2020年北京市平谷区中考数学二模试卷 (含解析) 26页

2020 年北京市平谷区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，共 16.0 分） 1. 下列标志中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是 A. B. C. D. 2. 实数 ,,, 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 A. > − B. bd > C. || > || D. + > 3. 目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是 5 纳米，国产芯片的最小工艺水平理论上是 12 纳米， 已知 1 纳米 1 −t 米，用科学记数法将 12 纳米表示为 米． A. 12 1 −t B. 1.2 1 −1 C. 1.2 1 − D. .12 1 − . 下列四个几何体中，主视图为圆的是 A. B. C. D. 5. 如果 + 1 ，那么代数式 2+ 2 − + 1 2 − 2 的值为 A. − 3 B. − 1 C. 1 D. 3 6. 正十边形的每个外角等于 A. 1 B. 36 C. 5 D. 6 7. 甲、乙两名运动员参加了射击预选赛，他们的射击成绩 单位：环 如下表所示 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 7 9 8 6 10 乙 7 8 9 8 8 设甲、乙两人成绩的平均数分别为 甲， 乙，方差分别为 2 甲， 2 乙，下列关系正确的是 A. ， 2 甲 > 2 乙 B. ， 2 甲 2 乙 C. 甲 > 乙， 2 甲 > 2 乙 D. 甲 乙， 2 甲 2 乙 8. 学校组织领导、教师、学生、家长等代表对教师的教学质量进行综合评分，满分为 100 分．张 老师的得分情况如下：领导代表给分 80 分，教师代表给分 76 分，学生代表给分 90 分，家长代 表给分 84 分．如果按照 1：2：4：1 的权重进行计算，张老师的综合评分为 A. .5 分 B. 3.5 分 C. 5.5 分 D. 6.5 分 二、填空题（本大题共 8 小题，共 16.0 分） 9. 因式分解： 3 2 − 27 ______． 10. 如图所示的网格是正方形网格， ᦙ䁡 ______ ． 11. 使根式 3 − 有意义的 x 的取值范围是______． 12. 如图，直线 䁡t ，点 C 在 BD 上，若 5 ， 䁡t ， 䁡t 的面 积为 16，则 䳌 的面积为______ ． 13. 写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式______ . 写出一个即可 1 随 x 的增大而减小； 2 图象经过点 1, ． 14. 用一组 a，b，c 的值说明命题“若 ，则 ”是错误的，这组值可以是 ______． 15. 用 8 块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，每个长方形的长和宽如图所示，则可列出关于 x， y 的二元一次方程组为__________________． 16. 为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的收费标准如下表： 行驶公里范围 收费标准 3 公里以内 含 3 公里 10 元 超过 3 公里且不超过 15 公里的部分 2 元 公里 超过 15 公里的部分 3 元 公里 小周要到离家 10 公里的博物馆参观，如果他乘坐纯电动出租车，那么需付车费______元． 三、计算题（本大题共 1 小题，共 5.0 分） 17. 解不等式组 3 + 1 − 31+ 2 1+2 3 + 1 四、解答题（本大题共 11 小题，共 63.0 分） 18. 计算： − 2ݏ3 − |1 − 2| + 1 2 −2 − − 22 ． 19. 如图， 䁡䳌 内接于 ，请用直尺和圆规按要求作图 保留作图痕迹 1 在图 1 中画出一个圆心角，所作角的度数是 䳌䁡 的 2 倍． 2 在图 2 中画出一个圆周角，所作角的度数是 䳌䁡 的 2 倍． 20. 