北师大版八年级数学上册 第二章 实数 知识点总结及练习 9页

有德教育 1 / 9 第二章：实数 【无理数】 1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个 条件。 2. 常见无理数的几种类型： （1）特殊意义的数，如：圆周率 以及含有 的一些数，如：2- ，3 等； （2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个 1 之间依 次多 1 个 0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2- 是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为 0 的有理数结果是无理数。如 2 , （5）开方开不尽的数，如: 3 9,5,2 等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如： 9 等；无理数也不一定带根号，如： ） 3.有理数与无理数的区别： （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为 1 的分数），而无理数则不能写 成分数形式。 例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③ 75  、④π、⑤ 252. 、⑥ 3 2 、 ⑦0.3030003000003……（相邻两个 3 之间 0 的个数逐次增加 2）、其中是有理数的有＿＿＿＿； 是无理数的有＿＿＿。（填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,- , 4 , 3 2 其中无理数有 ( )个 【算术平方根】： 1. 定义：如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ax 2 ，那么，这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根， 记为：“ a ”，读作，“根号 a”，其中，a 称为被开方数。例如 32=9，那么 9 的算术平方根是 3，即 39  。 特别规地，0 的算术平方根是 0，即 00  ，负数没有算术平方根 2.算术平方根具有双重非负性：（1）若 a 有意义，则被开方数 a 是非负数。（2）算术平方根本 身是非负数。 3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了 平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为： a ；而平方根具有两个 有德教育 2 / 9 互为相反数的值，表示为： a 。 例：（1）下列说法正确的是 （ ） A．1 的立方根是 1 ； B． 24  ；（C）、 81的平方根是 3 ； （ D）、0 没 有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A、 981  B、 14.314.3   C、 3927  D、 235  （3） 2)3( 的算术平方根是 。（4）若 xx  有意义，则 1x ___________。 （5）已知△ABC 的三边分别是 ,,, cba 且 ba, 满足 0)4(3 2  ba ，求 c 的取值范围。 （6）（提高题）如果 x、y 分别是 4－ 3 的整数部分和小数部分。求 x － y 的值. 平方根： 1.定义：如果一个数 x 的平方等于 a，即 ax 2 ，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根；，我们称 x 是 a 的平方（也叫二次方根），记做： )0(  aax 2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数； （2）0 只有一个平方根，它是 0 本身； （3）负数没有平方根 例（1）若 x 的平方根是±2，则 x= ； 16 的平方根是 （2）当 x 时， x23－ 有意义。 （3）一个正数的平方根分别是 m 和 m-4，则 m 的值是多少？这个正数是多少？ 3. 的性质与 22 )0()( aaa  （1） 77)0() 22  ）如：（ aaa （2） ||2 aa  中，a 可以取任意实数。如 5|5|52  3|3-|3- 2 ）（ 例：1.求下列各式的值 （1） 27 （2） 27- ）（ （3） 249- ）（ 2. 已 知 1)1 2  aa（ ， 那 么 a 的 取 值 范 围 是 。 3. 已 知 2 ＜ x ＜ 3, 化 简  |3|)-2 2 xx（ 。 【立方根】 1.定义：一般地，如果以个数 x 的立方等于 a，即 x3=a,那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（也 有德教育 3 / 9 叫做三次方根）记为 3 a ，读作，3 次根号 a。如 23=8，则 2 是 8 的立方根，0 的立方根是 0。 2.性质：正数的立方根的正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有 0,1，-1. 例：（1 ）64 的 立 方根 是 （2 ） 若 9.28,89.2 33  aba ， 则 b 等 于 （3）下列说法中：① 3 都是 27 的立方根，② yy 3 3 ，③ 64 的立方根是 2，④   483 2  。 其中正确的有 （ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 比较两个数的大小： 方法一：估算法。如 3＜ 10 ＜4 方法二：作差法。如 a＞b 则 a-b＞0. 方法三：乘方法.如比较 3362 与 的大小。 例：比较下列两数的大小 （1） 2 1 2 3-10 与 （2） 5325 与 【实数】 定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值 最小的实数是 0，最大的负整数是-1。 （2）实数也可以分为正实数、0 负实数。 实数的性质：实数 a 的相反数是-a；实数 a 的倒数是 a 1 （a≠0）；实数 a 的绝对值|a|=      )0( )0( aa aa ， 它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。 实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于 0，0 大 于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数 轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平 方或者立方的大小。 实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算 顺序与有理数的一 实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的 （1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。 （2）数轴上的每个点都表示已个实数。 