ABDF 的形状，并证明； （2）已知 3AB  ， 8AD BF  ，求四边形 ABDF 的面积 S ． 22．（8 分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表： 原进价（元 / 张） 零售价（元 / 张） 成套售价（元 / 套） 餐桌 a 380 940 餐椅 140a  160 已知用 600 元购进的餐椅数量与用 1300 元购进的餐桌数量相同． （1）求表中 a 的值； （2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超 过 200 张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以 零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 23．（8 分）如图，在梯形 ABCD 中， / /AB CD ， 90B  ， 6AB cm ， 2CD cm ． P 为 线段 BC 上的一动点，且和 B 、C 不重合，连接 PA ，过点 P 作 PE PA 交射线CD 于点 E ．聪 聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究： （1）通过推理，他发现 ABP PCE ∽ ，请你帮他完成证明． （2）利用几何画板，他改变 BC 的长度，运动点 P ，得到不同位置时，CE 、 BP 的长度的 对应值： 当 6BC cm 时，得表1: /BP cm  1 2 3 4 5  /CE cm  0.83 1.33 1.50 1.33 0.83  当 8BC cm 时，得表 2: /BP cm  1 2 3 4 5 6 7  /CE cm  1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17  这说明，点 P 在线段 BC 上运动时，要保证点 E 总在线段 CD 上， BC 的长度应有一定的限 制． ①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在 BP 和 CE 的长度这两个变量中， 的长度 为自变量， 的长度为因变量； ②设 BC mcm ，当点 P 在线段 BC 上运动时，点 E 总在线段 CD上，求 m 的取值范围． 24．（10 分）（1）[ 阅读与证明 ] 如图 1，在正 ABC 的外角 CAH 内引射线 AM ，作点 C 关于 AM 的对称点 E （点 E 在 CAH 内），连接 BE ， BE 、CE 分别交 AM 于点 F 、 G ． ①完成证明：点 E 是点 C 关于 AM 的对称点， 90AGE   ， AE AC ， 1 2   ． 正 ABC 中， 60BAC  ， AB AC ， AE AB  ，得 3 4   ． 在 ABE 中， 1 2 60 3 4 180           ， 1 3     ． 在 AEG 中， 3 1 90FEG      ， FEG   ． ②求证： 2BF AF FG  ． （2）[ 类比与探究 ] 把（1）中的“正 ABC ”改为“正方形 ABDC ”，其余条件不变，如图 2．类比探究，可得： ① FEG   ； ②线段 BF 、 AF 、 FG 之间存在数量关系 ． （3）[ 归纳与拓展 ] 如图 3，点 A 在射线 BH 上，AB AC ， (0 180 )BAC        ，在 CAH 内引射线 AM ， 作点 C 关于 AM 的对称点 E（点 E 在 CAH 内），连接 BE ，BE 、CE 分别交 AM 于点 F 、 G ．则线段 BF 、 AF 、 GF 之间的数量关系为 ． 25．（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 1 22y x  与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，过 A 、 B 两点的抛物线 2y ax bx c   与 x 轴交于另一点 ( 1,0)C  ． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点 P ，使 PAB OABS S  ？若存在，请求出点 P 的坐标，若不存 在，请说明理由； （3）点 M 为直线 AB 下方抛物线上一点，点 N 为 y 轴上一点，当 MAB 的面积最大时，求 1 2MN ON 的最小值． 2020 年四川省达州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间 2020 年 6 月 30 日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到 1002 万．1002 万用科学记数法表示， 正确的是 ( ) A． 71.002 10 B． 61.002 10 C． 41002 10 D． 21.002 10 万 【解答】解：1002 万用科学记数法表示为 71.002 10 ， 故选： A ． 2．（3 分）下列各数中，比 3 大比 4 小的无理数是 ( ) A．3.14 B．10 3 C． 12 D． 17 【解答】解： 3 9 ， 4 16 ， A 、3.14 是有理数，故此选项不合题意； B 、 10 3 是有理数，故此选项不符合题意； C 、 12 是比 3 大比 4 小的无理数，故此选项符合题意； D 、 17 比 4 大的无理数，故此选项不合题意； 故选： C ． 3．