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- 2021-11-11 发布
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孝感市 2020 年中考数学试题及答案
1.如果温度上升3℃,记作 3 ℃,那么温度下降 2℃记作( )
A. 2 ℃ B. 2 ℃ C. 3 ℃ D. 3 ℃
2.如图,直线 AB , CD 相交于点O ,OE CD ,垂足为点O .若 40BOE ,
则 AOC 的度数为( )
A. 40 B.50 C. 60 D.140
3.下列计算正确的是( )
A. 2 3 5a b ab B. 2 23 9ab ab C. 2 3 6a b ab D. 22 2ab b b
4.如图是由 5 个相同的正方体组成的几何体,则它的左视图是( )
A. B. C. D.
5.某公司有 10 名员工,每人年收入数据如下表:
年收入/万元 4 6 8 10
人数/人 3 4 2 1
则他们年收入数据的众数与中位数分别为( )
A.4,6 B.6,6 C.4,5 D.6,5
6.已知 5 1x , 5 1y ,那么代数式
3 2x xy
x x y
的值是( )
A.2 B. 5 C.4 D. 2 5
7.已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流 I (单位: A )与电阻 R (单位:
)是反比例函数关系,它的图象如图所示.则这个反比例函数的解析式为( )
A. 24I R
B. 36I R
C. 48I R
D. 64I R
8.将抛物线 2
1 : 2 3C y x x 向左平移 1 个单位长度,得到抛物线 2C ,抛物线 2C 与
抛物线 3C 关于 x 轴对称,则抛物线 3C 的解析式为( )
A. 2 2y x B. 2 2y x C. 2 2y x D. 2 2y x
9.如图,在四边形 ABCD 中, AD BC∥ , 90D , 4AB , 6BC ,
30BAD .动点 P 沿路径 A B C D 从点 A 出发,以每秒 1 个单位长度的速
度向点 D 运动.过点 P 作 PH AD ,垂足为 H .设点 P 运动的时间为 x(单位:s ),
APHV 的面积为 y ,则 y 关于 x 的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
10.如图,点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上,将 ADE 绕点 A 顺时针旋转90 到
ABF 的位置,连接 EF ,过点 A 作 EF 的垂线,垂足为点 H ,与 BC 交于点G .若
3BG , 2CG ,则CE 的长为( )
A. 5
4 B.15
4 C.4 D. 9
2
11.原子钟是北斗导航卫星的“心脏”,北斗卫星上的原子钟的精度可以达到 100 万年
以上误差不超过 1 秒.数据 100 万用科学记数法表示为______.
12.有一列数,按一定的规律排列成 1
3
, 1 ,3, 9 ,27,-81,….若其中某三个
相邻数的和是 567 ,则这三个数中第一个数是______.
13.某型号飞机的机翼形状如图所示,根据图中数据计算 AB 的长为______ m .(结果
保留根号)
14.在线上教学期间,某校落实市教育局要求,督促学生每天做眼保健操.为了解落实
情况,学校随机抽取了部分学生进行调查,调查结果分为四类(A 类:总时长 5 分钟;
B 类:5 分钟 总时长 10 分钟;C 类:10 分钟 总时长 15 分钟;D 类:总时长 15
分钟),将调查所得数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图.
该校共有 1200 名学生,请根据以上统计分析,估计该校每天做眼保健操总时长超过 5
分钟且不超过 10 分钟的学生约有______人.
15.如图 1,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形
是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中
连接四条线段得到如图 2 的图案,记阴影部分的面积为 1S ,空白部分的面积为 2S ,大
正方形的边长为 m ,小正方形的边长为 n ,若 1 2S S= ,则 n
m
的值为______.
16.如图,已知菱形 ABCD 的对角线相交于坐标原点O ,四个顶点分别在双曲线 4y x
和 0ky kx
上, 2
3
AC
BD
.平行于 x 轴的直线与两双曲线分别交于点 E , F ,连
接OE ,OF ,则 OEF 的面积为______.
17.计算:
0
3 18 3 1 2sin 60 4
18.如图,在 ABCD 中,点 E 在 AB 的延长线上,点 F 在CD 的延长线上,满足
BE DF .连接 EF ,分别与 BC , AD 交于点G , H .求证: EG FH .