关于 x 的一元二次方程 2 − 2ʹ − 1 + ʹ 2 − 1 ，其中 ʹ ． 1 求证：方程有两个不相等的实数根； 2 当 ʹ − 1 时，求该方程的根． 21. 如图，在菱形 ABCD 中，过点 D 作 t 䁡 于点 E，作 t 䁡䳌 于点 F，连接 EF， 求证： 1 t≌ CDF； 2䁡 䁡. 22. 如图，在 䁡䳌 中， 䳌䁡 t ， 䁡䳌 的平分线 AD 交 BC 于点 D， 过点 D 作 t t 交 AB 于点 E，以 AE 为直径作 ． 1 求证：BC 是 的切线； 2 若 䳌 3 ， 䁡䳌 ，求 tant䁡 的值． 23. 在平面直角坐标系 xoy 中，直线 2 + 与反比例函数 ʹ ʹ 的图象交于点 − 3,和点 B． 1 求反比例函数的表达式和点 B 的坐标； 2 直接写出不等式 ʹ 2 + 的解集． 24. 为了解某校九年级学生今年中考立定跳远成绩，随机抽取该年级 50 名男学生的得分，并把成绩 单位： 绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图． 学生立定跳远测试成绩的频数分布直方图 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 1.5 a 1.5 2.25 9 2.25 2.5 b 2.5 15 请根据图表中所提供的信息，完成下列问题： 1 表中 ______， ______，样本成绩的中位数落在______范围内； 2 请把频数分布直方图补充完整； 3 该校九年级共有 400 名男生，立定跳远成绩不低于 2.25 米为优秀，估计该校男学生中考立 定跳远成绩优秀以上的学生有多少人？ 25. 如图，在 䁡䳌 中， 䳌 6 ， 䁡䳌 3 厘米， 䳌 厘米，点 P 从点 B 出发，沿 䁡 䳌 以每秒 1 厘米的速度匀速运动到点 . 设点 P 的运动时间为 x 秒，B、P 两点间的距离为 y 厘米． 小新根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小新的探究过程，请补充完整： 1 通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1. 2. 3. 2.7 2.7 m 3.6经测量 m 的值是______ 保留一位小数 ． 2 建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； 3 结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在 䁡䳌 中画出点 P 所在的位置． 26. 已知：关于 x 的方程 2 − + 2 + + 1 ． 1 求证：该方程总有实数根； 2 若二次函数 2 − + 2 + + 1 > 与 x 轴交点为 A， 䁡 点 A 在点 B 的左边 ，且 两交点间的距离是 2，求二次函数的表达式； 3 横、纵坐标都是整数的点叫做整点． 在 2 的条件下，垂直于 y 轴的直线 与抛物线交于点 E， . 若抛物线在点 E，F 之间的部分 与线段 EF 所围成的区域内 包括边界 恰有 7 个整点，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围． 27. 如图 1， 䳌 的顶点 C、E、F 分别与正方形 ABCD 的顶点 C、A、B 重合． 1 若正方形的边长为 a，用含 a 的代数式表示正方形 ABCD 的周长等于 ， 䳌 的面积 等于 ； 2 如图 2，将 䳌 绕点 C 顺时针旋转，边 CE 和正方形的边 AD 交于点 P，连结 AF 沿旋转角 C 连结 AE，设旋转角 䁡䳌 ． 试说明 䳌 t䳌 ． 若 ᦙ 有一个内角等于 6 ，求 的值． 28. 如图， 与直线MN相切于点 A，点B是圆上异于点A 的一点， 䁡䁡 的平分线与 交于点 C，连接 BC． 1 求证： 䁡䳌 是等腰三角形； 2 若 䳌䁡 15 ， 的半径为 2 3 ，则 䁡 ______； 当 䳌䁡 ______时，四边形 OACB 为菱形． 【答案与解析】 1.答案：D 解析： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠 后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合．