（3 分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解： A 、手的对面是勤，不符合题意； B 、手的对面是口，符合题意； C 、手的对面是罩，不符合题意； D 、手的对面是罩，不符合题意； 故选： B ． 4．（3 分）下列说法正确的是 ( ) A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查 B．确定事件一定会发生 C．某校 6 位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为 98、97、99、99、98、96，那 么这组数据的众数为 98 D．数据 6、5、8、7、2 的中位数是 6 【解答】解： A ．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查，此选项错误； B ．确定事件一定会发生，或一定不会发生，此选项错误； C ．某校 6 位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为 98、97、99、99、98、96，那么 这组数据的众数为 98 和 99，此选项错误； D ．数据 6、5、8、7、2 的中位数是 6，此选项正确； 故选： D ． 5．（3 分）图 2 是图 1 中长方体的三视图，用 S 表示面积， 2 3S x x 主 ， 2S x x 左 ，则 (S 俯 ) A． 2 3 2x x  B． 2 2 1x x  C． 2 4 3x x  D． 22 4x x 【解答】解：  2 3 3S x x x x    主 ，  2 1S x x x x   左 ， 俯视图的长为 3x  ，宽为 1x  ， 则俯视图的面积    23 1 4 3S x x x x     俯 ， 故选： C ． 6．（3 分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为 m ，下列 代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是 ( ) A．12( 1)m  B． 4 8(m  2)m  C．12( 2) 8m   D．12 16m  【解答】解：由题意得，当每条棱上的小球数为 m 时，正方体上的所有小球数为 12 8 2 12 16m m    ． 而12( 1) 12 12 12 16m m m     ， 4 8(m  2) 12 16m m   ，12( 2) 8 12 16m m    ， 所以 A 选项表达错误，符合题意； B 、 C 、 D 选项表达正确，不符合题意； 故选： A ． 7．（3 分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳 计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满 5 进 1，用来记录孩子自出 生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是 ( ) A．10 B．89 C．165 D．294 【解答】解： 3 2 1 02 5 1 5 3 5 4 5 294        ， 故选： D ． 8．（3 分）如图，在半径为 5 的 O 中，将劣弧 AB 沿弦 AB 翻折，使折叠后的 AB 恰好与 OA 、 OB 相切，则劣弧 AB 的长为 ( ) A． 5 3  B． 5 2  C． 5 4  D． 5 6  【解答】解：如图，作 O 点关于 AB 的对称点 O ，连接 O A 、 O B ， OA OB O A O B     ， 四边形 OAO B 为菱形， 折叠后的 AB 与 OA 、 OB 相切， O A OA   ， O B OB  ， 四边形 OAO B 为正方形， 90AOB   ， 劣弧 AB 的长 90 5 5 180 2     ． 故选： B ． 9 ．（ 3 分 ） 如 图 ， 直 线 1y kx 与 抛 物 线 2 2y ax bx c   交 于 A 、 B 两 点 ， 则 2 ( )y ax b k x c    的图象可能是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解：设 2 1y y y  ， 1y kx ， 2 2y ax bx c   ， 2 ( )y ax b k x c     ， 由图象可知，在点 A 和点 B 之间， 0y  ，在点 A 的左侧或点 B 的右侧， 0y  ， 故选项 B 符合题意，选项 A 、 C 、 D 不符合题意； 故选： B ． 10．（3 分）如图， 45BOD   ，BO DO ，点 A 在 OB 上，四边形 ABCD 是矩形，连接 AC 、 BD 交于点 E ，连接 OE 交 AD 于点 F ．下列 4 个判断：① OE 平分 BOD ；② OF BD ； ③ 2DF AF ；④若点 G 是线段OF 的中点，则 AEG 为等腰直角三角形．