19.有 4 张看上去无差别的卡片,上面分别写有数 1 ,2,5,8.
(1)随机抽取一张卡片,则抽取到的数是偶数的概率为______;
(2)随机抽取一张卡片后,放回并混在一起,再随机抽取一张,请用画树状图或列表
法,求抽取出的两数之差的绝对值大于 3 的概率.
20.如图,在平面直角坐标系中,已知点 1,5A , 3,1B 和 4,0C ,请按下列要
求画图并填空.
(1)平移线段 AB ,使点 A 平移到点C ,画出平移后所得的线段 CD ,并写出点 D 的
坐标为______;
(2)将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转90 ,画出旋转后所得的线段 AE ,并直接写出
cos BCE 的值为______;
(3)在 y 轴上找出点 F ,使 ABF 的周长最小,并直接写出点 F 的坐标为______.
21.已知关于 x 的一元二次方程 2 212 1 2 02x k x k .
(1)求证:无论 k 为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根 1x , 2x 满足 1 2 3x x ,求 k 的值.
22.某电商积极响应市政府号召,在线销售甲、乙、丙三种农产品.已知1kg 乙产品的
售价比1kg 甲产品的售价多 5 元,1kg 丙产品的售价是1kg 甲产品售价的 3 倍,用 270
元购买丙产品的数量是用 60 元购买乙产品数量的 3 倍.
(1)求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元?
(2)电商推出如下销售方案:甲、乙、丙三种农产品搭配销售共 40kg ,其中乙产品的
数量是丙产品数量的 2 倍,且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的 3 倍.请你
帮忙计算,按此方案购买 40kg 农产品最少要花费多少元?
23.已知 ABC 内接于 O , AB AC , ABC 的平分线与 O 交于点 D ,与 AC
交于点 E ,连接CD 并延长与 O 过点 A 的切线交于点 F ,记 BAC .
(1)如图 1,若 60 ,
①直接写出 DF
DC
的值为______;
②当 O 的半径为 2 时,直接写出图中阴影部分的面积为______;
(2)如图 2,若 60 ,且 2
3
DF
DC
, 4DE ,求 BE 的长.
24.在平面直角坐标系中,已知抛物线 2 4 4 6 0y ax ax a a 与 x 轴交于 A ,B
两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点C ,顶点为点 D .
(1)当 6a 时,直接写出点 A , B ,C , D 的坐标:
A ______, B ______,C ______, D ______;
(2)如图 1,直线 DC 交 x 轴于点 E ,若 4tan 3AED ,求 a 的值和CE 的长;
(3)如图 2,在(2)的条件下,若点 N 为OC 的中点,动点 P 在第三象限的抛物线上,
过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为Q ,交 AN 于点 F ;过点 F 作 FH DE ,垂足为 H .设
点 P 的横坐标为 t ,记 f FP FH .
①用含 t 的代数式表示 f ;
②设 5 0t m m ,求 f 的最大值.
参考答案
1.A
【解析】
【分析】
根据具有相反意义的量进行书写即可.
【详解】
由题知:温度上升3℃,记作 3 ℃,
∴温度下降 2℃,记作 2 ℃,
故选:A.
【点睛】
本题考查了具有相反意义的量的书写形式,熟知此知识点是解题的关键.
2.B
【解析】
【分析】
已知 OE CD , 40BOE ,根据邻补角定义即可求出 AOC 的度数.
【详解】
∵OE CD
∴ 90COE
∵ 40BOE
∴ 180° 180 90 40 50AOC COE EOB
故选:B
【点睛】
本题考查了垂直的性质,两条直线垂直,形成的夹角是直角;利用邻补角的性质求角的度数,
平角度数为 180°.
3.C
【解析】
【分析】
据合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变和
单项式的乘法法则,逐一判断即可.
【详解】
A:2a 和 3b 不是同类项,不能合并,故此选项错误;
B: 2 2 23 9ab a b 故 B 错误;
C: 2 3 6a b ab 正确;
D: 22 2ab b ab 故 D 错误.
【点睛】
本题考查了合并同类项以及单项式的乘法的知识,解答本题的关键是熟练掌握合并同类项的
法则.