根据轴对称图形和中心对 称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 解： . 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选 D． 2.答案：C 解析： 本题考查了实数与数轴、绝对值的性质． 根据数轴上点的位置关系，可得 a，b，c，d 的大小，根据实数的运算，绝对值的性质，可得答案． 解：由数轴上点的位置，得： − − 1 1 ． A. − ，故 A 不符合题意； B. ，故 B 不符合题意； C. || > || ，故 C 符合题意； D. + ，故 D 不符合题意． 故选 C． 3.答案：C 解析：解： 1 纳米 1 −t 米， 12 纳米表示为： 12 1 −t 米 1.2 1 − 米． 故选：C． 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 1 − ，与较大数的科学记数法不 同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 1 − ，其中 1 || 1 ，n 为由原数左边起 第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 4.答案：C 解析： 本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 分别分析四个选项的主视图，从而得出是圆的几何体． 解：A、圆柱的主视图是矩形，不符合题意； B、圆锥的主视图是三角形，不符合题意； C、球的主视图是圆，符合题意； D、正方体的主视图是正方形，不符合题意． 故选 C． 5.答案：D 解析： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值． 解：原式 2++− − + − 3 − + − 3 + ， 当 + 1 时，原式 3 ． 故选 D． 6.答案：B 解析： 本题考查了正多边形的外角和、边数、外角度数之间的关系，熟记正多边形三者之间的关系是解题 的关键． 根据正多边形的每一个外角等于多边形的外角和除以边数，计算即可得解． 解： 36 1 36 ， 所以，正十边形的每个外角等于 36 ． 故选：B． 7.答案：A 解析： 本题考查平均数和方差，掌握平均数和方差公式是解题的关键 . 根据平均数和方差的计算公式分别进 行计算，再进行比较，即可得出答案． 解： 甲 7 + t + + 6 + 1 5 ， 乙 7 + + t + + 5 ， ， ， . ， 2 甲 > 2 乙． 故选：A． 8.答案：A 解析：解：张老师的综合评分为： 1+762+t+1 1+2++1 .5 ， 故选：A． 先根据加权平均数的公式列出算式，再进行计算即可． 此题考查了加权平均数，解题的关键是根据加权平均数的公式列出算式，求出答案，是一道基础题． 9.答案： 3 + 3 − 3 解析：解：原式 3 2 − t 3 + 3 − 3 ， 故答案为： 3 + 3 − 3 ． 首先提取公因式 3y，再利用平方差进行二次分解即可． 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用 其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 10.答案：135 解析：解：延长 AP 交格点于 D，连接 BD， 则 ᦙt 2 䁡t 2 1 2 + 2 2 5 ， ᦙ䁡 2 1 2 + 3 2 1 ， ᦙt 2 + t䁡 2 ᦙ䁡 2 ， ᦙt䁡 t ， tᦙ䁡 5 ， ᦙ䁡 135 ． 故答案为：135． 延长 AP 交格点于 D，连接 BD，根据勾股定理得到 ᦙt䁡 t ，根据等腰三角形的性质和三角形外 角的性质即可得到结论． 本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质， 正确的作出辅助线是解题的关键． 11.答案： 3 解析：解：根据题意得， 3 − ， 解得 3 ． 故答案为： 3 ． 根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解． 