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- 2021-11-11 发布
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.. . . ..
学习参考
九
年
级
数
学
知
识
点
汇
总
第一章 特殊平行四边形
一、平行四边形
1、定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2、性质:(1)平行四边形的对边平行且相等。
(2)平行四边形的对角相等,邻角互补。
(3)平行四边形的对角线互相平分,两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角
形。
(4)平行四边形是中心对称图形。
3、判定:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
.. . . ..
学习参考
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4、面积:S 平行四边形=底ⅹ高
二、菱形
1、定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2、性质:(1)菱形具有平行四边形的所有性质。
(2)菱形的四条边都相等。
(3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角;两条对角线把菱形
分成四个全等的直角三角形。
(4)菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形(两条)。
3、判定:(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
(3)四条边都相等的四边形是菱形。
4、面积:S 菱形=底ⅹ高;S 菱形=对角线乘积的一半
三、矩形
1、定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2、性质:(1)矩形具有平行四边形的所有性质。
(2)矩形的四个角都是直角。
(3)矩形的对角线相等且互相平分,两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。
(4)推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(5)矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形(两条)。
3、判定:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形。
(2)对角线相等的平行四边形是矩形。
(3)有三个角是直角的四边形是矩形。
4、面积:S 矩形=底ⅹ高
四、正方形
1、定义:有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
2、性质:(1)正方形具有菱形和矩形的所有性质。
(2)正方形的四条边都相等,四个角都是直角。
(3)正方形的对角线互相垂直平分且相等,两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直
角三角形。
.. . . ..
学习参考
(4)正方形既是中心对称图形,又是轴对称图形(四条)。
3、判定:(1)有一组邻边相等的矩形是正方形。
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形=菱形+矩形
(3)有一个角是直角的菱形是正方形。
(4)对角线相等的菱形是正方形。
4、面积:S 正方形=边长的平方;S 正方形=对角线乘积的一半
五、中点四边形
1、定义:以四边形四条边的中点为顶点组成的四边形
2、中点四边形:一般四边形→平行四边形;平行四边形→平行四边形;菱形→矩形;矩形→菱形;
正方形→正方形。
第二章 一元二次方程
一、定义:我们把形如 2 ( , , )ax bx c o a b c a o 为常数, 的方程,称为一元二次方程。其中 2ax ,bx ,
c 分别称为二次项,一次项和常数项,a ,b 分别称为二次项系数和一次项系数。
二、解一元二次方程的方法
1、配方法:移项→二次项系数化为 1→配方(方程两边同时加上一次项系数一半的平方)→开平方(有正
负两个结果)→求解→写根。
2、公式法:化为一般形式( 2ax bx c o )→找出 a ,b ,c (记得带上符号)→代入根的判别式
( 2 4b ac )→代入求根公式
2 4
2
b b acx a
( 2 4 0b ac )→求解→写根。
3、因式分解法:当一元二次方程的一边为 0,另一边易于分解成两个一次因式的乘积时可用因式分解法。
(1)提公因式法: 0ac bc → ( ) 0c a b
(2)公式法:①平方差公式: 2 2 ( )( )a b a b a b
②完全平方公式: 2 2 22 ( )a ab b a b
(3)十字相乘法: 2 ( ) ( )( )x p q x pq x p x q
三、一元二次方程根的判别式:对于一元二次方程 2 ( )ax bx c o a o
(1)当 2 4 0b ac 时,方程有两个不相等的实数根。
(2)当 2 4 0b ac 时,方程有两个相等的实数根。
(3)当 2 4 0b ac 时,方程没有实数根。
四、一元二次方程根与系数之间的关系(韦达定理)
.. . . ..
