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  • 2021-11-11 发布

北师大版九年级数学下册-专题讲座教案,精品大全集

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北师大版九年级数学下册-专题讲座教案,精品大全集 九年级数学下册 专题讲座(五)教案 北师大版 【学习目标】 1、掌握二次函数的三种表达形式,并能解决实际问题(重点)。 2、灵活运用二次函数的三种表达式来求二次函数的解析式(难点)。 4、希望你充分的展示自己分析问题和解决问题的能力,学会合作探究问题的能力。 【温习旧知】 二次函数的三种表达方式: (1)、解析法:用等式表示一个变量是另一个变量的函数关系式叫做函数解析式(或函数关系式),教材 中叫做函数表达式。 (2)、表格法:列出表格表示一个变量是另一个变量的函数的方法叫做表格法。 (3)、图像法:把自变量的一个值与函数 y 的对应值分别作为点的横、纵坐标,在平面直角坐标系中描出 点,这些点的集合叫做这个函数的图像。用图像表示一个变量是另一个变量的函数的方法叫做图像法。 【新知探究】 知识点一:用三种方式表示变量之间的函数关系式 问题 1、已知一个矩形的周长是,假设它的一边长为 cm,面积为,请你用不同方式表示与之间的关系。 (1)、用函数表达式表示: 。 (2)、用表格法表示: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3)、用图像表示,并写出自变量的取值范围; (4)、当取何值时,矩形面积最大?最大面积是多少? <变式练习>:已知二次函数。 (1)、请画出该函数的图像; (2)、求函数图像与轴、轴的交点; (3)、根据图像说出取哪些值时,函数值??? 知识点二、二次函数的表达式的三种形式 关于的二次函数的表达式常见的有三种形式: (1)、一般式(或标准式): (2)、顶点式: (3)、交点式: (其中是抛物线与轴的交点的横坐标。 <强调>: 1 、知道抛物线上三个点的坐标常选用一般式; 2 、知道抛物线的顶点坐标常选用顶点式; ③、知道抛物线与轴的两个交点常选用交点式。 问题 2、已知抛物线经过 (1, 4), ( 1,0), ( 2,5)A B C   三点,试求该抛物线的表达式。 <变式练习>:已知二次函数的图像经过,求此二次函数的解析式。 问题 3、已知二次函数的图像过点,且当时,函数有最小值,求此二次函数的表达式。 <变式练习>:已知抛物线的顶点为,且抛物线经过原点,试求此抛物线的表达式。 问题 4、已知二次函数的图像经过,且图像与轴的交点为和,试求此二次函数的表达式。 <变式练习>:已知抛物线与轴的两个点的横坐标分别是和,与轴的交点的纵坐标是,试确定此抛物线的解 析式。 < 拓 展 延 伸 > : 如 图 所 示 , 设 二 次 函 数 的 图 像 与 轴 交 于 A 、 B 两 点 , 与 轴 交 于 点 C , 若 020, 15, 90AC BC ACB    , 试求此二次函数的表达式。 【课后练习】 A、基础部分 1、已知二次函数中 x,y 满足下表: … -2 -1 0 1 2 … … 4 0 -2 -2 0 … 根据表中变量之间的对应关系,求出这个二次函数的关系式。 2、已知当时,二次函数的最大值为-5,且抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,-17),求这个二次函数的解 析式。 3、已知抛物线经过两点且对称轴是直线,试求此抛物线的表达式。 B、思考部分 3、如图所示,二次函数的图像经过 A、B、C 三点。 (1)、观察图像求出该二次函数的表达式; (2)、求出该抛物线的顶点坐标和对称轴以及最值。 4、阅读下面的语言文字后解答问题 有这样一道题目:“已知二次函数的图像经过点以及 C( ),求证这个二次函数的对称轴是直线”。 题目中的 C 点坐标已经模糊看不清了。 (1)、根据现有的信息,你能否求出题目中二次函数的表达式?若能,请写出解答过程。若不能,请说明 理由。 (2)、请你根据已有的信息,给原题目中的点 C 补上适当的坐标,把原题补充完整。 C、兴趣部分 5、如图所示,已知二次函数图像的顶点坐标,直线与该二次函数的图像交于 A、B 两点,其中 A 点的坐标 为,B 点在 y 轴上。 (1)、求 m 的值及二次函数的表达式; (2)、P 为线段 AB 上的一个动点(点 P 与 A、B 不重合),过 P 作轴的垂线与这个二次函数的图像交于 E 点, 设线段 PE 的长为,点 P 的横坐标为,试求与之间的函数关系,并写出变量的取值范围; (3)、D 为直线 AB 与这个二次函数图像对称轴的交点,在线段 AB 上是否存在一点 P,使得四边形 DCEP 是 平行四边形?