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 12.答案：10 解析：解：过点 A 作 䁡t 于点 F， 䁡t 的面积为 16， 䁡t ， 1 2 䁡t 1 2 16 ， 解得 ， 䁡t ， 的长是 䳌 的高， 䳌 1 2 1 2 5 1 ． 故答案为：10． 过点 A 作 䁡t 于点 F，由 䁡t 的面积为 16 可求出 AF 的长，再由 䁡t 可知 AF 为 䳌的高，由三角形的面积公式即可得出结论． 本题考查的是平行线间的距离及三角形的面积公式，熟知两平行线间的距离相等是解答此题的关键． 13.答案： − + 1 解析：解：设一次函数解析式为 ʹ + ， 由于 y 随 x 的增大而减小，则可设 ʹ − 1 ， 所以 − + ， 把 1, 代入得 − 1 + ，解得 1 ， 所以满足条件的一次函数解析式可为 − + 1 ． 故答案为： − + 1 ． 设一次函数解析式为 ʹ + ，根据一次函数的性质可设 ʹ − 1 ，然后把 1, 代入 − + 求出对应的 b 的值即可． 本题考查了一次函数的性质： ʹ > ，y 随 x 的增大而增大，函数从左到右上升； ʹ ，y 随 x 的增 大而减小，函数从左到右下降．由于 ʹ + 与 y 轴交于 , ，当 > 时， , 在 y 轴的正半 轴上，直线与 y 轴交于正半轴；当 时， , 在 y 轴的负半轴，直线与 y 轴交于负半轴． 14.答案： − 1 答案不唯一 解析： 根据题意选择 a、b、c 的值即可． 本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命 题，只需举出一个反例即可． 解：当 ， − 1 ， − 2 ， 所以 ，但 ， 故答案为： − 1 答案不唯一 15.答案： 3 + 2 解析： 此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，从题中所给的已知量 24cm 入手，找到两个等量关系 是解题的关键． 解：由图示可得， + 2 且 2 3 + ， 所以关于 x，y 的二元一次方程组为 3 + 2 ． 故答案为 3 + 2 ． 16.答案：24 解析：解：根据题意，知他乘坐纯电动出租车需付车费 1 + 1 − 3 2 2 元 ， 故答案为：24． 先根据表格中分段计费方法列出算式，再根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得． 本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，列出算式，并熟练掌握有理数的混合运 算顺序和运算法则． 17.答案：解：由不等式 3 + 1 − 3 得： − 2 ， 由不等式 1+ 2 1+2 3 + 1 ，得： − 5 ， 所以原不等式组的解集是： − 5 − 2 ． 解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小 小无解了确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取 小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18.答案：解：原式 2 2 − 2 1 2 − 2 − 1 + − 1 2 2 − 1 − 2 + 1 + − 1 2 + 3 ． 解析：本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握二次根式和绝对值的性质、熟记特殊锐角三角 函数值、负整数指数幂与零指数幂的规定．先化简二次根式、代入三角函数值、去绝对值符号、计 算负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得． 19.答案：解： 1 如图： 䁡 是所求作的角； 2 如图 2，作 t 䁡 ，连接 CD， 䁡䳌t 是所求作的角． 或如图 3，作 䁡t 䁡 ，连接 CD， 䳌t 是所求作的角． 解析：本题主要考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，属于基础题． 