九年级数学上册第二十四章圆24-1圆垂径定理圆心角圆周角124-1 30页

第24章 24.1圆、、垂径定理、圆心角、圆周角（1） 24.1.2垂径定理 1.理解圆的轴对称性。 2.掌握垂径定理及推论，能用垂径定理及其推论进行有关计算和证明，进一步应 用垂径定理解决实际问题。 3.学习中通过对比理解垂径定理及其推论，应用中将实际问题转化为数学问题， 培养建模思想和提高分析问题、解决问题的能力。 学习目标： 问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国 古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的 长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱 的半径吗？ 实践探究 　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你 发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它 的对称轴．　 ●O 判断对错并说明理由 圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，它的对称轴是它的直径 （ ） 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 活 动 二 · O A B C D E （1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的 对称轴 （2）线段：AE=BE 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B 重合，AE与BE重合，ＡＣ和ＢＣ重合，ＡＤ和ＢＤ重合． AA ⌒⌒ 弧：ＡＣ＝ＢＣ　，ＡＤ＝ＢＤ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且 平分ＡＢ　及　ＡＣＢ⌒⌒ ·O A B C D E 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧． 即ＡＥ＝ＢＥ　 ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ ⌒ ⌒ ⌒⌒ 思考： 平分弦的直径垂直于这条弦吗？ CD⊥AB, CD是直径 AE=BE 可推得 ⌒ ⌒ AC=BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. BA D C O E 平分弦的直径垂直于弦（ ） C D B A O 1.被平分的 弦不是直径 2.被平分的弦是直径 AB不是直径 AM=BM,CD是直径 CD⊥AB 可推得 CD⊥AB,CD是直径 AM=BM AC=BC,⌒ ⌒ AD=BD.⌒ ⌒ 可推得 Ｄ Ｃ Ａ ＢM Ｏ 垂径定理： 垂径定理的推论： AB不是直径 AC=BC,⌒ ⌒ AD=BD.⌒ ⌒ 几何语言表达 BA D C O A B D O A BD O A B C D O 图1 A B C D O 图2 O A BC D 图3 图4 图5 图6 Ｅ Ｅ Ｅ Ｅ Ｅ 下列哪些图形可以用垂径定理，你能说明理由吗？ 辨别是非 　练习2、按图填空：在⊙O中， （1）若MN⊥AB，MN为直径， 则________，________，________； （2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径， 则________，________，________； （3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________； （4）若AN = BN ，MN为直径，则________，________，________ ． Ａ Ｂ N M C Ｏ ⌒⌒ 判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 　 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线一定经过圆心 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，　 　必平分此弦所对的弧 辨别是非 37.4米 7.2米 1300多年前,我国隋朝建的赵州石 拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨 度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). B O D A C R 解决求赵州桥拱半径的问题 例1.如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为 R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D ，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是ＡＢ 的中点，CD 就是拱 高． ⌒ ⌒⌒ . A E B O . A E B O F 思路：（由）垂径定理——构造Rt△—— （结合）勾股定理——建立方程 构造Rt△的“七字口诀”： ￿￿半径半弦弦心距 1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为 3cm，求⊙O的半径． ·O A BE 活 动 三 2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． D ·O A B C E 3.在直径是20cm的 中， ∠AOB的度数是 ，那么弦AB的弦心距是　　　　　. ⊙O 1.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半 径为　　　　　　. 2.已知：P为 内一点，且OP＝2cm，如果 的半径是 那么过P点的最短 的弦等于　　　　　. ⊙O ⊙O 已知：⊙O的半径为5 ,弦AB∥CD ， AB = 6 ，CD =8 . 求： AB与CD间的距离 思考 1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. 600 练习 A B C D P 2.已知：如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于P， 且∠APC=45°,AP=5,PB=1 求CD的长 E 4.已知：如图，在同心圆O中，大⊙O的弦AB 交小⊙O于C,D两点 求证：AC=DB E E D CB A O ∟ 4.已知：如图△ABC的三个顶点都在⊙O 上，AD⊥BC，E为BC 的中点 求证：∠EAD=∠OAE A B C E F 5.已知：如图，⊙O中AB和AC的中点分别是点F和点E,EF分别交 AC和AB于P,Q两点，判断△APQ是什么三角形？ P Q O 某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７.2 m ， 过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘 宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过 拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？ C NM A E H F B D O 实际应用