若存在,请求出此时 P 点的坐标;若不存在,请说明理由。 课题: 弧长及扇形的面积 教学目标: 、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;掌握弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会 应用公式解决问题. 、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养探索能力,训练数学运用能力。 、通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,体验数学与人类生活的密切联系,激发学习数学的兴趣, 提高学习积极性,同时提高对知识的运用能力。 教学重点与难点: 重点:弧长和扇形面积公式,准确计算弧长和扇形的面积。 难点:运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。 课前准备:直尺、圆规、多媒体课件。 教学过程: 一、创设情境,引入新课: 师:同学们,还记得唐代诗人王之涣的《登鹳雀楼》 这首诗吗? 白日依山尽,黄河入海流。欲穷千里目,更上一层 楼。 你能求出这幢楼至少该有多高吗?生活中有没有 这样的楼?让 我们拭目以待。(板书课题:弧长及扇形的面积) 【设计意图】通过诗情画意的展示,调动学生学习 的积极性,激 发起进一步学习的兴趣,吸引学生的注意力,为新课的 学习做铺垫。 二、自主先学, 合作探究: 【自主先学一】【多媒体展示】: 问题:()圆的圆心角(圆周角)是多少度?()圆的周长公式是什么? 【合作探究一】弧长的计算公式: 你能探讨出在半径为的圆中,°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流: °的圆心角对应圆周长为π,那么°的圆心角对应的弧长为,°的圆心角对应的弧长应为°的圆心角 对应的弧长的倍,即。 师生归纳:在半径为的圆中,°的圆心角所对的弧长的计算公式为: 180 Rnl  。 【活动方式】学生先独立思考,小组讨论,并派代表在全班交流,师解答释疑。 【友情提示】在应用弧长公式 180 Rn 进行计算时,要注意公式中的意义,表示°圆心角的倍数,它是 不带单位的。 【学以致用】【多媒体展示】 【活动方 式】学生先独 立思考,小组 讨论,并派代 表 在 全 班 交 流,然后师生 互动共同解析。 【思维启迪】要求管道的展直长度,即求弧的长,根据弧长公式 180 Rnl  ,可求得弧的长,其中为圆 心角,为半径。 【一生口述,师板书解题过程】 【 设 计 意图】让 学 生 利 用 公 式 进 行 弧 长 的 有 关计算, 明 确 弧 长 与 所 在 圆 的 半径、圆 心角的度数关系,熟练公式的应用,规范书写过程。 【自主先学二】【多媒体展示】:圆的面积公式是什么? 【合作探究二】扇形面积的计算公式:你能总结扇形的面积公式吗? 如果圆的半径为,则圆的面积为π,仿照探究弧长公式的过程可知,°扇形的面积占整个圆面积的 1 360 ,所以°的圆心角对应的扇形面积为,°的圆心角对应的扇形面积为。 因此扇形面积的计算公式为: 360 2RnS 扇形 ,其中为扇形的半径,为圆心角。 【活动方式】学生思考,计算,小组讨论,总结扇形的面积的计算公式,师巡视,并答疑解难,绝大 多数小组获得结论后,再组织汇报。 【小试身手】扇形的半径为,∠=°,求弧的长(结果精确到)和扇形的面积(结果精确到 0.1cm) 【活动方式】学生分组讨论,合作交流,教师参与到小组合作学习中,并给予必要的个别指导,师生 共同补充完善。 【设计意图】引导学生自己根据已有的知识,用类比的方法解决与扇形有关的实际问题,教师此时乘 胜追击,再出示小试身手,让学生及时巩固所学。 例 制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度” 再下料,试计算图中管道的展直长度,即弧的长(结果精确 到.)。 解:∵=40mm,。 ∴ lAB = 180 Rn = 110 180 ×π≈76.8mm, 因此,管道的展直长度约为 76.8mm。 【合作探究三】弧长与扇形面积的关系: 在半径为的圆中,°的圆心角所对的弧长的计算公式为= 180 n π,°的圆心角的扇形面积公式为扇形= 360 n π,在这两个公式中,弧长和扇形面积都和圆心角和半径有关系,请问,和之间有什么关系吗?换句 话说,能否用弧长表示扇形面积呢?请大家互相交流。 【活动方式】让学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、 交流,师参与她们的活 动之中,最后教师展示探讨的过程及结果: 解: ∵ 180 n π,扇形 360 n π, ∴ 扇形S 360 n π 1 2 · 180 n π, ∴ lRS 2 1扇形 并引导学生想一想:扇形面积的第二个计算公式类似于哪种图形的计算公式? 