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- 2021-11-11 发布
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第
24
章
直线和圆的位置关系
24.2.2直线与圆(3)
1.
进一步了解直线和圆的位置关系。
2.
掌握切线的判定定理、切线的性质定理,能熟练运用切线的判定定理、切线的性质定理进行证明或计算。
学习目标:
回忆:
判定直线与圆的位置关系的方法有
_____________
种:
(1)
根据定义
,
由
____________________
的个数来判断
;
(2)
根据性质
,
由
_________________________________
的关系来判断
.
两
直线与圆的公共点
圆心到直线的距离
d
与半径
r
练习:
1:
设⊙
O
的半径为
r,
直线
a
上一点到圆心的距离为
d,
若
d=r,
则直线
a
与⊙
O
的位置关系是
( )
A.
相交
B.
相切
C.
相离
D.
相切或相交
c
2:
已知圆的半径等于
5,
直线
l
与圆没有交点
,
则圆心到直线的距离
d
的取值范围是
_______
.
3:
直线
l
与半径为
r
的⊙
O
相交
,
且点
O
到直线
l
的距离为
8,
则
r
的取值范围是
__________________
.
d
>
5
r
>
8
思考
:
求圆心
A
到
x
轴、
y
轴的距离各是多少
?
y
4:
已知⊙
A
的直径为
6,
点
A
的坐标为
(-3,-4),
则
x
轴与⊙
A
的位置关系是
______,
y
轴与⊙
A
的位置关系是
______.
A
.
(-3,-4)
O
x
B
C
4
3
相离
相切
0
d
>
r
1
d=r
切点
切线
2
d
<
r
交点
割线
.
O
l
d
r
┐
┐
.
o
l
d
r
.
O
l
d
┐
r
.
A
C
B
.
.
相离
相切
相交
直线与圆的位置关系判定方法
:
图形
直线与圆的
位置关系
公共点的个数
圆心到直线的距离
d
与半径
r
的关系
公共点的名称
直线名称
在⊙
O
中
,
经过半径
OA
的外端点
A
作直线
l⊥OA,
则圆心
O
到直线
l
的距离是多少
?______,
直线
l
和⊙
O
有什么位置关系
?
_________.
思考
:
.
O
A
OA
相切
l
几何应用
:
∵
OA⊥l ∴l
是⊙
O
的切线
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
.
A
B
l
O
⊙
O
与直线
l
相切
,
则过点
A
的
直径
AB
与
切线
l
有怎样的位置关系?
垂直
例
1
.
直线
AB
经过⊙
O
上的点
C,
并且
OA=OB,CA=CB.
求证
:
直线
AB
是⊙
O
的切线
.
A
1.
如图
,
AB
是⊙
O
的直径
,
点
D
在
AB
的延长线上
,
BD=OB
,
点
C
在圆上
,∠
CAB
=30°.
求证
:
DC
是⊙
O
的切线
.
.
A
B
D
C
O
方法引导
当已知直线与圆有公共点
,
要证明直线与圆相切时
,
可先连接圆心与公共点
,
再证明连线垂直于直线
,
这是证明切线的一种方法
.
练习
2.
AB
是⊙
O
的直径
,
AE
平分∠
BAC
交⊙
O
于点
E
,
过点
E
作⊙
O
的切线交
AC
于点
D
,
试判断△
AED
的形状
,
并说明理由
.
A
B
C
D
E
O
直角三角形
3.
在
Rt△
ABC
中
,∠
B
=90°,∠
A
的平分线交
BC
于
D
,
以
D
为圆心
,
DB
长为半径作⊙
D
.
试说明
:
AC
是⊙
D
的切线
.
F
E
A
B
D
1.
定义法
:
和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线
.
2.
数量法
(
d=r
):
和圆心距离等于半径的直线是圆的切线
.
3.
判定定理
:
经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
.
即
:
若直线与圆的一个公共点已指明
,
则连接这点和圆心
,
说明直线垂直于经过这点的半径
;
若直线与圆的公共点未指明
,
则过圆心作直线的垂线段
,
然后说明这条线段的长等于圆的半径.
证明直线与圆相切有如下三种途径
:
.
O
A
l
将上页思考中的问题反过来
,
如果
l
是⊙
O
的切线
,
切点为
A
,
那么半径
OA
与直线
l
是不是一定垂直呢
?
一定垂直
切线的性质定理
:
圆的切线垂直于过切点的半径
1.
切线和圆只有一个公共点
.
2.
切线和圆心的距离等于半径
.
3.
切线垂直于过切点的半径
.
4.
经过圆心垂直于切线的直线必过切点
.
5.
经过切点垂直于切线的直线必过圆心
.
切线的性质3、4、5可归纳为
:
已知直线满足
a
.
过圆心
,
b
.
过切点
,
c
.
垂直于切线中任意两个
,
便得到第三个结论
.
切线的性质:
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