数学冀教版九年级上册教案24-2解 一元二次方程（2） 5页

- 1 - 24.2 解一元二次方程（2） 教学目标 【知识与能力】 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 3.熟练地使用求根公式解一元二次方程. 【过程与方法】 1.通过探究一元二次方程的求根公式,提高学生的观察能力、分析问题能力,同时培养学生的 数学建模意识. 2.通过正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程,提高学生的综合运算能力. 3.通过探究求根公式的推导及应用过程,获得成功的数学体验,增强学好数学的信心. 【情感态度价值观】 1.探究公式的过程中,小组之间的交流合作,进一步发展学生合作交流的意识和能力,让学生 体验数学活动充满着创造和乐趣. 2.发展学生独立思考、勇于探索的创新精神,向学生渗透转化思想,让学生感受数学中的内在 美. 教学重难点 【教学重点】 根的判别式及用公式法解一元二次方程. 【教学难点】 一元二次方程求根公式的推导过程. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 韦达是 16 世纪法国最伟大的数学家之一,当比利时数学家提出一个一元 45 次的方程的求解 问题向各国数学家挑战时,法国国王把这个问题交给了韦达,韦达当时就得出一解,回家后一 鼓作气,很快又得出 22 解,答案公布,震惊世界.像这种高次方程,有没有一个通法,也就是说: 对于每个次数的一元方程能否找出一公式来求解,一直是各国数学家都想解决的一个问题. 我们今天就来研究一下,一元二次方程是否可找出一个公式,我们在解这类方程的时候按公 式代入就行了呢? 导入二: 【课件展示】 用配方法解下列方程. (1)x2-6x-15=0 (2)4x2-3x+2=0 【师生活动】 学生独立完成后,小组内交流答案.师生共同复习配方法解一元二次方程的一 般步骤. - 2 - 【课件展示】 (1)移项,得 x2-6x=15, 配方,得 x2-6x+9=15+9, 即(x-3)2=24, 开方得 x-3=±2 6 , ∴x-3=2 6 或 x-3=-2 6 ,∴x1=3+2 6 ,x2=3-2 6 . (2)移项,得 4x2-3x=-2, 二次项系数化为 1,得 x2- 3 4 x=- 1 2 , 配方,得 x2- 3 4 x+ 9 64 =- 1 2 + 9 64 , 即 - 3 8 2 =- 23 64 , ∵- 23 64 <0,∴原方程无实数根. [设计意图] 通过数学家的故事,激发学生学习数学的兴趣,激发学生学习本节课的求知欲; 通过对旧知识的回顾,学生再次经历了配方法解方程的全过程,为本节课配方法探究一元二 次方程的求根公式做好铺垫,同时让学生获得成功的喜悦,调动学生的学习热情,唤醒学生的 思维,为后面的探索奠定了良好的基础. 二、新知构建： [过渡语] 我们复习了配方法解一元二次方程的一般步骤,如果这个一元二次方程是一 般形式 ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它的两根? 共同探究一 用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 【课件展示】 按照配方法解方程的一般步骤,将方程 ax2+bx+c=0(a≠0)左边配成完全平方 形式. 思路一 教师引导分析填空. 移项,得 . 将二次项系数化为 1,得 . 配方,得 x2+ x+ =- + . 整理,得 . 于是,得到 + 2 2 = 2 - 4 42 . 思路二 【师生活动】 学生独立思考后进行推导,并针对自己推导过程中的问题小组讨论交流,教师 在巡视过程中帮助有困难的学生. 课件展示推导过程,有错误的学生及时改正. 解:移项,得 ax2+bx=-c,方程中的二次项系数化为 1,得 x2+ x=- . 配方,得 x2+ x+ 2 2 =- + 2 2 . 即 + 2 2 = 2 - 4 42 . - 3 - 共同探究二 一元二次方程的求根公式 问题 1 一元二次方程(x+m)2=n 一定有根吗? 【师生活动】 学生思考回答,教师及时指导和补充. 问题 2 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)配方后的方程 + 2 2 = 2 - 4 42 一定有根吗? 【师生活动】 学生小组讨论,共同探究,规范书写过程.教师继续板书过程. ∵4a2>0, ∴(1)当 b2-4ac>0 时, 2 - 4 42 >0, x+ 2 =± 2 - 4 2 . 方程有两个不相等的实数根: x1=- + 2 - 4 2 ,x2=- - 2 - 4 2 . (2)当 b2-4ac=0 时, 2 - 4 42 =0, + 2 2 =0. 方程有两个相等的实数根: x1=x2=- 2 . (3)当 b2-4ac<0 时, 2 - 4 42 <0,而 + 2 2 ≥0,方程没有实数根. [设计意图] 让学生亲身经历一元二次方程求根公式的推导,有利于求根公式的掌握,学生 在发现问题、共同交流的过程中,培养了分析问题、解决问题的能力,同时规范了学生的数学 语言,体会了数学中的分类思想. 