【设计意图】通过弧长与扇形面积关系的探索,引导学生对比弧长公式和扇形面积公式,经过分析讨 论得到扇形面积的第二种计算方法,让学生在分析对比中强化对知识的记忆。 三、实际应用,升华新 知 : 、学以致用:解决“欲穷千里目,更上一层楼”的问题: 【思路导航】如图,设弧代表地面,为地球中心,点离点为千米 (即里)。显 然,人站在点是看不到点处的景物的,因而需要登楼到点处。这时, 人的视线与⊙ 相切,即为楼的最小高度。因为=-,是地球半径,约等于千米, 所以只需计算 出即可。 【师生共析规范解题】 【 设 计 意 图】这节课一开 始,以问题形式 引入新课,学生 是带 着问 题来 学习新知识的, 所以 学习 完新 知识后,要带着 学生回过头来, 运用 所学 的知 识解决开始的实际问题,让学生感受到学以致用,感受到用所学知识解决实际问题的快乐。 、拓展应用: 如图,有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长,折扇扇面的宽 度是骨柄长的一半,折扇张开的角度为 °,问哪一把扇子扇面的面积大? 解:设 O 的度数为°,由弧长公式得: 180 Rnl  即: 180 6370500  n 解得:  5.4n 在 OCBRt 中, 6390 5.4cos 6370 cos    O OCOB =-=-=千米 通过计算表明,这幢楼至少要有千米高,远远超过世界最高峰——珠穆朗玛峰 的高度,这样高的楼现实生活中是没有的。 【活动方式】留出足够的时间让学生自主完成、讨论交流校对,学生展示讲解,教师给予补充提问, 师生评判纠错完善, 【设计意图】进一步体会利用数学知识解决实际问题成功感,逐步培养学生的应用意识。 四、诱导反思, 归纳总结: 通过本节课的学习,你有哪些感悟与收获? 【活动方式】让学生畅所欲言地进行谈谈自己的收获和感受,其他学生听后进行思考并适当进行补充, 最后教师可补充:在计算阴影面积问题时,可以通过规则图形的面积的和或差求解,也可以通过图形变化 转化为规则图形求解。 【设计意图】引导学生对本节课进行系统的总结,学生能够在课堂上畅所欲言,并通过自己的归纳总 结,进一步巩固所学知识,发挥学生的主体作用,培养分析归纳能力和语言表达能力。 五、达标测试,反馈矫正: ★级:轻松过关 —— 打基础: 、在半径为的圆中,°的圆心角所对的弧长为(结果保留π)。 、如图,这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案,它是一扇形图形,其中∠为°长为 8cm,长为 12cm,则阴影部分的面积为( ) . 264πcm . 2112πcm . 2144πcm . 2152πcm ★★级:快乐提升 —— 练能力: 、如图,为拧紧一个螺母,将扳手逆时针旋转º,扳手上一点转至点处,若长为 25cm,则长为(结果保 留 )。 、如图,⊙、⊙、⊙、⊙、⊙的半径都是,顺次连接五个圆心得五边形,求图中五个扇形的面积之和 (阴影部分)为。 ★★★级:体验中考 —— 树信心: 、(年云南省)已知扇形的圆心角为°,半径长为,则该扇形的弧长为( ) 、 .π. π. π 、(•德州)如图,正三角形的边长为,、、分别为、、的中点,以、、三点为圆心,半径为作圆,则圆中 阴影部分的面积是. 第题图 第题图 第题图 【活动方式】让学生在分钟时间内做完,做完后小组内互评,教师跟踪学困生,对进步较快的给以语 言激励,培养她们的自信心。 【设计意图】学生通过自评互评,可以全面了解自己的学习过程,及时进行反思,感受自己的成长和 进步,同时为教师改进教学,实施因材施教提供重要依据。 六、布置作业,落实目标: 必做题:课本习题 第、、、题 选做题:(年四川资阳)如图,扇形中,半径, ∠°,是 的中点,连接、,则图中阴影部 分面积是 板书设计: §弧长及扇形的面积 一、弧长的计算公式: = 180 n π 例:弧长公式的应用: 二、扇形的面积公式: = 360 n π 小试身手:弧长及扇形的面积公 式的应用: 三、探索弧长及扇形的 面积之间的关系: 扇形 1 2 四、实际应用: 学生板演区 学生板演区 学习是一件增长知识的工作,2.4.1 二次函数的应用(一) 【教学内容】二次函数的应用(一) 【教学目标】 知识与技能 掌握长方形和窗户透光最大面积问题,体会数学的模型思想和数学应用价值. 过程与方法 学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识 解决实际问题 情感、态度与价值观 在探究活动中,体验二次函数知识在实际生活中的应用。 【教学重难点】 学优高考 重点:本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题,准确把握条件列出二次函数表达式,并根据 限制条件或二次函数顶点式求出最大(或最小)值。 