北师大版九年级数学上册 第4章《图形的相似》 综合测试卷 15页

《图形的相似》 综合测试卷 一．选择题 1．已知 ＝ ，那么 的值为（ ） A． B． C． D． 2．如图，已知在△ABC 中，P 为 AB 上一点，连接 CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC 的是（ ） A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D． 3．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（ ） A．各边的长度 B．各内角的度数 C．五边形的周长 D．五边形的面积 4．如图，在△ABC 中，D 为 AC 边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝ ，AC＝3，则 CD 的长为（ ） A．1 B． C．2 D． 5．王大伯要做一张如图所示的梯子，梯子共有 7 级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间 的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度 A1B1＝0.5m，最下面一级踏板的长度 A7B7 ＝0.8m．则 A3B3踏板的长度为（ ） A．0.6m B．0.65m C．0.7m D．0.75m 6．如图▱ABCD，O 为对角线的交点，E为 BC 上一点，BE：EC＝1：2，则 BM：MO：OD＝（ ） A．2：2：3 B．2：3：4 C．1：1：2 D．2：3：5 7．如图，△ABC 中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC 缩小后得到△DEF，若 D（1，2）， △DEF 的面积为 4，则△ABC 的面积为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 8．如图，已知∠ACD＝∠B，若 AC＝6，AD＝4，BC＝10，则 CD 长为（ ） A． B．7 C．8 D．9 9．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BE、BD，且 AE、BD 交于点 F， S△DEF：S△ABF＝4：25，则 DE：EC＝（ ） A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：2 10．如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（2，2）、B（3，1），以原点 O 为位似中心， 在第一象限内将线段 AB 扩大为原来的 2 倍后得到线段 CD，则端点 C 的坐标分别为（ ） A．（3，1） B．（3，3） C．（4，4） D．（4，1） 二．填空题 11．有一个三角形的面积为 1cm2 ，把它的边长放大 3倍后的三角形面积是 cm2 ． 12．如图，平行四边形 ABCD 中，E为 AD 的中点，已知△DEF 的面积为 1，则平行四边形 ABCD 的面积为 ． 13．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口 B 处立一根垂直于井口 的木杆 BD，从木杆的顶端 D 观察井水水岸 C，视线 DC 与井口的直径 AB 交于点 E，如果测 得 AB＝1.6 米，BD＝1 米，BE＝0.2 米，那么 AC 为 米． 14．如图，电灯 P 在横杆 AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为 CD，AB∥CD，AB＝2 米，CD＝ 5米，点 P到 CD 的距离是 3米，则 P到 AB 的距离是 米． 15．如图，在平行四边形 ABCD 中，延长 CD 到 E，使 DE＝CD，连接 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 G．若△AGF 的面积为 2，则平行四边形 ABCD 的面积为 ． 三．解答题 16．如图，在△ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 上的点，线段 BE、CD 相交于点 O，且∠DCB＝ ∠EBC＝ ∠A． （1）求证：△BOD∽△BAE； （2）求证：BD＝CE； （3）若 M、N 分别是 BE、CD 的中点，过 MN 的直线交 AB 于 P，交 AC 于 Q，线段 AP、AQ 相等吗？为什么？ 17．如图，在△ABC 中，EF∥CD，DE∥BC． （1）求证：AF：FD＝AD：DB； （2）若 AB＝15，AD：BD＝2：1，求 DF 的长． 18．已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A（0，3）、B（3，4）、C（2， 2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC 向下平移 4个单位长度得到的△A1B1C1，点 C1的坐标是 ； （2）以点 B 为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC 位似，且位似比为 2：1； （3）四边形 AA2C2C 的面积是 平方单位． 