4.C
【解析】
【分析】
从左面看,所得到的图形形状即为所求答案.
【详解】
从左面可看到第一层为 2 个正方形,第二层为 1 个正方形且在第一层第一个的上方,
故答案为:C.
【点睛】
本题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图.
5.B
【解析】
【分析】
数据出现最多的为众数;将数据从小到大排列,最中间的 2 个数的平均数为中位数.
【详解】
6 出现次数最多, 故众数为: 6,
最中间的 2 个数为 6 和 6,中位数为 6+6 =62
,
故选: B.
【点睛】
本题考查众数和中位数,需要注意,求解中位数前,一定要将数据进行排序.
6.D
【解析】
【分析】
先按照分式四则混合运算法则化简原式,然后将 x、y 的值代入计算即可.
【详解】
解:
3 2x xy
x x y
=
x x y x y
x x y
=x+y= 5 1 + 5 1 =2 5 .
故答案为 D.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值,根据分式四则混合运算法则化简分式是解答本题的关键.
7.C
【解析】
【分析】
根据题意,电流与电阻是反比例函数关系,根据图中给出的坐标即可求出该反比例函数解析
式.
【详解】
根据题意,电流与电阻是反比例函数关系,在该函数图象上有一点(6,8),
故设反比例函数解析式为 I= k
R
,
将(6,8)代入函数解析式中,
解得 k=48,
故 I= 48
R
故选 C.
【点睛】
本题主要考查反比例函数解析式的求解方法,掌握求解反比例函数解析式的方法是解答本题
的关键.
8.A
【解析】
【分析】
利用平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式 2C ,再因为关于 x 轴对称的两
个抛物线,自变量 x 的取值相同,函数值 y 互为相反数,由此可直接得出抛物线 3C 的解析
式.
【详解】
解:抛物线 2
1 : 2 3C y x x 向左平移 1 个单位长度,得到抛物线 2C :
2+1 2 +1 3 y x x ,即抛物线 2C : 2 2y x ;
由于抛物线 2C 与抛物线 3C 关于 x 轴对称,则抛物线 3C 的解析式为: 2 2y x .
故选:A.
【点睛】
主要考查了函数图象的平移、对称,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规
律求函数解析式以及关于 x 轴对称的两个抛物线,自变量 x 的取值相同,函数值 y 互为相反
数.
9.D
【解析】
【分析】
分点 P 在 AB 边上,如图 1,点 P 在 BC 边上,如图 2,点 P 在 CD 边上,如图 3,利用解直
角三角形的知识和三角形的面积公式求出相应的函数关系式,再根据相应函数的图象与性质
即可进行判断.
【详解】
解:当点 P 在 AB 边上,即 0≤x≤4 时,如图 1,
∵AP=x, 30BAD ,
∴ 1 3,2 2PH x AH x ,
∴ 21 1 3 3
2 2 2 8y x x x ;
当点 P 在 BC 边上,即 4<x≤10 时,如图 2,
过点 B 作 BM⊥AD 于点 M,则
1 32, 2 3, 42 2PH BM AB AM AB MH BP x ,
∴ 1 1 2 3 4 2 2 3 42 2y AH PH x x ;
当点 P 在 CD 边上,即 10<x≤12 时,如图 3,
AD= 2 3 6 , 12PH x ,
∴ 1 2 3 6 12 3 3 122y x x ;
综上,y 与 x 的函数关系式是:
23 0 48
2 3 4 4 10
3 3 12 10 12
y x x
y x x
y x x
,
其对应的函数图象应为: .
故选:D.
【点睛】
本题以直角梯形为载体,主要考查了动点问题的函数图象、一次函数和二次函数的图象与性
质以及解直角三角形等知识,属于常考题型,正确分类、列出相应的函数关系式是解题的关
键.
10.B
【解析】
【分析】
根据正方形性质和已知条件可知 BC=CD=5,再由旋转可知 DE=BF,设 DE=BF=x,则 CE=5-x,
CF=5+x,然后再证明△ABG∽△CEF,根据相似三角形的性质列方程求出 x,最后求 CE 即
可.