学习参考
如果方程 2 ( )ax bx c o a o 有两个实数根 1x , 2x ,那么 1 2
bx x a
, 1 2
cx x a
五、应用一元二次方程(1、几何面积问题;2、销售问题)
审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数(直接假设和间接假设)→列一元二次方程→解方程→
检验→作答。
第三章 概率的进一步认识
一、列表法和化树状图法
1、列表法:当一次实验涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏地列出所有可能
的结果,通常采用列表法。
2、画树状图法:当一次实验涉及 3 个或更多因素时,列表就不方便,为了不重不漏地列出所有可能的结
果,通常采用画树状图法。
二、频率估计概率:一般的,在大量重复实验时,如果事件 A 发成的频率 m
n
稳定于某个常数 P ,那么事
件 A 发生的概率 P A P
.. . . ..
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第四章 图形的相似
一、成比例线段
1、定义:四条线段 , , ,a b c d 中,如果a 与b 的比等于c 与 d 的比,即 a c
b d
,那么这四条线段 , , ,a b c d 叫
做成比例线段,简称比例线段。
2、性质:(1)基本性质:如果 a c
b d
,那么 ad bc ;
如果ad bc , , , 0a b c d都不等于 ,那么 a c
b d
(2)等比性质:如果 = = 0a c m b d nb d n
,那么 a c m a
b d n b
(3)合比性质:如果 a c
b d
,那么 a b c d
b d
, a b c d
b d
二、平行线分线段成比例
1、定理:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例
2、推论:平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例
三、相似多边形
1、定义:各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比
2、性质:相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方
四、相似三角形
1、定义:三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形
2、判定:(1)两角分别相等的两个三角形相似
.. . . ..
学习参考
(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
(3)三边成比例的两个三角形相似
3、性质:(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例
(2)相似三角形对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比
(3)相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方
五、黄金分割:点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC AC BC ,如果 AC BC
AB AC
,那么称线段
AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段 AB 的黄金分割点, AC 与 AB 的比叫做黄金比,
即 : 0.618:1AC AB
六、位似图形
1、定义:一般的,如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P , 'P 所在的直线都经过同一点O ,且有
'OP = 0k OP k ,那么这样的两个多边形叫做位似多边形,点O 叫做位似中心
2、性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
3、画图步骤:(1)尺规作图法:① 确定位似中心;②确定原图形中的关键点关于中心的对应点;③描
出新图形
(2)坐标法:在平面直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标
都乘于同
一个数 0k k ,所对应的图形与原图形位似,位似中心是坐标原点,它
们的相似比为 k
.. . . ..
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第五章 投影与视图
一、投影:物体在光线的照射下,会在地面或其他平面上留下它的影子,这就是投影现象,影子所在的平
面叫做投影面
1、中心投影:由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影。如物体在灯泡发出的光照射下
形成的影子就是中心投影
2、平行投影:由平行光线形成的投影叫做平行投影。如物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)
就是平行投影。若平行光线与投影面垂直,则这种投影称为正投影
二、三视图
1、视图:用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形,称为物体的视图
2、三视图概念:(1)主视图:从正面得到的视图叫做主视图,反映物体的长和高
(2)左视图:从左面得到的视图叫做左视图,反映物体的长和宽
(3)俯视图:从上面得到的视图叫做俯视图,反映物体的高和宽
3、三视图特点:(1)主视图和俯视图的长对正
(2)主视图和左视图的高平齐
(3)左视图和俯视图的宽相等
.. . . ..
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第六章 反比例函数
一、定义:一般的,形如 0ky k kx
为常数, 的函数,叫做反比例函数。其中 x 是自变量, y 是函数。
自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数
二、表达式:1、 ky x
; 2、 1y kx ; 3、 xy k
三、图象与性质
1、图象:由两条曲线组成(双曲线)
2、性质:
3、反比例 函数比例系数 k 的几何意义
如图,在反比例函数 ky x
上任取一点 ,P x y ,过这一点分别作 x 轴, y 轴
的垂线 PE , PF 与坐标轴围成的矩形 PEOF 的面积 S xy k
4、对称性:(1)中心对称,对称中心是坐标原点
(2)轴对称:对称轴为直线 y x 和直线 y x
函数 k 图象 所在象限 增减性
ky x
0k k 为常数,
0k
第一、 三象限
,x y同号
在同一象限内, y
随 x 的增大而减小
0k
第二、 四象限
,x y异号
在同一象限内, y
随 x 的增大而增大
k 越大,函数图象越远离坐标原点
.. . . ..