有德教育 4 / 9 例：（1）下列说法正确的是（ ）； A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ； C、1 和 2 之间的无理数只有 2 ； D、不带根号的数都是有理数。 （2）a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( ) A、 ba  B、 ab C、 ba  D、 ab  （3）比较大小(填“>”或“<”). 3 10 ， 3 3 20 ， 76______67 ， 2 15  2 1 ， （4）数 7, 2, 3   的大小关系是 ( ) A. 7 3 2     B. 3 7 2     C. 2 7 3     D. 3 2 7     （ 5 ） 将 下 列 各 数 ： 51,3,8,2 3  ， 用 “ ＜ ” 连 接 起 来 ； ______________________________________。 （6）若 2,3  ba ，且 0ab ，则： ba  = 。 【二次根式】 定义：形如 ）（ 0aa 的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数 注意：（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“ ”，如 9 是二次根式，而 9 =3,3 显然就不 是二次根式。 （2）被开方数 a 可以是数，也可以是代数式。若 a 是数，则这个数必须是非负数；若 a 是代 数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。 例：下列根式是否为二次根式 （1） 3- （2） ｜｜ 3- （3） a- （4） 3 2   二次根式的性质： 性质 1： )0,0(.  babaab 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个 性质也可以对二次根式进行化简。 性质 2： )0,0.( bab a b a  商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。 a 0 b 有德教育 5 / 9 最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做 最简二次根式。 例：1.化简： （1） 1512 （2） )0(27 24 bba （3） x9 4 2.计算： 32 27 8115.04 1  3 2 3 8 1 16 13125.0      3.已知：    064.01,1217 32  yx ，求代数式 3 245102 yyxx  的值。 6.（提高题）观察下列等式：回答问题： ① 2 1111 1 1 11 2 1 1 11 22  ② 6 1112 1 2 11 3 1 2 11 22  ③ 12 1113 1 3 11 4 1 3 11 22  ，…… （1）根据上面三个等式的信息，请猜想 22 5 1 4 11  的结果； （2）请按照上式反应的规律，试写出用 n 表示的等式，并加以验证。 课后练习 一、重点考查题型： 1.－1 的相反数的倒数是 2.已知｜a+3|+ b+1 ＝0，则实数（a+b）的相反数 3.数－3．14 与－Л的大小关系是 4.和数轴上的点成一一对应关系的是 5.和数轴上表示数－3 的点 A 距离等于 2．5 的 B 所表示的数是 6.在实数中Л,－2 5 ,0, 3 ,－3．14, 4 无理数有 个 7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ） （A）非负数 （B）非正数 （C）负数 （D）正数 8．若 x＜－3，则｜x＋3｜= 。 有德教育 6 / 9 9．下列说法正确是（ ） （A） 有理数都是实数 （B）实数都是有理数 （B） 带根号的数都是无理数 （D）无理数都是开方开不尽的数 10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小： （1） c-b 和 d-a （2） bc 和 ad 二、考点训练： *1．判断题： （1）如果 a 为实数，那么－a 一定是负数；（ ） （2）对于任何实数 a 与 b,|a－b|=|b－a|恒成立；（ ） （3）两个无理数之和一定是无理数；（ ） （4）两个无理数之积不一定是无理数；（ ） （5）任何有理数都有倒数；（ ） （6）最小的负数是－1；（ ） （7）a 的相反数的绝对值是它本身；（ ） （8）若|a|=2,|b|=3 且 ab>0，则 a－b=－1；（ ） 2．把下列各数分别填入相应的集合里 －|－3|，21．3，－1．234，－22 7 ,0，－ 9 ,－ 3 －1 8 , －Л 2 , 8 , ( 2 － 3 )0，3－2， ctg45°,1.2121121112．．．．．．中 无理数集合｛ ｝ 负分数集合｛ ｝ 整数集合｛ ｝ 非负数集合｛ ｝ *3．已知 10，且 y<|x|，用"<"连结 x，－x，－|y|，y。 10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？ 有德教育 8 / 9 11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？ 12．把下列语句译成式子： （1）a 是负数 ；（2）a、b 两数异号 ；（3）a、b 互为相反数 ； （4）a、b 互为倒数 ；(5)x 与 y 的平方和是非负数 ； （6）c、d 两数中至少有一个为零 ；（7）a、b 两数均不为 0 。 *13.数轴上作出表示 2 ， 3 ，－ 5 的点。 四．独立训练： 1．0 的相反数是 ，3－л的相反数是 ， 3 －8 的相反数是 ；－л的绝对值是 ， 0 的绝对值是 ， 2 － 3 的倒数是 2．数轴上表示－3．2 的点它离开原点的距离是 。 A 表示的数是－1 2 ，且 AB＝1 3 ，则点 B 表示的数是 。 3 － 3 3 ,л,(1－ 2 )º,－22 7 ,0．1313…,2cos60º, －3－1 ,1．101001000… (两 1 之间依次多一个 0),其中无理数有 ，整数有 ，负数 有 。 4. 若 a 的相反数是 27，则｜a|＝ ；5．若|a|＝ 2 ，则 a= 5．若实数 x，y 满足等式（x＋3）2＋｜4－y｜＝0，则 x＋y 的值是 6．实数可分为（ ） A、正数和零 B、有理数和无理数 C、负数和零 D、正数和负数 *7．若 2a 与 1－a 互为相反数，则 a 等于 a= 8．当 a 为实数时， a2 =－a 在数轴上对应的点在（ ） A、原点右侧 B、原点左侧 C、原点或原点的右侧 D、原点或原点左侧 *9．代数式 ａ ｜ａ｜ ＋ ｂ ｜ｂ｜ ＋ ａｂ ｜ａｂ｜ 的所有可能的值有 个。 10．已知实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图 （1）比较 a－b 与 a+b 的大小 （2）化简|b－a|+|a+b| 有德教育 9 / 9 11．实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜ 试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜ *12．已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，且（2ａ－ｂ）2＋｜9－ａ2｜＝0 。求它的周长。 ＊13．若 3，ｍ，5 为三角形三边，化简： （2－ｍ）2 － （ｍ－8）2