【详解】
解:∵ 3BG , 2CG
∴BC=BG+GC=2+3=5
∵正方形 ABCD
∴CD=BC=5
设 DE=BF=x,则 CE=5-x,CF=5+x
∵AH⊥EF,∠ABG=∠C=90°
∴∠HFG+∠AGF=90°,∠BAG+∠AGF=90°
∴∠HFG=∠BAG
∴△ABG∽△CEF
∴ CE BG
FC AB
,即 5 3
5 5
x
x
,解得 x= 5
4
∴CE=CD-DE=5- 5
4 =15
4
.
故答案为 B.
【点睛】
本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质,根据相似三角形的性质列方程求出
DE 的长是解答本题的关键.
11. 61 10
【解析】
【分析】
先将 100 万写成 1000000,然后再写成 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为 1000000 写成 a
时小时点向左移动的位数.
【详解】
解:100 万=1000000= 61 10
故答案为 61 10 .
【点睛】
本题考查了科学记数法,将 1000000 写成 a×10n 的形式,确定 a 和 n 的值是解答本题的关键.
12. 81
【解析】
【分析】
题中数列的绝对值的比是-3,由三个相邻数的和是 567 ,可设三个数为 n,-3n,9n,据题
意列式即可求解.
【详解】
题中数列的绝对值的比是-3,由三个相邻数的和是 567 ,可设第一个数是 n,则三个数为 n,
-3 n,9n
由题意: n 3n 9n 567 ,
解得:n=-81,
故答案为:-81.
【点睛】
此题主要考查数列的规律探索与运用,一元一次方程与数字的应用,熟悉并会用代数式表示
常见的数列,列出方程是解题的关键.
13. 5 3( 1.6)3
【解析】
【分析】
如图(见解析),先在 Rt BCF 中,解直角三角形可求出 CF 的长,再根据等腰直角三角形
的判定与性质可得 DE 的长,从而可得 CE 的长,然后根据线段的和差即可得.
【详解】
如图,过 A 作 //AE BF ,交 DF 于点 E,则四边形 ABFE 是矩形
, 5 ,AB EF AE BF m AE EF
由图中数据可知, 3.4CD m , 30CBF , 45DAE , 90F
在 Rt BCF 中, tan CFCBF BF
,即 3tan305 3
CF
解得 5 3 ( )3CF m
, 45AE EF DAE
Rt ADE 是等腰三角形
5DE AE m
5 3.4 1.6( )CE DE CD m
5 3 1.6( )3EF CF CE m
则 AB 的长为 5 3( 1.6)3 m
故答案为: 5 3( 1.6)3
.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点,掌握解直角三角形的
方法是解题关键.
14.336
【解析】
【分析】
先根据 A 类的条形统计图和扇形统计图信息求出调查抽取的总人数,再求出每天做眼保健
操总时长超过 5 分钟且不超过 10 分钟的学生的占比,然后乘以 1200 即可得.
【详解】
调查抽取的总人数为10 10% 100 (人)
C 类学生的占比为 41 100% 41%100
B 类学生的占比为100% 10% 41% 21% 28%
则1200 28% 336 (人)
即该校每天做眼保健操总时长超过 5 分钟且不超过 10 分钟的学生约有 336 人
故答案为:336.
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联等知识点,掌握理解统计调查的相关知识是
解题关键.
15. 3 1
2
【解析】
【分析】
如图(见解析),设 AB CD a ,先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出
1 2,S S 的值,再根据 1 2S S= 建立等式,然后根据 2
1 2S S m+ = 建立等式求出 a 的值,最后代入
求解即可.
【详解】
如图,由题意得: AC m , BD n , AB CD , ABC 是直角三角形,且 ,m n 均为
正数
则大正方形的面积为 2 2AC m=
小正方形的面积为 2 2BD n=
设 ( 0)AB CD a a
则 2 2 2
1
14 4 22Rt ABDS S n AB BD n an n= + = 醋 + = +
2
2
14 4 22ACDS S CD AB a= = 醋 =
1 2S S =
2 22 2an n a + =
又 2
1 2S S m + = ,即 2
22S m=
2 24a m =
解得
2
ma 或
2
ma = - (不符题意,舍去)
将
2
ma 代入 2 22 2an n a+ = 得:
2
2
2
mmn n+ =
两边同除以
2
2
m 得: 22 2( ) 1n n
m m
+ =
令 0n xm
= >
则 22 2 1x x+ =
解得 3 1
2x 或 3 1 02x
- -= < (不符题意,舍去)
即 n
m
的值为 3 1
2
故答案为: 3 1
2
.
