九年级上册青岛版数学课件4-2用配方法解一元二次方程（1） 28页

4.2用配方法解一元二次方程（1） 1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的方程. （重点） 2.理解配方法的基本思路.（难点） 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. （重点） 学习目标 1.如果 x2=a,则x叫作a的 . 复习引入 平方根 2.如果 x2=a(a ≥0),则x= . 3.如果 x2=64 ,则x= . a ±8 4.任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数. 导入新课 问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这 桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全 部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设正方体的棱长为x dm，则一 个正方体的表面积为6x2dm2，可列出 方程 10×6x2=1500， 由此可得 x2=25. 开平方，得 即x1=5，x2=－5. 因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm． x=±5， 讲授新课 直接开平方法知识点1 试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1) x2=4 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解:根据平方根的意义，得 x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得 x2=-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解. (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0； (3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以 方程(I)无实数根. 探究归纳 一般的，对于可化为方程 x2 = p, (I) (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等 的实数根 ， ；1 px   2 px  1 2x x 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程 的根的方法叫直接开平方法. 归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程: (1) x2=6； (2) x2－900=0. 解：（1） x2=6， 直接开平方，得 （2）移项，得 x2=900. 直接开平方，得 x=±30， ∴x1=30, x2=－30. 典例精析 6,x   1 26 6x x，    在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到: （x+3)2=5 ， ② 得 对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5. 探究交流 3 5,x  3 5 3 5 .x x    ，或 ③ 1 23 5 3 5.x x    ，或 于是，方程（x+3）2=5的两个根为 上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元 一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方 程了. 解题归纳 例2 解下列方程： ⑴ （x＋1）2= 2 ； 解析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个 整体，就可以运用直接开平方法求解. 2 2.即x1=-1+ ，x2=-1- 解：（1）∵x+1是2的平方根， 2.∴x+1= 解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1 小题一样地解. 例2 解下列方程： （2）（x－1）2－4 = 0； 即x1=3，x2=-1. 解：（2）移项，得（x-1）2=4. ∵x-1是4的平方根， ∴x-1=±2. ∴ x1= ，5 4 7 . 4 x2= (3) 12（3－2x）2－3 = 0. 解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边 都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都 除以-2即可. 解：(3)移项，得12（3-2x）2=3， 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25. ∵3-2x是0.25的平方根， ∴3-2x=±0.5. 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2= p （p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求 解吗？请举例说明. 探讨交流 问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式. (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 探究交流 配方的方法知识点2 问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立. （1）x2+4x+ = ( x + )2 （2）x2-6x+ = ( x- )2 （3）x2+8x+ = ( x+ )2 （4） 4 3 x2- x+ = ( x- )2 你发现了什么规律？ 22 2 32 3 42 4 22( ) 3 2 3 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 归纳总结 想一想： x2+px+( )2=(x+ )22 p 2 p 配方的方法 合作探究 怎样解方程: x2+6x+4=0 (1) 问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？ 解： x2+6x+4=0 x2+6x=-4 移项 x2+6x+9=-4+9 两边都加上9 二次项系数为1的完全 平方式： 常数项等于一次项系数 一半的平方. 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程知识点3 方法归纳 在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是 在二次项系数为1的前提下进行的. 问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他 数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方， 方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式. 方程配方的方法： 要点归纳 配方法就是通过配成完全平方形式来解一元二次方程 的方法.. 配方法的定义 配方法解方程的基本思路 把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次， 转化为一元一次方程求解． 例3：解方程 x2 + 8x - 9 = 0 解：可以把常数项移到方程的右边,得 x2 + 8x = 9 , 两边都加42（一次项系数8的一半的平方）,得 x2 + 8x + 42 = 9 + 42 , 即（x+4）2 = 25 . 两边开平方,得 x + 4 = ± 5 , 即 x + 4 =5 或 x + 4 = -5. 所以x1 = 1 , x2= -9. 试一试：解决梯子底部滑动问题：x2 + 12x -15=0 . 解：可以把常数项移到方程的右边,得 x2 + 12x = 15 , 两边都加62（一次项系数6的一半的平方）,得 x2 + 12x + 62 = 15 + 62 , 即（x+6）2 = 51 . 两边开平方,得 x + 6 = , 即 x + 6 = 或 x + 6 = . 所以 x1 = , x2= . 51 51 51 51 6 51 6  (C) 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1= ; 4 7 4 1 x2= (D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 1.下列解方程的过程中，正确的是（ ） (A) x2=-2,解方程，得x=± 2 (B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 D 随堂练习 (1)方程x2=0.25的根是 . (2)方程2x2=18的根是 . (3)方程(2x-1)2=9的根是 . 3. 解下列方程： (1)x2-81＝0； (2)2x2＝50； (3)(x＋1)2=4 . x1=0.5,x2=-0.5 x1＝3,x2＝-3 x1＝2,x2＝－1 解：x1＝9, x2＝－9； 解：x1＝5, x2＝－5； 解：x1＝1, x2＝－3. 4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一 元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有 错，指出具体位置并帮他改正. ① 21 1 5 0, 3 y       21 1 5, 3 y      1 1 5, 3 y   1 1 5, 3 y    3 5 1,y   ② ③ ④ 解： 解：不对，从开始错，应改为 1 1 5, 3 y    1 23 5 3, 3 5 3.y y       21 4 4 5x x  　 解： 22 5,x   2 5,x  　 2 5, 2 5,x x    方程的两根为 1 2 5x   2 2 5.x   5.解下列方程： 4 5,１ x   22 8 1 0 x x  　 ； 1 24 15, 4 15.   x x 解：（1）移项，得 x2－8x=－1, 配方，得 x2－8x+42=－1+42 , ( x－4)2=15 由此可得 即 解方程: 2 2( 2) (2 5)x x   挑战自我 解：   2 22 2 5 ,x x   2 (2 5),x x     方程的两根为 1 7x   2 1x   2 2 5, 2 2 5x x x x        用配方法解 一元二次方程 直接开平方法： 基本思路： 解二次项系数为1的一元二次方程步骤 形如（x + m）2 = n (n≥0) 将方程转化为（x + m）2 = n (n≥0)的形式，在用直接开平方法， 直接求根. 1.移项 3.直接开平方求解2.配方 课堂小结