难点:由图中找到二次函数表达式是本节的难点,它常用的有三角形相似,对应线段成比例,面积公式等, 应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式. 【导学过程】 【知识回顾】确定下列二次函数的对称轴和顶点坐标: ⑴y=3x2 一 6x +7 ⑵ y=-2 x2 一 12x +8 【情景导入】 把二次函数表达式化为顶点式后,可以求出函数的最大(或最小)值。下面我们来看它在实际生活 中的应用吧! 【新知探究】 探究一、例 1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD,其中 AB 和 AD 分别在两直角边上. (1).设矩形的一边 AB=xcm,那么 AD 边的长度如何表示? (2).设矩形的面积为 ym2,当 x 取何值时,y 的最大值是多少? 探究二、结合例 1 中应用的相似形知识列出二次函数表达式,并求出最大(最小)值。 1、如图⑴,在 Rt△ABC 中,AC=3cm,BC=4cm,四边形 CFDE 为矩形,其中 CF、CE 在两直角边上,设 矩形的一边 CF=xcm.当 x 取何值时,矩形 ECFD 的面积最大?最大是多少? 2、如图⑵,在 Rt△ABC 中,作一个长方形 DEGF,其中 FG 边在斜边上,AC=3cm,BC=4cm,那么长方形 DEGF 的面积最大是多少? gkstk 3、如图⑶,已知△ABC,矩形 GDEF 的 DE 边在 BC 边上.G、F 分别在 AB、AC 边上,BC=5cm,S△ABC 为 30cm2,AH 为△ABC 在 BC 边上的高,求△ABC 的内接长方形的最大面积. 探究三:例 2、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所 有的黑线的长度和)为 15m.当 x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到 0.01m)?此时,窗户的面积是 多少? 变式练习:某建筑物窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形.制造窗框的材料总长(图中 所有黑线的长度和)为 15m.当 x 等于多少时,窗户透过的光线最多(结果精确到 0.01m)?此时,窗户 的面积是多少? 学优高考网 gkstk] 【知识梳理】本节课我们学习如何列出二次函数表达式,并根据条件求出函数最大(或最小)值。 【随堂练习】 1.如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是 8m,宽是 2m,抛物线可以用 y=- x2 +4 表示. (1)一辆货运卡车高 4m,宽 2m,它能通过该隧道吗? (2)如果隧道内设双行道,那么这辆货运车是否可以通过? (3)为安全起见,你认为隧道应限高多少比较适宜?为什么? 2.在一块长为 30m,宽为 20m 的矩形地面上修建一个正方形花台.设正方形的边长为 xm,除去花台 后,矩形地面的剩余面积为 ym2,则 y 与 x 之间的函数表达式是 ,自变量 x 的取值范围是 .y 有最大值或最小值吗?若有,其最大值是 ,最小值是 ,这 个函数图象有何特点? 3.如图(1)所示,要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用 50m 长的篱笆围成中间有一道篱笆的 养鸡场,没靠墙的篱笆长度为 xm。(1)要使鸡场的面积最大,鸡场的长应为多少米? (2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少米? (3)比较(1).(2)的结果,你能得到什么结论? 4.把 3 根长度均为 100m 的铁丝分别围成长方形、正方形和圆,哪个面积最大?为什么? gkstk 5.周长为 16cm 的矩形的最大面积为 ,此时矩形的边长为 ,实际上此时矩形 是 . 6.当 n= 时,抛物线 y=-5x2+(n2-25)x-1 的对称轴是 y 轴. 7.已知二次函数 y=x2-6x+m 的最小值为 1,则 m 的值是 . 8.如果一条抛物线与抛物线 y=- 3 1 x2+2 的形状相同,且顶点坐标是(4,-2),则它的表达式是 . 9.若抛物线 y=3x2+mx+3 的顶点在 x 轴的负半轴上,则 m 的值为 . 10.将抛物线 y=3x2-2 向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位,则所得抛物线为( ) A.y=3(x+2)2+1 B.y=3(x-2)2-1 C.y=3(x+2)2-5 D.y=3(x-2)2-2 11.