19．如图，在△ABD 和△ACE 中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，连接 BC、DE 相交于点 F， BC 与 AD 相交于点 G． （1）试判断线段 BC、DE 的数量关系，并说明理由； （2）若 BC 平分∠ABD，求证：线段 FD 是线段 FG 和 FB 的比例中项． 20．某小区居民筹集资金 1600 元，计划在两底分别为 10m、20m 梯形空地上种植种植花木， 如图： （1）他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单价为 8 元/m2 ，当△AMD 地带种满花后 （图中阴影部分），共花了 160 元，计算种满△BMC 地带所需费用． （2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为 12 元/m2 、10 元/m2 ，应选哪 种花木，刚好用完所筹资金？ 参考答案 一．选择题 1．解：∵ ＝ ， ∴设 a＝2k，则 b＝3k， 则原式＝ ＝ ． 故选：B． 2．解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B， ∴△ACP∽△ABC， 所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC； B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB， ∴△ACP∽△ABC， 所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC； C、∵ ， 当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC， 所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC； D、∵ ， 又∠A＝∠A， ∴△ACP∽△ABC， 所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC， 本题选择不能判定△ACP∽△ABC 的条件， 故选：C． 3．解：∵用一个放大镜去观察一个五边形， ∴放大后的五边形与原五边形相似， ∵相似五边形的对应边成比例， ∴各边长都变大，故 A 选项错误； ∵相似五边形的对应角相等， ∴对应角大小不变，故选项 B 正确； ∵相似五边形的周长得比等于相似比， ∴C 选项错误． ∵相似五边形的面积比等于相似比的平方， ∴D 选项错误； 故选：B． 4．解：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C， ∴△CBD∽△CAB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴CD＝2， 故选：C． 5．解：因为每相邻两级踏板之间的距离都相等， 所以 A4B4为梯形 A1A7B7B1的中位线， 根据梯形中位线定理， A4B4＝ （A1B1+A7B7）＝ （0.5+0.8）＝0.65m． 作 A1C∥B1B4， 则 DB3＝CB4＝A1B1＝0.5m， A4C＝0.65m﹣0.50m＝0.15m， 于是 ＝ ， ＝ ， 解得 A3D＝0.10m． A3B3＝0.10m+0.50m＝0.60m． 6．解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OC＝AO，OB＝OD， 如图，作 OF∥AE， ∴ ＝ ＝ ， ∴CF＝EF， 又∵BE：EC＝1：2， ∴BE＝EF＝FC， ∴ ＝ ＝ ， 又∵OB＝OD， ∴BM：MO：OD＝1：1：2． 故选：C． 7．解：∵A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC 缩小后得到△DEF，D（1，2）， ∴位似比为：2：1， ∵△DEF 的面积为 4， ∴△ABC 的面积为：4×4＝16． 故选：D． 8．解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B， ∴△ACD∽△ABC， ∴ ， ∵AC＝6，AD＝4，BC＝10， ∴ ， ∴CD＝ ． 故选：A． 9．解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE， ∴△DEF∽△BAF， ∵S△DEF：S△ABF＝4：25， ∴ ＝ ， ∵AB＝CD， ∴DE：EC ＝2：3． 故选：A． 10．解：∵以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 扩大为原来的 2倍后得到线段 CD， ∴A 点与 C点是对应点， ∵C 点的对应点 A 的坐标为（2，2），位似比为：1：2， ∴点 C 的坐标为：（4，4） 故选：C． 