【精品】人教版 九年级下册数学 28 27页

导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 28.1 锐角三角函数 第二十八章 锐角三角函数 第2课时 余弦函数和正切函数 九年级数学下（RJ） 教学课件 学习目标 1. 认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函 数的概念. (重点) 2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算. (重点、难 点) 导入新课 问题引入 A B C 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定. 此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ 讲授新课 余弦一 合作探究 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ AC DF AB DE  A B C D E F 我们来试着证明前面的问题： ∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°， ∴∠B=∠E， 从而 sinB = sinE， 因此 .AC DF AB DE  A B C D E F 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个 锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角 形的大小无关． 如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 归纳： A B C 斜边 邻边 ∠A的邻边 斜边cos A = .AC AB  从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有 cos α = sin (90°－α) 从而有 sin α = cos (90°－α) 练一练 1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12， 则cosA＝ . 12 13 2. 已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7：5， α为其最小的锐角，求α的正弦值和余弦值． cosα= 5.7 ∴sinα= 2 6 7 ， 解：∵直角三角形的斜边与一直角边的比为7:5， 令斜边为7x，则该直角边为5x，另一直角边为 ＜5x，2 6x 正切二 合作探究 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ BC EF AC DF  A B C D E F ∴ Rt△ABC ∽ Rt△DEF. ∠A=∠D ，∠C =∠F = 90°，∵ ∴ .BC AC EF DF  ∴ .BC EF AC DF  A B C D E F 由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角 形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数， 与直角三角形的大小无关． 　　如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对 边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即 归纳： A B C邻边 对边 　锐角A的正弦、余弦、正切 都是∠A 的三角函数. ∠A的对边 ∠A的邻边tan A = .BC AC  如果两个角互余，那么这两个角的正切值有 什么关系？ 想一想： 如果两个角互余，那么这两个角的正切值互 为倒数. 1. 如图，在平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)， 连接 OP，求则OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值 =_____. 练一练 4 3 α 2. 如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙ O 相切与点 C，若 BC=4，AB=5，则 tanA=___. 4 3 · A O B C 锐角三角函数三 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10， BC=6，求sinA，cosA，tanA的值. A B C 10 6 解：由勾股定理得 2 2 2 2 = = 10 6 =8AC AB BC  ， 因此 6 3sin = =10 5 BCA AB  ， 8 4cos = =10 5 ACA AB  ， 6 3tan = = .8 4 BCA AC  典例精析 1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13. sinA=______，cosA=______，tanA=____， sinB=______，cosB=______，tanB=____. 练一练 5 13 12 13 5 12 5 13 12 13 12 5 A B C 1213 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3. sinA=_______，cosA=_______，tanA=_____， sinB=_______，cosB=_______，tanB=_____. 3 13 13 2 13 13 3 2 2 3 3 13 13 2 13 13 在直角三角形中，如果已知两 条边的长度，即可求出所有锐 角的正弦、余弦和正切值 B C 2 3 A A B C 6 例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6， sinA = ，求 cosA、tanB 的值．3 5 解：在Rt△ABC中，∵ sin BCA AB  ， =6 =10.5 sin 3 BCAB A    又∵ 2 2 2 210 6 8AC AB BC     ， 4tan .3 ACB BC  =4cos 5 ACA AB  = ，∴ 在直角三角形中，如果已知一 边长及一个锐角的某个三角函 数值，即可求出其他的 所有锐角三角函数值 A B C 8 解：∵ 3tan 4 BCA AC   ， 8 4cos .10 5 ACA AB = = = 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8， tanA= ， 求sinA，cosA 的值． 练一练 3 4 3 3 8 64 4BC AC    ，∴ 2 2 2 28 6 10AB AC BC     ，∴ 6 3sin 10 5 BCA AB    ，∴ 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，且sinA= ，则下列结 论正确的是 （ ） A.cosA= B.tanA= C.cosA= D.tanA= 1 2 3 2 3 3 D 1 2 1 3 1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m， ∠A=35°，则直角边 BC 的长是 ( ) sin35m A. cos35m B. cos35 m C. cos35 m D. A 当堂练习 A B C 2. sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是 ( ) A. tan70°＜cos70°＜sin70° B. cos70°＜tan70°＜sin70° C. sin70°＜cos70°＜tan70° D. cos70°＜sin70°＜tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70°＜1， cos70°＜1，tan70°＞1. 又∵cos70°＝sin20°， 正弦值随着锐角的增大而增大，∴sin70°＞cos70° ＝sin20°. 故选D. D 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ， 求 sinA、tanA 的值． 15 17 解：在 Rt△ABC 中，由 15cos 17 ACA AB   ， 8 8tan .15 15 BC kA AC k    A B C 设 AC = 15k，则 AB = 17k. ∴ 2 2 2 2(17 ) (15 ) 8BC AB AC k k k     ， 8 8sin 17 17 BC kA AB k    ，∴ 4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB， 垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值. 解: ∵ CD⊥AB， ∠ACB＝ ∠ADC =90°， ∴∠B+ ∠A=90°， ∠ACD+ ∠A =90°， ∴∠B = ∠ACD， ∴ tan∠B = tan∠ACD = 6 3.8 4 AD CD   2 2 2 24 3 7AD AB BD     ， 5. 如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6. 求cosB 及 tanB 的值. 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. ∵ AB = AC，BC=6， ∴ BD = CD = 3， 在 Rt△ABD 中， ∴ tanB = A B C∴ D 提示：求锐角的三角函 数值的问题，当图形中 没有直角三角形时，可 以用恰当的方法构造直 角三角形. 课堂小结 余弦函数 和 正切函数 在直角三角形中，锐角 A 的邻 边与斜边的比叫做角 A 的余弦 锐角∠A的大小确定的情况下， cosA，tanA为定值，与三角形 的大小无关 在直角三角形中，锐角 A 的对 边与邻边的比叫做角 A 的正切 余弦 正切 性质