二次函数 y=x2+mx+n,若 m+n=0,则它的图象必经过点( ) A.(-1,1) B.(1,-1) C.(-1,-1) D.(1,1) 12.如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象,点 P(a+b,bc)是坐 标平面内的点,则 点 P 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 13.已知:如图 1,D 是边长为 4 的正△ABC 的边 BC 上一点,ED∥AC 交 AB 于 E,DF⊥AC 交 A C 于 F, 设 DF=x. (1)求△EDF 的面积 y 与 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围; (2)当 x 为何值时,△EDF 的面积最大?最大面积是多少; (3)若△DCF 与由 E、F、D 三点组成的三角形相似,求 BD 长. 14.如图 2,有一块形状是直角梯形的铁皮 ABCD,它的上底 AD=3cm,下底 BC=8cm,垂直于底的腰 CD=6cm.现要裁成一块矩形铁皮 MPCN,使它的顶点 M、P、N 分别在 AB、BC、CD 上.当 MN 是多长时,矩形 MPCN 的面积有最大值? gkstk 15.如图 3,有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN=4dm,抛物线顶点到 MN 的距离是 4dm.要在铁皮 上截下一矩形 ABCD,使矩形顶点 B、C 落在 MN 上,A、D 落在抛物线上,试问这样截下的矩形铁皮周长能 否等于 8dm? 16.如图 4,在一直角三角形中建造一个内接于△ABC 的矩形水池 DEFN.其中 DE 在 AB 上,AC=8,BC=6. (1)求△ABC 中 AB 边上的高 h; (2)设 DN=x,当 x 取何值时,水池 DEFN 的面积最大? (3)实际施工时,发现在 AB 上距 B 点 1.85 处有一棵大树,问这棵大树是否位于最大矩形水池的边 上? 第一章 直角三角形的边角关系 1.1.1 锐角三角函数(一) 【教学内容】锐角三角函数(一) 【教学目标】 知识与技能 理解锐角三角函数中正切函数的定义,运用正切值的大小比较生活中物体的倾斜程度、坡度 等,能够用正切进行简单的计算 过程与方法 经历探索直角三角形中边角关系的过程,理解正切的意义和与现实生活的联系. 情感、态度与价值观 从实践中引导学生学会观察、思考,探索发现客观事物中存在的数学规律。 【教学重难点】 重点:探索直角三角形的边角关系.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义, 难点:理解正切函数的意义,领会直角三角形边角关系的实质. 【导学过程】 【情景导入】 一、学会观察,学会发现: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗?你有哪些办法? 学优高考 2、生活问题数学化: ⑴如图:梯子 AB 和 EF 哪个更陡?你是怎样判断的? ⑵以下三组中,梯子 AB 和 EF 哪个更陡?你是怎样判断的? 【新知探究】 gkstk 探究一、直角三角形的边与角的关系(如图,回答下列问题) ⑴Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 有什么关系? ⑵ 2 22 1 11B AC CB AC C 和 有什么关系? ⑶如果改变 B2 在梯子上的位置(如图),在每个直角三角形 中,∠A 的对边和邻边比值会变吗? ⑷由此你得出什么结论? 根据相似三角形对应边的比相等,上述每两组线段的比值是一定的。实际上,决定比值大小的量不是 它们边的长短,而是∠A 度数的大小。即如果锐角 A 度数确定,那么∠A 的对边与邻边的比也随之唯一确 定,这符合函数的定义,因此我们把锐角 A 度数叫做自变量,它的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作 tanA.。 即 tanA=∠A 的对边/∠A 的邻边 根据函数的定义,当∠A 变化时,tanA.也随之变化。 探究二、例题: gkstk 例 1、如图是甲,乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 归纳:当锐角的正切值较大时,坡度也较 大。 探究三、 例 2、在△ABC 中,∠C=90°,BC=15cm,AB=25cm,求 tanA 和 tanB 的值. ……. 学优高考网 gkstk] 归纳:求正切值一定要在直角三角形中进行,并且一定要分清锐角的对边与邻边。 【知识梳理】本节课我们学习了哪些知识?你明白了什么道理? 