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第七章 直角三角形的边角关系
一、锐角三角函数
在 Rt ABC 中, 90C ,则 A 的三角函数为
二、特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
sin 2
1
2
2
2
3
cos 2
3
2
2
2
1
tan 3
3 1 3
三、解直角三角形
1、直角三角形的边角关系:(1)两锐角关系: 90A B
(2)三边关系: 2 2 2a b c (勾股定理)
(3)边角关系:sin cos aA B c
,cos sin bA B c
tan aA b
, tan bB a
2、解直角三角形的类型和解法
定 义 表达式 取值范围 关 系
正弦
斜边
的对边AA sin c
aA sin 1sin0 A
(∠A 为锐角) BA cossin
BA sincos
1cossin 22 AA
余弦
斜边
的邻边AA cos c
bA cos 1cos0 A
(∠A 为锐角)
正切
的邻边
的对边
Atan
AA b
aA tan 0tan A
(∠A 为锐角)
1tan tanA B
已知条件 图形 解法
已知一直角边和一个锐角
,a A 2 290 , ,sin tan
a aB A c b b c aA A
或
已知斜边和一个锐角
,c A
2 290 , sin , cosB A a c A b c A b c a 或
对
边
邻边
斜边
A C
B
b
ac
对
边
邻边
斜边
A C
B
b
ac
.. . . ..
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第八章 二次函数
一、概念:一般的,若两个变量 x , y 之间的对应关系可以表示成 2 , , ,y ax bx c a b c a o 是常数
的形式,则称 y 是 x 的二次函数,其中, x 是自变量, , ,a b c 分别是函数解析式的二次项系
数、一次项系数和常数项
二、二次函数图象及其性质
1、图像与性质
已知两直角边 ,a b 2 2 , tan , 90ac a b A A B Ab
由 求
已知斜边和一条直角边
,c a
2 2 , sin , 90ab c a A A B Ac
由 求
函数 2 , , , 0y a x h k a h k a 为常数 2 , , ,y ax bx c a b c a o 是常数
图象
0a 0a 0a 0a
性
质
开口
方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下
对称轴 直线 x h 直线
2
bx a
增减性
当 x h 时, y 随的
x 增大而减小;
当 x h 时, y 随 x
的增大而增大
当 x h 时, y 随 x
的增大而增大;
当 x h 时, y 随的
x 增大而减小;
当
2
bx a
时, y 随
的 x 增大而减小;
当
2
bx a
时, y 随
x 的增大而增大
当
2
bx a
时, y 随
x 的增大而增大;
当
2
bx a
时, y 随
的 x 增大而减小;
0a 时,在对称轴左侧, y 随 x 的增大而减小,在对称轴右侧, y 随 x 的增大而增大;
0a 时,在对称轴左侧, y 随 x 的增大而增大,在对称轴右侧, y 随 x 的增大而减小
顶点 ,h k
24,2 4
b ac b
a a
最值
抛物线有最低点,
当 x h 时, y 有最
小值,
y k最小值
抛物线有最高点,
当 x h 时, y 有最
大值
y k最大值
抛物线有最低点,当
2
bx a
时, y 有最
小值
抛物线有最高点,当
2
bx a
时, y 有最
大值
.. . . ..