二．填空题（共 5 小题） 11．解：∵把它的边长放大 3倍后的三角形与原三角形相似，且相似比为 3：1， ∴放大后三角形的面积＝1×3 2 ＝9（cm2 ）， 故答案为：9． 12．解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△DEF∽△BCF， ∴S△DEF：S△BCF＝（ ） 2 ， 又∵E是 AD 中点， ∴DE＝ AD＝ BC， ∴DE：BC＝DF：BF＝1：2， ∴S△DEF：S△BCF＝1：4， ∴S△BCF＝4， 又∵DF：BF＝1：2， ∴S△DCF＝2， ∴S▱ABCD＝2（S△DCF+S△BCF）＝12． 故答案为：12． 13．解：∵BD⊥AB，AC⊥AB， ∴BD∥AC， ∴△ACE∽△BDE， ∴ ， ∴ ＝ ， ∴AC＝7（米）， 故答案为：7． 14．解：∵AB∥CD ∴△PAB∽△PCD ∴AB：CD＝P 到 AB 的距离：点 P到 CD 的距离． ∴2：5＝P到 AB 的距离：3 ∴P 到 AB 的距离为 m， 故答案为 ． 15．解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABF＝∠E， ∵DE＝CD， ∴AB＝DE， 又∵∠AFB＝∠DFE， ∴△ABF≌△DEF（AAS）， ∴AF＝DF， ∴AF＝ BC， ∵AF∥BC， ∴△AFG∽△CBG， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， 又∵S△AGF＝2， ∴S△CGB＝8， ∴S△ABG＝4， ∴S△ABC＝S△CGB+S△ABG＝12， ∴平行四边形 ABCD 的面积＝2S△ABC＝24． 故答案为：24． 三．解答题（共 5 小题） 16．（1）证明：∵∠BCO＝∠CBO， ∴∠DOB＝∠BCO+CBO＝2∠BCO， ∵∠A＝2∠BCO， ∴∠DOB＝∠A， ∵∠ABE＝∠ABE， ∴△BOD∽△BAE； （2）解：延长 CD，在 CD 延长线上取一点 F，使 BF＝BD， ∴∠BDF＝∠BFD， ∵∠BDF＝∠ABO+∠DOB，∠BEC＝∠ABO+∠A， 由（1）得∠BOD＝∠A， ∴∠BDF＝∠BEC， ∴∠BFD＝∠BEC， 在△BFC 与△CEB 中， ， ∴△BFC≌△CEB， ∴CE＝BF， ∴BD＝CE； （3）解：AP＝AQ， 理由：取 BC 的中点 G，连接 GM，GN， ∵M，N 分别是 BE，CD 的中点， ∴GM，GN 是中位线， ∴GM∥CE，GM＝ CE，GN∥BD，GN＝ BD， ∵BD＝CE， ∴GM＝GN， ∴∠3＝∠4， ∵GM∥CE， ∴∠2＝∠4， ∵GN∥BD， ∴∠3＝∠1， ∴∠1＝∠2， ∴AP＝AQ． 17．（1）证明：∵EF∥CD， ∴ ， ∵DE∥BC， ∴ ∴ ＝ ． （2）∵AD：BD＝2：1， ∴BD＝ AD， ∴AD+ AD＝15， ∴AD＝10， ∵AF：FD＝AD：DB， ∴AF：FD＝2：1， ∴AF＝2DF， ∵AF+DF＝10， ∴2DF+DF＝10， ∴DF＝ ． 18．解：（1）如图所示，画出△ABC 向下平移 4 个单位长度得到的△A1B1C1，点 C1的坐标是 （2，﹣2）； （2）如图所示，以 B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC 位似，且位似比为 2：1， （3）四边形 AA2C2C 的面积是＝ ； 故答案为：（1）（2，﹣2）；（2）7.5 19．（1）解：BC＝DE， 理由：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE． 在△CAB 和△EAD 中， ， ∴△CAB≌△EAD（SAS）， ∴BC＝DE． （2）∵△BAC≌△DAE ∴∠ABC＝∠ADE， ∵BC 平分∠ABD， ∴∠ABC＝∠CBD， ∴∠CBD＝∠ADE 又∵∠GFD＝∠GFD， ∴△FGD∽△FDB， ∴ ， ∴FD2 ＝FG•FB． 即线段 FD 是线段 FG 和 FB 的比例中项． 20．解：（1）∵四边形 ABCD 是梯形， ∴AD∥BC， ∴∠MAD＝∠MCB，∠MDA＝∠MBC， ∴△AMD∽△CMB， ∴S△AMD：S△BMC＝（10：20 ） 2 ＝1：4． ∵种植△AMD 地带花费 160 元，单价为 8 元/m2 ， ∴S△AMD＝20m2 ， ∴S△CMB＝80m2 ， ∴△BMC 地带所需的费用为 8×80＝640（元）； （2）设△AMD 的高为 h1，△BMC 的高为 h2，梯形 ABCD 的高为 h． ∵S△AMD＝ ×10h1＝20， ∴h1＝4， ∵S△BCM＝ ×20h2＝80， ∴h2＝8， ∴S 梯形 ABCD＝ （AD+BC）•h ＝ ×（10+20）×（4+8） ＝180． ∴S△AMB+S△DMC＝180﹣20﹣80＝80（m2 ）， ∵160+640+80×12＝1760（元）， 160+640+80×10＝1600（元）， ∴应种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．