【点睛】
本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点,理解题意,
正确求出 1 2,S S 的值是解题关键.
16. 13
2
【解析】
【分析】
先作 AG x 轴于点 G,作 BH x 轴于点 H,证明 AOG OBH△ △ ,利用 2
3
AC
BD
,
同时设出点 A 的坐标,表示出 OH,BH 的长度,求出 k 的值,设直线 EF 的解析式为 y n ,
表示点 E,F 的坐标,求出 EF 的长度,可求得 OEF 的面积.
【详解】
作 AG x 轴于点 G,作 BH x 轴于点 H,如图所示:
∵ AOG OAG AOG BOG 即 OAG BOH
∴ AOG OBH△ △
∴ 2
3
AO OG AG AC
OB BH OH BD
设点 A 的坐标为 4( , )m m
则 4,OG m AG m
∴ 6 3, 2
mOH BHm
∴ 6 3| | 92
mk OH BH m
∵ ky x
的图象在第二,四象限
∴ 9k
设直线 EF 的解析式为: y n
则 9 4( , ), ( , )F n E nn n
∴ 4 9 13( )EF n n n
∴ 1 1 13 13| |2 2 2OEF FS EF y nn
△
故答案为:13
2
.
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何图形的综合,快速找到相似三角形求出 k 的值,是解题的关键.
17. 2 .
【解析】
【分析】
先计算立方根、绝对值运算、特殊角的三角函数值、零指数幂,再计算实数的混合运算即可.
【详解】
原式 32 3 1 2 12
2 3 1 3 1
2 .
【点睛】
本题考查了立方根、绝对值运算、特殊角的三角函数值、零指数幂等知识点,熟记各运算法
则是解题关键.
18.证明见解析.
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的性质可得 //AB CD , ABC CDA ,再根据平行线的性质、邻补角
的定义可得 E F , EBG FDH ,然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得
证.
【详解】
∵四边形 ABCD 为平行四边形
∴ //AB CD , ABC CDA
∴ E F ,180 180ABC CDA
EBG FDH
在 BEG 和 DFH 中,
E F
BE DF
EBG FDF
∴ ( )BEG DFH ASA
∴ EG FH .
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、邻补角的定义、三角形全等的判定定理与性
质等知识点,熟练掌握平行四边形的性质,正确找出全等三角形是解题关键.
19.(1) 1
2 ;(2) 3
8
【解析】
【分析】
(1)直接利用概率公式进行计算即可;
(2)列表展示所有 16 种等可能的结果数,再找出两次抽取的卡片上两数之差的绝对值大于 3
结果数,然后根据概率公式求解.
【详解】
解:(1)抽取到的数为偶数的概率为 P= 2 1
4 2
.
(2)列表如下:
第 1 次
第 2 次
1 2 5 8
1 1, 1 2, 1 5, 1 8, 1
2 ( )1,2- 2,2 5,2 8,2
5 1,5 2,5 5,5 8,5
8 1,8 2,8 5,8 8,8
∵差的绝对值有 16 种可能,绝对值大于 3 的有 6 种可能,
∴差的绝对值大于 3 的概率 6 3
16 8P .
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n,再从中选出
符合事件 A 或 B 的结果数目 m,然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率.
20.(1)(2,-4) (2) 5
5
(3)(0,4)
【解析】
【分析】
(1)平移线段 AB,使 A 点平移到 C 点,可以知道 A 点是向右平移 5 个单位,向下平移 5
个单位,故可以确定 D 点坐标.
(2)根据 B、C、E 三点坐标,连接 BE,可以判断出△BCE 为直角三角形,故可求解 cos BCE
的值.
(3)过 A 点做 y 轴的对称点 A’,连接 A’B,与 y 轴的交点即为 F 点.此时△ABF 的周长
最小,通过求解函数解析式确认点F的坐标.