归纳总结: 【思考】 (1)不解方程,你能判断一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况吗? (2)一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么? 【师生活动】 学生小组合作交流,师生共同得出结论. (课件展示同时板书) 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0: (1)当 b2-4ac>0 时,方程有两个不相等的实数根; (2)当 b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根; (3)当 b2-4ac<0 时,方程没有实数根. 我们把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别式. 当 b2-4ac≥0 时,一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两实数根可以用 x=- ± 2 - 4 2 . 求出的这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公 式法. 教师强调: - 4 - (1)用一元二次方程根的判别式可以判定一元二次方程根的情况; (2)一元二次方程的根由系数 a,b,c 决定; (3)用公式法解一元二次方程时,先将方程化成一般形式,确定 a,b,c 的值,然后代入公式求 解. [设计意图] 通过小组合作交流,既加深了学生对根的判别式和求根公式的认识,又培养了 学生的合作意识和归纳总结能力,同时达到了熟练记忆求根公式的目的,为熟练判断一元二 次方程根的情况及应用公式解方程提供了理论依据. [过渡语] 我们学习了一元二次方程根的判别式及公式法解一元二次方程,下面让我们 通过例题检验一下学习情况吧. 例题讲解 【课件展示】 (教材 41 页例 3)不解方程,判别下列方程根的情况: (1)x2+3x+2=0; (2)x2-4x+4=0; (3)2x2-4x+5=0. 【师生活动】 教师提问:不解方程,如何判断一元二次方程根的情况?学生回答后教师点评,然后学生迅速 演算或口算出 b2-4ac,从而判断出根的情况,看谁做得既快又准确,学生回答后教师课件展示 解答过程. 解:(1)这里 a=1,b=3,c=2. ∵b2-4ac=32-4×1×2=1, ∴原方程有两个不相等的实数根. (2)这里 a=1,b=-4,c=4. ∵b2-4ac=(-4)2-4×1×4=0, ∴原方程有两个相等的实数根. (3)这里 a=2,b=-4,c=5. ∵b2-4ac=(-4)2-4×2×5=-24<0, ∴原方程没有实数根. 【课件展示】 (教材 41 页例 4)用公式法解下列方程: (1)4x2+x-3=0; (2)x2-2x-5=0. 【师生活动】 学生独立思考后完成,小组内交流答案,教师在巡视中指导有困难的学生,学 生展示答案后教师点评规范解题过程. 解:(1)这里 a=4,b=1,c=-3. ∵b2-4ac=12-4×4×(-3)=49>0, ∴x=- 1 ± 49 2 × 4 = - 1 ± 7 8 , 即 x1= 3 4 ,x2=-1. (2)这里 a=1,b=-2,c=-5. ∵b2-4ac=(-2)2-4×1×(-5)=24>0, ∴x=-(- 2 )± 24 2 × 1 = 2 ± 2 6 2 =1± 6 , - 5 - 即 x1=1+ 6 ,x2=1- 6 . 追问:你能总结公式法解一元二次方程的步骤吗? (将所给方程化成一般形式;找出系数 a,b,c;计算判别式 b2-4ac;代入求根公式) [设计意图] 通过例题让学生熟练掌握根的判别式及公式法解方程,看谁判断速度快,激发 学生的竞争意识,培养学习兴趣;演示解方程的过程,规范答题格式,培养学生严谨的学习态 度. [知识拓展] 公式法解一元二次方程的一般步骤: (1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让 a>0; (2)找出系数 a,b,c,注意各项的系数包括符号; (3)计算 b2-4ac,若结果为负数,方程无解; (4)若结果为非负数,代入求根公式,算出结果. 三、课堂小结： 1.用根的判别式判定一元二次方程的根的情况:当 b2-4ac>0 时,方程有两个不相等的实数根; 当 b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根;当 b2-4ac<0 时,方程没有实数根. 2.求根公式:当 b2-4ac≥0 时,一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两实数根为 x=- ± 2 - 4 2 . 3.公式法解一元二次方程的步骤. 4.用公式法解方程应注意的问题: 先将方程化为一般形式,确定 a,b,c 的值时注意符号,当 b2-4ac≥0 时,将 a,b,c 的值代入求 根公式