【随堂练习】 1、如图,△ABC 是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出 tanC 吗? 2、如图,某人从山脚下的点 A 走了 200m 后到达山顶的点 B,已知点 B 到山脚的垂直距离为 55m,求山的 坡度.(结果精确到 0.001) 学优高考 3、若某人沿坡度 i=3:4 的斜坡前进 10 米,则他所在的位置比原来的位置 升高________米. 4、如图,Rt△ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图,斜坡 AB 的长为 12 m,它的坡角为 45°,为了提高该堤 的防洪能力,现将背水坡改造成坡比为 1:1.5 的斜坡 AD,求 DB 的长.(结果保留根号) 5、菱形的两条对角线分别是 16 和 12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为 θ,则 tanθ=______. 6、如图,在菱形 ABCD 中,AE⊥BC 于 E,EC=1,tanB= 12 5 , 求菱形的边长和四 边形 AECD 的周长. 7、已知:如图,斜坡 AB 的倾斜角 a,且 tanα= 3 4 ,现有一小球从坡底 A 处以 20cm/s 的速度向坡顶 B 处移动,则小球以多大的速度向上升高? 第二章 二次函数 【学习目标】 1.引导学生对全章的知识梳理,掌握二次函数图像的性质,会用待定系数法求函数表达式,并能运用与 之有关的数学知识来解决问题。 2.通过本节课的复习,让学生进一步加深二次函数的运用和理解,更深层次体会数形结合及建模的数学 E D B A C B A  C 思想;学会从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略,发展应用意识。 3.通过将二次函数的有关知识灵活运用于实际,让学生体会到学习数学的价值,从而提高学生学习数学 的兴趣。 【学习重点】二次函数图像的性质以及待定系数法求表达式。 【学习过程】 一、本章知识归类整理 1、函数的三种表示方: 、 、 。 2、二次函数表达式的三种形式 (1). 一般式: ( a , b , c 为常数, 0a  ); (2). 顶点式: ( a , h , k 为常数, 0a  ); (3). 交点式: ( 0a  , 1x , 2x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式, 只有抛物线与 x 轴有交点,即 2 4 0b ac  时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这 三种形式可以互化 1、 函数图像的性质——抛物线 抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向 2axy  kaxy  2  2hxay    khxay  2 cbxaxy  2 (1)开口方向——二次项系数 a 二次函数 2y ax bx c   中, a 作为二次项系数,显然 0a  . 当 0a  时,抛物线开口_____, a 的值越大,开口_____,反之 a 的值越小,开口_____; 当 0a  时,抛物线开口_____, a 的值越小,开口_____,反之 a 的值越大,开口_____. 总结: a 决定了抛物线开口的 和 , a 的正负决定开口 , a 的大小决定开口 的 。Ia|越大开口就越 ,|a|越小开口就越 。 (2)抛物线是 图形,对称轴为直线。抛物线的______是图象的最高点或最低点. 一般式:___________ 对称轴 顶点式:___________ 两根式:___________ (3)对称轴位置 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。(“左同右异”) a 与 b 同号(即 ab 0) 对称轴在 y 轴 侧 a 与 b 异号(即 ab 0) 对称轴在 y 轴 侧 (4)增减性,最大或最小值 当 a>0 时,在对称轴左侧(当 2 bx a   时),y 随着 x 的增大而 ;在对称轴右侧(当 2 bx a   时),y 随着 x 的增大而 ; 当 a<0 时,在对称轴左侧(当 2 bx a   时),y 随着 x 的增大而 ;在对称轴右侧(当 2 bx a   时),y 随着 x 的增大而 ; 当 a>0 时,函数有最小值,并且当 x= ,y 小= ; 当 a<0 时,函数有最大值,并且当 x= ,y 大= ; (5)常数项 c 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。 抛物线与 y 轴交于( , )。 (6) A、b、c 符号判别 二次函数 cbxaxy  2 (a≠0) 中 a、b、c 的符号判别: (1)a 的符号判别由开口方向确定:当开口向上时,a 0;当开口向下时,a 0; (2)c 的符号判别由与 Y 轴的交点来确定:若交点在 X 轴的上方,则 c 0;若交点在 X 轴的下方, 则 C 0; (3)b 的符号由对称轴来确定:对称轴在 Y 轴的左侧,则 a、b 号;若对称轴在 Y 轴的右侧, 则 a、b 号; (7)抛物线与 x 轴交点个数 Δ= acb 42  >0 时,抛物线与 x 轴有 个交点。 这两点间的距离 2 1 2 4| | | | b acAB x x a    一般式: ______________ 顶点式:______________顶点坐标 Δ= acb 42  =0 时,抛物线与 x 轴有 个交点。 顶点在 x 轴上。 Δ= acb 42  <0 时,抛物线与 x 轴 交点。 (1' 当 0a  时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 0y  ; ( 2' 当 0a  时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 0y  .) (8)特殊情况 ①二次函数 cbxaxy  2 (a≠0 )与 X 轴只有一个交点或二次函数的顶点在 X 轴上,则Δ =b2-4ac=_____; ②二次函数 cbxaxy  2 (a≠0)的顶点在 Y 轴上或二次函数的图象关于 Y 轴对称,则 b=____; ③二次函数 cbxaxy  2 (a≠0)经过原点,则 c=_____; 4、平移、平移步骤: (5)将抛物线解析式转化成顶点式  2y a x h k   ,确定其顶点坐标 h k, ; (6)左右平移变 h,左加右减;上下平移变 k,上加下减。 二、典型例题 例 1、二次函数 cbxaxy  2 的图像如图所示,试确定 a、b、 c、abc、 acb 42  、2a-b、a+b+c、a-b+c 的值得符号。 例 2、已知二次函数 322  xxy 。 (1)把它配方成   khxay  2 的形式________________________; (2)写出函数图像的开口方向、顶点坐标及对称轴__________________________; (3)函数   41 2  xy 的图像可由抛物线 42  xy 向_____平移____个单位得到;也可由  21 xy 向_____平移____个单位得到。 (4)求出函数的图像与两坐标轴的交点坐标__________________________; (5)抛物线 322  xxy 在 x 轴上截得的线段的长度是____________; (6)画出此函数的草图,根据函数的图像回答: ①当 x____时, 二次函数 322  xxy 的函数值 随 x 的增大而增大;当 x____时,二次函数 322  xxy 的函数值随 x 的增大而减小。 ②当 x____时,二次函数 322  xxy 的值大于 0;当 x____时,二次函数 322  xxy 的值小于 0。③当 x____时,二次函数 322  xxy 取得最_____值,为__________。 例 3、解答下列各题 (1)抛物线    22 11 mxmxy  的顶点在原点,则 m=_________。 (2) 抛物线 mxxy  22 的顶点在 x 轴上,则 m=_________。 (3) 抛物线   mxmxy 322  的顶点在 y 轴上,则 m=_________。 (4) 抛物线   22 22  mmxmy 过原点,则 m=____________。 例 4、根据下列条件,求出二次函数的表达式。 (1)抛物线 cbxaxy  2 经过点(0,1)(1,3)(-1,1)三点。 (2)抛物线的顶点为 P(-1,-8),且过点 A(0,-6)。 (3)已知二次函数 cbxaxy  2 的图像经过(3,0),(2,-3)两点,并且一 x=1 为对称轴。 例 5、如图,抛物线 cbxaxy  2 过点 A(-1,0),且经过直线 y=x-3 与坐标轴的两个交点 B,C。 (1)求抛物线的解析式; (2)求抛物线的顶点坐标; (3)若点 M 在第四象限内的抛物线上,且 OM⊥BC,垂足为 D,求点 M 的 坐标。 例 6、某商场以每件 42 元的价钱购进一种服装,根据试销得知:这种服装每天的销售量 t(件)与每件的 销售价 x(元/件)可看成是一次函数关系:t= -3x+204。 (1)写成商场卖这种服装每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 之间的函数关系式; (2)商场要想每天获得最大的销售利润,每件的销售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少?