1 根据圆周角定理，连接 OA，OB，则 䁡 2䳌䁡 ； 2 作 t 䁡 ，连接 CD，则 䁡䳌t 2䁡䳌 ． 或者作 䁡t 䁡 ，连接 CD，则 䳌t 2䁡䳌 ． 20.答案：解： 1 依题意可知， 2ʹ − 1 2 − ʹ 2 − 1 5 − ʹ ， ʹ ， > ． 方程有两个不相等的实数根． 2 当 ʹ − 1 时，方程为 2 + 3 ． 解得 1 − 3 ， 2 ． 解析： 1 利用一元二次方程根的判别式就可以证明结论； 2 把 ʹ − 1 代入原方程即可得到结论． 本题考查了一元二次方程的解及根的情况与判别式 的关系： 1 > 方程有两个不相等的实数根； 2 方程有两个相等的实数根； 3 方程没有实数根． 21.答案： 1 证明：在 t 和 䳌t ， 四边形 ABCD 是菱形， t 䳌t ， 䳌 ， 又 t䳌 t t ， t≌ 䳌t ； 2 证明：由 t≌ 䳌t ， t t ， t 是等腰三角形， t t ， 又 t䁡 t䁡 t ， 䁡 䁡 ． 解析：本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质以及等腰三角形的有关知识． 1 利用菱形的性质得到 t 䳌t ， 䳌 ，进而利用 AAS 证明两三角形全等； 2 根据 t≌ 䳌t 得到 t t ，结合等腰三角形的性质即可得到结论． 22.答案： 1 证明：连接 OD，如图， t 平分 䁡䳌 ， 1 2 ， t ， 2 3 ， 1 3 ， t䳌 ， 䳌 䁡䳌 ， t 䁡䳌 ， 䁡䳌 是 的切线； 2 解：在 䳌䁡 中， 䁡 3 2 + 2 5 ， 设 的半径为 r，则 t ， 䁡 5 − ， t䳌 ， 䁡t∽ 䁡䳌 ， t ： 䳌 䁡 ：BA， 即 r： 3 5 − ：5，解得 15 ， t 15 ， 䁡 25 ， 在 t䁡 中， 䁡t 䁡 2 − t 2 5 2 ， 䳌t 䁡䳌 − 䁡t 3 2 ， 在 䳌t 中， tan1 䳌t 䳌 3 2 3 1 2 ， 为直径， t t ， t䁡 + t䳌 t ， 1 + t䳌 t ， 1 t䁡 ， tant䁡 1 2 ． 解析： 1 连接 OD，如图，先证明 t䳌 ，再利用 䳌 䁡䳌 得到 t 䁡䳌 ，然后根据切线的判定 定理得到结论； 2 先利用勾股定理计算出 䁡 5 ，设 的半径为 r，则 t ， 䁡 5 − ，再证明 䁡t∽ 䁡䳌 ，利用相似比得到 r： 3 5 − ：5，解得 15 ，接着利用勾股定理计算 䁡t 5 2 ， 则 䳌t 3 2 ，利用正切定理得 tan1 1 2 ，然后证明 1 t䁡 ，从而得到 tant䁡 的值． 本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂 直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； 也考查了圆周角定理和解直角三角形． 23.答案：解： 1 点 − 3, 在直线 2 + 上， − 6 + ， 解得 − 2 ， 点 − 3, − 2 ． − 3, − 2 在反比例函数 ʹ 的图象上， ʹ 6 ， 反比例函数的表达式是 6 ； 由 6 2 + ，解得 1 − 3 1 − 2 或 2 1 2 6 ， 䁡1,6 ； 2 结合图像可知： − 3 或 > 1 ． 解析：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式；熟练掌握待 定系数法求直线解析式是解决问题的关键． 1 由点 A 在直线 2 + 上，即可求出 a 的值，从而可得点 A 的坐标，根据点 A 在反比例函数 ʹ 的图象上，即可求出反比例函数的解析式，然后将一次函数与反比例函数联立方程组，解方程组即 可求出点 B 的坐标； 2 根据一次函数 2 + 与反比例函数 6 的交点坐标即可得不等式的解集． 24.答案： 11 ，25， 2.25 2.5 ； 2 补充完整的频数分布直方图如图所示： 3 25+15 5 32 人 ， 答：估计该校男学生中考立定跳远成绩优秀以上的学生有 320 人． 解析： 本题考查频数分布表、频数分布直方图、中位数、用样本估计总体． 1 根据频数分布直方图可以求得 a 的值，进而可以求得 b 的值和样本成绩的中位数落在哪一组内； 2 根据 1 中的结果可以将频数分布直方图补充完整； 3 根据频数分布表中的数据可以求得该校男学生中考立定跳远成绩优秀以上的学生有多少人． 