【详解】
解:(1)如图所示:平移线段 AB,使 A 点平移到 C 点,可以知道 A 点是向右平移 5 个单位,
再向下平移 5 个单位,根据题意可知,B 点(-3,1)平移到 D 点,故可以确定点 D 的坐标.
点 D 的坐标为 2, 4 ;
(2)如图所示:
根据题意,AE 是线段 AB 围绕点 A 逆时针旋转 90°得到,故 AB=AE,不难算出点 E 的坐标
为(3,3).连接 BE,根据 B、C、E 三点坐标算出 BC= 5 2 、EC= 10 、BE= 2 10 ,故
2 2 2BE EC BC ,可以判断出△BEC 为直角三角形.
故 5cos 5BCE EC
BC
(3)如图所示:
过 A 点做 y 轴的对称点 A’,连接 A’B,与 y 轴的交点即为 F 点.故可知 A’的坐标为(1,5),
点 B 的坐标为(-3,1),设 A’B 的函数解析式为 y=kx+b,将(1,5),(-3,1)代入函数解析中解得 k=1,
b=4,则函数解析式为 y=x+4,则 F 点坐标为(0,4),
故点 F 的坐标为(0,4).
【点睛】
(1)本题主要考查平移,洞察点 A 是如何平移到点 C,是求出 D 点坐标的关键.(2)连接
BE,根据 B、C、E 三点坐标判断出△BCE 是直角三角形,就不难算出 cos BCE 的值.(3)
本题通过做 A 点的对称点 A’,连接 A’B,找到 A’B 与 y 轴的交点 F 是解答本题的关键.
21.(1)见解析 (2)0,-2
【解析】
【分析】
(1)根据根的判别式即可求证出答案;
(2)可以根据一元二次方程根与系数的关系得 k 与的 1x 、 2x 的关系式,进一步可以求出答
案.
【详解】
(1)证明:∵ 2 2 212 1 4 2 2 4 92k k k k 22 1 7k ,
∵无论 k 为何实数, 22 1 0k ,
∴ 22 1 7 0k ,
∴无论 k 为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)由一元二次方程根与系数的关系得:
1 2 2 1x x k , 2
1 2
1 22x x k ,
∵ 1 2 3x x ,
∴ 2
1 2 9x x ,
∴ 2
1 2 1 24 9x x x x ,
∴ 2 212 1 4 2 92k k
,化简得: 2 2 0k k ,
解得 0k , 2 .
【点睛】
本题主要考查根的判别式和根与系数的关系,熟练掌握概念和运算技巧即可解题.
22.(1)甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是 5 元、10 元、15 元;(2)按此方案购
买 40kg 农产品最少要花费 300 元.
【解析】
【分析】
(1)设1kg 甲产品的售价为 x 元,先表示出1kg 乙产品的售价和1kg 丙产品的售价,再根
据“用 270 元购买丙产品的数量是用 60 元购买乙产品数量的 3 倍”建立方程,然后求解即
可得;
(2)设 40kg 的甲、乙、丙三种农产品搭配中,丙种农产品有 mkg ,先求出乙种农产品的
数量和甲种农产品的数量,再根据题干三种农产品间的数量关系列出不等式求出 m 的取值
范围,然后根据(1)的结论得出所需费用关于 m 的函数关系式,最后利用一次函数的性质
即可得.
【详解】
(1)设1kg 甲产品的售价为 x 元,则1kg 乙产品的售价为 5x 元,1kg 丙产品的售价为
3x 元
由题意得: 270 60 33 5x x
解得: 5x
经检验, 5x 是所列分式方程的解,也符合题意
则 5 10 x ,3 15x
答:甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是 5 元、10 元、15 元;
(2)设 40kg 的甲、乙、丙三种农产品搭配中,丙种农产品有 mkg ,则乙种农产品有 2mkg ,
甲种农产品有 40 3m kg
由题意得: 40 3 3 2m m m
解得 5m
设按此销售方案购买 40kg 农产品所需费用 y 元
则 5 40 3 10 2 15 20 200y m m m m
∵在 5m 范围内, y 随 m 的增大而增大
∴当 5m 时, y 取得最小值,最小值为 20 5 200 300 (元)
答:按此方案购买 40kg 农产品最少要花费 300 元.