正确判断的个 数是 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：①四边形 ABCD 是矩形， EB ED  ， BO DO ， OE 平分 BOD ， 故①正确； ②四边形 ABCD 是矩形， 90OAD BAD     ， 90ABD ADB     ， OB OD ， BE DE ， OE BD  ， 90BOE OBE     ， BOE BDA   ， 45BOD   ， 90OAD  ， 45ADO   ， AO AD  ， ( )AOF ABD ASA   ， OF BD  ， 故②正确； ③ AOF ABD   ， AF AB  ， 连接 BF ，如图 1， 2BF AF  ， BE DE ， OE BD ， DF BF  ， 2DF AF  ， 故③正确； ④根据题意作出图形，如图 2， G 是 OF 的中点， 90OAF   ， AG OG  ， AOG OAG   ， 45AOD   ， OE 平分 AOD ， 22.5AOG OAG     ， 67.5FAG   ， 22.5ADB AOF    ， 四边形 ABCD 是矩形， EA ED  ， 22.5EAD EDA    ， 90EAG   ， 45AGE AOG OAG       ， 45AEG   ， AE AG  ， AEG 为等腰直角三角形， 故④正确； 故选： A ． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．（3 分）2019 年是中华人民共和国成立 70 周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和 群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改 革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以 下是打乱了的统计步骤： ①绘制扇形统计图 ②收集三个部分本班学生喜欢的人数 ③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比 其中正确的统计顺序是 ②③① ． 【解答】解：正确的统计顺序是： ②收集三个部分本班学生喜欢的人数； ③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比； ①绘制扇形统计图； 故答案为：②③①． 12．（3 分）如图，点 ( 2,1)P  与点 ( , )Q a b 关于直线1( 1)y   对称，则 a b  5 ． 【解答】解：点 ( 2,1)P  与点 ( , )Q a b 关于直线1( 1)y   对称， 2a   ， 3b   ， 2 3 5a b       ， 故答案为 5 ． 13．（3 分）小明为测量校园里一棵大树 AB 的高度，在树底部 B 所在的水平面内，将测角 仪 CD 竖直放在与 B 相距8m 的位置，在 D 处测得树顶 A 的仰角为 52 ．若测角仪的高度是 1m ，则大树 AB 的高度约为 11 ．（结果精确到1m ．参考数据：sin52 0.78  ，cos52 0.61  ， tan52 1.28)  【解答】解：如图，过点 D 作 DE AB ，垂足为 E ，由题意得， 8BC DE  ， 52ADE   ， 1DE CD  在 Rt ADE 中， tan 8 tan52 10.24AD DE ADE      ， 10.24 1 11AB AE BE      （米 ) 故答案为：11． 14．（3 分）如图，点 A 、 B 在反比函数 12y x  的图象上， A 、 B 的纵坐标分别是 3 和 6， 连接 OA 、 OB ，则 OAB 的面积是 9 ． 【解答】解：点 A 、 B 在反比函数 12y x  的图象上， A 、 B 的纵坐标分别是 3 和 6， (4,3)A ， (2,6)B ， 作 AD y 轴于 D ， BE y 轴于 E ， 1 12 62AOD BOES S      ， OAB AOD BOEABED ABEDS S S S S      梯形 梯形 ， 1 (4 2) (6 3) 92AOBS      ， 故答案为 9． 15．（3 分）已知 ABC 的三边 a 、 b 、 c 满足 2| 3| 8 4 1 19b c a a b       ，则 ABC 的 内切圆半径  1 ． 【解答】解： 2| 3| 8 4 1 19b c a a b       ， 2 2| 3| ( 4) ( 1 2) 0c a b        ， 3c  ， 4a  ， 5b  ， 2 2 23 4 25 5   ， 2 2 2c a b   ， ABC 是直角三角形， 90ABC   ， 设内切圆的半径为 r ， 根据题意，得 1 1 1 13 4 3 4 52 2 2 2ABCS r r r             ， 1r  ， 故答案为：1． 16．（3 分）已知 k 为正整数，无论 k 取何值，直线 11 : 1y kx k   与直线 21 : ( 1) 2y k x k    都交于一个固定的点，这个点的坐标是 ( 1,1) ；记直线 11 和 21 与 x 轴围成的三角形面积 为 kS ，则 1S  ， 1 2 3 100S S S S   的值为 ． 【解答】解：直线 11 : 1 ( 1) 1y kx k k x      ， 直线 21 : ( 1) 2y k x k    经过点 ( 1,1) ； 直线 21 : ( 1) 2 ( 1) ( 1) 1 ( 1)( 1) 1y k x k k x x k x             ， 直线 21 : ( 1) 2y k x k    经过点 ( 1,1) ． 无论 k 取何值，直线 1l 与 2l 的交点均为定点 ( 1,1) ． 