2021年中考数学专题复习 专题50 中考数学新定义型试题解法（学生版） 11页

专题 50 中考数学新定义型试题解法 1.新定义问题 所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，“给什么，用什么”是应用新“定义” 解题的基本思路．这类试题的特点：源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息,它可以是新的概念、 新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等等. 在解决它们过程中又可产生了许 多新方法、新观念，增强了学生创新意识． 2.新定义问题类型 主要包括以下几种类型： (1)概念的“新定义”； (2)运算的“新定义”； (3)规则的“新定义”； (4)实验操作的“新定义”； (5)几何图形的新定义． 3.新定义问题解题策略 “新定义型专题”关键要把握两点： 一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法； 二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移。 【例题 1】(2020•河南)定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程 1☆x＝0 的根的情况为( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【对点练习】定义：对于实数 a，符号[a]表示不大于 a 的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4． (1)如果[a]=-2，那么 a 的取值范围是 ． (2)如果[ 1 2 x  ]=3，求满足条件的所有正整数 x． 【例题 2】(2021 广东深圳模拟)定义新运算：a※b= 1( ) ( 0) a a b a a b bb     且 ，则函数 y=3※x 的图象大致是( ) A． B． C． D． ※【对点练习】(2020 甘肃兰州模拟)通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两 条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立 边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①在△ABC 中，AB=AC， 顶角 A 的正对记作 sadA，这时 sadA BC AB  底边 腰 .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确 定的.根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)sad60°= . (2)对于 0°0)，若点 P′在射线 OP 上，满足 OP′•OP=r2，则称点 P′是点 P 关于⊙O 的 “反演点”，如图 2，⊙O 的半径为 4，点 B 在⊙O 上，∠BOA=60°，OA=8，若点 A′、B′分别是点 A，B 关 于⊙O 的反演点，求 A′B′的长. 19．(2019 江苏常熟)已知平面图形 S，点 P、Q 是 S 上任意两点，我们把线段 PQ 的长度的最大值称为平面 图形 S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度． (1)写出下列图形的宽距： ①半径为 1 的圆： ； ②如图 1，上方是半径为 1 的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ； (2)如图 2，在平面直角坐标系中，已知点 A(﹣1，0)、B(1，0)，C 是坐标平面内的点，连接 AB、BC、CA 所 形成的图形为 S，记 S 的宽距为 d． ①若 d＝2，用直尺和圆规画出点 C 所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示)； ②若点 C 在⊙M 上运动，⊙M 的半径为 1，圆心 M 在过点(0，2)且与 y 轴垂直的直线上．对于⊙M 上任意点 C， 都有 5≤d≤8，直接写出圆心 M 的横坐标 x 的取值范围． 20．(2020 湖北随州模拟) 在平面直角坐标系中，我们定义直线 y＝ax－a 为抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a、b、c 为常数，a≠0)的“梦想直 线”；有一个顶点在抛物线上，另一个顶点在 y 轴上的三角形为其“梦想三角形”． 已知抛物线 22 3 4 3 2 33 3y x x= - - + 与其“梦想直线”交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 x 轴负半轴 交于点 C． (1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ； (2)如图，点 M 为线段 CB 上一动点，将△ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，点 C 的对称点为 N，若△AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点 N 的坐标； (3)当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点 F，使得以点 A、C、E、 F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E、F 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为(x1，y1)，点 Q 的坐标为(x2，y2)，且 x1≠x2，y1≠y2，若 P，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P，Q 的“相关矩形”，如图 为点 P，Q 的“相关矩形”示意图． (1)已知点 A 的坐标为(1，0)， ①若点 B 的坐标为(3，1)，求点 A，B 的“相关矩形”的面积； ②点 C 在直线 x=3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式； (2)⊙O 的半径为 ，点 M 的坐标为(m，3)，若在⊙O 上存在一点 N，使得点 M，N 的“相关矩形”为正方形， 求 m 的取值范围．