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用、一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用等知识点,
依据题意,正确列出方程和函数的解析式是解题关键.
23.(1)① 1
2
; ② 3 3 2
2 3
;(2)5
【解析】
【分析】
(1)①连接 AD,连接 AO 并延长交 BC 于 H 点,根据题意先证明△ABC 是等边三角形,
再得到∠AFD 为直角,利用含 30°的直角三角形即可求解;②根据割补法即可求解阴影部分
面积;
(2)连接 AD ,连接 AO 并延长交 O 于点 H ,连接 DH ,根据题意先证明
ADF ADE≌V V ,得到 4DF DE ,再求出 6DC ,根据 DCE DBC△ △∽ ,得到
CD DE
DB CD
,即可求出 BD,从而求出 BE 的长.
【详解】
解:(1)① 60BAC , AB AC
∴△ABC 是等边三角形,
∵BD 平分∠ABC,
∴∠DBC= 1
2
∠ABC=30°,
∵∠BDC=∠BAC=60°
∴∠BCD=180°-∠DBC-∠BDC=90°
∴BD 是直径,
∴∠BAD=90°,CD=AD
连接 AO 并延长交 BC 于 H 点,
∵AO=BO
∴∠BAH=∠ABO=30°,
∴∠AHB=180°-∠BAH-∠ABC=90°
∴AH⊥BC
∵AF 是 O 的切线
∴AF⊥AH
∴四边形 AHCF 是矩形
∴AF⊥CF
∵∠ADB=∠BDC=60°
∴∠ADF=180°-∠ADB-∠BDC=60°
∴∠FAD=90°-∠ADF=30°
∴ 1
2
DF DF
DC AD
;
②∵半径为 2,
∴AO=OD=2,
∵∠DBC=30°,
∴CD= 1
2 BD=2=AD,
∴DF= 1
2 AD=1,
∴AF= 2 2 2 22 1 3AD DF ,
∵∠AOB=180°-2∠ABO=120°,
∴∠AOD=180°-∠AOB=60°,
∴
2 21 60 1 60 2 3 3 2( ) (2 1) 32 360 2 360 2 3AODF AOD
AOS S S AO DF AF 梯形 扇形阴影
﹔
故答案为:① 1
2
; ② 3 3 2
2 3
;
(2)如图,连接 AD ,连接 AO 并延长交 O 于点 H ,连接 DH ,则 90ADH ,
∴ 90DAH DHA .
∵ AF 与 O 相切,
∴ 90DAH DAF FAO .
∴ DAF DHA .
∵ BD 平分 ABC ,
∴ ABD CBD .
∴ DHA DAC ,
∴ DAF DAC .
∵ AB AC ,
∴ AABC CB ∠ .
∵四边形 ABCD 内接于 O ,
∴ 180ABC ADC .
又∵ 180ADF ADC ,
∴ ADF ABC .
又∵ ADB ACB ABC ,
∴ ADF ADB .
又∵ AD 公共,
∴ ASAADF ADE≌△ △ ,
∴ 4DF DE .
∵ 2
3
DF
DC
,
∴ 6DC .
∵ DCE ABD DBC , CDE 公共,
∴ DCE DBC△ △∽ .
∴ CD DE
DB CD
,即 6 4
6DB
,
∴ 9DB .
∴ 5BE DB DE .
【点睛】
此题主要考查切线的判定与性质综合,解题的关键是熟知切线的性质、等边三角形的判定与
性质及相似三角形的判定与性质.
24.(1) 3,0 , 1,0 , 0,18 , 2, 6 ;(2)2
3
; 25
6
;(3)① 22 843 3f t t ;
② 26
3
.
【解析】
【分析】
(1)求出 0y 时,x 的值可得点 A、B 的坐标,求出 0x 时,y 的值可得点 C 的坐标,
将二次函数的解析式化为顶点式即可得点 D 的坐标;
(2)先求出顶点 D 的坐标,从而可得 DK、OK 的长,再利用正切三角函数可得 EK、OE、
OC 的长,从而可得出点 C 的坐标,然后将点 C 的坐标代入二次函数的解析式可得 a 的值,
利用勾股定理可求出 CE 的长;
(3)①如图,先利用待定系数法求出直线 AN 的解析式,从而可得点 F 的坐标,由此可得
出 PF 的长,再利用待定系数法求出直线 CE 的解析式,从而可得点 J 的坐标,由此可得出
FJ 的长,然后根据相似三角形的判定与性质可得 FH FJ
OE CE
,从而可得 FH 的长,最后根据
f 的定义即可得;
②先将 f 的表达式化为顶点式,从而得出其增减性,再利用二次函数的性质即可得.