直线 11 : 1y kx k   与 x 轴的交点为 1( k k  ， 0) ， 直线 21 : ( 1) 2y k x k    与 x 轴的交点为 2( 1 k k   ， 0) ， 1 1 2 1| | 12 1 2 ( 1)K k kS k k k k          ， 1 1 1 1 2 1 2 4S    ； 1 2 3 100 1 1 1 1[ ]2 1 2 2 3 100 101S S S S         1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( )]2 2 2 3 100 101       1 1(1 )2 101    1 100 2 101   50 101  ． 故答案为 ( 1,1) ； 1 4 ； 50 101 ． 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共 72 分） 17．（5 分）计算： 2 2 0 312 ( ) ( 5) 1253       ． 【解答】解：原式 4 9 1 5     1 ． 18．（7 分）求代数式 2 2 1 2( 1)1 2 1 x xxx x x       的值，其中 2 1x   ． 【解答】解：原式 2 2 2 1 1 2( )1 1 ( 1) x x x x x x        2 2 2 2)1 ( 1) x x x x x      2( 2) ( 1) 1 2 x x x x x      ( 1)x x   当 2 1x   时， 原式 ( 2 1)( 2 1 1)     ( 2 1) 2    2 2   ． 19．（7 分）如图，点 O 在 ABC 的边 BC 上，以OB 为半径作 O ， ABC 的平分线 BM 交 O 于点 D ，过点 D 作 DE BA 于点 E ． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形； （2）判断 O 与 DE 交点的个数，并说明理由． 【解答】解：（1）如图， O ，射线 BM ，直线 DE 即为所求． （2）直线 DE 与 O 相切，交点只有一个． 理由： OB OD ， ODB OBD   ， BD 平分 ABC ， ABM CBM   ， ODB ABD   ， / /OD AB ， DE AB ， DE OD  ， 直线 AE 是 O 的切线， O 与直线 DE 只有一个交点． 20．（7 分）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程， 为了解学生的学习情况，随机抽取了 20 名学生的测试成绩，分数如下： 94 83 90 86 94 88 96 100 89 82 94 82 84 89 88 93 98 94 93 92 整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图： 等级 成绩 / 分 频数 A 95 100x„ „ a B 90 95x „ 8 C 85 90x „ 5 D 80 85x „ 4 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空： a  3 ， b  ； （2）若成绩不低于 90 分为优秀，估计该校 1200 名八年级学生中，达到优秀等级的人数； （3）已知 A 等级中有 2 名女生，现从 A 等级中随机抽取 2 名同学，试用列表或画树状图的 方法求出恰好抽到一男一女的概率． 【解答】解：（1）由题意知 20 (8 5 4) 3a      ， 8% 100% 40%20b    ，即 40b  ； 故答案为：3、40； （2）估计该校 1200 名八年级学生中，达到优秀等级的人数为 8 31200 66020   （人 ) ； （3）列表如下： 男 女 女 男 （男，女） （男，女） 女 （男，女） （女，女） 女 （男，女） （女，女） 所有等可能的结果有 6 种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有 4 种， 恰好抽到一男一女的概率为 4 2 6 3  ． 21．（8 分）如图， ABC 中， 2BC AB ， D 、 E 分别是边 BC 、 AC 的中点．将 CDE 绕 点 E 旋转 180 度，得 AFE ． （1）判断四边形 ABDF 的形状，并证明； （2）已知 3AB  ， 8AD BF  ，求四边形 ABDF 的面积 S ． 【解答】解：（1）结论：四边形 ABDF 是菱形． CD DB ， CE EA ， / /DE AB ， 2AB DE ， 由旋转的性质可知， DE EF ， AB DF  ， / /AB DF ， 四边形 ABDF 是平行四边形， 2BC AB ， BD DC ， BA BD  ， 四边形 ABDF 是菱形． （2）连接 BF ， AD 交于点 O ． 四边形 ABDF 是菱形， AD BF  ， OB OF ， AO OD ，设 OA x ， OB y ， 则有 2 2 2 2 2 8 3 x y x y      ， 4x y   ， 2 22 16x xy y    ， 2 7xy  ， 1 2 72ABDFS BF AD xy     菱形 ． 22．（8 分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表： 原进价（元 / 张） 零售价（元 / 张） 成套售价（元 / 套） 餐桌 a 380 940 餐椅 140a  160 已知用 600 元购进的餐椅数量与用 1300 元购进的餐桌数量相同． （1）求表中 a 的值； （2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超 过 200 张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以 零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）根据题意得： 600 1300 140a a  ， 解得 260a  ， 经检验， 260a  是原分式方程的解． 