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2、抛物线与 , ,a b c 的关系
三、二次函数表达式的确定。确定二次函数表示的方法仍是待定系数法,有以下三种方法:
1、一般式:若已知抛物线过三点,一般设函数表达式为 2y ax bx c a o
2、顶点式:若已知抛物线的顶点是 ,h k ,可设函数表达式为 2 0y a x h k a
3、交点式:若已知抛物线与 x 轴两个交点 1,0x , 2,0x ,可设函数表达式 1 2 0y a x x x x a
四、二次函数的平移规律
五、二次函数与一元二次方程的关系
二次函数 2y ax bx c a o 的图象与 x 轴的交点有三种情况:有两个交点;有一个交点;没有交
点,当图象与 x 轴有交点时,令 0y ,解方程 2 0ax bx c 就可以求出与 x 轴交点的横坐标
24
4
ac by a
最小值
24
4
ac by a
最大值
a
决定抛物线开口方向 0a ,抛物线开口向上;
0a ,抛物线开口向下
决定抛物线开口大小 a 越大,开口越小
,a b
决定抛物线对称轴位置,
对称轴为直线
2
bx a
0b ,对称轴为 y 轴;
0ab ,对称轴在 y 轴左侧; 同号在
左,
0ab ,对称轴在 y 轴右侧 异号在
右
c 决定抛物线与 y 轴的交点位置
0c ,抛物线过原点;
0c ,抛物线与 y 轴交于正半轴;
0c ,抛物线与 y 轴交于负半轴
, ,a b c
2 4b ac 决定抛物线与 x 轴的交点
2 4 0b ac 时,与 x 轴有两个交点;
2 4 0b ac 时,与 x 轴有一个交点;
2 4 0b ac 时,与 x 轴没有交点
24,2 4
b ac b
a a
决定顶点位置 顶点坐标为
24,2 4
b ac b
a a
移动方向 平移前的表达式 平移后的表达式 简记
向左平移 m 个单位 2y a x h k 2y a x h m k 左加
向右平移 m 个单位 2y a x h k 2y a x h m k 右减
向上平移 m 个单位 2y a x h k 2y a x h k m 上加
向下平移 m 个单位 2y a x h k 2y a x h k m 下减
注意 平移之前函数表达式必须先化为顶点式
2 4b ac 2 0ax bx c 的根 抛物线 2y ax bx c 与 x 轴的交点
0 两个不相等的实数根 两个交点
0 两个相等的实数根 一个交点
.. . . ..
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第九章 圆
一、圆的有关概念和性质
1、圆的基本概念:
(1)圆:到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点是圆心,定长是半径
(2)弦、直径:连接圆上任意两点的线段叫做弦;经过圆心的弦叫做直径
(3)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧;大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧
(4)等圆、等弧:能够重合的圆叫做等圆;能够重合的弧叫做等弧
(5)圆心角:顶点在圆心,端点在圆上的角叫做圆心角
(6)圆周角:定点和端点都在圆上的角叫做圆周角
2、圆的性质
(1)圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴;圆也是中心对称图形,对称中心
是
圆心
(2)把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得到的图形都与原图形重合
(3)过不在同一直线上的三个点确定一个圆
二、与圆有关的定理和推论
0 没有实数根 没有交点
文字语言 图形 几何语言
圆
心
角
、
弧
、
弦
之
间
的
关
系
定理:在同圆或等圆中,相等的圆
心角所对的弧相等,所对的
弦也相等
F
E
D
C
B
A
O
在同圆或等圆中,
1、圆心角相等: AOB DOE
2、弧相等: AB DE
3、弦相等: AB DE
以上条件知其中一个可得其二
推论:在同圆或等圆中,如果两个
圆心角,两条弧,两条弦中
有一组相等,那么它们所对
应的其余各组量都分别相等
.. . . ..
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三、与圆有关的位置关系
1、点与圆、直线与圆的位置关系
圆
周
角
定
理
定理:圆周角的度数等于它所对的
弧的圆心角度数的一半
C
B
A
O
AOB 是 AB 所对的圆心角,
C 是 AB 所对的圆周角,
1
2C AOB
推论 1:同弧或等弧所对的圆周角
相等
D
C
B
A
O
C 和 D 都是 AB 所对的圆周角
C D
推论 2:直径所对的圆周角是直
角,90 的圆周角所对的
弦是直径
C
B
A
O
AB 是 O 的直径
C 是 AB 所对的圆周角
90C
C 是 AB 所对的圆周角
90C
AB 是 O 的直径
推论 3:圆的内接四边形对角互补
E
D
C
B
A
四边形 ABCD 是 O 的内接四边形
180B D
180BAD C
C DAE
垂
径
定
理
定理:垂直于弦的直径平分弦,并
且平分弦所对的两条弧
O
E
D
C
B
A
AB 是 O 的直径, AB CD
CE DE , BC BD , AC AD
推论:平分弦(不是直径)的直径
垂直于弦,并且平分弦所对
的两条弧
AB 是 O 的直径,CE DE
AB CD 于点 E
BC BD , AC AD
文字语言 图形 几何语言
.. . . ..