解： 1 由频数分布直方图可知， 1 ， 5 − 1 − t − 15 25 ， 样本成绩的中位数落在 2.25 2.5 范围内， 故答案为：1，25， 2.25 2.5 ； 2 见答案； 3 见答案． 25.答案： 13. 2 描点、连线，画出图象，如图 1 所示． 3 在曲线部分的最低点时， 䁡ᦙ 䳌 ，如图 2 所示． 解析： 1 经过测量可找出 BP 的长 利用等边三角形的判定定理可得出：当 6 时， 䁡䳌ᦙ 为等边 三角形 ； 解： 1 经测量，当 6 时， 䁡ᦙ 3. ． 当 6 时， 䳌ᦙ 6 − 䁡䳌 3 ， 䁡䳌 䳌ᦙ ． 䳌 6 ， 当 6 时， 䁡䳌ᦙ 为等边三角形． 故答案为： 3. ． 2 描点、连线，画出函数图象； 3 由点到直线之间垂线段最短，可得出：在曲线部分的最低点时， 䁡ᦙ 䳌 ，依此即可画出图形． 本题考查了动点问题的函数图象、等边三角形的判定、函数图象及垂直． 26.答案：解： 1 + 2 2 − + 1 2 ， 不论 m 取何值，该方程总有实数根； 2 由题意可知： 2 − + 2 + + 1 − 1 − − 1 ， 1, ， 䁡 + 1, ． 两交点间距离为 2， + 1 − 1 2 ． 2 ． 2 − + 3 ； 3 如图所示， n 的取值范围是： 1 2 ． 解析：本题考查了二次函数综合题，需要掌握抛物线与 x 轴的交点、抛物线解析式的三种形式间的 转化、抛物线解析式与一元二次方程的转化等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属 于中考常考题型． 1 根据关于 x 的方程 2 − + 2 + + 1 判别式的符号进行证明； 2 将已知函数解析式转化为两点式方程，求得点 A、B 的横坐标，然后结合已知条件求得 m 的值即 可； 3 根据题意作出图形，结合图形直接写出 n 的取值范围． 27.答案： 1 ； 1 2 2 ； 2 四边形 ABCD 是正方形， 䳌䁡 䳌t 5 t䳌 ， 将 䳌 绕点 C 顺时针旋转， 䁡䳌 䳌 ， 䳌 䳌 ， 䳌 t䳌 ； 若 ᦙ 6 ， 䳌 ᦙ − t䳌 6 − 5 15 ， 䁡䳌 15 ； 若 ᦙ 6 ，且 䳌 䳌 ， 䳌 是等边三角形， 䳌 6 ， 䁡䳌 6 ；若 ᦙ 6 ， 䳌 15 ，且 䳌 䳌 ， 䳌 䳌 15 䳌 + 䳌 + 䳌 > 1 ， 不合题意舍去． 综上， 15 或 6 ． 解析： 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的 关键． 1 由正方形的性质和三角形面积公式可求解； 2 由正方形的性质可得 䳌䁡 䳌t 5 ，由旋转的性质可得 䁡䳌 䳌 ，即可得结论； 分三种情况讨论，由三角形内角和定理可求解． 解： 1 正方形的边长为 a， 正方形 ABCD 的周长 ， 䳌 的面积 1 2 2 ， 故答案为 4a； 1 2 2 ； 2 见答案． 28.答案：证明： 1 如图 1， 连接 AO 并延长交 于 D，连接 CD， 䁡 是 的切线， t䁡 t ， t䳌 + 䳌䁡 t ， t 是 的直径， 䳌t t ， t䳌 + t䳌 t ， 䳌䁡 t䳌 ， t䳌 䁡 ， 䁡 䳌䁡 ， 䳌 是 䁡䁡 的角平分线， 䳌䁡 䳌䁡 ， 䳌䁡 䁡 ， 䳌 䁡䳌 ， 䁡䳌 是等腰三角形； 22 3 33 解析： 解： 1 见答案 2 如图 2，连接 OA， 䁡 是 的切线， 䁡 t 䳌 是 䁡䁡 的角平分线， 䳌䁡 15 ， 䁡䁡 2䳌䁡 3 ， 䁡 6 ， 䁡 ， 䁡 是等边三角形， 䁡 2 3 ， 故答案为 2 3 ； 如图 3，连接 OC， 䳌 ， 四边形 OACB 是菱形， 䳌 ， 䳌 䳌 ， 䳌 是等边三角形， 䳌 6 ， 䁡 t ， 䳌䁡 t − 6 3 ， 故答案为： 3 ． 1 先利用切线的性质判断出 䳌䁡 + 䳌t t ，再判断出 䳌t + t䳌 t ，得出 䳌䁡 t䳌 ，进而得出 䳌䁡 䁡 ，即可得出结论； 2 先求出 䁡䁡 3 ，进而判断出 䳌 是等边三角形即可得出结论； 先判断出 䳌 是等边三角形，进而求出 䳌 6 ，得出 䁡䁡 3 ，即可得出结论． 此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，作出辅助线 是解本题的关键．