答：表中 a 的值为 260． （2）设购进餐桌 x 张，则购进餐椅 (5 20)x  张， 根据题意得： 5 20 200x x  „ ， 解得： 30x„ ． 设销售利润为 y 元， 根 据 题 意 得 ： 1 1 1[940 260 4 (260 140)] (380 260) [160 (260 140)] (5 20 4 ) 280 8002 2 2y x x x x x                  ， 280 0k   ， 当 30x  时， y 取最大值，最大值为： 280 30 800 9200   ． 答：当购进餐桌 30 张、餐椅 170 张时，才能获得最大利润，最大利润是 9200 元． 23．（8 分）如图，在梯形 ABCD 中， / /AB CD ， 90B  ， 6AB cm ， 2CD cm ． P 为 线段 BC 上的一动点，且和 B 、C 不重合，连接 PA ，过点 P 作 PE PA 交射线CD 于点 E ．聪 聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究： （1）通过推理，他发现 ABP PCE ∽ ，请你帮他完成证明． （2）利用几何画板，他改变 BC 的长度，运动点 P ，得到不同位置时，CE 、 BP 的长度的 对应值： 当 6BC cm 时，得表1: /BP cm  1 2 3 4 5  /CE cm  0.83 1.33 1.50 1.33 0.83  当 8BC cm 时，得表 2: /BP cm  1 2 3 4 5 6 7  /CE cm  1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17  这说明，点 P 在线段 BC 上运动时，要保证点 E 总在线段 CD 上， BC 的长度应有一定的限 制． ①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在 BP 和 CE 的长度这两个变量中， BP 的 长度为自变量， 的长度为因变量； ②设 BC mcm ，当点 P 在线段 BC 上运动时，点 E 总在线段 CD上，求 m 的取值范围． 【解答】（1）证明： / /AB CD ， 90B C    ， 90B   ， 90B C     ， AP PE ， 90APE   ， 90APB EPC     ， 90EPC PEC     ， APB PEC   ， ABP PCE ∽ ． （2）解：①根据函数的定义，我们可以确定，在 BP 和 CE 的长度这两个变量中， BP 的长 度为自变量， EC 的长度为因变量， 故答案为： BP ， EC ． ②设 BP xcm ， CE ycm ． ABP PCE  ∽ ，  AB BP PC CE  ，  6 x m x y  ， 2 2 21 1 1 1( )6 6 6 2 24 my x mx x m        ， 1 06   ， 1 2x m  时， y 有最大值 2 24 m ， 点 E 在线段 CD上， 2CD cm ，  2 224 m „ ， 4 3m „ ， 0 4 3m  „ ． 24．（10 分）（1）[ 阅读与证明 ] 如图 1，在正 ABC 的外角 CAH 内引射线 AM ，作点 C 关于 AM 的对称点 E （点 E 在 CAH 内），连接 BE ， BE 、CE 分别交 AM 于点 F 、 G ． ①完成证明：点 E 是点 C 关于 AM 的对称点， 90AGE   ， AE AC ， 1 2   ． 正 ABC 中， 60BAC  ， AB AC ， AE AB  ，得 3 4   ． 在 ABE 中， 1 2 60 3 4 180           ， 1 3    60  ． 在 AEG 中， 3 1 90FEG      ， FEG   ． ②求证： 2BF AF FG  ． （2）[ 类比与探究 ] 把（1）中的“正 ABC ”改为“正方形 ABDC ”，其余条件不变，如图 2．类比探究，可得： ① FEG   ； ②线段 BF 、 AF 、 FG 之间存在数量关系 ． （3）[ 归纳与拓展 ] 如图 3，点 A 在射线 BH 上，AB AC ， (0 180 )BAC        ，在 CAH 内引射线 AM ， 作点 C 关于 AM 的对称点 E（点 E 在 CAH 内），连接 BE ，BE 、CE 分别交 AM 于点 F 、 G ．则线段 BF 、 AF 、 GF 之间的数量关系为 ． 【解答】（1）①解：如图 1 中，点 E 是点 C 关于 AM 的对称点， 90AGE   ， AE AC ， 1 2   ． 正 ABC 中， 60BAC  ， AB AC ， AE AB  ，得 3 4   ． 在 ABE 中， 1 2 60 3 4 180           ， 1 3 60    ． 在 AEG 中， 3 1 90FEG      ， 30FEG   ． 故答案为 60，30． ②证明：如图 1 中，连接 CF ，在 FB 上取一点T ，使得 FT CF ，连接 CT ． C ， E 关于 AM 对称， AM 垂直平分线段 EC ， FE FC  ， 30FEC FCE    ， 2EF FG ， 60CFT FEC FCE       ， FC FT ， CFT 是等边三角形， 60ACB FCT    ， CF CT FT  ， BCT ACF   ， CB CA ， ( )BCT ACF SAS   ， BT AF  ， 2BF BT FT AF EF AF FG       ． （2）解：①如图 2 中， AB AC AE  ， 点 A 是 ECB 的外接圆的圆心， 1 2BEC BAC   ， 90BAC   ， 45FEG   ． 