学习参考
2、切线的性质与判定
(1)切线性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径
(2)切线性质的推论:①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
(3)切线判定:①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线
③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径,那么这条直线是圆的切线
(4)切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
3、三角形和圆
点
与
圆
的
位
置
关
系
r
d
d
C
B
A
O
设 O 的半径为 r ,点到圆心的距离为 d ,
则有:
点在圆外 点 A 在圆外 d r
点在圆上 点 B 在圆上 d r
点在园内 点C 在圆外 d r
直
线
与
圆
的
位
置
关
系
设 O 的半径为 r ,圆心O 到直线l 的距离为 d
则有:
相交:直线和圆有
两个公共点
r
d
直线l 和 O 相交 d r
相切:直线和圆只
有一个公共
点
d=r
直线l 和 O 相切 d r
相离:直线和圆没
有公共点
d
r
直线l 和 O 相离 d r
定义 外心、内心 性质 图形
三角形外接圆
经过三角形的三
个顶点可以作一
个圆,这个圆叫
做三角形的外接
圆
外接圆的圆心是
三角形三条边的
垂直平分线的交
点,叫做三角形
的外心
三角形的外心到
三角形三个顶点
的距离相等
.. . . ..
学习参考
四、与圆有关的计算
1、弧长和扇形面积
2、正多边形和圆
(1)正多边形的有关计算
(2)正多边形每个内角度数为 2 180n
n
,每个外角度数为 360
n
3、圆锥的有关计算
1. 若不给自己设限,则人生中就没有限制你发挥的藩篱。2. 若不是心宽似海,哪有人生风平浪静。在纷杂的尘世里,为自己留下一片纯静的心灵空间,不管是潮起潮落,也不管是阴晴圆缺,你都可以免去浮躁,义无反顾,勇往直前,轻松自如地走好人生路上的每一步 3. 花一些时间,总会看清一些事。用一些事情,总会看清一些人。有时候觉得自己像个神经病。既纠结了自己,又打扰了别人。努力过后,才知道许多事情,坚持坚持,就过来了。4. 岁月是无情的,假如你丢给它的是一片空白,它还给你的也是一片空白。岁月是有情的,假如你奉献给她的是一些色彩,它奉献给你的也是一些色彩。你必须努力,当有一天蓦然回首时,你的回忆里才会多一些色彩斑斓,少一些苍白无力。只有你自己才能把岁月描画成一幅难以忘怀的人生画卷。
圆的周长 圆的弧长 圆的面积 扇形面积
S
l
B
A
O
2C r
180
n rl 2S r
2 1
360 2
n rS rl
r 为圆的半径; n 为弧所对的圆心角的度数;l 为扇形的弧长
中心角 边心距 周长 面积
B
A
O360
n
2
2
2
ar R
l na 1
2S rl
n 为边数; r 为边心距; R 为半径;a 为边长
底面圆面积 地面圆周长 圆锥的高 侧面积 体积
B1
R
r
C
B
A
O2S r 2C r 2 2h l r
2 1
360 2
n lS l C 侧
21
3V r h
l 为母线长; r 为底面圆半径;h 为圆锥的高; n 为侧面展开后圆心角度数
三角形内切圆
与三角形各边都
相切的圆叫做三
角形的内切圆
内切圆的圆心是
三角形三个内角
的角平分线的交
点,叫做三角形
的内心
三角形的内心到
三角形三边的距
离相等
r
n
l
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