【详解】
(1)当 6a 时, 26 24 18y x x
当 0y 时, 26 24 18 0x x ,解得 1x 或 3x
则点 A 的坐标为 ( 3,0)A ,点 B 的坐标为 ( 1,0)B
当 0x 时, 18y
则点 C 的坐标为 (0,18)C
将 26 24 18y x x 化成顶点式为 26( ) 62y x
则点 D 的坐标为 ( 2, 6)D
故答案为: 3,0 , 1,0 , 0,18 , 2, 6 ;
(2)如图,作 DK x 轴于点 K
将 2 4 4 6y ax ax a 化成顶点式为 2( 2) 6y a x
则顶点 D 的坐标为 ( 2, 6)D
∴ 6DK , 2OK
在 Rt DKE 中, tan DKAED EK
,即 6 4
3EK
解得 9
2EK
9 522 2KOE EK O
在 Rt COE△ 中, tan OCAED OE
,即
4
5 3
2
OC
解得 10
3OC
10(0, )3C , 2 2 2 210 5( ) ( )3
2
2
5
6CE OC OE
将点 10(0, )3C 代入 2 4 4 6y ax ax a 得: 104 6 3a
解得 2
3a ;
(3)①如图,作 FP 与 ED 的延长线交于点 J
由(2)可知, 2
3a , 100, 3C
∴ 22 8 10
3 3 3y x x
当 0y 时, 22 8 10 03 3 3x x ,解得 5x 或 1x
∴ 5,0A , 10B ,
NQ 为 OC 的中点
∴ 50, 3N
设直线 AN 的解析式为 1 1y k x b
将点 5,0A , 50, 3N
代入得:
1 1
1
5 0
5
3
k b
b
,解得
1
1
1
3
5
3
k
b
则直线 AN 的解析式为 1 5
3 3y x
∵ 22 8 10, 3 3 3P t t t
∴ 1 5, 3 3F t t
∴ 2 21 5 2 8 10 2 5( ) 33 3 3 3 3 3 3PF t t t t t
由(2)知,
2
5OE
5 ,02E
, 100, 3C
设直线 CE 的解析式为 2 2y k x b
将点 5 ,02E
, 100, 3C
代入得:
2 2
2
5 02
10
3
k b
b
,解得
2
2
4
3
10
3
k
b
则直线 CE 的解析式为 4 10
3 3y x
∴ 4 10, 3 3J t t
∴ 1 5 4 10 5 5( )3 3 3 3 3 3FJ t t t
∵ FH DE , //JF y 轴
∴ 90FHJ EOC , FJH ECO
∴ FJH ECO
∴ FH FJ
OE CE
,即
5 5
3
2
2
6
5
3
5
tFH
解得 1FH t
∴ 22 53 13 3f PF FH t t t
即 22 843 3f t t ;
②将 22 843 3f t t 化成顶点式为 22 2633 3tf
由二次函数的性质可知,当 3t 时, f 随 t 的增大而增大;当 3t 时, f 随 t 的增大而
减小
5 0t m m
5 0m
因此,分以下两种情况:
当 5 3m 时
在 5 t m 内, f 随 t 的增大而增大
则当t m 时, f 取得最大值,最大值为 22 2633 3m
又 当 5 3m 时, 2 02 33 m
22 26 2633 3 3m
当 3 0m 时
在 5 3t 内, f 随 t 的增大而增大;在 3 t m 内, f 随 t 的增大而减小
则当 3t 时, f 取得最大值,最大值为 26
3
综上, f 的最大值为 26
3
.
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、正切三角函数、
相似三角形的判定与性质等知识点,较难的是题(3)①,通过作辅助线,构造相似三角形
求出 FH 的长是解题关键.
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