故答案为 45． ②结论： 2 2BF AF FG  ． 理由：如图 2 中，连接 CF ，在 FB 上取一点T ，使得 FT CF ，连接 CT ． AM EC ， CG CE ， FC EF  ， 45FEC FCE     ， 2EF FG ， 90CFT FEC FCE       ， CF CT ， CFT 是等腰直角三角形， 2CT CF  ， ABC 是等腰直角三角形， 2BC AC  ，  CT CB CF CA  ， 45BCA TCF     ， BCT ACF   ， BCT ACF ∽ ，  2BT BC AF AC   ， 2BT AF  ， 2 2BF BT TF AF FG     ．． （3）如图 3 中，连接 CF ， BC ，在 BF 上取一点T ，使得 FT CF ． AB AC ， BAC   ，  1 12 sin 2 BC AC  ，  12 sin 2 BC AC   ， AB AC AE  ， 1 1 2 2BEC BAC     ， 1sin 2 FGEF   ， FC FE ， 1 2FEC FCE     ， CFT FEC FCE       ， 同法可证， BCT ACF ∽ ，  12 sin 2 BT BC AF AC    ， 12 sin 2BT AF    ， 12 sin 2BF BT FT AF EF     ．即 12 sin 12 sin 2 FGBF AF     ． 故答案为： 12 sin 12 sin 2 FGBF AF     ． 25．（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 1 22y x  与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，过 A 、 B 两点的抛物线 2y ax bx c   与 x 轴交于另一点 ( 1,0)C  ． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点 P ，使 PAB OABS S  ？若存在，请求出点 P 的坐标，若不存 在，请说明理由； （3）点 M 为直线 AB 下方抛物线上一点，点 N 为 y 轴上一点，当 MAB 的面积最大时，求 1 2MN ON 的最小值． 【解答】解：（1）直线 1 22y x  与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ， 点 (4,0)A ，点 (0, 2)B  ， 设抛物线解析式为： ( 1)( 4)y a x x   ， 2 4a   ， 1 2a  ， 抛物线解析式为： 21 1 3( 1)( 4) 22 2 2y x x x x      ； （2）如图，当点 P 在直线 AB 上方时，过点 O 作 / /OP AB ，交抛物线与点 P ， / /OP AB ， ABP 和 ABP 是等底等高的两个三角形， PAB ABOS S   ， / /OP AB ， 直线 PO 的解析式为 1 2y x ， 联立方程组可得 2 1 2 1 3 22 2 y x y x x       ， 解得： 2 2 2 1 2 x y      或 2 2 2 1 2 x y      ， 点 (2 2 2P  ，1 2) 或 (2 2 2 ，1 2) ； 当点 P 在直线 AB 下方时，在OB 的延长线上截取 2BE OB  ，过点 E 作 / /EP AB ，交抛 物线于点 P ， / / / /AB EP OP ， OB BE ， ABOABPS S   ， / /EP AB ，且过点 (0, 4)E  ， 直线 EP 解析式为 1 42y x  ， 联立方程组可得 2 1 42 1 3 22 2 y x y x x        ， 解得 2 3 x y     ， 点 (2, 3)P  ， 综上所述：点 P 坐标为 (2 2 2 ，1 2) 或 (2 2 2 ，1 2) 或 (2, 3) ； （3）如图 2，过点 M 作 MF AC ，交 AB 于 F ， 设点 21 3( , 2)2 2M m m m  ，则点 1( , 2)2F m m  ， 2 21 1 3 12 ( 2) ( 2) 22 2 2 2MF m m m m          ， MAB 的面积 2 21 14 [ ( 2) 2] ( 2) 42 2 m m          ， 当 2m  时， MAB 的面积有最大值， 点 (2, 3)M  ， 如图 3，过点 O 作 30KOB   ，过点 N 作 KN OK 于 K 点，过点 M 作 MR OK 于 R ， 延长 MF 交直线 KO 于 Q ， 30KOB   ， KN OK ， 1 2KN ON  ， 1 2MN ON MN KN    ， 当点 M ，点 N ，点 K 三点共线，且垂直于 OK 时， 1 2MN ON 有最小值，即最小值为 MP ， 30KOB   ， 直线 OK 解析式为 3y x ， 当 2x  时，点 (2Q ， 2 3) ， 2 3 3QM   ， / /OB QM ， 30PQM PON     ， 1 332 2PM QM    ， 1 2MN ON  的最小值为 33 2  ．