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- 2021-11-11 发布
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4.2 用配方法解一元二次方程
教学目标
【知识与能力】
1.会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;理解配方法,会用配方法解简单的数字
系数的一元二次方程.
2.了解用配方法解一元二次方程的基本步骤.
【过程与方法】
能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.
【情感态度价值观】
体会转化的数学思想方法.
教学重难点
【教学重点】
利用配方法解一元二次方程.
【教学难点】
把一元二次方程通过配方转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式.
课前准备
无
教学过程
一、课前预习
(提出实际问题,让学生用数学知识解决问题)
用彩灯围成一个面积为24平方米的长方形舞台,若要长比宽多2米,那么舞台的长和宽,该
如何确定的呢?
设计意图:利用现实生活问题,不仅能够生动自然引出我们要解决的数学问题,更重要的是
学生们感兴趣,可以激发他们的热情,为下一步探究营造了轻松愉悦的氛围.
若想求出舞台的长和宽,需解方程x2+2x-24=0(学生解方程有困难,教师需引导).
前面我们可求出了x2+2x-24=0方程中x的近似值,你能求出它的精确值吗?今天就学习用配
方法解一元二次方程.
二、课内探究
1、自主学习
师:你都会解哪些简单的一元二次方程?(请同学自由回答)
生:例如x2=4(x+3)2=9
x=±2x+3=±3
x1=0 x2=-6
师:形如x2=4、(x+3)2=9的一元二次方程有什么特点呢?你是如何解它们的?(独立思考后,
与同桌互相交流)
生:方程都可以写成(x+m)2=n(n≥0)的形式.两边开平方便可求出方程的解.
解方程:
x2+6x+9=25.
解:原方程就是
(x+3)2=25.
开平方,得
x+3=±5,
所以x1=2,x2=-8.
2、合作探究
师:看来将一个一般形式的一元二次方程,转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式利用开平方法就可
以求解.那么,方程x2+8x-9=0你能将它转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式吗?(请同学动手做一
做,再与你的小组同学互相交流)
- 2 -
生:讨论结果大致有两种情况.
A:x2+8x-9=0 B:x2+8x-9=0
x2+8x=9x2+8x-9+25=25
x2+8x+16=9+16x2+8x+16=25
(x+4)2=25(x+4)2=25
师:(将两种利用投影都展示出来)
请全班同学共同观察比较这两种情况有什么关系?(请大家自由发言)
生:两种方法实质上都是在方程两边同时加上了一次项系数(8)一半的平方(4)2,配成了完
全平方式.
师:对这种通过配成完全平方式的方法,得到一元二次方程的根的方法,就称为配方法.(揭
示课题)
例1 解方程:x2+8x-9=0.
解:可以把常数项移到方程的右边,得
x2+8x=9.
两边都加上42(一次项系数8的一半的平方),得
x2+8x+42=9+42,
(x+4)2=25.
开平方,得x+4=±5,
即x+4=5,或x+4=-5.
所以x1=1,x2=-9.
例2 解4.1节问题(3)中的方程
012 xx (精确到0.001).
解:移项,得 .12 xx
两边都加上 2
2
1)( ,得
,
22
2
2
112
1
xx
.
4
5
2
1 2
x
由平方根的意义,得
.
2
5
2
1 x
所以
..,. 61802
11561802
15
21 xx
在4.1节问题(3)中,x为线段AC与AB的比,必须满足x>0.所以x2不合题意,应当舍去,问
题(3)的答案是:
AB
AC 的值约为0.618.
例3 解方程:3x2+8x-3=0.
解:两边都除以3,得
2 8 1 0.3
x x
移项,得
2 8 1.3
x x
配方,得
- 3 -
2 2 2
2 2
8 4 4( ) 1 ( ) .3 3 3
4 5( ) ( ) .3 3
x x
x
即
4 5 4 5.3 3 3 3
, x x
所以
1 2
1 3.3
x x,
三、本课小结.
用配方法解一元二次方程的方法的助手:
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2=(a±b)2
知识回顾:配方法解一元二次方程的一般步骤:
化简:把二次项系数化为1;
移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
变形:方程左边分解因式,右边合并同类项;
开方:根据平方根的意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.
总结提升:(结合实例同学生一起总结)
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